Intégrales de surface

Section 4.7 Intégrales de surface

Comme pour les intégrales de ligne, nous allons définir et étudier deux types d’intégrales de surface :

Intégrales d’une fonction à valeurs scalaires, c’est-à-dire de la forme $\displaystyle \iint_{\cS} \rho\,\dee{S}\text{,}$ qui sont utilisées pour calculer des aires ou, si $\rho$ est une densité de masse, la masse d’une surface $\cS\text{.}$
Intégrales de la forme $\displaystyle \iint_{\cS} \vF\cdot\vn\,\dee{S}\text{,}$ où $\vn(x,y,z)$ est un vecteur unitaire normal à la surface $\cS$ au point $(x,y,z)\text{.}$ Celles-ci sont appelées des “intégrales de flux”. Nous verrons que, lorsque $\vv$ est le champ de vitesses d’un fluide et que $\rho$ est la densité du fluide, alors $\iint_{\cS} \rho\vv\cdot\vn\,\dee{S}$ est le taux avec lequel le fluide traverse la surface $\cS\text{.}$

Sous-section Integrales de surface

Nous commençons par calculer l’élément différentiel de surface, $\dee{S}\text{,}$ dans les différents contextes que nous avons traités dans la section précédente.

Surfaces paramétrées.

Supposons que nous voulons intégrer sur une partie $\cS$ d’une surface qui est paramétrée par $\vr(u,v)\text{.}$ Nous commençons par couper $\cS$ en petits morceaux, avec des courbes obtenues en laissant le paramètre $u$ constant (les courbes bleues dans la figure), puis en laissant le paramètre $v$ constant (les courbes rouges dans la figure).

Regardons de très près un de ces morceaux, dont voici une esquisse.

Par exemple, le courbe rouge inférieure a été obtenue en laissant $v$ fixe à la valeur $v_0\text{,}$ en faisant varier $u\text{.}$ Elle correspond à la courbe $\vr(u,v_0)\text{.}$ La courbe rouge supérieure a été construite en laissant $v$ à une valeur subtilement différente, $v_0+\dee{v}\text{,}$ en faisant varier $u\text{.}$ Elle correspond à la courbe $\vr(u,v_0+\dee{v})\text{.}$ Ainsi, les quatre points d’intersection dans la figure sont

\begin{alignat*}{2} P_2&=\vr(u_0, v_0+\dee{v}), &\qquad P_3&=\vr(u_0+\dee{u}, v_0+\dee{v}),\\ P_0&=\vr(u_0, v_0), & P_1&=\vr(u_0+\dee{u}, v_0). \end{alignat*}

Posons maintenant

\begin{equation*} \vR(t) = \vr(u_0+t\dee{U},\,v_0+t\dee{V}), \end{equation*}

où $\dee{U}$ et $\dee{V}$ sont des constantes petites. Alors, le développement de Taylor donne

\begin{align*} \vr\big(u_0+\dee{U},\,v_0+\dee{V}\big) &=\vR(1)\\ &\approx \big[\vR(0) +\vR'(0)\,\big(t-0\big)\big]_{t=1}\\ &=\vr(u_0,\,v_0) +\frac{\partial\vr}{\partial u}(u_0,\,v_0)\,\dee{U} +\frac{\partial\vr}{\partial v}(u_0,\,v_0)\,\dee{V}. \end{align*}

On recommence trois fois : une première avec $\dee{U}=\dee{u}\text{,}$ $\dee{V}=0\text{;}$ une deuxième avec $\dee{U}=0\text{,}$ $\dee{V}=\dee{v}\text{;}$ une troisième avec $\dee{U}=\dee{u}\text{,}$ $\dee{V}=\dee{v}\text{.}$

\begin{alignat*}{2} P_0&=\vr(u_0,\,v_0)\\ P_1&=\vr(u_0+\dee{u}, v_0) &&\approx \vr(u_0,\,v_0) +\frac{\partial\vr}{\partial u}(u_0,\,v_0)\,\dee{u}\\ P_2&=\vr(u_0, v_0+\dee{v}) &&\approx \vr(u_0,\,v_0) +\frac{\partial\vr}{\partial v}(u_0,\,v_0)\,\dee{v}\\ P_3&=\vr(u_0+\dee{u}, v_0+\dee{v}) &&\approx\vr(u_0,\,v_0) +\frac{\partial\vr}{\partial u}(u_0,\,v_0)\,\dee{u} +\frac{\partial\vr}{\partial v}(u_0,\,v_0)\,\dee{v} \end{alignat*}

Nous avons ignoré les termes de degré supérieur à deux dans le développement de Taylor. Lorsque nous prenons la limite avec $\dee{u},\dee{v}\rightarrow 0\text{,}$ ces termes ont une contribution nulle à l’intégrale que nous allons construire.

Le petit morceau de surface avec les coins $P_0\text{,}$ $P_1\text{,}$ $P_2\text{,}$ $P_3$ est approximativement un parallélogramme de côtés

\begin{align*} \overrightarrow{P_0P_1} \approx \overrightarrow{P_2P_3} &\approx \frac{\partial\vr}{\partial u}(u_0,\,v_0)\,\dee{u},\\ \overrightarrow{P_0P_2} \approx \overrightarrow{P_1P_3} &\approx \frac{\partial\vr}{\partial v}(u_0,\,v_0)\,\dee{v}. \end{align*}

L’aire de ce parallélogramme est

\begin{align*} \big|\overrightarrow{P_0P_1}\times\overrightarrow{P_0P_2}\big| &\approx \bigg|\frac{\partial\vr}{\partial u}(u_0,\,v_0)\times \frac{\partial\vr}{\partial v}(u_0,\,v_0)\bigg| \dee{u}\dee{v}. \end{align*}

De plus, $\frac{\partial\vr}{\partial u}(u_0,\,v_0)$ et $\frac{\partial\vr}{\partial v}(u_0,\,v_0)$ sont des vecteurs tangents aux courbes $\vr(t,\,v_0)$ et $\vr(u_0,\,t)$ respectivement. Ces deux courbes font partie de $\cS\text{.}$ Ainsi, $\frac{\partial\vr}{\partial u}(u_0,\,v_0)$ et $\frac{\partial\vr}{\partial v}(u_0,\,v_0)$ sont tangents à $\cS$ en $\vr(u_0,v_0)\text{,}$ et le produit vectoriel $\frac{\partial\vr}{\partial u}(u_0,\,v_0)\times \frac{\partial\vr}{\partial v}(u_0,\,v_0)$ est orthogonal à $\cS$ en $\vr(u_0,v_0)\text{.}$ Nous avons alors $\dee{S}$ et $d\vS= \vn\,\dee{S}\text{,}$ où $\vn$ est un vecteur unitaire normal à la surface.

Formule 4.7.1.

Pour une surface paramétrée par $\vr(u,v)\text{,}$

\begin{align*} d\vS= \vn\, \dee{S}& = \pm\frac{\partial\vr}{\partial u}(u,\,v)\times \frac{\partial\vr}{\partial v}(u,\,v)\ \dee{u}\dee{v},\\ \dee{S}&= \bigg|\frac{\partial\vr}{\partial u}(u,\,v)\times \frac{\partial\vr}{\partial v}(u,\,v)\bigg|\ \dee{u}\dee{v}. \end{align*}

Le signe $\pm$ dans la Formule 4.7.1 est là parce qu’il y a deux vecteurs normaux unitaires en chaque point de la surface, un de chaque côté de celle-ci. Normalement, il sera clair, par le contexte, lequel des deux nous devons choisir. Nous y reviendrons.

Graphes.

Si la surface $\cS$ est le graphe de la fonction $z = f(x,y)\text{,}$ elle peut être paramétrée assez directement au moyen de

\begin{equation*} \vr(x,y) = x\,\vi + y\,\vj + f(x,y)\,\vk. \end{equation*}

Puisque $\frac{\partial\vr}{\partial x} = \vi + \frac{\partial f}{\partial x}\,\vk$ et $\frac{\partial\vr}{\partial y} = \vj + \frac{\partial f}{\partial y}\,\vk \text{,}$ nous avons

\begin{equation*} \frac{\partial\vr}{\partial x}\times \frac{\partial\vr}{\partial y} =\det\left[\begin{matrix} \vi & 1 & 0 \\ \vj & 0 & 1 \\ \vk & \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \end{matrix}\right] = -f_x(x,y)\,\vi - f_y(x,y)\,\vj + \vk. \end{equation*}

Ainsi, la Formule 4.7.1 donne:

Formule 4.7.2.

Pour la surface $z=f(x,y)\text{,}$

\begin{align*} d\vS= \vn\, \dee{S}& = \pm\big[-f_x(x,y)\,\vi - f_y(x,y)\,\vj + \vk\big]\ \dee{x}\dee{y},\\ \dee{S}&= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \dee{x}\dee{y}. \end{align*}

De la même façon, pour la surface $x=g(y,z)\text{,}$

\begin{align*} d\vS= \vn\, \dee{S}& = \pm\big[\vi -g_y(y,z)\,\vj - g_z(y,z)\,\vk\big]\ \dee{y}\dee{z},\\ \dee{S}&= \sqrt{1 + g_y(y,z)^2 + g_z(y,z)^2}\ \dee{y}\dee{z}, \end{align*}

et pour la surface $y=h(x,z)\text{,}$

\begin{align*} d\vS= \vn\, \dee{S}& = \pm\big[-h_x(x,z)\,\vi +\vj - h_z(x,z)\,\vk\big]\ \dee{x}\dee{z},\\ \dee{S}&= \sqrt{1 + h_x(x,z)^2 + h_z(x,z)^2}\ \dee{x}\dee{z}. \end{align*}

À nouveau, dans une application donnée, on mettra un soin particulier lors du choix pour le vecteur $\vn\text{.}$

La formule $\dee{S}= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \dee{x}\dee{y}$ dans la Formule 4.7.2 admet une interprétation géométrique. Le parallélogramme rouge dans la figure ci-bas représente une petite portion de la surface.

Son aire est $\dee{S}= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \dee{x}\dee{y}\text{.}$ Le parallélogramme bleu est la projection du rouge dans le plan $Oxy\text{.}$ Le vecteur $\vn $ est un vecteur normal unitaire pour le parallélogramme rouge. Il est parallèle à

\begin{equation*} \frac{\partial\vr}{\partial x}\times \frac{\partial\vr}{\partial y} = -f_x(x,y)\,\vi - f_y(x,y)\,\vj + \vk, \end{equation*}

de sorte que l’angle $\theta$ formé par $\vn$ et $\vk$ vérifie

\begin{align*} \cos\theta &= \frac{(-f_x(x,y)\,\vi - f_y(x,y)\,\vj + \vk)\cdot\vk} {\big|-f_x(x,y)\,\vi - f_y(x,y)\,\vj + \vk\big|\,|\vk|}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}}. \end{align*}

L’interprétation géométrique de $\dee{S}= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \dee{x}\dee{y}$ est que l’aire $\dee{S}$ d’un petit morceau de surface est donnée par l’aire de sa projection sur le plan $Oxy$ multipliée par le facteur $\frac{1}{\cos\theta}\text{,}$ où $\theta$ est l’angle formé par $\vn$ (qui est orthogonal à la surface) et par $\vk$ (qui est orthogonal au plan $Oxy$). Notons que

lorsque $\theta$ est près de zéro, ce qui correspond à dire que $f$ est presque constante et donc que notre surface est à peu près parallèle au plan $Oxy\text{,}$ $\dee{S}$ se réduit, essentiellement, à $\dee{x}\dee{y}\text{;}$
lorsque $\theta\rightarrow\frac{\pi}{2}\text{,}$ ce qui correspond à dire que $f_x$ ou $f_y$ deviennent très grandes en valeur absolue et donc que notre surface est perpendiculaire au plan $Oxy\text{,}$ $\dee{S}$ devient “infini fois” $\dee{x}\dee{y}\text{.}$ Dans ce cas, nous devrions représenter notre surface plutôt sous la forme $x=g(y,z)$ ou $y=h(x,z)\text{.}$

Surfaces données implicitement.

Pour terminer, supposons que la surface est donnée sous la forme $G(x,y,z)=K\text{,}$ où $K$ est une constante. Supposons de plus que, en un point sur la surface, nous avons $\frac{\partial G}{\partial z} \ne 0\text{.}$ Alors, le Théorème 2.5.10 nous dit qu’il existe une fonction $f(x,z)$ telle que $z= f(x,y)$ vérifie

\begin{equation*} G\big(x,y,f(x,y)\big) = K. \end{equation*}

La dérivation donne alors, grâce au théorème des fonctions composées,

\begin{alignat*}{2} 0&=\frac{\partial}{\partial x}\Big[G\big(x,y,f(x,y)\big)\Big] &\ =\ G_x\big(x,y,f(x,y)\big) + G_z\big(x,y,f(x,y)\big)\,f_x(x,y),\\ 0&=\frac{\partial}{\partial y}\Big[G\big(x,y,f(x,y)\big)\Big] &\ =\ G_y\big(x,y,f(x,y)\big) + G_z\big(x,y,f(x,y)\big)\,f_y(x,y), \end{alignat*}

ce qui, à son tour, entraîne

\begin{gather*} f_x(x,y) = -\frac{G_x\big(x,y,f(x,y)\big)}{G_z\big(x,y,f(x,y)\big)}, \qquad f_y(x,y) = -\frac{G_y\big(x,y,f(x,y)\big)}{G_z\big(x,y,f(x,y)\big)} \end{gather*}

\begin{align*} -f_x(x,y)\,\vi - f_y(x,y)\,\vj + \vk &=\frac{G_x\big(x,y,f(x,y)\big)}{G_z\big(x,y,f(x,y)\big)}\,\vi+ \frac{G_y\big(x,y,f(x,y)\big)}{G_z\big(x,y,f(x,y)\big)}\,\vj+\vk\\ &=\frac{\vnabla G\big(x,y,f(x,y)\big)}{G_z\big(x,y,f(x,y)\big)}. \end{align*}

Ainsi, il vient de la Formule 4.7.1 les formules suivantes.

Formule 4.7.3.

Pour la surface $G(x,y,z)=K\text{,}$ lorsque $G_z(x,y,z)\ne 0\text{,}$

\begin{align*} d\vS= \vn\, \dee{S}& = \pm\frac{\vnabla G\big(x,y,z\big)}{\vnabla G\big(x,y,z\big)\cdot\vk}\ \dee{x}\dee{y},\\ \dee{S}&= \bigg|\frac{\vnabla G\big(x,y,z\big)}{\vnabla G\big(x,y,z\big)\cdot\vk}\bigg|\ \dee{x}\dee{y}. \end{align*}

De même, pour $G(x,y,z)=K\text{,}$ lorsque $G_x(x,y,z)\ne 0\text{,}$

\begin{align*} d\vS= \vn\, \dee{S}& = \pm\frac{\vnabla G\big(x,y,z\big)}{\vnabla G\big(x,y,z\big)\cdot\vi}\ \dee{y}\dee{z},\\ \dee{S}&= \bigg|\frac{\vnabla G\big(x,y,z\big)}{\vnabla G\big(x,y,z\big)\cdot\vi}\bigg|\ \dee{y}\dee{z}, \end{align*}

et pour la surface $G(x,y,z)=K\text{,}$ lorsque $G_y(x,y,z)\ne 0\text{,}$

\begin{align*} d\vS= \vn\, \dee{S}& = \pm\frac{\vnabla G\big(x,y,z\big)}{\vnabla G\big(x,y,z\big)\cdot\vj}\ \dee{x}\dee{z},\\ \dee{S}&= \bigg|\frac{\vnabla G\big(x,y,z\big)}{\vnabla G\big(x,y,z\big)\cdot\vj}\bigg|\ \dee{x}\dee{z}. \end{align*}

Si, en un point $(x_0,y_0,z_0)\text{,}$ nous avons $G_x(x_0,y_0,z_0)= G_y(x_0,y_0,z_0)= G_z(x_0,y_0,z_0)= 0\text{,}$ nous aurons un problème. Très souvent, ceci est signe que notre surface n’est pas lisse en $(x_0,y_0,z_0)$ et donc que nous n’avons pas un vecteur normal défini sans ambiguïté. On pourra voir l’Exemple 4.6.7.

Afin d’illustrer les différentes méthodes, dans les exemples qui suivent, nous considérons la sphère $x^2 + y^2 + z^2= a$ (avec $a \gt 0$) et nous calculons l’aire de la portion vérifiant $z\leqslant 0\text{.}$ On se souvient probablement de l’enseignement secondaire que l’aire cherchée est $\frac{1}{2}\times 4\pi a^2=2\pi a^2\text{.}$ Nous allons voir pourquoi ceci est vrai. Notons pour commencer que, puisque $x^2+y^2 = a^2-z^2$ sur l’hémisphère, l’ensemble des $(x,y)$ pour lesquels il existe une valeur de $z$ telle que $(x,y,z)$ se trouve sur l’hémisphère est exactement $\Set{(x,y)\in\R^2}{x^2+y^2\leqslant a^2}\text{.}$

Exemple 4.7.4. Aire d’hémisphère, avec les coordonnées cylindriques.

Commençons par paramétrer l’hémisphère $x^2+y^2+z^2=a^2\text{,}$ $z\geqslant 0\text{,}$ en utilisant les coordonnées polaires $r\text{,}$ $\theta$ comme paramètres.

\begin{align*} x &= r\cos\theta\\ y &= r\sin\theta\\ z &= z \end{align*}

Puis, on applique la Formule 4.7.1. En coordonnées cylindriques, l’équation $x^2+y^2+z^2=a^2$ devient $r^2+z^2=a^2\text{,}$ et la condition $x^2+y^2\leqslant a^2$ est $0\leqslant r\leqslant a\text{,}$ $0\leqslant \theta \lt 2\pi\text{.}$

Ainsi, l’hémisphère peut être paramétré par

\begin{align*} &\big(x(r,\theta),\, y(r,\theta),\, z(r,\theta)\big) =\big(r\cos\theta,\,r\sin\theta,\,\sqrt{a^2-r^2}\,\big)\\ &\hskip1in\text{avec }\ 0\leqslant r\leqslant a,\ 0\leqslant \theta \lt 2\pi. \end{align*}

Remarquons que nous avons choisi la solution positive $z=\sqrt{a^2-r^2}$ de $r^2+z^2=a^2$ afin de satisfaire $z\geqslant 0\text{.}$ Puisque

\begin{align*} \Big(\frac{\partial x}{\partial r},\,\frac{\partial y}{\partial r},\, \frac{\partial z}{\partial r}\Big), &=\Big(\cos\theta,\,\sin\theta,\,-\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}\Big)\\ \Big(\frac{\partial x}{\partial\theta},\,\frac{\partial y}{\partial\theta} ,\, \frac{\partial z}{\partial\theta}\Big) &=(-r\sin\theta,\,r\cos\theta,\,0), \end{align*}

la Formule 4.7.1 donne

\begin{align*} \vn\,\dee{S} &=\pm\Big(\frac{\partial x}{\partial r},\,\frac{\partial y}{\partial r} ,\,\frac{\partial z}{\partial r}\Big) \times \Big(\frac{\partial x}{\partial\theta},\,\frac{\partial y}{\partial\theta} ,\, \frac{\partial z}{\partial\theta}\Big) \ \dee{r}\dee{\theta}\\ &=\pm \det\left[\begin{matrix} \vi & \vj & \vk \\ \cos\theta & \sin\theta & -\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}} \\ -r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{matrix}\right]\ \dee{r}\dee{\theta}\\ &=\pm\Big(\frac{r^2\cos\theta}{\sqrt{a^2-r^2}},\, \frac{r^2\sin\theta}{\sqrt{a^2-r^2}},\, r\Big)\ \dee{r}\dee{\theta},\\ \dee{S}&=\sqrt{ \frac{r^4}{a^2-r^2} +r^2}\ \dee{r}\dee{\theta} =\sqrt{ \frac{a^2r^2}{a^2-r^2}}\ \dee{r}\dee{\theta} =\frac{ar}{\sqrt{a^2-r^2}}\ \dee{r}\dee{\theta}. \end{align*}

Ainsi, l’aire de l’hémisphère est

\begin{align*} \int_0^a \dee{r}\int_0^{2\pi}\dee{\theta}\ \frac{ar}{\sqrt{a^2-r^2}} &=2\pi a\int_0^a \dee{r}\ \frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}\\ &=2\pi a\int_{a^2}^0 \frac{-\dee{u}/2}{\sqrt{u}}\\ &\hskip1in\text{avec } u=a^2-r^2,\ \dee{u} = -2r\,\dee{r}\\ &=2\pi a\Big[-\sqrt{u}\Big]_{a^2}^0\\ &=2\pi a^2, \end{align*}

comme on s’y attendait.

Exemple 4.7.5. Aire de l’hémisphère comme surface de niveau.

Cette fois, nous calculons l’aire de l’hémisphère en exploitant le fait que si $(x,y,z)$ s’y trouve, alors $G(x,y,z) = a^2$ lorsque $G(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\text{.}$ Puisque

\begin{equation*} \vnabla G(x,y,z) = \big(2x,\,2y,\,2z\big), \end{equation*}

la Formule 4.7.3 donne

\begin{align*} \dee{S} &= \bigg|\frac{\vnabla G\big(x,y,z\big)}{\vnabla G\big(x,y,z\big)\cdot\vk}\bigg| \ \dee{x}\dee{y}\\ &= \bigg|\frac{\big(2x,\,2y,\,2z\big)}{2z}\bigg| \ \dee{x}\dee{y}\\ &= \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{|z|} \ \dee{x}\dee{y}\\ &= \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \ \dee{x}\dee{y} \qquad\text{sur } x^2+y^2+z^2=a^2. \end{align*}

Ainsi, l’aire est $\displaystyle \iint_{x^2+y^2\leqslant a^2}\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \ \dee{x}\dee{y} \text{.}$ Afin d’évaluer l’intégrale, on passe aux coordonnées polaires, en remplaçant $x=r\cos\theta\text{,}$ $y=r\sin\theta\text{.}$ Ceci donne

\begin{align*} \text{Aire} &=\iint_{x^2+y^2\leqslant a^2}\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \ \dee{x}\dee{y} =\int_0^a \int_0^{2\pi} \frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}} r\, dr\, d\theta\\ &=2\pi a \int_0^a \frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}\dee{r}. \end{align*}

Nous avons déjà vu, à l’Exemple 4.7.4, que la valeur de cette intégrale est $2\pi a^2\text{.}$

Exemple 4.7.6. Aire de l’hémisphère, avec les coordonnées sphériques.

Clairement, “intégrer sur une sphère” est quelque chose qui suggère fortement de passer aux coordonnées sphériques. Nous utilisons les coordonnées sphériques pour paramétrer l’hémisphère $x^2+y^2+z^2=a^2\text{,}$ $z\geqslant 0\text{.}$ Les paramètres seront les angles $\theta\text{,}$ $\varphi\text{,}$ puisque le rayon est fixé.

\begin{align*} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta\\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta\\ z&=\rho\cos\varphi \end{align*}

Puis, on applique la Formule 4.7.1. En coordonnées sphériques, l’équation $x^2+y^2+z^2=a^2$ devient $\rho^2=a^2\text{,}$ et la condition $z\geqslant 0$ est $0\leqslant \varphi\leqslant \frac{\pi}{2}\text{,}$ $0\leqslant \theta \lt 2\pi\text{.}$ Ainsi, l’hémisphère peut être paramétré

En fait, les coordonnées sphériques présentent un problème lorsque $\varphi=0\text{,}$ puisque $\rho=1\text{,}$ $\varphi=0$ donnent le même point, à savoir le pôle nord $(0,0,1)\text{,}$ pour toutes les valeurs de $\theta\text{.}$ Nous devrions, en toute rigueur, traiter notre intégrale comme une intégrale impropre, en intégrant d’abord sur $\veps \lt \varphi\leqslant \frac{\pi}{2}$ puis en prenant la limite $\veps\rightarrow 0^+\text{.}$ Cependant, cette faille à $\varphi=0\text{,}$ tout comme celle des coordonnées polaires à $r=0\text{,}$ cause rarement des ennuis, et il est souvent routinier de sauter par-dessus l’étape de l’intégrale impropre.

par

\begin{align*} &\big(x(\theta,\varphi),\, y(\theta,\varphi),\, z(\theta,\varphi)\big) =\big(a\sin\varphi\cos\theta,\,a\sin\varphi\sin\theta,\,a\cos\varphi\big)\\ & 0\leqslant \varphi\leqslant \frac{\pi}{2},\ 0\leqslant \theta \lt 2\pi. \end{align*}

Puisque

\begin{align*} \Big(\frac{\partial x}{\partial\theta},\, \frac{\partial y}{\partial\theta},\, \frac{\partial z}{\partial\theta}\Big), &=\big(-a\sin\varphi\sin\theta,\, a\sin\varphi\cos\theta,\,0\big)\\ \Big(\frac{\partial x}{\partial\varphi},\,\frac{\partial y}{\partial\varphi} ,\, \frac{\partial z}{\partial\varphi}\Big) &=(a\cos\varphi\cos\theta,\,a\cos\varphi\sin\theta,\,-a\sin\varphi), \end{align*}

la Formule 4.7.1 donne

\begin{align*} &\vn\,\dee{S} =\pm\Big(\frac{\partial x}{\partial\theta},\, \frac{\partial y}{\partial\theta},\, \frac{\partial z}{\partial\theta}\Big) \times \Big(\frac{\partial x}{\partial\varphi},\,\frac{\partial y}{\partial\varphi} ,\, \frac{\partial z}{\partial\varphi}\Big) \ \dee{\theta}\dee{\varphi}\\ &=\pm \big(\!-a\sin\varphi\sin\theta, a\sin\varphi\cos\theta,0\big) \!\times\! (a\cos\varphi\cos\theta,a\cos\varphi\sin\theta,-a\sin\varphi) \,\dee{\theta}\dee{\varphi}\\ &=\pm\big(-a^2\sin^2\varphi\cos\theta,\, -a^2\sin^2\varphi\sin\theta,\, -a^2\sin\varphi\cos\varphi\Big)\ \dee{\theta}\dee{\varphi}\\ &=\mp a^2\sin\varphi \big(\sin\varphi\cos\theta,\, \sin\varphi\sin\theta,\, \cos\varphi\Big)\ \dee{\theta}\dee{\varphi} \end{align*}

\begin{align*} \dee{S}&=a^2\sin\varphi \sqrt{\sin^2\varphi\cos^2\theta +\sin^2\varphi\sin^2\theta +\cos^2\varphi}\ \dee{\theta}\dee{\varphi}\\ &=a^2\sin\varphi\ \dee{\theta}\dee{\varphi}, \end{align*}

de sorte que l’aire de l’hémisphère est

\begin{align*} a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2\pi} \sin\varphi\, \dee{\theta}\ \dee{\varphi} &=2\pi a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi\, \dee{\varphi } =2\pi a^2\Big[-\cos\varphi\Big]_0^{\pi/2}\\ &=2\pi a^2. \end{align*}

Exemple 4.7.7. Aire de l’hémisphère comme graphe.

Nous calculons l’aire de l’hémisphère une fois de plus, cette fois en utilisant le fait que l’équation de cette surface est

\begin{equation*} z=f(x,y) = \sqrt{a^2-x^2-y^2} \qquad\text{avec $(x,y)$ tel que $x^2+y^2\leqslant a^2$}. \end{equation*}

Ainsi, la Formule 4.7.2 donne

\begin{align*} \dee{S}&= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \dee{x}\dee{y}\\ &=\sqrt{1+\Big(\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\Big)^2 +\Big(\frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\Big)^2} \ \dee{x}\dee{y}\\ &=\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{a^2-x^2-y^2}} \ \dee{x}\dee{y}\\ &=\sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}} \ \dee{x}\dee{y}, \end{align*}

de sorte que l’aire est $\iint_{x^2+y^2\leqslant a^2}\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \ \dee{x}\dee{y} \text{.}$ Nous avons déjà trouvé, à l’Exemple 4.7.5, que la valeur de cette intégrale est $2\pi a^2\text{.}$

Faisons maintenant quelques exemples avec un intégrande différent de 1.

Exemple 4.7.8.

Calculer $\ \iint_{\cS} x^2y^2z^2\ dS\text{,}$ où $\cS$ est la portion du cône $x^2+y^2=z^2$ vérifiant $0\leqslant z\leqslant 1\text{.}$

Solution 1.

Nous pouvons exprimer $\cS$ comme

\begin{equation*} z=f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}\qquad x^2+y^2\leqslant 1. \end{equation*}

Mais, puisque

\begin{equation*} f_x(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\qquad f_y(x,y) = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \end{equation*}

la Formule 4.7.2 donne

\begin{equation*} \dee{S} = \Big[1 + \frac{x^2}{x^2+y^2} + \frac{y^2}{x^2+y^2}\Big]^{1/2} \ \dee{x}\dee{y} =\sqrt{2}\,\dee{x}\dee{y}, \end{equation*}

Notre intégrale est donc

\begin{align*} \iint_{\cS} x^2y^2z^2\ dS &=\sqrt{2}\iint_{x^2+y^2\leqslant 1} x^2 y^2 (x^2+y^2)\ \dee{x}\dee{y}. \end{align*}

Puisque nous intégrons sur une région circulaire, nous passons aux coordonnées polaires.

\begin{align*} \iint_{\cS} x^2y^2z^2\ dS &=\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\dee{\theta}\int_0^1 \dee{r} \ r(r\cos\theta)^2(r\sin\theta)^2 r^2\\ &=\sqrt{2} \left[\int_0^{2\pi}\dee{\theta}\ \cos^2\theta \sin^2\theta\right] \left[\int_0^1 \dee{r} \ r^7\right]\\ &=\frac{\sqrt{2}}{8} \int_0^{2\pi}\dee{\theta}\ \cos^2\theta \sin^2\theta =\frac{\sqrt{2}}{32} \int_0^{2\pi}\dee{\theta}\ \sin^2(2\theta)\\ &=\frac{\sqrt{2}}{64} \int_0^{2\pi}\dee{\theta}\ \big[1-\cos(4\theta)\big] \end{align*}

Rappelons que les intégrales de $\cos(\theta)\text{,}$ ou $\cos(4\theta)\text{,}$ sur une période complète valent $0\text{.}$ Nous obtenons

\begin{equation*} \iint_{\cS} x^2y^2z^2\ dS = \frac{\sqrt{2}}{64}(2\pi) =\frac{\pi\sqrt{2}}{32}. \end{equation*}

Solution 2.

Nous pouvons paramétrer le cône par

\begin{align*} \vr(z,\theta) &= z\cos\theta\,\vi + z\sin\theta\,\vj + z\,\vk \qquad 0\leqslant z\leqslant 1,\ 0\leqslant \theta\leqslant 2\pi. \end{align*}

Alors, puisque

\begin{gather*} \frac{\partial\vr}{\partial z} = \cos\theta\,\vi + \sin\theta\,\vj + \vk \qquad\text{et}\qquad \frac{\partial\vr}{\partial\theta} = -z\sin\theta\,\vi + z\cos\theta\,\vj, \end{gather*}

la Formule 4.7.1 donne

\begin{align*} \vn\,\dee{S} &=\pm\det\left[\begin{matrix} \vi & \vj & \vk \\ \cos\theta & \sin\theta & 1 \\ -z\sin\theta & z\cos\theta & 0 \end{matrix}\right]\,\dee{z}\dee{\theta}\\ &=\pm\big[-z\cos\theta\,\vi - z\sin\theta\,\vj + z\,\vk\big]\ \dee{z}\dee{\theta},\\ \dee{S}&= \sqrt{2} z\ \dee{z}\dee{\theta}. \end{align*}

Ainsi, notre intégrale devient

\begin{align*} \iint_{\cS} x^2y^2z^2\ dS &= \sqrt{2}\int_0^{2\pi}\dee{\theta} \int_0^1\dee{z}\ z (z\cos\theta)^2 (z\sin\theta)^2 z^2\\ &= \sqrt{2}\int_0^{2\pi}\dee{\theta} \int_0^1\dee{z}\ z^7 \cos^2\theta \sin^2\theta\\ &=\frac{\sqrt{2}}{8} \int_0^{2\pi}\dee{\theta}\ \cos^2\theta \sin^2\theta. \end{align*}

Nous avons déjà évalué cette intégrale dans notre première solution, nous obtenons donc, à nouveau,

\begin{equation*} \iint_{\cS} x^2y^2z^2\ dS =\frac{\pi\sqrt{2}}{32}. \end{equation*}

Faisons quelque chose d’un peu plus céleste.

Exemple 4.7.9.

Considérons une coquille sphérique de rayon $a$ et de densité de masse $\mu$ par unité d’aire. Pensons à une planète creuse. Nous allons déterminer la force gravitationnelle que la planète exerce sur une particule de masse $m$ qui se trouve à une distance $b$ du centre de la planète. La particule peut se trouver soit à l’extérieur de la coquille ($b \gt a$), soit à l’intérieur de celle-ci ($b \lt a$). Nous choisissons notre système de coordonnées de sorte à ce que l’origine se trouve au centre de la coquille, et la particule à $(0,0,b)\text{.}$ En vertu de la loi de gravitation, la force exercée sur la particule par une petite portion de surface d’aire $\dee{S}$ située à $\vr$ est

\begin{equation*} \frac{G\,(\mu\dee{S})\,m}{|\vr-(0,0,b)|^3}(\vr-(0,0,b)). \end{equation*}

Ici, $G$ est la constante gravitationnelle, $\mu\dee{S}$ est la masse de la portion de surface, $m$ est la masse de la particule

et $\vr-(0,0,b)$ est le vecteur de la particule à la portion de surface. Nous travaillons en coordonnées sphériques, comme nous l’avons fait à l’Exemple 4.7.6.

\begin{align*} \dee{S} &= a^2\sin\varphi\,\dee{\varphi}\dee{\theta} \end{align*}

\begin{align*} \vr &= a\sin\varphi\cos\theta\,\vi + a\sin\varphi\sin\theta\,\vj + a\cos\varphi\,\vk\\ \vr-(0,0,b) &= a\sin\varphi\cos\theta\,\vi + a\sin\varphi\sin\theta\,\vj + (a\cos\varphi-b)\,\vk\\ |\vr-(0,0,b)|^2 &= a^2+b^2 -2ab\cos\varphi \end{align*}

La force totale est alors

\begin{gather*} \vF = G\mu m a^2\int_0^\pi\!\!\dee{\varphi} \int_0^{2\pi}\!\!\dee{\theta}\ \sin\varphi\ \frac{a\sin\varphi\cos\theta\,\vi \!+\! a\sin\varphi\sin\theta\,\vj \!+\! (a\cos\varphi\!-\!b)\,\vk} {\big[a^2+b^2 -2ab\cos\varphi\big]^{3/2}}. \end{gather*}

Notons, pour référence future, que la racine carrée dans $[a^2+b^2 -2ab\cos\varphi]^{3/2}$ est la racine carrée positive puisque $[b^2+a^2 -2ab\cos\varphi]^{1/2}$ est la norme de $\vr-(0,0,b)\text{.}$

Cette intégrale est un peu différente de celles que nous avons rencontrées jusqu’à présent. En effet, maintenant, l’intégrande est un vecteur. Par définition, $\iint (\vA+\vB)\,\dee{S} = \iint \vA\,\dee{S} + \iint\vB\,\dee{S}\text{,}$

\begin{equation*} \iint_{\cS} \big[G_1\,\vi + G_2\,\vj + G_3\,\vk \big]\ \dee{S} =\vi \iint_{\cS} G_1\ \dee{S} +\vj \iint_{\cS} G_2\ \dee{S} +\vk \iint_{\cS} G_3\ \dee{S}. \end{equation*}

Ainsi, nous devons simplement calculer les trois composantes séparément.

Dans notre cas, les composantes $\vi$ et $\vj$ sont nulles. En effet,

\begin{align*} \vF\cdot\vi & = G\mu m a^2 \int_0^\pi\dee{\varphi} \left[ \sin\varphi\ \frac{a\sin\varphi} {\big[a^2+b^2 -2ab\cos\varphi\big]^{3/2}} \int_0^{2\pi}\dee{\theta}\ \cos\theta \right],\\ \vF\cdot\vj & = G\mu m a^2\int_0^\pi\dee{\varphi}\left[ \sin\varphi\ \frac{a\sin\varphi} {\big[a^2+b^2 -2ab\cos\varphi\big]^{3/2}} \int_0^{2\pi}\dee{\theta}\ \sin\theta \right] \end{align*}

sont toutes les deux nulles puisque $\int_0^{2\pi}\cos\theta\ \dee{\theta} =\int_0^{2\pi}\sin\theta\ \dee{\theta} =0\text{.}$ Ainsi,

\begin{align*} \vF &= G\mu m a^2 \vk\int_0^\pi\dee{\varphi} \int_0^{2\pi}\dee{\theta}\ \sin\varphi\ \frac{a\cos\varphi-b} {\big[a^2+b^2 -2ab\cos\varphi\big]^{3/2}}\\ &= 2\pi G\mu m a^2 \vk\int_0^\pi\dee{\varphi}\ \sin\varphi\ \frac{a\cos\varphi-b} {\big[a^2+b^2 -2ab\cos\varphi\big]^{3/2}}. \end{align*}

Pour évaluer cette intégrale, nous remplaçons

\begin{gather*} u=a^2+b^2 -2ab\cos\varphi,\qquad \dee{u} = 2ab\sin\varphi,\,\dee{\varphi}\qquad \cos\varphi = \frac{a^2+b^2-u}{2ab}. \end{gather*}

Lorsque $\varphi=0\text{,}$ $u=(a-b)^2\text{,}$ et lorsque $\varphi =\pi\text{,}$ $u=(a+b)^2\text{,}$ alors

\begin{align*} \vF &= \frac{\pi G\mu m a}{b} \vk\int_{(a-b)^2}^{(a+b)^2} \dee{u}\ \frac{\frac{a^2+b^2-u}{2b}-b} {u^{3/2}}\\ &= \frac{\pi G\mu m a}{b} \vk\int_{(a-b)^2}^{(a+b)^2} \dee{u}\ \frac{\frac{a^2-b^2-u}{2b}} {u^{3/2}}\\ &= \frac{\pi G\mu m a}{b} \vk\Big[ \Big(\frac{a^2-b^2}{2b}\Big)\frac{u^{-1/2}}{-1/2} -\Big(\frac{1}{2b}\Big)\frac{u^{1/2}}{1/2} \Big]_{(a-b)^2}^{(a+b)^2}. \end{align*}

Puisque $u^{1/2}$ est la racine positive,

\begin{align*} \vF&=\frac{\pi G\mu m a}{b} \vk\Big[ \Big(\frac{b^2-a^2}{b}\Big)\frac{1}{a+b} -\frac{a+b}{b} -\Big(\frac{b^2-a^2}{b}\Big)\frac{1}{|a-b|} +\frac{|a-b|}{b} \Big]. \end{align*}

Si $b \gt a\text{,}$ on aura $|a-b|=b-a$ :

\begin{align*} \vF&=\frac{\pi G\mu m a}{b} \vk\Big[ \frac{b-a}{b} -\frac{a+b}{b} -\frac{a+b}{b} +\frac{b-a}{b} \Big] =-\frac{G(4\pi a^2\mu)m}{b^2} \vk. \end{align*}

Si $b \lt a\text{,}$ on aura $|a-b|=a-b$ :

\begin{align*} \vF&=\frac{\pi G\mu m a}{b} \vk\Big[ \frac{b-a}{b} -\frac{a+b}{b} +\frac{a+b}{b} +\frac{a-b}{b} \Big] =0. \end{align*}

La morale de cette histoire

Ces deux résultats sont parus dans le Principia Mathematica (1687) de Newton.

est que

si la particule se trouve à l’intérieur de la coquille, elle ne ressentira aucune force gravitationnelle et,
si la particule se trouve à l’extérieur de la coquille, elle ressentira la force gravitationnelle comme si toute la masse ($4\pi a^2\mu$) de la coquille était concentrée au centre de celle-ci.

Sous-section Intégrales de flux

Nous avons défini ci-haut deux types d’intégrales de surface. Nous avons vu quelques exemples d’intégrales de la forme $\displaystyle \iint_{\cS} \rho\,\dee{S}\text{.}$ Nous nous concentrons maintenant sur une application des intégrales de la forme $\displaystyle \iint_{\cS} \vF\cdot\vn\,\dee{S}\text{.}$ Ces intégrales sont appelées intégrales de flux, nous allons voir pourquoi. Imaginons un fluide tel que

sa densité en, disons, kilogrammes par mètre cube à la position $(x,y,z)$ et au temps $t$ est $\rho(x,y,z,t)\text{,}$ et
la vitesse avec laquelle le fluide bouge (disons en mètres par seconde) à la position $(x,y,z)$ et au temps $t$ est $\vv(x,y,z,t)\text{.}$

Nous allons calculer le taux (disons en kilogrammes par seconde) avec lequel le fluide passe à travers une portion $\dee{S}$ de surface à $(x,y,z)\text{.}$ Pendant un court laps de temps, de durée $\dee{t}$ au temps $t\text{,}$ le fluide près de $\dee{S}$ bouge de $\vv(x,y,z,t)\dee{t}\text{.}$ La ligne verte dans la figure ci-bas est une vision latérale de $\dee{S}\text{,}$ et $\vn =\vn (x,y,z)$ est un vecteur unitaire normal à $\dee{S}\text{.}$

Ainsi, pendant ce court laps de temps,

la ligne rouge bouge vers la verte, et
la ligne verte bouge vers la bleue, de sorte que
le fluide qui remplit la section gris foncé, en dessous de la ligne verte, passe à travers $\dee{S}$ et bouge vers la région gris pâle, au-dessus de la ligne verte.

Soit $\theta$ l’angle formé par $\vn $ et $\vv\dee{t}\text{,}$ de sorte que

le volume de fluide qui passe à travers $\dee{S}$ pendant ce laps de temps $\dee{t}$ est le volume qui occupe la portion en gris foncé, en dessous de la ligne verte. Cette région a pour base $\dee{S}$ et pour hauteur $|\vv\dee{t}|\cos\theta\text{,}$ de sorte que son volume est
\begin{equation*} |\vv(x,y,z,t)\dee{t}|\cos\theta\ \dee{S} =\vv(x,y,z,t)\cdot\vn (x,y,z)\,\dee{t}\,\dee{S} \end{equation*}
puisque $\vn(x,y,z)$ est unitaire.
La masse de fluide qui traverse $\dee{S}$ pendant ce laps de temps de durée $\dee{t}$ est donc
\begin{equation*} \rho(x,y,z,t)\vv(x,y,z,t)\cdot\vn (x,y,z)\,\dee{t}\,\dee{S}, \end{equation*}
et le taux avec lequel le fluide traverse la surface $\dee{S}$ est
\begin{equation*} \rho(x,y,z,t)\vv(x,y,z,t)\cdot\vn (x,y,z)\,\dee{S}. \end{equation*}

Lorsque nous intégrons $\dee{S}$ sur la surface $\cS\text{,}$ nous arrivons à la conclusion suivante.

Lemme 4.7.10.

Le taux avec lequel le fluide (en masse) traverse la surface $\cS$ est l’intégrale

\begin{equation*} \iint_{\cS} \rho(x,y,z,t)\vv(x,y,z,t)\cdot\vn (x,y,z)\,\dee{S}. \end{equation*}

Ici, $\rho$ est la densité du fluide, $\vv$ le champ de vitesses, et $\vn (x,y,z)$ un vecteur normal unitaire à $\cS$ en $(x,y,z)\text{.}$ Si l’intégrale de flux est positive, le fluide traverse dans la direction de $\vn \text{.}$ Si le flux est négatif, le fluide traverse dans la direction opposée à celle de $\vn\text{.}$ Le taux avec lequel le fluide traverse la surface $\cS$ est l’intégrale

\begin{equation*} \iint_{\cS} \vv(x,y,z,t)\cdot\vn (x,y,z)\,\dee{S}. \end{equation*}

Plus généralement, nous définissons les intégrales de flux des champs de vecteurs à travers une surface orientée en s’inspirant de ce qui précède.

Définition 4.7.11.

Soit $\cS$ une surface lisse orientée par un vecteur $\vn$ et $\vF$ un champ de vecteurs de classe $C^1$ défini sur une région dont l’intérieur contient $\cS\text{.}$ Alors, l’intégrale de flux de $\vF$ à travers $\cS$ est définie comme

\begin{equation*} \iint_{\cS} \vF \cdot d\vS = \iint_{\cS} \vF \cdot \vn \, dS. \end{equation*}

Naturellement, la formule explicite à utiliser pour effectuer le calcul dépendra de la façon dont la surface $\cS$ est spécifiée : surface paramétrique (formule 4.7.1), graphe (formule 4.7.2) ou surface donnée implicitement (formule 4.7.3).

Formule 4.7.12.

Soit $\cS$ une surface lisse et $\vF = P\,\vi + Q\, \vj + R\, \vk$ un champ de vecteurs. Alors,

si $\cS$ est donnée paramétriquement par $\vr(u,v)$ pour $(u,v) \in \cR\text{,}$ alors le vecteur normal unitaire est $\pm \frac{\vr_u \times \vr_v}{|\vr_u \times \vr_v|}\text{,}$ et donc

\begin{align} \iint_{\cS} \vF \cdot d\vS \amp =\pm \iint_{\cR}\vF \cdot (\vr_u \times \vr_v)\, dA. \tag{✶} \end{align}

Ici, $dA$ réfère à l’élément différentiel dans l’espace des paramètres, c’est donc $du\, dv$ ou $dv\, du\text{.}$
Si $\cS$ est un graphe donné par $z=f(x,y)$ pour $(x,y)\in \cR\text{,}$ alors $\vn = \pm \frac{-f_x \, \vi - f_y\, \vj + \vk}{\sqrt{1+f_x^2 + f_y^2}}\text{,}$ et donc

\begin{align} \iint_{\cS} \vF \cdot d\vS \amp =\pm \iint_{\cR}\vF \cdot (-f_x\vi - f_y\vj + \vk)\, dA \tag{✶✶}\\ \amp= \pm \iint_{\cR} - P\,f_x - Q\, f_y + R dA. \notag \end{align}

Ici, $dA$ réfère à l’élément différentiel dans le domaine de $f\text{,}$ c’est donc $dx\, dy$ ou $dy\, dx\text{.}$
Si $\cS$ est donnée par $G = K$ avec $G_z \ne 0$ et $\cR$ est la projection de $\cS$ sur le plan $xy\text{,}$ alors

\begin{align} \iint_{\cS} \vF \cdot d\vS \amp = \pm \iint_{\cR} \vF \cdot \frac{\vnabla G}{|\vnabla G \cdot \vk|}\, dA. \tag{✶✶✶} \end{align}

Ici, $dA$ réfère à l’élément différentiel dans le plan de la projection $\cR\text{,}$ c’est donc $dx\, dy$ ou $dy\, dx\text{.}$ Si la surface $\cS$ est projetée sur un autre des plans de coordonnées, il faudra ajuster le terme $\cdot \vk$ apparaissant dans la formule, puis $dA$ en conséquence.

Exemple 4.7.13. Source ponctuelle.

À l’Exemple 4.1.4, nous avons trouvé que le champ de vecteurs d’une source ponctuelle en trois dimensions qui crée $4\pi m$ litres par seconde est

\begin{equation*} \vv(x,y,z) = \frac{m}{r(x,y,z)^2}\,\hat\vr(x,y,z), \end{equation*}

où

\begin{equation*} r(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2},\qquad \hat\vr(x,y,z) = \frac{x\vi + y\vj + z\vk }{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}. \end{equation*}

Nous l’avons esquissé dans la Figure 4.1.5. Nous allons maintenant calculer le flux de ce champ à travers une sphère qui est centrée à l’origine. Supposons que son rayon est $R\text{.}$

Le vecteur normal unitaire pointant vers l’extérieur

Le choix du vecteur normal unitaire n’est pas important en soi, ce qui importe est de faire preuve de clarté dans la convention et dans la direction choisie.

au point $(x,y,z)$ sur la sphère est

\begin{equation*} \vn(x,y,z) = \hat\vr(x,y,z) = \frac{x\vi + y\vj + z\vk }{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \frac{x\vi + y\vj + z\vk }{R}. \end{equation*}

Notons que $\hat\vr(x,y,z)\cdot \hat\vr(x,y,z)=1$ et que, sur la sphère, $r(x,y,z)=R\text{.}$ Ainsi, le flux de $\vv$ vers l’extérieur de la sphère est

\begin{align*} \iint_{\cS}\vv\cdot\vn\ \dee{S} &= \iint_{\cS} \frac{m}{r(x,y,z)^2}\,\hat\vr(x,y,z) \cdot \hat\vr(x,y,z)\ \dee{S}\\ &= \iint_{\cS} \frac{m}{R^2}\ \dee{S} =\frac{m}{R^2} 4\pi R^2\\ &=4\pi m, \end{align*}

c’est-à-dire le taux avec lequel le volume du fluide quitte la sphère. Lorsque nous avons construit ce champ de vecteurs, nous avons pris pour acquis que le fluide est incompressible, de sorte que ce taux est le même que le taux avec lequel la source crée le fluide.

Exemple 4.7.14.

Évaluer $\ \iint_{\cS}\vF\cdot\vn \ dS\ \text{,}$ où

\begin{equation*} \vF(x,y,z) = (x+y)\,\vi + (y+z)\,\vj + (x+z)\,\vk, \end{equation*}

où $\cS$ est la frontière de $V=\Set{(x,y,z)}{0\leqslant x^2+y^2\leqslant 9,\ 0\leqslant z\leqslant 5}$ et où $\vn $ est le vecteur normal unitaire pointant vers l’extérieur

⁴

Il est nécessaire qu’un problème donné spécifie d’une façon ou d’une autre si $\vn $ pointe vers l’intérieur ou l’extérieur. Sans cela, l’expression $\ \iint_{\cS}\vF\cdot\vn \ dS\ $ est ambiguë.

de $\cS\text{.}$

Solution.

Le volume $V$ a l’air d’une boîte de conserve mince de rayon $3$ et de hauteur $5\text{.}$

Il est naturel de décomposer la surface en trois parties :

\begin{align*} \cS_t &= \Set{(x,y,z)}{0\leqslant x^2+y^2\leqslant 9,\ z= 5} = \text{le haut,}\\ \cS_b &= \Set{(x,y,z)}{0\leqslant x^2+y^2\leqslant 9,\ z= 0} = \text{le bas,}\\ S_s &= \Set{(x,y,z)}{x^2+y^2 = 9,\ 0\leqslant z\leqslant 5} = \text{le côté.} \end{align*}

Nous allons calculer le flux à travers chacune de ces portions séparément, puis nous allons additionner ces résultats.

Le haut : Sur la partie du haut, le vecteur normal unitaire qui pointe vers l’extérieur de $\cS$ est $\vn =\vk $ et $\dee{S} = \dee{x}\dee{y}\text{.}$ Ceci est probablement clair intuitivement, mais, si ce n’est pas le cas, voici les détails. La portion du haut est paramétrée par $\vr(x,y) = x\,\vi +y\,\vj + 5\,\vk $ avec $x^2+y^2\leqslant 9\text{.}$ Ainsi, le flux à travers $\cS_t$ est

\begin{align*} \iint_{S_t}\vF\cdot\vn \ \dee{S} &= \iint_{\atp{x^2+y^2\leqslant 9}{z=5}} (x+z)\ \dee{x}\dee{y} = \iint_{x^2+y^2\leqslant 9} (x+5)\ \dee{x}\dee{y}. \end{align*}

L’intégrale $\iint_{x^2+y^2\leqslant 9} x\ \dee{x}\dee{y}=0$ puisque $x$ est impaire et que le domaine d’intégration est symétrique par rapport à $x=0\text{.}$ Ainsi,

\begin{gather*} \iint_{S_t}\vF\cdot\vn \ \dee{S} = \iint_{x^2+y^2\leqslant 9} 5\ \dee{x}\dee{y} =5\pi(3)^2 =45\pi. \end{gather*}

Le bas : Sur la partie du bas, le vecteur normal unitaire pointant vers l’extérieur de $\cS_b$ est $\vn =-\vk $ et $\dee{S} = \dee{x}\dee{y}\text{.}$ Ainsi, le flux à travers $\cS_b$ est

\begin{align*} \iint_{S_b}\vF\cdot\vn \ \dee{S} &= -\iint_{\atp{x^2+y^2\leqslant 9}{z=0}} (x+z)\ \dee{x}\dee{y} = -\iint_{x^2+y^2\leqslant 9} x\ \dee{x}\dee{y} =0. \end{align*}

Le côté : Nous pouvons paramétrer le côté avec les coordonnées cylindriques:

\begin{equation*} \vr(\theta,z) = \big(3\cos\theta,\,3\sin\theta,\,z\big)\qquad 0\le\theta \lt 2\pi,\ 0\leqslant z\leqslant 5. \end{equation*}

Ainsi, en vertu de la Formule 4.7.1,

\begin{align*} \frac{\partial\vr}{\partial\theta} &=(-3\sin\theta,\,3\cos\theta,\,0),\\ \frac{\partial\vr}{\partial z} &=(0,\,0,\,1),\\ \vn \,\dee{S}&= \frac{\partial\vr}{\partial\theta} \times\frac{\partial\vr}{\partial z}\ \dee{\theta}\,\dee{z}\\ &=(3\cos\theta,\,3\sin\theta,\,0)\ \dee{\theta}\,\dee{z}. \end{align*}

Notons que $\vn = (\cos\theta,\,\sin\theta,\,0)$ est normal à $\cS_c$ et pointe vers l’extérieur. Ainsi,

\begin{align*} \vF\big(x(\theta,z),y(\theta,z),z(\theta,z)\big) &=3(\cos\theta\!+\!\sin\theta)\,\vi +(3\sin\theta\!+\!z)\,\vj +(3\cos\theta\!+\!z)\,\vk,\\ \vF\cdot\vn \,\dee{S} &=\big\{9\cos^2\theta\!+\!3\sin\theta\cos\theta\!+\!9\sin^2\theta\!+\!3z\sin\theta\big\}\,\dee{\theta}\,\dee{z}\\ &=\big\{9 +\frac{3}{2}\,\sin(2\theta)+3z\sin\theta\big\}\ \dee{\theta}\,\dee{z}, \end{align*}

de sorte que le flux à travers le côté est

\begin{align*} \iint_{S_s}\vF\cdot\vn \ \dee{S} &=\int_0^{2\pi}\int_0^5\ \big\{9 +\frac{3}{2}\,\sin(2\theta)+3z\sin\theta\big\} \dee{z}\, \dee{\theta}\\ &=9\int_0^{2\pi}\int_0^5 \dee{z}\, \dee{\theta} \quad\text{puisque }\int_0^{2\pi}\sin\theta\,\dee{\theta} =\int_0^{2\pi}\sin(2\theta)\,\dee{\theta} =0\\ &=9\times 2\pi\times 5 =90\pi \end{align*}

et que le flux total est

\begin{align*} \iint_{S}\vF\cdot\vn \ \dee{S} &=\iint_{S_t}\vF\cdot\vn \ \dee{S} +\iint_{S_b}\vF\cdot\vn \ \dee{S} +\iint_{S_s}\vF\cdot\vn \ \dee{S}\\ &=45\pi+0+90\pi =135\pi. \end{align*}

Exercices Exercices

Pour se pratiquer.

1.

Soit $a,b,c \gt 0\text{.}$ Dénoter par $S$ le triangle ayant pour sommets $(a,0,0)\text{,}$ $(0,b,0)$ et $(0,0,c)\text{.}$

Trouver l’aire de la surface $S$ de trois façons différentes, chacune en utilisant la Formule 4.7.2.
Dénoter par $T_{xy}$ la projection de $S$ sur le plan $xy$ (c’est le triangle ayant pour sommets $(0,0,0)\text{,}$ $(a,0,0)$ et $(0,b,0)$). De façon similaire, utiliser $T_{xz}$ pour dénoter la projection de $S$ sur le plan $xz$ et $T_{yz}$ pour dénoter la projection de $S$ sur le plan $yz\text{.}$ Montrer que
\begin{equation*} \text{Aire}(S) =\sqrt{\text{Aire}(T_{xy})^2 +\text{Aire}(T_{xz})^2 +\text{Aire}(T_{yz})^2 }. \end{equation*}

Réponse.

(a) $\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2}$

(b) La solution de la partie (a) donne

\begin{equation*} \text{Aire}(T_{xy})=\frac{ab}{2}, \qquad \text{Aire}(T_{xz})=\frac{ac}{2}, \qquad \text{Aire}(T_{yz})=\frac{bc}{2}. \end{equation*}

Ainsi,

\begin{align*} \text{Aire}(S) &=\sqrt{\frac{a^2b^2}{4}+\frac{a^2c^2}{4}+\frac{b^2c^2}{4}}\\ &=\sqrt{\text{Aire}(T_{xy})^2 +\text{Aire}(T_{xz})^2 +\text{Aire}(T_{yz})^2 }. \end{align*}

2.

Soit $a,h \gt 0\text{.}$ Dénoter par $\cS$ la partie du cylindre $x^2+z^2=a^2$ avec $x\geqslant 0\text{,}$ $0\leqslant y\leqslant h$ et $z\geqslant 0\text{.}$

Trouver l’aire de la surface $S$ sans faire de calcul.
Paramétriser $S$ par
\begin{equation*} \vr(\theta,y) = a\,\cos\theta\ \vi +y\,\vj +a\sin\theta\ \vk, \quad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2},\ 0\leqslant y\leqslant h. \end{equation*}
Trouver l’aire de la surface $S$ en utilisant la Formule 4.7.1.

Réponse.

$\frac{\pi ah}{2}$

3.

Soit $S$ la partie de la surface $z = xy$ se trouvant à l’intérieur du cylindre $x^2 + y^2 = 3\text{.}$ Trouver le moment d’inertie de $S$ autour de l’axe $z\text{,}$ c’est-à-dire

\begin{equation*} I = \iint_S (x^2 + y^2)\ \dee{S}. \end{equation*}

Réponse.

$\frac{116}{15}\pi$

4.

Évaluer, pour chacun des cas suivants, le flux $\ \iint_S\vF\cdot\vn \,\dee{S}\text{,}$ où $\vn$ est la normale extérieure à la surface $S\text{.}$

$\ \vF={(x^2+y^2+z^2)}^n(x\,\vi+y\,\vj+z\,\vk)\ \text{,}$ et la surface $S$ est la sphère $x^2+y^2+z^2=a^2\text{.}$
$\ \vF=x\,\vi+y\,\vj+z\,\vk\ \text{,}$ et $S$ est la surface de la boîte rectangulaire $0\leqslant x\leqslant a\text{,}$ $0\leqslant y\le b\text{,}$ $0\leqslant z\leqslant c\text{.}$
$\ \vF=y\,\vi+z\,\vk\ \text{,}$ et $S$ est la surface du cône solide $0\leqslant z\leqslant 1-\sqrt{x^2+y^2}\text{.}$

Réponse.

(a) $4\pi a^{2n+3}$

(b) $3abc$

Pour mieux comprendre.

5.

Pour trouver l’aire d’une surface $z = f (x,y)$ au-dessus d’une région $D\text{,}$ on intègre $\iint_D F(x,y)\ \dee{A}\text{.}$ Qu’est-ce que $F(x,y)$ en termes de $f\text{?}$
Considérer l’“Étoile de la mort”, une boule de rayon $2$ centrée à l’origine avec une autre boule de rayon $2$ centrée à $(0, 0, 2\sqrt{3})$ coupée de celle-ci. Le diagramme ci-dessous montre la tranche où $y = 0\text{.}$
1. Les Rebelles veulent peindre une partie de la surface de l’Étoile de la mort en rose vif; plus précisément la partie concave (indiquée par une ligne épaisse dans le schéma). Pour les aider à déterminer la quantité de peinture nécessaire, remplir soigneusement les parties manquantes de cette intégrale :
  \begin{equation*} \text{Aire} = \int_{\fbox{$\vphantom{L}\qquad$}}^{\fbox{$\vphantom{L}\qquad$}} \int_{\fbox{$\vphantom{L}\qquad$}}^{\fbox{$\vphantom{L}\qquad$}} \fbox{$\vphantom{L}\qquad\qquad\qquad$}\ \dee{r}\,\dee{\theta}. \end{equation*}
2. Quelle est l’aire totale de l’Étoile de la mort ?

Réponse.

(a) $F(x,y) = \sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}$

(b) (i) $\int_0^{2\pi}\int_0^1\ \frac{2r}{\sqrt{4-r^2}}\dee{r}\dee{\theta}$

(b) (ii) $\frac{32\pi}{3}$

6.

Soit $\cS$ la partie de la surface $x^2+y^2+2z=2$ se trouvant au-dessus du carré $-1\leqslant x\leqslant 1\text{,}$ $-1\leqslant y\leqslant 1\text{.}$

Trouver $\ds\iint_\cS \frac{x^2+y^2}{\sqrt{1+x^2+y^2}}\ \dee{S}\text{.}$
Trouver le flux de $\vF=x\vi+y\vj+z\vk$ vers le haut à travers $\cS\text{.}$

Réponse.

(a) $\frac{8}{3}$

(b) $\frac{16}{3}$

7.

Évaluer le flux

\begin{equation*} \iint_S \vF \cdot\vn\, \dee{S}, \end{equation*}

où $\vF(x, y, z) = (x+1)\,\vi + (y +1)\,\vj + 2z\,\vk$ et $S$ est la partie du paraboloïde $z = 4-x^2 -y^2$ se trouvant au-dessus du triangle $0\leqslant x\leqslant1\text{,}$ $0\leqslant y\leqslant1 - x\text{.}$ $S$ est orientée de telle sorte que son vecteur unitaire a une composante $z$ négative.

Réponse.

$-\frac{14}{3}$

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