Dans plusieurs applications, on s’occupe de quantités qui ne sont pas des nombres, mais qui ont une direction et une grandeur. Ces quantités sont appelées des vecteurs. Il est habituel de représenter un vecteur par une flèche. Si l’on se déplace, la grandeur du déplacement sera la distance, la direction étant évidente. De la même façon, la vitesse sera caractérisée par la rapidité et par la direction du déplacement.
Sous-sectionQuelques exemples
Il est naturel de dessiner le vecteur vitesse d’une particule en mouvement avec sa source à la position de la particule (qui peut changer). Le diagramme ci-après montre la position d’une particule et son vecteur vitesse à deux moments différents.
Figure1.2.1.Une particule en mouvement et son vecteur vitesse
On suppose qu’un point se déplace le long d’une droite en partant d’un point \(P\) pour terminer au point \(Q\text{.}\) Le vecteur déplacement correspondant, \(\vv\) dessiné dans la figure ci-après, a sa source en \(P\) et son but en \(Q\text{.}\) On écrit alors \(\vv =\overrightarrow{PQ}\text{.}\) On remarque qu’il est parfaitement possible d’avoir une autre paire de points, \(R\) et \(S\text{,}\) tels que le déplacement nécessaire pour aller de \(R\) à \(S\) soit le même, c’est-à-dire \(\vv =\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RS}\text{,}\) sans que le segment \(RS\) soit le même que le segment \(PQ\text{.}\) Le vecteur nul, \(\vZero\text{,}\) est le déplacement trivial, il n’a pas de sens, et toute flèche le représentant a une longueur nulle.
Figure1.2.2.Plusieurs flèches représentent le même vecteur
Supposons que nous considérions le mouvement d’un pendule, c’est-à-dire un mobile attaché à une corde. Il y a trois forces qui s’appliquent sur le pendule : la gravité \(\vg\text{,}\) dirigée vers le bas, la tension \(\vt\) de la corde, qui ramène le pendule dans la direction de la corde, et la résistance de l’air, qui repousse le pendule dans la direction opposée à celle de son mouvement. Les trois forces s’appliquent sur le pendule. Il est alors naturel de dessiner les flèches représentant chacune des trois forces avec leur source située au mobile.
Figure1.2.3.Un pendule soumis à plusieurs forces
Sous-sectionOpérations avec vecteurs
Reprenons notre exemple et supposons qu’un mobile se déplace de \(P\) vers \(Q\text{.}\) Par la suite, le déplacement continue et va de \(Q\) vers \(R\) (voir la figure 1.2.4). L’effet combiné de ces déplacements est que notre mobile est allé de \(P\) à \(R\text{.}\) Le déplacement résultant est donc \(\overrightarrow{PR}\text{,}\) et l’on convient qu’il s’agit de la somme de \(\overrightarrow{PQ}\) et de \(\overrightarrow{QR}\text{,}\) ce qu’on écrit naturellement
Cette relation est appelée la relation de Chasles, ou encore la loi du triangle.
Figure1.2.4.La relation de Chasles, ou loi du triangle : \(\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR} \)
Il est aussi possible de multiplier un vecteur par un scalaire \(s\text{.}\) Par souci de cohérence, on voudrait que \(2\vv = \vv + \vv\text{,}\) qui a la même direction, le même sens et une longueur double à celle de \(\vv\text{.}\) Par ailleurs, on voudrait que \(-1\vv\) additionné à \(\vv\) donne \(\vZero\) comme résultat, donc que son sens soit l’opposé de celui de \(\vv\text{.}\) En général, on définit la multiplication d’un vecteur \(\vv \) par un scalaire \(s\) comme suit :
On change la longueur de \(\vv\) d’un facteur \(|s|\text{,}\) et
si \(s \lt 0\text{,}\) on renverse l’orientation,
Figure1.2.5.La multiplication d’un vecteur par un scalaire
Afin de soustraire \(\vb\) de \(\va\) graphiquement, on peut additionner \(-\vb\) (qui est obtenu de \(\vb\) en renversant son orientation) à \(\va\text{.}\) Une autre possibilité est de dessiner \(\va\) et \(\vb\) avec leur source à un même point, alors \(\va-\vb\) est le vecteur reliant le but de \(\vb\) au but de \(\va\text{,}\) c’est-à-dire que \(\va-\vb\) est le vecteur qu’il faut ajouter à \(\vb\) de sorte à obtenir \(\va\text{.}\)
Figure1.2.6.Soustraction de vecteurs
Sous-sectionComposantes et coordonnées
Bien que l’approche du paragraphe précédent soit très utile en soi, notamment pour faire de la géométrie, il est très utile d’introduire un système de coordonnées afin d’utiliser la puissance de l’algèbre linéaire. On choisit donc un espace à deux ou trois dimensions dans lequel un point est choisi et désigné comme l’origine \(O\text{,}\) et un système de coordonnées rectangulaires associé. Chaque point \(A\) de notre espace aura alors ses coordonnées, \((a_1, a_2)\) ou \((a_1,a_2,a_3)\) selon que notre espace a deux ou trois dimensions. On écrira alors \(A(a_1, a_2)\) ou \(A(a_1,a_2,a_3)\text{,}\) confondant un point avec ses coordonnées, ou encore \(A(x_A,y_A)\) ou \(A(x_A,y_A,z_A)\text{.}\)
À chaque point \(A\text{,}\) on associe son vecteur position, \(\overrightarrow{OA}\text{,}\) et l’on fera la convention d’écriture suivante : on désignera par une lettre minuscule en caractère gras le vecteur position corrrespondant au point dont le nom est la même lettre majuscule en caractère normal :
Réciproquement, si un vecteur \(\va\) est dessiné avec sa source avec l’origine, alors son but se trouve au point \(A(a_1,a_2)\) ou \(A(a_1,a_2, a_3)\text{.}\) On dira alors que les coordonnées de \(A\) sont les composantes de \(\va\text{,}\) et l’on écrira ces composantes comme un vecteur colonne :
Il faut bien comprendre qu’il s’agit simplement d’une convention d’écriture; nos vecteurs seront toujours des vecteurs colonnes, ceci sera important lorsque les matrices entreront en jeu.
Prenons maintenant le vecteur \(\vv = \overrightarrow{PQ}\text{,}\) dessiné avec sa source au point \(P(p_1,p_2,p_3)\) et avec son but à \(Q(q_1,q_2,q_3)\text{.}\) Comme \(\vv\) est précisément le déplacement nécessaire pour aller de \(P\) à \(Q\text{,}\) on doit avoir \(p_i + v_i = q_i\) pour \(i\in \{1,2,3\}\) 1
L’expression “\(i\in \{1,2,3\}\)” doit se lire comme “\(i\) dans l’ensemble formé des éléments \(1,2,3\)”.
On suppose que l’on fait un premier pas, se déplaçant de \(a_1\) unités parallèlement à l’axe des abscisses et de \(a_2\) unités parallèlement à l’axe des ordonnées. Dans ce cas, on dira que \(\va = \dvect{a_1}{a_2}\) est le vecteur de déplacement pour ce premier pas. Supposons maintenant que lors d’un deuxième pas, on bouge de \(b_1\) unités dans la direction des abscisses et de \(b_2\) unités dans la direction des ordonnées, comme cela est indiqué dans la figure de gauche ci-bas. Ainsi, le vecteur de déplacement pour le deuxième pas est \(\vb = \dvect{b_1}{b_2}\text{.}\) Globalement, on s’est déplacé de \(a_1+b_1\) unités parallèlement à l’axe des abscisses et de \(a_2+b_2\) unités parallèlement à l’axe des ordonnées. Le vecteur de déplacement pour les deux pas combinés est \(\dvect{a_1+b_1}{a_2+b_2}\text{.}\) Nous allons définir l’addition \(\va + \vb \) par \(\dvect{a_1+b_1}{a_2+b_2}\text{.}\)
On suppose maintenant que l’on décide de se déplacer dans la même direction que, lors du premier pas, mais d’un pas deux fois plus long, comme cela est indiqué dans la figure de droite ci-bas. Ce pas sera alors de \(2a_1\) unités dans la direction des abscisses et de \(2a_2\) unités dans la direction des ordonnées, et le vecteur de déplacement résultant sera \(\dvect{2a_1}{2a_2}\text{.}\) On définit alors le produit du nombre réel \(2\) et du vecteur \(\va \text{,}\) qu’on dénote \(2\va\text{,}\) par
En somme, l’addition des vecteurs se fait de composante à composante, et la multiplication d’un vecteur par un scalaire se fait en multipliant chacune des composantes du vecteur par le scalaire en question. Les définitions données pour les vecteurs de \(\R^2\) se généralisent de façon évidente à \(\R^3\) et à \(\R^n\) en général. Nous formulons les définitions dans le cas général.
Définition1.2.7.Addition de vecteurs et multiplication par un scalaire.
Soit \(\va = \ctvec{a_1}{\vdots}{a_n}, \vb = \ctvec{b_1}{\vdots}{b_n}\in \R^n\) et \(s\in \R\text{.}\) On définit alors
Les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire qui viennent d’être définies sont naturelles, elles héritent des propriétés usuelles des nombres réels.
Théorème1.2.8.Propriétés de l’addition vectorielle et de la multiplication par un scalaire.
Soit \(\va, \vb, \vc \in \R^n\) et \(s,t\in \R\text{.}\) Alors,
Une expression qui est une somme de multiples de vecteurs, comme \(a_1\vi+a_2\vj\text{,}\) est appelée une combinaison linéaire de ces vecteurs. Ainsi, tout vecteur peut être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base canonique. Ceci rend ces vecteurs de base très utiles.
ExercicesExercices
Pour se pratiquer.
1.
Soit \(\va=\llt 2,0\rgt \) et \(\vb=\llt 1,1\rgt \text{.}\) Évaluer et esquisser \(\va+\vb,\ \va+2\vb\) et \(2\va-\vb\text{.}\)
Déterminer si oui ou non les points donnés sont colinéaires (c’est-à-dire s’ils appartiennent à une droite commune)
\(\displaystyle (1,2,3),\ (0,3,7),\ (3,5,11)\)
\(\displaystyle (0,3,-5),\ (1,2,-2),\ (3,0,4)\)
Réponse.
non colinéaire
colinéaire
3.
Trouvez l’équation d’une sphère si l’un de ses diamètres a pour extrémités les points extrêmes \((2,1,4)\) et \((4,3,10)\text{.}\)
Réponse.
\((x-3)^2+(y-2)^2+(z-7)^2=11\)
4.
Montrez que l’ensemble de tous les points \(P\) qui sont deux fois plus éloignés de \((3,-2,3)\) que de \((3/2,1,0)\) est une sphère. Trouvez son centre et son rayon.
Réponse.
La sphère a un rayon de 3 et est centrée sur \((1,2,-1)\text{.}\)
5.
Utilisez les vecteurs pour prouver que la ligne joignant les points médians de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté et à la moitié de sa longueur.
6.
Montrez que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en deux.
Pour aller plus loin.
7.
Considérez un cube tel que chaque côté a une longueur de \(s\text{.}\) Nommer, dans l’ordre, les quatre sommets au bas du cube \(A, B, C, D\) et les quatre sommets correspondant sur le dessus du cube \(A', B', C', D'\text{.}\)
Montrer que toutes les arêtes du tétraèdre \(A'C'BD\) ont la même longueur.
Soit \(E\) le centre du cube. Trouvez l’angle entre \(EA\) et \(EC\text{.}\)
Réponse.
Toutes les \(6\) arêtes ont une longueur de \(\sqrt{2}s\text{.}\)
