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Calcul multivariable: Une approche libre

Juan Carlos Bustamante

Section 1.7 Tangentes aux courbes paramétriques

Nous nous intéressons dans cette section aux dérivées des fonctions vectorielles \(\vr : I \subseteq \R \to \R^n\) et à leur signification.

Définition 1.7.1.

Soit \(\vr : I \to \R^n\) une fonction à valeurs vectorielles, avec \(I\subseteq \R\) et \(t_0\in I\) un point intérieur de \(I\)
 1 
Ceci veut dire qu’il existe \(\e \gt 0\) tel que \(]t_0-\e, t_0+\e[\ \subseteq\ I\text{.}\)
. La dérivée de \(\vr\) en \(t_0\) est
\begin{equation*} \vr'(t_0) = \diff{\vr}{t}(t_0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\vr(t_0+h)-\vr(t_0)}{h} \end{equation*}
lorsque la limite existe. En particulier, si \(\vr(t_0)=x(t_0)\,\vi + y(t_0)\,\vj+z(t_0)\,\vk\text{,}\) alors
\begin{equation*} \vr'(t_0)=x'(t_0)\,\vi+y'(t_0)\,\vj+z'(t_0)\,\vk . \end{equation*}
En somme, pour dériver une fonction vectorielle, on doit simplement dériver chacune de ses composantes.
On pense souvent à \(\vr(t)\) comme à la position d’une particule au temps \(t\text{.}\) Dans ce contexte, on aura que \(\vr'(t)\) est le vecteur vitesse instantané au temps \(t\) et l’on écrira souvent \(\vv(t)\) au lieu de \(\vr'(t)\text{,}\) voire \(\vv\) au lieu de \(\vr'\text{.}\)
Bien entendu, la dérivation interagit avec les opérations arithmétiques usuelles de façon évidente. Seuls le produit scalaire et le produit vectoriel demandent une attention particulière. Voyons quelques exemples.

Exemple 1.7.2.

Soit, pour \(t\in \R\text{,}\)
\begin{align*} \va(t)&= t^2\,\vi + t^4\,\vj + t^6\,\vk, & & \vb(t)= e^{-t}\,\vi + e^{-3t}\,\vj + e^{-5t}\,\vk,\\ \g(t)&= t^2, & &s(t)= \sin t. \end{align*}
Nous allons calculer plusieurs dérivées, utilisons donc un peu de couleur pour rendre les calculs plus lisibles. Lorsque nous ferons appel à la règle de différentiation du produit, à savoir
\begin{equation*} \diff{}{t}\big[f(t)\,g(t)\big] ={\color{blue}{f'(t)}}\,g(t) + f(t)\,{\color{blue}{g'(t)}}, \end{equation*}
nous utiliserons la couleur bleue pour mettre en évidence les facteurs \(f'(t)\) et \(g'(t)\text{.}\)
\begin{align*} \g(t)\,\vb(t) & = t^2e^{-t}\,\vi + t^2 e^{-3t}\,\vj + t^2 e^{-5t}\,\vk \end{align*}
donne
\begin{align*} \diff{}{t}\big[\g(t)\vb(t)\big] &=\big[{\color{blue}{2t}} e^{-t}{\color{blue}{-}}t^2{\color{blue}{e^{-t}}}\big]\vi +\big[{\color{blue}{2t}} e^{-3t}{\color{blue}{-3}}t^2{\color{blue}{e^{-3t}}}\big]\vj +\big[{\color{blue}{2t}} e^{-5t}{\color{blue}{-5}}t^2{\color{blue}{e^{-5t}}}\big]\vk\\ &={\color{blue}{2t}}\big\{e^{-t}\,\vi + e^{-3t}\,\vj + e^{-5t}\,\vk\big\} + t^2{\color{blue}{\big\{-e^{-t}\,\vi -3 e^{-3t}\,\vj -5 e^{-5t}\,\vk\big\}}}\\ &={\color{blue}{\g'(t)}}\vb(t)+\g(t){\color{blue}{\vb'(t)}}, \end{align*}
et
\begin{align*} \va(t)\cdot\vb(t) & = t^2e^{-t} + t^4 e^{-3t} + t^6 e^{-5t} \end{align*}
donne
\begin{align*} \diff{}{t}\big[\va(t)\cdot\vb(t)\big] &=\big[{\color{blue}{2t}} e^{-t}{\color{blue}{-}}t^2{\color{blue}{e^{-t}}}\big] +\big[{\color{blue}{4t^3}} e^{-3t}{\color{blue}{-3}}t^4{\color{blue}{e^{-3t}}}\big] +\big[{\color{blue}{6t^5}} e^{-5t}{\color{blue}{-5}}t^6{\color{blue}{e^{-5t}}}\big]\\ &=\big[{\color{blue}{2t}} e^{-t}+{\color{blue}{4t^3}} e^{-3t}+{\color{blue}{6t^5}} e^{-5t}\big] +\big[{\color{blue}{-}}t^2{\color{blue}{e^{-t}}} {\color{blue}{-3}}t^4{\color{blue}{e^{-3t}}} {\color{blue}{-5}}t^6{\color{blue}{e^{-5t}}}\big]\\ &={\color{blue}{\big\{2t\,\vi+4t^3\,\vj+6t^5\,\vk\big\}}}\cdot \big\{e^{-t}\,\vi + e^{-3t}\,\vj + e^{-5t}\,\vk\big\}\\&\hskip0.5in +\big\{t^2\,\vi + t^4\,\vj + t^6\,\vk\big\}\cdot {\color{blue}{\big\{-e^{-t}\,\vi-3e^{-3t}\,\vj-5e^{-5t}\,\vk\big\}}}\\ &={\color{blue}{\va'(t)}}\cdot\vb(t)+\va(t)\cdot{\color{blue}{\vb'(t)}}, \end{align*}
et
\begin{align*} \va(t)\times\vb(t) &=\det\left[\begin{matrix}\vi& \vj &\vk\\ t^2 & t^4 & t^6\\ e^{-t} & e^{-3t} & e^{-5t}\end{matrix}\right]\\ &=\vi\big(t^4 e^{-5t}-t^6 e^{-3t}) -\vj(t^2 e^{-5t}- t^6 e^{-t}) +\vk(t^2 e^{-3t}-t^4 e^{-t}) \end{align*}
donne
\begin{align*} &\diff{}{t}\big[\va(t)\times\vb(t)\big]\\ &=\ \vi\big(\ {\color{blue}{4t^3}} e^{-5t}\ \ -\ {\color{blue}{6t^5}} e^{-3t}) \ -\ \vj(\ {\color{blue}{2t}} e^{-5t}\ -\ {\color{blue}{6t^5}} e^{-t}) +\vk(\ {\color{blue}{2t}} e^{-3t}\ -\ {\color{blue}{4t^3}} e^{-t}) \\&\hskip0.1in +\vi\big({\color{blue}{-5}}t^4 {\color{blue}{e^{-5t}}}{\color{blue}{+3}}t^6 {\color{blue}{e^{-3t}}}) -\vj({\color{blue}{-5}}t^2 {\color{blue}{e^{-5t}}}{\color{blue}{+}} t^6 {\color{blue}{e^{-t}}}) +\vk({\color{blue}{-3}}t^2 {\color{blue}{e^{-3t}}}{\color{blue}{+}}t^4 {\color{blue}{e^{-t}}})\\ &={\color{blue}{\big\{2t\,\vi+4t^3\,\vj+6t^5\,\vk\big\}}}\times \big\{e^{-t}\,\vi + e^{-3t}\,\vj + e^{-5t}\,\vk\big\}\\&\hskip0.5in +\big\{t^2\,\vi + t^4\,\vj + t^6\,\vk\big\}\times {\color{blue}{\big\{-e^{-t}\,\vi-3e^{-3t}\,\vj-5e^{-5t}\,\vk\big\}}}\\ &={\color{blue}{\va'(t)}}\times\vb(t)+\va(t)\times{\color{blue}{\vb'(t)}} \end{align*}
et
\begin{align*} \va\big(s(t)\big) &=(\sin t)^2\,\vi +(\sin t)^4\,\vj + (\sin t)^6\,\vk\\ \implies \diff{}{t}\big[\va\big(s(t)\big)\big] &=2(\sin t)\cos t\,\vi +4(\sin t)^3\cos t\,\vj + 6(\sin t)^5\cos t\,\vk\\ &=\big\{2(\sin t)\,\vi +4(\sin t)^3\vj + 6(\sin t)^5\vk\big\}\cos t\\ &=\va'\big(s(t)\big)\,s'(t). \end{align*}
Bien entendu, ces exemples sont des cas particuliers de règles générales. Le même type de calculs que précédemment fournit la preuve (de la plupart) du théorème ci-bas.
L’interprétation géométrique est claire. La dérivée \(\vr'(t_0)\) est la limite de \(\frac{\vr(t_0+h)-\vr(t_0)}{h}\) lorsque \(h\rightarrow 0\text{.}\) Le numérateur, \(\vr(t_0+h)-\vr(t_0)\text{,}\) est représenté par le vecteur ayant \(\vr(t_0+h)\) pour but et \(\vr(t_0)\) comme origine.
Lorsque \(h\) est très petit, ce vecteur a la direction du vecteur tangent à la courbe \(\plan{C}_{\vr}\) au point \(\vr(t_0)\text{.}\) À la limite, ce vecteur donne la direction de cette tangente. Comme, de plus, elle passe par le point correspondant à \(\vr(t_0)\text{,}\) on peut déduire aisément une équation vectorielle.
\begin{gather} \vx(t) = \vr(t_0) + t\, \vr'(t_0)\tag{✶} \end{gather}
Il faut noter ici que \(\vr\) et \(\vr'\) sont évaluées au point \(t=t_0\text{,}\) ce sont donc des vecteurs constants.

Définition 1.7.4.

Soit \(\vr : I \to \R\) un chemin et \(t_0\) un point intérieur de \(I\text{.}\)
  1. Si \(\vr(t_0) \ne \vZero\text{,}\) le vecteur tangent unitaire en \(\vr(t_0)\) est \(\vT(t_0) = \frac{1}{|\vr'(t_0)|}\vr'(t_0)\text{.}\)
  2. Le chemin tangent à \(\vr\) en \(t_0\) est le chemin \(\vL(t) = \vr(t_0) + (t-t_0)\vr'(t_0)\text{.}\)

Observation 1.7.5.

  • Nous allons souvent écrire \(\vr'\) ou \(\vT\) afin d’alléger les notations. Nous devrons avoir à l’esprit qu’il s’agit de fonctions vectorielles, donc qu’il y a un point d’évaluation qui devra être déduit du contexte.
  • S’il est vrai que l’équation (✶) fournit un paramétrage de la droite tangente à la courbe \(\plan{C}_\vr\) au point \(\vr(t_0)\text{,}\) le chemin tangent est une fonction vectorielle, et elle donne aussi un paramétrage de la droite tangente. De plus, \(\vL\) coïncide avec \(\vr\) jusqu’au premier ordre, c’est-à-dire \(\vL(t_0) = \vr(t_0)\) et \(\vL'(t_0) = \vr'(t_0)\text{.}\) On remarquera aussi la ressemblance de la définition de \(\vL\) avec la formule donnant l’approximation linéaire d’une fonction \(f\) en un point \(t_0\text{,}\) à savoir
    \begin{equation*} f(t) \approx L(t) = f(t_0) + f'(t_0)(t-t_0). \end{equation*}

Exemple 1.7.6.

  1. Soit \(\vr(t) = t^3\, \vi + t^2\, \vj\text{.}\) La courbe associée a pour équation cartésienne \(x^2 = y^3\text{.}\) On a \(\vr'(t) = 3t^2 \, \vi + 2t\, \vj\text{.}\) En particulier, le point \((0,0)\) correspond à \(t=0\text{,}\) et \(\vr'(0) = \vZero\text{.}\) La courbe admet un point de rebroussement en ce point, c’est-à-dire que le vecteur tangent unitaire change subitement de direction.
    La courbe admet un point de rebroussement à l’origine
    Figure 1.7.7. La courbe \(\vr(t) = t^3 \vi + t^2\vj\)
  2. Soit \(\vr(t) = e^-t\, \cos t\, \vi + e^-t\ \sin t\, \vj + e^-t\, \vk\text{.}\) Trouvons la droite tangente à la courbe de \(\vr\) au point \(P_0(1,0,1)\text{.}\)
    Le point \(P_0\) correspond à la valeur \(t=0\text{.}\) Par ailleurs,
    \begin{equation*} \vr'(t) = e^{-t} \ctvec{-\cos t - \sin t}{\cos t - \sin t}{-1}. \end{equation*}
    de sorte que \(\vr'(0) = -\vi + \vj - \vk\text{.}\) Ainsi, on a un paramétrage de tangente
    \begin{equation*} \vx(t) = \vp_0 + t \vr'(0) = \tvect{1}{0}{1} + t \tvect{-1}{1}{-1}. \end{equation*}
    Notons que, puisque \(t_0 = 0\text{,}\) ceci est aussi le chemin tangent à \(\vr\) en \(t_0\text{.}\)

Exemple 1.7.8.

Montrer que si \(\vr\) est un chemin de norme constante, alors \(\vr\) et \(\vr'\) sont toujours orthogonaux.
Solution.
Soit \(\vr\) un chemin tel que \(|\vr| = c\text{.}\) Nous avons alors
\begin{align*} |\vr|^2 = c^2 \amp \iff \vr \cdot \vr = c^2\\ \amp\implies (\vr \cdot \vr)' = 0 \\ \amp \iff 2 \vr \cdot \vr' =0, \end{align*}
et la conclusion suit.

Exemple 1.7.9.

En quels points les courbes données par \(\vr_1(t) = t\, \vi + (1-t)\, \vj + (3+t^2)\, \vk\) et par \(\vr_2 (t) = (3-t)\,\vi + (2-t)\,\vj + t^2 \, \vk\) se coupent-elles? Quel angle forment-elles au point d’intersection?
Solution.
S’il est vrai que le paramètre \(t\) est utilisé dans la définition des deux courbes, afin de trouver le point commun, on doit résoudre l’équation \(\vr_1(t) = \vr_2(s)\text{.}\) En effet, la valeur du paramètre au point commun n’a aucune raison d’être la même pour les deux courbes
 3 
De façon imagée, on pense aux deux courbes comme aux trajectoires décrites par deux particules. Le point commun aux deux trajectoires n’est pas nécessairement un point de collision : les deux particules passent par un même point, mais pas nécessairement au même moment. L’équation \(\vr_1(t) = \vr_2(t)\) cherche à trouver un point de collision.
. Le système d’équations résultant est
\begin{align*} t\amp = 3-s, \\ 1-t \amp = 2-s, \\ 3+t^2 \amp = s^2. \end{align*}
On remplace \(t=3-s\) de la première équation dans la deuxième pour obtenir \(1-(3-s) = 2-s\text{,}\) ce qui donne \(s=2\text{,}\) et donc \(t=1\text{.}\) Ces deux valeurs sont des solutions pour la troisième équation également. Ainsi, le point commun est celui qui correspond à
\begin{equation*} \vr_1(1) = \vr_2(2) = \tvect{1}{0}{4}. \end{equation*}
L’angle formé par les courbes est l’angle formé par leurs tangentes respectives au point commun. Les vecteurs vitesse respectifs sont
\begin{align*} \vr_1'(t) = \tvect{1}{-1}{2t} \amp \amp \text{ et } \amp \amp \vr_2'(s) = \tvect{-1}{-1}{2s}. \\ \amp \end{align*}
Au point commun, ces vecteurs sont
\begin{align*} \vr_1'(1) = \tvect{1}{-1}{2} \amp \amp \text{ et } \amp \amp \vr_2'(2) = \tvect{-1}{-1}{4}. \\ \amp \end{align*}
L’angle \(\theta \) qu’ils forment se calcule au moyen du Théorème 1.3.8. On a donc
\begin{equation*} \cos \theta = \frac{\vr_1'(1) \cdot \vr_2'(2)}{|\vr_1'(1)|\, |\vr_2'(2)|} = \frac{8}{\sqrt{6}\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{3}}. \end{equation*}

Exercices Exercices

Pour se pratiquer.

1.
  1. Soit \(\vr(t) = \left(t^2 , 3, \tfrac{1}{3} t^3 \right) \text{.}\) Trouver le vecteur tangent unitaire (pointant dans la direction des \(t\) croissants) à \(t = 1\text{.}\)
  2. Trouver la longueur d’arc de la courbe en (a) entre les points \((0, 3, 0)\) et \((1, 3, -\frac{1}{3})\text{.}\)
Réponse.
(a) \(\hat\vT(1) = \frac{(2,0,1)}{\sqrt{5}}\)
(b) \(\frac{1}{3}\big[5^{3/2}-8\big]\)
2.
En utilisant le  Théorème 1.8.1, trouver la longuer de la portion de la courbe donnée par \(\vr(t)=\left(t,\sqrt{\frac{3}{2}}t^2,t^3\right)\) entre \(t=0\) et \(t=1\text{.}\)
Réponse.
2
3.
La position d’une particule au temps \(t\) est donnée par \(\vr(t) = (t+\sin t, \cos t)\)
 4 
La courbe tracée par cette particule est une cycloïde
. Quelle est la norme de l’accéleration au temps \(t\text{?}\)
Réponse.
1

Pour mieux comprendre.

4.
Au temps \(t=0\text{,}\) une particule a \(\vr(0)=\llt -1,0,0\rgt\) et \(\vv(0)=\llt 0,-1,1\rgt\) pour position et vitesse, respetivement. Au temps \(t\text{,}\) l’accélération est \(\va(t)=\llt \cos t,\sin t,0\rgt\)
  1. Trouver la position de la particule au temps \(t\text{.}\)
  2. Montrer que les vecteurs vitesse et accélération sont toujours mutuellement orthogonaux.
  3. Trouver l’équation de la tangente à la courbe décrite par la particule au point correspondant à \(t=-\pi/2\text{.}\)
  4. Vrai ou Faux : Aucune tangente à la courbe décrite par la particule ne passe par \((0,0,0)\text{.}\) Justifiez.
Réponse.
(a) \(\vr(t)=\llt -\cos t, -\sin t, t\rgt\)
(b) \(\vv(t)\cdot\va(t)=0\)
(c) \(\vr(u)=\llt 0,1,-\frac{\pi}{2}\rgt+u\llt -1,0,1\rgt\)
(d) Vrai.
5.
La position d’une particule au temps \(t\) (mesuré en secondes) est donnée par
\begin{equation*} \vr(t)=t\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\vi +t\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)\vj +t\,\vk \end{equation*}
  1. Montrez que la courbe décrite par la particule se trouve sur le \(z^2=x^2+y^2\text{.}\)
  2. Trouvez le vecteur vitesse, ainsi que sa norme, au temps \(t\text{.}\)
  3. Supposez qu’au temps \(t=1\)s la particule quitte sa trajectoire pour prendre la droite tangente \(L\text{.}\) Trouvez l’équation de la tangente \(L\text{.}\)
  4. Combien de temps ça prend àla prticule pour traverser le plan \(x=-1\) à compter du moment où elle commence à bouger le long de \(L\text{?}\)
Réponse.
(a) \(x(t)^2+y(t)^2=z(t)^2\) pour tout \(t\)
(b)
\begin{equation*} \text{vitesse}= \big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\vi +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\vj +\vk \end{equation*}
\begin{equation*} \text{vitesse scalaire}=\sqrt{2+\frac{\pi^2 t^2}{4}} \end{equation*}
(c) \(\llt x,y,z\rgt = \llt 0,1,1\rgt +(t-1)\llt -\frac{\pi}{2},1,1\rgt\)
(d) \(\frac{2}{\pi}\) secondes
6.
Une particule de masse \(m = 1\) est située à \(\vr_0 = \frac{1}{2}\,\vk\) et admet pour vecteur vitesse \(\vv_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\vi\) au temps \(t=0\text{.}\) La particule se déplace soumise à la force \(\vF(t) = -3t\,\vi + \sin t\,\vj + 2e^{2t}\,\vk.\)
  1. Trouvez la position \(\vr(t)\) de la particule au temps \(t\text{.}\)
  2. À quel moment (après \(t=0\)) la particule croise-t-elle le plan \(x = 0\) pour la première fois?
  3. Quel est le vecteur vitesse de la particule à l’instant trouvé en (b)?
Réponse.
(a) \(\vr(t) = \big(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\big)\,\vi + (t- \sin t)\,\vj + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\vk\)
(b) \(t=\pi\)
(c) \(-\pi^2\,\vi +2\,\vj + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\vk\)
7.
Au temps \(t=0\) une particule se trouve à la position \(\vr(0)=\llt -1,0,0\rgt\) et se déplace avec vitesse \(\vv(0)=\llt 0,-1,1\rgt\text{.}\) À l’instant \(t\text{,}\) le particule a pour vecteur accélération
\begin{equation*} \va(t)=\llt \cos t,\sin t,0\rgt \end{equation*}
  1. Trouver la position de la particvule au temps \(t\) (en secondes).
  2. Montrer qu’en tout temps les vecteurs vitesse et accélération sont orthogonaux. .
  3. Trouver l’équaiton de la tangente à la trajectoire de la particule au point correspondant à \(t=-\pi/2\text{.}\)
  4. Vrai ou Faux : Aucune des tangentes à la trajectoire de la particule ne passe par l’origine. Justifiez.
Réponse.
(a) \(\vr(t)=\llt -\cos t, -\sin t, t\rgt\)
(b) \(\vv(t)\cdot\va(t)=0\)
(c) \(\vr(u)=\llt 0,1,-\frac{\pi}{2}\rgt+u\llt -1,0,1\rgt\)
(d) Vrai
8.
On considère la courbe \(\Gamma\) paramétrée par \(\vr(t)=t\sin(\pi t)\,\vi+t\cos(\pi t)\,\vj +t^2\vk\,\qquad 0\leqslant t \lt \infty.\) La courbe démarre a l’origine, et événtuellement croise l’ellipsoïde \(E\) d’équation \(2x^2+2y^2+z^2=24\text{.}\)
  1. Trouver les coordonnées du point \(P\) auquel \(\Gamma\) croise \(E\text{.}\)
  2. Trouver un vecteur tangent à \(\Gamma\) en \(P\text{.}\)
Réponse.
(a) \(\vr(2)=2\vj+4\vk\)
(b) tout multiple non nul de \(\vr'(2)=2\pi\,\vi+\vj+4\,\vk\)

Pour aller plus loin.

9.
Si une corde enroulée autour d’un cercle fixe est déroulée tout en étant maintenue tendue dans le plan du cercle, son extrémité \(P\) trace une courbe \(\mathcal{C}\text{.}\) Dans la figure ci-bas, le cercle en question est le cercle \(x^2 + y^2 = a^2\) et le point \(P\) démarre à \((a, 0)\text{.}\) La courbe \(\mathcal{C}\) est la courbe bleue.
La portion déroulée de la corde est tangente au cercle en \(Q\text{.}\) Notez que la distance entre le point de tangence \(Q\) et l’extrémité \(P\) est égale à la longueur du fil déroulé. Donner un paramétrage de la courbe décrite par \(P\text{.}\)
La courbe obtenue en déroulant un fil.
Figure 1.7.10. La courbe obtenue en déroulant un fil.
10.
Un projectile qui tombe sous l’influence de la force de gravité. Le projectile est ralenti par la résistance de l’air, qui est proportionnelle à sa vitesse. Sa position satisfait l’équation
\begin{equation*} \frac{d^2\vr}{dt^2}=-g\vk-\alpha\frac{d\vr}{dt} \end{equation*}
où \(\alpha\) est une constante positive. Si \(\vr=\vr_0\) et \(\frac{d\vr}{dt}=\vv_0\) à l’instant \(t=0\text{,}\) trouver \(\vr(t)\text{.}\)
Réponse.
\(\vr(t)=\vr_0-\frac{e^{-\alpha t}-1}{\alpha}\vv_0 +g\frac{1-\alpha t-e^{-\alpha t}}{\alpha^2}\vk\)
11.
  1. Les courbes paramétrées par \(\vr_1(t)=\llt 1+t, t^2, t^3\rgt\) et \(\vr_2(t)=\llt \cos t, \sin t, t\rgt\) se coupent au point \(P(1,0,0)\text{.}\) Trouver l’angle formé par ces courbes au point donné.
  2. Trouver la distance entre la droite d’intersection des plans \(x+y-z=4\) et \(2x-z=4\) et la droite \(\vr(t)=\llt t, -1+2t, 1+3t\rgt\text{.}\)
Réponse.
(a) \(90^\circ\)
(b) \(2\sqrt{3}\)
12.
La position d’une particule au temps \(t\) (en secondes \(s\)) est donnée par
\begin{equation*} \vr(t)=t\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\vi +t\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)\vj +t\,\vk \end{equation*}
  1. Montrer que la trajectoire suivie par la particule se trouve sur le cône \(z^2=x^2+y^2\text{.}\)
  2. Trouver le vecteur vitesse et sa norme au temps \(t\text{.}\)
  3. Supposons qu’à l’instant \(t=1\)s la particule quitte sa trajectoire pour prendre celle de la tangente \(L\) au point correspondant. Trouver une équation de \(L\text{.}\)
  4. Combien de temps ça prend pour que la particule croise le plan \(x=-1\) à partir du moment où elle adopte la trajectoire donnée par \(L\text{?}\)
Réponse.
(a) \(x(t)^2+y(t)^2=z(t)^2\) pour tout \(t\)
(b)
\begin{equation*} \text{vitesse }= \big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\vi +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\vj +\vk \end{equation*}
\begin{equation*} \text{vitesse scalaire}=\sqrt{2+\frac{\pi^2 t^2}{4}} \end{equation*}
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