Dans cette section nous verrons le troisième des théorèmes classiques du calcul vectoriel, à savoir, le Théorème de la divergence. Ce résultat est aussi connu sous le nom de Théorème de Gauss, ou encore Théorème d’Ostrogradsky.
Le Théorème de Stokes est une généralisation de ce que nous avons appelé la forme tangentielle du Théorème de Green 4.5.2. En effet, celui-ci traite de régions dans le plan, tandis que le Théorème de Stokes 4.8.1 traite de surfaces dans l’espace. Le Théorème de Stokes restreint aux surfaces du plan devient le Théorème de Green (forme tangentielle).
Une autre généralisation est possible : plutôt que de passer de surfaces dans le plan à des surfaces dans l’espace, nous pouvons passer de régions planes dont le bord est une courbe fermée (ou une réunion de courbes fermées) à des régions solides dont le bord est une surface fermée (ou une réunion de surfaces fermées) et nous intéresser au flux d’un champ de vecteurs à travers la surface en question. La version normale du Théorème de Green 4.5.11 devient alors le Théorème de la divergence.
Pour commencer nous allons considérer des régions de \(\R^3\) avec lesquelles il est aisé de travailler. Lorsque nous avons étudié les intégrales triples, nous avons défini ce qu’une région élémentaire est (voir la définition 3.4.4). Une région de \(\R^3\) sera dite simple si elle est simultanément des types (†), (††) et (†††).
Une telle région admet pour frontière une surface \(\cS = \partial \cE\) qui est la réunion de surfaces lisses. De plus, nous allons convenir que \(\cS\) sera orientée vers l’extérieur de \(\cE\text{.}\) Nous adopterons cette convention pour toute surface fermée (c’est à dire qui est le bord d’une région solide).
\(\cS_1 :\) la portion du plan \(z=0\) limitée par les inégalités \(-1\leqslant x \leqslant 1\) et \(x^2 \leqslant y \leqslant 1\text{.}\) Dans cette région, le vecteur normal à la surface est \(\vn_1 = - \vk\) (en orange dans la figure). C’est le bord inférieur de \(\cE\text{,}\) en orange dans la figure.
\(\cS_2 :\) la portion du cylindre \(y=x^2\) comprise entre le plan \(z=0\) et le plan \(y+z=1\text{.}\) C’est la partie latérale du bord de \(\cE\text{,}\) elle est en vert dans la figure. Le vecteur normal sur cette portion du bord de \(\cE\) est \(\vn_2 = 2x\vi - \vj\) (en vert).
\(\cS_3 :\) la portion du plan \(z=1-y\) qui se trouve au dessus de la région du plan \(z=0\) que nous avons nommé \(\cS_1\) ci haut, il s’agit du bord supérieur de \(\cE\text{,}\) en bleu dans la figure ci-haut. Le vecteur normal correspondant est \(\vn_3 = \vj + \vk\text{,}\) en bleu.
Nous pouvons maintenant énoncer le Théorème de la divergence. En essence il dit que le flux d’un champ \(\vF\) vers l’extérieur d’une région \(\cE\text{,}\) c’est à dire l’intégrale double de \(\vF\) à travers la surface \(\cS = \partial \cE\) est égal à l’intégrale triple de la divergence de \(\vF\) sur toute la région \(\cE.\)
Soit \(\cE\) une région simple de \(\R^3\) et \(\cS = \partial \cE\) orientée vers l’extérieur de \(\cE\text{.}\) Soit \(\vF\) un champ de vecteurs de classe \(C^1\) sur une region contenant \(\cE\) dans son intérieur. Alors
Soit \(\vF =(x^3 + y^3)\vi + (y^3 + z^3)\vj + (z^3+ x^3)\vk\text{.}\) Calculer le flux de \(\vF\) vers l’extérieur de la sphère \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\)
Soit \(\cE\) la boule unité, c’est à dire la région de \(\R^3\) verifiant \(x^2+ y^2 + z^2 \leqslant 1\text{.}\) Nous avons \(\partial \cE = \cS\) est la sphère donnée.
Soit \(\cE\) la région limitée par le cylindre \(y=x^2\) et les plans \(z=0\) et \(y+z=1\) (c’est la région de l’exemple 4.9.1, voir aussi la figure 4.9.2)
Le Théorème de la divergence nous permet de ramener le calcul de l’intégrale de flux à une intégrale triple. À l’exemple 3.4.5 nous avons déjà considéré cette région et établi les bornes d’intégration. On obtient alors
Voyons maintenant un exemple montrant comment utiliser le théorème de la divergence pour calculer le flux d’un champ à travers une surface qui n’est pas fermée. On comparera avec l’exemple 4.5.6.
Soit \(\vF = xy\, \vi + yz\, \vj + xz\, \vk \) et \(\cS\) la surface limitée par les plans de coordonnées et les plans \(x=1\) et \(y=1\text{.}\) Calculer le flux de \(\vF\) à travers \(\cS\text{,}\) orientée vers l’extérieur du cube.
Figure4.9.7.La surface qui nous intéresse est coloriée en gris. Ce sont 5 des 6 faces du cube. La face manquante est celle en brun. Le champ de vecteurs se trouve également représenté.
En effet, si \(\cE\) est le cube unité, alors \(\partial \cE\) est formée de \(\cS\) avec en plus le carré de sommets \((0,0,1), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,1)\text{.}\) Soit donc \(\cS'\) ce carré, de sorte que \(\partial \cE = \cS \cup \cS'\text{.}\) On peut appliquer le théorème de la divergence au cube \(\cE\text{,}\) ce qui nous donnera
Le flux qui nous intéresse est le premier terme de la somme, tout à droite. Nous allons calculer le terme de gauche (l’intégrale triple), ainsi que le tout dernier terme pour déduire la valeur qui nous intéresse.
Calculons maintenant le flux à travers \(\cS'\text{.}\) Sur cette surface, nous avons \(z=1\) et le vecteur normal est \(\vk\text{.}\) Ainsi, sur \(\cS'\)
Notons que \(\cS\) est formée de 5 surfaces, on pourrait dont calculer notre flux avec 5 intègrales de surface. Aucune d’elles n’est particulièrement difficile, c’est un peu long.
Calculer le flux \(\displaystyle \iint_{\cS} \vF \cdot d\vS\) où \(\vn \) est le vecteur normal unitaire pointant vers l’extérieur de \(\cS\text{,}\) la portion de la surface \(z^2=x^2+y^2\) vérifiant \(1\leqslant z\leqslant 2\text{,}\) et où
Le terme \(e^{\cos x}\) dans \(\vF\) suggère qu’une évaluation directe de l’intégrale peut être ardue 1
En fait, il est possible d’évaluer l’intégrale directement. Il suffit de remarquer que la partie problématique est une fonction impaire par rapport à \(y\text{,}\) et donc son intégrale est nulle.
et nous utilisons à nouveau le théorème de la divergence. À nouveau, \(\cS\) n’est pas la frontière d’une région solide \(\cE\text{.}\) Il s’agit de la portion du cône illustré dans la figure ci-après. Il manquerait un couvercle en haut et un autre en bas.
Figure4.9.9.La surface \(\cS\) (en orange foncé) est une portion du cône \(x^2 + y^2 = z^2\text{.}\) Avec en plus les deux disques horizontaux (en gris) elle constitue la frontière d’une région solide \(\cE\) de \(\R^3\text{.}\)
Le terme de gauche, celui que nous voulons avoir, n’est pas facile à calculer directement. Cependant, les trois autres termes, ceux de droite, se calculent aisément.
Le volume de \(\cE\) peut être calculé facilement de plusieurs façons. Nous le faisons avec une intégrale simple. Pour ceci nous découpons \(\cE\) en tranches horizontales, voir la figure ci-bas
L’hypothèse à l’effet que le champ \(\vF\) admet des dérivées partielles continues sur toute la région \(\cE\) est cruciale. L’exemple ci-après le montre. Gardons à l’esprit que pour le Théorème de Green nous avons quelque chose de semblable, voir notamment la mise en garde 4.5.9 ainsi que l’exemple 4.5.10.
D’autre part, le bord de \(\cE\) est la sphère unité \(\cS = \partial \cE = \Set{(x,y,z)}{x^2+y^2+z^2 = 1}\text{.}\) Le vecteur normal unitaire à \(\cS\) est \(\vn = \frac{\vr}{|\vr|}\) de sorte que
Tout comme le bord d’une région du plan peut être formé de plusieurs courbes (voir par exemple la figure 4.5.7), le bord d’une région solide \(\cR\) de \(\R^3\) peut être formé de plusieurs surfaces. Dans ce cas la formule du théorème de la divergence reste valable, mais il faut orienter chaque surface convenablement, c’est à dire toujours en pointant vers l’extérieur de \(\cR\text{.}\) Dans le fond, c’est la même idée que celle qui a été mise à l’oeuvre à l’exemple 4.5.8.
Soit comme avant le champ \(\vF =\frac{\vr}{|\vr|^3}\) (où \(\vr = x\,\vi + y\, \vj + z\,\vk\)).
Soient \(a,b\) deux réels tels que \(0 \lt a \lt b\) et \(\cE\) la région de \(\R^3\) définie par \(a^2 \leqslant x^2+ y^2 + z^2 \leqslant b^2\text{.}\) Calculuer le flux de \(\vF\) vers l’extérieur de \(\vF\text{.}\)
Montrer que le flux de \(\vF\) à travers n’importe quelle sphère (vers l’extérieur de celle-ci) peut prendre seulement deux valeurs, selon que la sphère englobe l’origine ou pas. Calculer ces valeurs.
Notons que notre champ est le même que celui de l’exemple 4.9.11. Cette fois, cependant, nous n’avons aucun problème de continuité sur la région \(\cE\text{.}\) La formule du théorème de la divergence reste valable. Nous avons déjà calculé \(\div{\vF} ? \vnabla \cdot \vF = 0\text{.}\) Ainsi, le flux qui nous intéresse est
\begin{equation*}
\iiint_{\cE} \div{\vF}\, dV = \iiint_{\cE} \vnabla \cdot \vF \, dV = 0.
\end{equation*}
Soit \(\cS\) une sphère quelconque, et supposons pour commencer que \(\cS\) n’englobe pas l’origine. Ceci veut dire que la distance de son centre à l’origine est strictement supérieure à son rayon. Soit \(\cB\) la boule limitée par notre sphère. Notre hypothèse à l’effet que l’origine n’est pas englobé dans \(\cB\) permet d’utiliser le théorème de la divergence, et de calculer directement
Supposons maintenant que \(\cS\) englobe l’origine. La distance du centre de \(\cS\) à l’origine est donc strictement inférieure à son rayon. Il existe donc \(h\gt 0\) tel que la sphère de rayon \(h\) centrée à l’origine, nommons-la \(\cS_h\) est totalement englobée par la sphère donnée \(\cS\text{.}\)
Soit cette fois \(\cV\) la région comprise entre \(\cS_h\) et \(\cS\text{,}\) c’est à dire \(\cV = \cS \cup \cS_h\text{.}\) Nous avons alors, grâce au même calcul que celui de la première partie, que
Comme partie de la frontière de \(\cV\text{,}\) la sphère \(\cS_h\) doit être orientée par le vecteur normal unitaire qui pointe vers l’origine, à savoir \(-\vr / |\vr|\text{.}\) Compte tenu de cette orientation, le calcul de la partie b de l’exemple 4.9.11 nous donne
La surface \(\cS\) est représentée dans la figure ci-bas. Elle est plutôt compliquée, mais son bord \(\partial \cS\) est plutôt simple, il s’agit du cercle \(x^2+y^2=1\text{,}\)\(z=0\text{.}\)
Figure4.9.14.La surface \(\cS\text{,}\) en orange. En bleu la surface \(\cS'\text{.}\) La région \(\cV\) de \(\R^3\) est limitée par la réunion des deux surfaces. On trouve également les vecteurs normaux.
L’évaluation de l’intégrale de surface n’est pas quelque chose de simple, les formules sont suffisamment compliquées pour qu’on veuille procéder autrement. Dans cette solution nous allons nous servir du théorème de la divergence, notamment parce que
Nous commençons pat trouver une autre surface \(\cS'\) telle que son bord \(\partial \cS'\) soit aussi le cercle \(x^2+y^2=1\text{,}\)\(z=0\text{.}\) Un choix raisonnable pour \(\cS'\text{,}\) celle que nous allons utiliser, est le disque
Nous allons définir \(\cV\) comme étant le solide limité en haut par \(\cS\) et en bas par \(\cS'\text{.}\) Ainsi, le bord de \(\cV\) est \(\cS \cup \cS'\text{.}\)
Pour cette deuxième solution, nous utiliserons plutôt le théorème de Stokes. Puisque \(\vnabla \cdot \vG = 0\text{,}\) à la lumière du théorème 4.3.7, il est permis de penser qu’il existe un champ \(\vF \) tel que \(\vG = \vnabla \times \vF\text{.}\) Un tel champ est appelé un potentiel vectoriel pour \(\vG\text{.}\) Si c’était effectivement le cas, nous aurions, en vertu du théorème de Stokes,
Cherchons donc un potentiel vectoriel \(\vF = P \, \vi + Q\,\vj + R\, \vk\text{.}\) Supposons pour commencer que \(R = 0\text{,}\) de sorte que \(\vF = P\, \vi + Q\,\vj\) et l’égalité \(\vnabla \times \vF = \vG\) se traduit par les égalités
Un choix possible est \(\phi(x,y) = x^2\) et \(\psi(x,y) = 0\text{.}\) Ceci conduit à \(\vF = (z^1 +2xz)\vi + (x^2 -2xz)\vj + 0\vk\text{.}\) On vérifie en effet que \(\vnabla \times \vF = \vG\text{,}\) comme on le voulait.
Le cercle \(\cC = \partial \cS\) peut être paramétré par \(\vr(t) = \cos t\, \vi + \sin t\, \vj + 0 \vk\) pour \(t\in[0,2\pi]\) (l’orientation est compatible avec celle de \(\cS\)). On calcule alors
où \(\ast \) peut être \(\cdot\) (un produit scalaire), \(\times\) (un produit vectoriel) ou rien du tout (le produit d’un vecteur par un scalaire). Lorsque \(\ast =\cdot\) ou \(\ast =\times\text{,}\) alors \(\tilde F=\vF\text{.}\) Lorsque \(\ast \) n’est rien du tout, \(\tilde F=f\text{,}\) une fonction à valeurs scalaires.
Pour utiliser le deuxième ligne, nous avons utilisé la formule du théorème théorème 4.3.16.c. Pour avoir la troisème ligne, nous avons simplement utilisé le fait que \(\va\) est constant, de sorte que toutes les dérivées sont nulles. On peut écrire de façon équivalente
En particulier, en choisissant \(\va=\vi\text{,}\)\(\vj\) et \(\vk\text{,}\) nous obtenons que les trois composantes du vecteur \(\iint_{\partial \cV} f\vn \,\dee{S} -\iiint_{\cV} \vnabla f\ \dee{V}\) sont nulles. Il vient donc
Afin d’établir la validité de la troisième formule, on applique le théorème de la divergence au champ \(\va\times\vF\text{,}\) où \(\va\) est n’importe quel vecteur constant.
Pour obtenir la deuxième ligne, nous avons utilisé l’identité établie à la partie d., théorème 4.3.16 Pour obtenir la troisième ligne, nous utilisons à nouveau le fait que \(\va\) est constant, de sorte que ses dérivées sont nullles. Nous avons aussi une identité concernant una combinaison du produit vectoriel et le produit scalaire : \((\va\times\vb)\cdot\vc=\va\cdot(\vb\times\vc)\) (ceci a été établi à la partie a. de la proposition 1.4.6. Ainsi
En particulier, en choisissant \(\va=\vi\text{,}\)\(\vj\) et \(\vk\text{,}\) nous voyons que les trois composantes du vecteur \(\iint_{\partial \cV} \vF\times\vn\ \dee{S} +\iiint_{\cV} \vnabla\times\vF\ \dee{V}\) sont nulles. Ainsi
Sous-sectionApplication : l’équation de la chaleur
Soit \(T(x,y,z,t)\) la température au temps \(t\) au point \((x,y,z)\) pour un objet occupant une région \(\cB\) de l’espace. L’équation de la chaleur 2
L’équation de la chaleur a été formulée par le mathématicien et physicien français Jean-Baptiste Joseph Fourier en 1807. Il a vécu de 1768 à 1830, une période qui comprend à la fois la Révolution française et le règne de Napoléon. Fourier a fait partie du comité révolutionnaire local, a été brièvement emprisonné pendant la Terreur et a été le conseiller scientifique de Napoléon Bonaparte lors de son expédition en Égypte en 1798. Les séries de Fourier et la transformée de Fourier portent son nom. On lui attribue également la découverte de l’effet de serre.
est l’équation aux dérivées partielles qui décrit le flux d’énergie thermique, et donc le comportement de \(T\text{.}\) Montrons comment le théorème de la divergence permet de déduire l’équation de la chaleur à partir de certaines “lois”, de la physique que nous prennons pour acquises :
La quantité d’énergie pour agumenter la température d’un objet de \(\De T\) degrés est \(CM\,\De T\) où, \(M\) est la masse de l’objet et \(C\) est une constante positive déterminée par le matériau duquel l’objet est fait, c’est ce qu’on appelle la “chaleur spécifique” 3
On comprend maintenant que la chaleur provient de l’énergie interne de l’objet. Dans une théorie antérieure, la chaleur était considérée comme la mesure d’un fluide invisible, appelé calorique. Le médecin et chimiste écossais Joseph Black (1728-1799) a appelé le “calorique”. La quantité de calorique qu’un objet peut contenir était appellée la “capacité calorique” par le médecin et chimiste écossais Joseph Black (1728–1799).
Pensons à l’énergie thermique comme un fluide en mouvement. Nous allons considérer son champ de vitesses de sorte que la chaleur dans la direction opposée à celle du gradient de température, c’est à dire \(-\ka\vnabla T(x,y,z,t)\text{.}\) Ici \(\ka\) est une autre constante positive, appellée la “conductivité thermique” de l’objet. Ainsi, le taux avec lequel la chaleur est conduite à travers une portion de surface d’aire \(\dee{S}\) au point \((x,y,z)\) dans la direction du vecteur normal \(\vn\) est donnée par \(-\ka\vn\cdot\vnabla T(x,y,z,t)\,\dee{S}\) au temps \(t\text{.}\) (voir le Lemme 4.7.10 au besoin.) Par exemple, dans la figure
le gradient de température, qui pointe dans la direction d’augmentation de température est l’opposé de \(\vn\text{.}\) En conséquence, le taux de flux \(-\ka\vn\cdot\vnabla T(x,y,z,t)\,\dee{S}\) est positif, ce qui indique le flux dans la direction de \(\vn\text{.}\) Ceci correspond à ce qu’on attend — la chaleur “s’écoule” des régions chaudes vers les régions froides. De plus, le taux de flux grandit à mesure que la norme du gradient de température grandit. Ceci fait du sens, et rappelle la loi du refroidissement de Newton.
Il faut tout de même que sa frontrière soit sufisament raisonnable pour pouvoir appliquer nos théorèmes
partie dans notre objet, soit \(\partial \cV\) sa frontière et \(\vn\) un vecteur normal à \(\partial \cV\) pointant vers l’extérieur de \(\cV\text{.}\) La quantité de chaleur qui entere dans \(\cV\) à travers un petit morceau de surface \(\dee{S}\) de \(\partial \cV\) pendant un petit intervalle de temps \(\dee{t}\) est \(-\big(-\ka\vn\cdot\vnabla T(x,y,z,t)\,\dee{S}\big)\,\dee{t}\text{.}\) La quantité de chaleur qui entre dans \(V\) à travers toute sa fonritère \(\partial \cV\) pendant cet intervalle de temps est donnée par
Pendant cette même prériode de temps, la températur au point \((x,y,z)\) dans \(\cV\) varie de \(\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\dee{t}\text{.}\) Si la densité de l’objet au point \((x,y,z)\) est \(\rho(x,y,z)\text{,}\) la quantité d’énergie requise pour faire accroitre la température d’un petit morceau de volume \(\dee{V}\) centré à \((x,y,z)\) de \(\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\dee{t}\) est \(C(\rho\dee{V})\,\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\dee{t}\text{.}\) La quantité d’énergie requise pour accroître la température de toute la région \(\cV\) de \(\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\dee{t}\) est alors
Supposons maintenant que notre objet ne dissipe ni engendre de la chaleur 5
La théorie du “calorique” a elle-même été refutée par l’expérience dy physicien états-unien / britannique Benjamin Thompson (1753–1814) qui a réussi a faire boullir de l’eau en utilisant la chaleur engendrée par la friction pendant l’alésage d’un canon.
par lui-même. Ainsi, cette quantité doit être égale à la quantité de chaleur qui entre dans \(\cV\) pendant ce laps de temps, c’est à dire
Intégrer par rappport à \(t\) nous permet, en quelque sorte de sumplifier \(\dee{t}\text{.}\) Nous pouvons écrire l’expression de gauche comme une intégrale triple sur tout \(\cV\text{,}\) grâce au théorème de la divergence, ce qui donne
Comme ces deux intégrales ont le même domaine, nous avons
\begin{align*}
&\iiint_{\cV} \ka\vnabla\cdot\vnabla T\,\dee{V}
-\iiint_{\cV} C\rho\frac{\partial T}{\partial t}\,\dee{V} =0\\
&\hskip1in\implies
\iiint_{\cV} \left[\ka\vnabla^2 T - C \rho\frac{\partial T}{\partial t}\right]\,\dee{V}=0
\tag{H}
\end{align*}
où \(\vnabla^2=\vnabla\cdot\vnabla=\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2}\) est le laplacien. Ceci étant vrai pour toute région \(\cV\text{,}\) et pour tout instant \(t\text{,}\) nous prétendos qu’il faut nécessairement avoir
En effet, supposons au contraire qu’il existe un point \((x_0,y_0,z_0)\) dans \(\cB\) et un instant \(t_0\) tels que, par exemple, \(\ka\vnabla^2 T(x_0,y_0,z_0,t_0) -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x_0,y_0,z_0,t_0) \gt 0\text{.}\) En vertu de la continuité \(\ka\vnabla^2 T(x,y,z,t_0) - C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t_0)\) doit être près de \(\ka\vnabla^2 T(x_0,y_0,z_0,t_0) -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x_0,y_0,z_0,t_0)\) lorsque \((x,y,z)\) est proche de \((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Ainsi, nous aurions
En guise d’application, étudions la température à une certaine distance de la surface de la Terre. Pour simplifier, supposons que la Terre est plate et que la température \(T\text{,}\) dépend seulement du temps \(t\text{,}\) et de la profondeur, \(z\text{.}\) Dans ce contexte, l’équation de la chaleur devient
Nous choisissons notre systè de coordonnés de sorte que la surface de la Terre correspond à \(z=0\) et de sorter que \(z\) augmente à mesure qu’on descend. Nous supposerons aussi que la température à la surface, \(T(0,t)\) est principalement déterminée par le soleil et est donnée par
Ici \(T_0\) est la température moyenne à long terme, \(T_A\cos(\sigma t)\) prend e compte des variations saisonnières, tandis que \(T_D\cos(\delta t)\) donne les variations quotidiennes.
Nous mesurons le temps en jours, de sorte que \(\delta =2\pi\) et \(\sigma =\frac{2\pi}{1\ {\rm year}}=\frac{2\pi}{365{\rm days}}\text{.}\) Alors \(T_A\cos(\sigma t)\) a une période d’un an et \(T_D\cos(\delta t)\) a une pédiode d’un jour. La solution du problème à valeurs initiales (HE)+(BC) peut être trouvée avec la méthode de séparation des variables, un sujet standard dans les cours d’équations différentielles. La solution est
Voyons maintenant ce qu’on peut tirer de la solution de (SLN). Pour une profondeur fixe \(z\text{,}\) la moyenne par rapport au temps de \(T(z,t)\) est \(T_0\) (simplement parceque la valeur moyenne de la fonction cosinus est nulle), la même que la température moyenne à la surface, c’est à dire lorsque \(z=0\text{.}\)
a une amplitude \(T_Ae^{-\sqrt{\sigma \over 2\alpha}\ z}\) qui vaut \(T_A\) à la surface et décroît exponentiellement à mesure que \(z\) grandit. Un acroissement de la profondeur \(z\) de \(\sqrt{\frac{2\alpha}{\sigma}}\) entraîne une diminution de l’amplitude de l’oscillation d’un facteur \(\frac{1}{e}\text{.}\) Ces deux preières observations sont probablement en accord avec notre intuition, mais la solution a aussi une troisième propriété, qui est peut être moins évidente.
Elle a un décalage dans le temps de \(\frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}}\) par rapport à \(T_A\cos(\sigma t)\text{.}\) Le terme pour la surface, \(T_A\cos(\sigma t)\) atteint son maximum lorsque \(t=0,\ \frac{2\pi}{\sigma},\ \frac{4\pi}{\sigma},\ \cdots\text{.}\) À une profondeur \(z\) le terme correspondant \(T_Ae^{-\sqrt{\sigma \over 2\alpha}\ z}
\cos\Big(\sigma t-\sqrt{\frac{\sigma }{2\alpha}}\ z\Big)\) atteint son maximum lorsque \(\ \sigma t-\sqrt{\frac{\sigma }{2\alpha}}\ z
=0,\ 2\pi, 4\pi,\ \cdots\) de sorte que \(t=\frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}},\ \frac{2\pi}{\sigma}+\frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}},\ \frac{4\pi}{\sigma}+\frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}},\ \cdots\text{.}\)
a une amplitude qui vaut \(T_D\) à la surface et décroît exponentiellement d’un facteur \(\frac{1}{e}\) pour une augmentation de \(\sqrt{\frac{2\alpha}{\delta}}\) de la profondeur.
pour \(z\) mesurée en centimètres. Ainsi, à une profondeur de quelques mètres la température est relativement constante dans le temps. Ce qui varie est décalé par rapport à la surface de quelques mois.
Calculer, de deux façons calculer \(\iint_{\cS}\vF\cdot \vn \,\dee{S}\text{,}\) où \(\vF=z\,\vk \text{,}\)\(\cS\) est la surface \(x^2+y^2+z^2=a^2\) et \(\vn \) est le vecteur normal à \(\cS\) pointant vers l’extérieur.
\(\cD\) la partie surface intégieur de \(\cV\text{.}\) Puisque \(\frac{9-x^2-y^2}{9+x^2+y^2}\) est positive pour\(x^2+y^2 \lt 9\) et négative pour \(x^2+y^2 \gt 9\text{,}\) la surface inférieure est \(z=0\text{,}\)\(x^2+y^2\leqslant 9\text{.}\)
Soit \(\cS\) la portion courbée du bord de \(\cV\text{.}\) Il s’agit de \(z={9-x^2-y^2\over 9+x^2+y^2}\text{,}\)\(x^2+y^2\leqslant 9\text{.}\) Voici une esquisse
Évaluer, par deux méthodes, l’intégrale \(\iint_{\cS}\vF\cdot \vn \,\dee{S}\text{,}\) où \(\vF=(x,y,1)\text{,}\)\(\cS\) est la surface \(z=1-x^2-y^2\) pour \(x^2 y^2 \leqslant 1\text{,}\) et \(\vn \) est le vecteur normal pointant vers le haut.
D’abord par un calcul direct de l’intégrale de surface;
La paroi d’un silo à grains est décrite par la portion du cylindre \(x^2 + y^2 = 1\) avec \(0 \leqslant z\leqslant 1\text{.}\) Le toit du silo est la portion de la sphère \(x^2+ y^2+ z^2 = 2\) qui se trouve à l’intérieur du cylindre, au dessus du plan \(xy\text{.}\) Calculer le flux du champ de vecteurs
Soit \(\cB\) la boule de volume \(V\) centrée au point \((x_0, y_0, z_0)\text{,}\) et soit \(\cS\) la sphère qui est le bord de \(\cB\text{.}\) Calculer le flux de \(\vF = x^2\vi + xy\vj +(3 z - yz)\vk \) vers l’extérieur de \(\cB\text{.}\)
Utiliser le théorème de la divergence pour calculer le flux de \(x\vi +y\vj +2z\vk \) à travers la portion de l’ellipsoïde
\begin{equation*}
x^2+y^2+2z^2=2
\end{equation*}
telle que \(z\geqslant 0\text{.}\) [Note: l’ellipsoïde \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) a un volume égal à \(\frac{4}{3}\pi abc\text{.}\)]
Soit \(\cE\) la région solide bornée par les surfaces \(z^2 - x^2 - y^2 + 1 = 0\text{,}\)\(z = 1\) et \(z = -1\text{.}\) Soit \(\sigma\) la surface qui est le bord de \(\cE\text{.}\) Calculer le flux de \(\vF\) vers l’extérieur, à travers \(\sigma\text{.}\)
Soit \(\cR\) la région solide limitée par les surfaces \(z^2 - x^2 - y^2 + 4y - 3 = 0\text{,}\)\(z = 1\) et \(z = - 1\text{.}\) Soit \(\Sigma\) la surface qui est le bord de \(\cR\text{.}\) Calculer le flux de \(\vF\) vers l’estérieur, à travers \(\Sigma\text{.}\)
et \(\cS\) est la surface qui est le bord de la région solide limitée par le cylindre \(x^2 + y^2 = 2\) et les plans \(z = 0\) et \(z = 2x + 3\text{.}\) La surface est orientée positivement, c’est à dire le vecteur normal pointe vers l’extérieur.
Trouver le flux du champ \((x + y, x + z, y + z)\) à travers la surface cylindrique d’équation \(x^2 + z^2 = 4\text{,}\) qui s’étend de \(y = 0\) à \(y = 3\text{.}\) (Seulement la partie courbée, pas les disques Only the curved part à droite et à gauche). La surface est orientée avec le vecteur normal pointant en s’éloignant de l’axe \(y\text{.}\)
On considère la surface de révolution obtenue en faisant tourner la courbe \(z=1-x^4\) autour de l’axe \(z\text{.}\) Soit \(\cS\) la portion de cette surface qui se trouve au dessus du plan \(xy\text{,}\) orienté par un vecteur normal qui pointe vers le haut. Le bord de \(\cS\) est le cercle de rayon \(1\) centré à l’origine qui se trouve sur le plan \(xy\text{.}\)
où \(\vF(x, y, z) = \big(\cos z + xy^2\,,\, xe^{-z}\,,\, \sin y + x^2 z\big)\) et \(\cS\) est le bord de la région limitée par le paraboloïde \(z = x^2 + y^2\) et le plan \(z = 4\text{,}\) orientée vers l’extérieur.
Soit \(\cB\) la région solide comprise entre les plans \(x=-1\text{,}\)\(x=1\text{,}\)\(y=0\text{,}\)\(y=2\) et bornée en dessous par le plan \(z=0\) et au dessus par le plan \(z+y=3\text{.}\) Soit \(\cS\) le bord de \(\cB\text{.}\) Calculer le flux du champ
Soit \(\cS\) l’hémisphère \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\text{,}\)\(z\geqslant 0\text{,}\) orienté par le vecteur normal qui s’éloigne de l’origine. Calculer l’intégrale
Soit \(\cS\) la portion du paraboloïde \(z = x^2 + y^2\) en dessous du plan \(z = 4\) orientée de sorte à ce que le vecteur \(\vn \) a une composante \(\vk \) positive. Calculer le flux de \(\vF\) à travers \(\cS\text{.}\)
(d) Les intégrales de flux \(\iint_{S_1} \vF\cdot\vn \,\dee{S}\) et \(\iint_{S_2} \vF\cdot\vn \,\dee{S}\) sont différentes, à cause du point \((0,0,0)\text{,}\) où \(\vnabla\cdot\vF\) n’est pas bien définie et l’origine est contenu à l’intérieur de la région limitée par \(\cS_1\) mais pas à l’intérieur de celle limitée par \(\cS_2\text{.}\)
Soit \(\cS\) la portion de l’hyporboloïde \(x^2 + y^2 -z^2 = 1\) se trouvant entre les plans \(z=-1\) et \(z=1\text{.}\) Trouver le flux de \(\vF = (x+e^{yz})\,\vi +\big(2yz+\sin(xz)\big)\,\vj +(xy-z-z^2)\,\vk \) vers l’extérieur de \(\cS\text{..}\)
Soit \(\vF\) le champ de vecteurs \(\vF(x,y,z)=(x^2-y-1)\,\vi +(e^{\cos y}+z^3)\,\vj +(2xz+z^5)\,\vk \text{.}\) Calculer \(\iint_{\cS}\vnabla\times \vF\cdot\vn \,\dee{S}\) où \(\cS\) est la portion de l’ellipsoide \(x^2+y^2+2z^2=1\) vérifiant \(z\geqslant 0\text{.}\)
Soit \(\cS\) la portion de la sphère \(x^2+y^2+(z-1)^2=4\) qui se trouve au dessus du plan \(xy\text{.}\) Find the flux of \(\vF=(x^2+e^{y^2})\,\vi +(e^{x^2}+y^2)\,\vj +(4+5x)\,\vk \) outward across \(\cS\text{.}\)
Trouver le flux de \(\vF=(y+xz)\vi +(y+yz)\vj -(2x+z^2)\vk \) vers le haut, à travers la portion de la sphère \(x^2+y^2+z^2=a^2\) qui se trouve dans le premier ocrant.
Soit \(\vE(\vr)\) le champ électrique du à une configuration de charges électriques de densité (de charge) \(\rho(\vr)\text{.}\) La loi de Gauss dit que si \(\cV\) est un solide dans \(\R^3\) avec bord (surface) \(\partial V\text{,}\) alors le flux electrique
pour tout \(\vr\) dans \(\R^3\text{.}\) Ceci est l’une des équations de Maxwell. Prendre pour acquis que \(\vnabla\cdot\vE(\vr)\) et \(\rho(\vr)\) sont bien définis et continus partout.
où \(\vr=x\,\vi +y\,\vj +z\,\vk \) et, comme d’habitude \(\vn \) est le vecteur normal à \(\partial \cV\) qui pointe vers l’extérieur. Expiquer géométriquement ce résultat.
Soit \(\cS\) la sphère de rayon \(3\) centrée à l’origine orientée vers l’extérieur. Étant donné le champ de vecteurs \(\vF(x,y,z) = (0, 0, x + z)\text{:}\)
Calculer (avec la définition) le flux de \(\vF\) à travers \(\cS\)
Considére le cube de côté \(1\) qui se trouve dans le premier octant (\(x \geqslant 0\text{,}\)\(y \geqslant 0\text{,}\)\(z \geqslant 0\)) ayant un sommet à l’origine et le somme opposé au point \((1, 1, 1)\text{.}\) Un de ses faces se trouve dans le plan \(x = 0\text{,}\) une autre dans \(y = 0\text{,}\) et une troisième dans le plan \(z = 0\text{.}\) Les trois autres faces se trouvent dans les plans \(x = 1\text{,}\)\(y = 1\text{,}\) et \(z = 1\text{.}\) Soit \(\cS\) la surface ouverte formée par les \(5\) faces du cube qui ne se trouvent pas dans le plan \(z = 0\text{.}\) La surface \(\cS\) est orientée de sorte que le normal uniatire pointe vers l’extérieur du cube. Trouver la valeur de
Considérer maintenant \(\cS\text{,}\) la portion de la surface \(z = xy\text{,}\) qui se trouve à l’intérieur du cylindre \(x^2 + y^2 = 9\text{.}\) Calculer le flux vers l’extérieur de du champ \(\vF = (y, x, 3)\text{.}\)
Trouver le flux de \(\vF = (y, x, 3)\) à travers la surface cylindrique \(x^2 + y^2 = 9\) entre \(z = xy\) et \(z = 10\text{.}\) L’orientation est celle qui pointe en s’éloignant de l’axe des \(z\text{.}\)
(c) Soit \(\cS\) une surface qui délimite un solide \(\cV\text{,}\) orientée vers l’extérieur. Si \(\bar z = -\frac{9}{2|\cV| }-1\text{,}\) où \(|\cV| \) est le volume de \(\cV\) et \(\bar z\) est la composante \(z\) du barycentre (i.e. centre de masse si la densité est constante) de \(\cV\text{,}\) alors \(\iint_{S} \vF\cdot\vn \,\dee{S}=-9\text{.}\) Une surface qui vérifie ces conditions est le cube unitaire \(\big(0,0, -\frac{11}{2}\big)\text{.}\)
Calculer les intégrales de surface (méthode au choix).
\(\iint_{\cS} z^2\,\dee{S}\text{,}\) si \(\cS\) est la portion du cône \(x^2 + y^2 = 4z^2\) où \(0 \leqslant x \leqslant y\) et \(0 \leqslant z \leqslant 1\text{.}\)
\(\iint_{\cS} \vF \cdot \vn \,\dee{S}\text{,}\) if \(\vF = z\vk \) and \(\cS\) est le rectangle de sommets \((0, 2, 0)\text{,}\)\((0, 0, 4)\text{,}\)\((5, 2, 0)\text{,}\)\((5, 0, 4)\text{,}\) orienté vers le haut.
\(\iint_{\cS} \vF \cdot \vn \,\dee{S}\text{,}\) où \(\vF = (y - z^2 )\vi + (z - x^2)\vj
+ z^2\vk \) et \(\cS\) est la surface qui délimite la boîte \(0 \leqslant x \leqslant 1\text{,}\)\(0 \leqslant y \leqslant 2\text{,}\)\(0 \leqslant z \leqslant 3\text{,}\) avec le normal pointant vers l’extérieur.
Soit \(\sigma_1\) la surface ouverte donnée par \(z = 1 - x^2 - y^2\text{,}\)\(z \geqslant 0\text{.}\) Soit \(\sigma_2\) la surface ouverte donnée par \(z = x^2 + y^2 - 1\text{,}\)\(z \leqslant 0\text{.}\) Soit \(\sigma_3\) la surface plane donnée par \(z = 0\text{,}\)\(x^2 + y^2 \leqslant 1\text{.}\) Considérer le champ de vecteurs \(\vF = [ a ( y^2 + z^2 ) + bxz ]\,\vi
+ [ c ( x^2 + z^2 ) + dyz ]\,\vj
+ x^2\,\vk \) où \(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\text{,}\) et \(d\) sont des constantes.
Trouver le flux de \(\vF\) à travers \(\sigma_1\) vers le haut.
Trouver les valeurs des constantes \(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\text{,}\) et \(d\) telles que le flux de \(\vF\) vers l’extérieur à travers la surface fermée \(\sigma_1 \cup \sigma_3\) soit nul.
Trouvers les valeurs des constantes \(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\text{,}\) et \(d\) telles que flux de \(\vF\) vers l’extérieur à travers la surface fermée \(\sigma_1 \cup \sigma_2\) soit nul.
Soit \(\Om\subset\R^3\) une région bornée par une surface lisse \(\partial\Om\) et avec normal unitaire \(\vn \text{.}\) Montrer que pour tout champ de vecteurs \(\vF\) de classe \(C^1\) sur \(\Om\cup\partial\Om\text{,}\)
Rappelons que si \(\cS\) est une surface fermée lisse avec normal unitaire \(\vn \text{,}\) alors pour toute fonction lisse \(p(x,y,z)\) sur \(\R^3\text{,}\) on a
où \(\cE\) est la région solide bornée par \(\cS\text{.}\) Montrer qu’en conséquence la force totale exercée sur la surface d’un solide immergé dans ungas de pression constante est nulle. La pression agit dans la direction de la normale à la surface.
Soit \(\vF\) un champ de vecteurs lisse dans \(\R^3\) tel que le flux de \(\vF\) vers l’extérieur de la sphère \(x^2+y^2+z^2=a^2\) est égal à \(\pi(a^3+2a^4)\) pour tout \(a \gt 0\text{.}\) Calculer \(\vnabla\cdot \vF(0,0,0)\text{.}\)
Soit \(\ \vF= (x^2+y^2+z^2)\,\vi +(e^{x^2}+y^2)\,\vj +(3+x+z)\,\vk \ \) et soit \(\cS\) la portion de la surface \(\ x^2+y^2+z^2=2az+3a^2\ \) telle que \(\ z\geqslant 0\text{,}\) orienté en s’éloignant de l’origine. Ici \(a \gt 0\) est constante. Calculer le flux de \(\vF\) à travers \(\cS\text{.}\)
Soit \(\cR\) la portion du cylindre \(x^2 + (y-1)^2 \leqslant 1\) telle que \(0\leqslant z \leqslant y^2\text{;}\) soit \(\cS\) le bord de \(\cR\text{.}\) Étant donné \(\vF = x^2\,\vi + 2y\,\vj - 2z\,\vk \text{,}\)
Trouver le flux total de \(\vF\) vers l’extérieur à travers \(\cS\text{.}\)
Une surface lisse \(\cS\) se trouve au dessus du plan \(z=0\) et a pour bord le cercle \(x^2+y^2=4y\) dans le plan \(z=0\text{.}\) Ce cerle délimite aussi un disque \(\cD\) dans ce plan. Le volume de la région solide \(\cR\) limitée par \(\cS\) et \(\cD\) est de 10 unités cubes. Trouver le flux de
