Nous nous contenterons de faire une démonstration pour les régions \(\cR\) dont le bord \(\partial \cR\) est une courbe simple, lisse par morceaux, et ayant en plus la propriété que \(\cR\) peut s’exprimer sous les deux formes suivantes :
\begin{align*}
\cR \amp = \{ (x,y)\in \R^2| a\leqslant x \leqslant b,\ \phi_1(x)\leqslant y \leqslant \phi_2(x)\} \\
\amp = \{ (x,y)\in \R^2| c\leqslant y \leqslant d,\ \psi_1(y)\leqslant x \leqslant \psi_2(y)\}
\end{align*}
pour certaines fonctions
\(\phi, \phi_2, \psi_1, \psi_2\text{.}\) L’
Exemple 4.5.8 montre comment procéder lorsque le bord de
\(\cR\) est formé de plusieurs courbes ou que
\(\cR\) ne s’exprime pas sous les formes requises.
Dans un premier temps, nous montrerons que
\begin{align}
\int_{\partial \cR} P\, dx \amp= -\iint_{\cR} \pdiff{P}{y}\, dA. \tag{✶}
\end{align}
En effet, il suit de la description de \(\cR\) que
\begin{align*}
\iint_{\cR} \pdiff{P}{y}\, dA \amp = \int_a^b\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} P(x,y)\, dy\, dx =\int_a^b P(x,\phi_2(x)) - P(x,\phi_x)\, dx\\
\amp = \int_a^b P(x,\phi_2(x))\, dx - \int_a^b P(x,\phi_1(x))\, dx
\end{align*}
Or, le bord supérieur de
\(\cR\text{,}\) la courbe
\(\cC_3\) dans la
Figure 4.5.3, est paramétré par
\(\vr(t) = t\,\vi + \phi_2(t)\, \vj \) pour
\(t\in [a,b]\text{.}\) Cependant, l’orientation de
\(\cC = \partial \cR\) dans le sens trigonométrique impose à
\(\cC\) d’être parcourue de droite à gauche, c’est-à-dire de
\((b,\phi_2(b))\) à
\((a,\phi_2(a))\text{.}\) Ainsi, la première des deux intégrales ci-haut est
\begin{align}
\int_a^b P(x,\phi_2(x))\, dx \amp = - \int_{\cC_3} P\, dx \tag{†}
\end{align}
Pour la seconde intégrale, les choses sont plus faciles, il ne faut pas changer le sens de parcours. Ainsi, celle-ci est
\begin{align}
\int_a^b P(x,\phi_1(x))\, dx \amp = \int_{\cC_1} P\, dx \tag{††}
\end{align}
Il vient donc, après addition des équations
(†) et
(††), que
\begin{equation*}
\iint_{\cR} \pdiff{P}{y}\, dA = -\left[\int_{\cC_1} P\, dx + \int_{\cC_3}P\, dx\right].
\end{equation*}
Le bord \(\cC = \partial \cR\) de \(\cR\) est formé de deux, trois ou quatre courbes. En effet, les portions \(\cC_2\) et \(\cC_4\) pourraient être réduites à un seul point. Ceci arrive si \(\phi_1(a) = \phi_2(a)\) ou si \(\phi_1(b) = \phi_2(b)\text{.}\) Mais ça n’a pas d’importance, car sur ces portions, même si elles étaient là, nous aurons que \(x\) est constante et donc, dans tout paramétrage, nous aurons \(x'(t)=0\text{,}\) de sorte que
\begin{align*}
\int_{\cC_2} P\, dx \amp = \int_{\cC_4} P\, dx =0
\end{align*}
Ainsi, nous obtenons
\begin{align*}
\iint_{\cR} \pdiff{P}{y}\, dA \amp = -\left[ \int_{\cC_1} P\, dx + \int_{\cC_3}P\, dx\right] \\
\amp = -\int_{\partial \cR} P\, dx.
\end{align*}
Pour montrer que
\begin{align}
\iint_{\cR}\pdiff{Q}{x} \amp = \int_{\partial \cR} Q\, dy \tag{✶✶}
\end{align}
on procède de la même façon, mais en exprimant l’intégrale double de départ comme une intégrale itérée dans l’autre ordre d’intégration :
\begin{equation*}
\iint_{\cR} \pdiff{Q}{x} \, dA = \int_{c}^d \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} Q(x,y)\, dx\, dy.
\end{equation*}
Le résultat suit alors d’additionner les équations
(✶) et
(✶✶).
