Rappelons que les coordonnées rectangulaires et les coordonnées polaires (pour \((x,y)\ne (0,0)\) et \(r \gt 0\)) sont liées par les formules:
\begin{align*}
x&=r\cos\theta,\\
y&=r\sin\theta,\\
r&=\sqrt{x^2+y^2},\\
\tan\theta&=\frac{y}{x}\text{.}
\end{align*}
Nous allons utiliser les fonctions
\begin{equation*}
x(r,\theta) = r\cos\theta\qquad
\text{et}\qquad
r(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}\text{.}
\end{equation*}
Fixons un point \((x_0,y_0)\ne (0,0)\text{,}\) et soit \((r_0,\theta_0)\text{,}\) \(0\le\theta_0 \lt 2\pi\) ses coordonnées polaires. On a alors
\begin{gather*}
\pdiff{x}{r}(r,\theta) = \cos\theta,\qquad
\pdiff{r}{x}(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{.}
\end{gather*}
Voyons sous quelles conditions nous avons \(\pdiff{x}{r} = \left(\pdiff{r}{x}\right)^{-1}\text{.}\) Nous avons
\begin{align*}
\pdiff{x}{r}(r_0,\theta_0)=\left(\pdiff{r}{x}(x_0,y_0)\right)^{-1}
&\iff \cos\theta_0= \left(\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}\right)^{-1}
= \left(\cos\theta_0\right)^{-1}\\
&\iff \cos^2\theta_0= 1\\
&\iff \theta_0=0,\pi\text{.}
\end{align*}
Ceci suffit à montrer que l’égalité ne tient pas toujours quand d’autres variables interviennent.
Cependant, on peut comprendre ce qu’il arrive à l’aide d’une figure. Par définition, les dérivées partielles
\begin{align*}
\pdiff{x}{r}(r_0,\theta_0)
&= \lim_{\dee{r}\rightarrow 0}
\frac{x(r_0+\dee{r},\theta_0) - x(r_0,\theta_0)}{\dee{r}},\\
\pdiff{r}{x}(x_0,y_0)
&= \lim_{\dee{x}\rightarrow 0}
\frac{r(x_0+\dee{x},y_0) - r(x_0,y_0)}{\dee{x}}\text{,}
\end{align*}
D’une part, lorsqu’on calcule \(\pdiff{x}{r}(r_0,\theta_0)\text{,}\) \(\theta_0\) est maintenu constant, \(r\) varie d’une petite quantité \(\dee{r}\text{,}\) et la variation résultante en \(x\) est calculée par \(\dee{x}=x(r_0+\dee{r},\theta_0) - x(r_0,\theta_0)\text{.}\) Dans la figure de gauche, \(\dee{r}\) est la longueur du segment orange, et \(\dee{x}\) est la longueur du segment bleu.
D’autre part, lorsqu’on calcule \(\pdiff{r}{x}\text{,}\) \(y\) est maintenu fixe, tandis que \(x\) change d’une petite quantité \(\dee{x}\text{,}\) et la variation résultante en \(r\) est donnée par \(\dee{r} = r(x_0+\dee{x},y_0) - r(x_0,y_0)\text{.}\) Dans la figure de droite ci-haut, \(\dee{x}\) est la longueur du segment rose tandis que \(\dee{r}\) est la longueur du segment orange.
Ci-bas, on présente les deux figures ensemble. Nous avons arrangé les choses pour avoir le même \(\dee{r}\) dans les calculs. Afin que les deux \(\dee{r}\) soient le même, les deux \(\dee{x}\) doivent être différents (sauf si \(\theta_0=0,\pi\)). Ainsi, en général, \(\pdiff{x}{r}(r_0,\theta_0)\ne \big(\pdiff{r}{x}(x_0,y_0)\big)^{-1}\text{.}\)