Calcul multivariable Courbes

Section 1.6 Courbes

Dans cette section et celle qui suit, nous allons étudier des fonctions à valeurs vectorielles d’une variable réelle, c’est-à-dire qu’à un scalaire \(t\text{,}\) nous associerons un vecteur \(\vr(t)\text{.}\) Nous avons déjà rencontré ce genre de construction lorsque nous avons considéré les équations paramétriques de droites, à la Section 1.5. En effet, étant donné \(\vp_0\) et \(\vd\) fixes, on peut considérer l’expression

\begin{equation*} \vp_0 + t \vd \end{equation*}

comme étant une fonction qui, au paramètre \(t\text{,}\) associe un vecteur.

Plus généralement, soit \(I\subseteq \R\) un intervalle. Un chemin dans \(\R^n\) est une fonction.

\begin{align*} \vr :\ \amp I \longrightarrow \R^n\\ \amp t \longmapsto \vr(t) \end{align*}

Bien entendu, les cas les plus intéressants pour nous seront :

\(n=2\) et, dans ce cas, nous écrirons \(\vr(t) = x(t)\vi + y(t)\vj = \dvect{x(t)}{y(t)}\text{;}\)
\(n=3\) et, dans ce cas, nous écrirons \(\vr(t) = x(t)\vi + y(t)\vj + z(t)\vk = \tvect{x(t)}{y(t)}{z(t)}\text{.}\)

Il est très utile de penser qu’un chemin donne en effet la position d’un mobile, \(\vr(t)\) à l’instant \(t\text{.}\) Cette interprétation n’est pas strictement nécessaire, mais elle aide beaucoup à la compréhension des concepts.

Étant donné un chemin \(\vr\text{,}\) son image, que l’on notera \(\plan{C}_\vr\) ou \(\plan{C}\text{,}\) c’est-à-dire l’ensemble

\begin{equation*} \plan{C}_\vr = \{ \vr(t)| t\in I\}, \end{equation*}

décrit une courbe dans \(\R^n\text{.}\) Réciproquement, on dira que le chemin \(\vr\) est un paramétrage de la courbe.

Il faut noter qu’une même courbe peut admettre plusieurs paramétrages différents, ce qui soulève des questions délicates. Pour l’instant, voyons quelques exemples.

Exemple 1.6.1. Paramétrage du cercle \(x^2+y^2=a^2\).

S’il est vrai qu’on utilise souvent \(t\) comme paramètre, il n’y a aucune raison d’utiliser la lettre \(t\) et de penser que le paramètre est le temps. Par exemple, considérons le cercle \(x^2+y^2=a^2\text{.}\) Il est naturel d’utiliser l’angle \(\theta\) de la figure ci-bas comme paramètre.

Ceci donne \(\vr(\theta) = a\cos\theta\vi +a\sin\theta\vj,\qquad 0\leqslant \theta\leqslant 2\pi. \) Il s’agit d’un paramétrage du cercle \(x^2+y^2=a^2\text{.}\)

En effet, ici, nous avons \(x(\theta) = a\cos \theta,\, y(\theta) =a\sin \theta\text{,}\) de sorte que

\begin{equation*} x(\theta)^2 + y(\theta)^2 = (a\cos \theta)^2 + (a\sin\theta)^2 = a^2. \end{equation*}

Ceci montre que la courbe associée à notre fonction \(\vr\) est contenue dans le cercle. De simples considérations géométriques montrent que lorsque \(\theta\) parcourt \([0,2\pi]\text{,}\) \(\vr(\theta)\) parcourt le cercle au complet.

Il faut faire preuve de prudence : savoir que \(\vr(t)\) fait partie d’une courbe ne garantit pas que, à mesure que \(t\) parcourt le domaine de \(\vr\text{,}\) le vecteur \(\vr(t)\) parcourt la courbe en entier. Par exemple, si \(t\) parcourt \(\R\text{,}\) \(\frac{2}{\pi}\arctan(t)\) parcourt l’intervalle \(]-1,1[\text{.}\) De l’équation \(x^2 + y^2 = a^2\text{,}\) on tire \(y = \pm \sqrt{a^2 - x^2}\text{.}\) Ainsi, pour tout \(t\text{,}\)

\begin{equation*} \vr(t) = x(t)\vi + y(t)\vj = a\frac{2}{\pi}\arctan(t)\vi + a\sqrt{1-\frac{4}{\pi^2}\arctan^2(t)}\vj \end{equation*}

est correctement défini et satisfait \(x(t)^2+y(t)^2=a^2\text{.}\) Mais ce chemin n’est pas un paramétrage du cercle, puisque \(y(t)\geqslant 0\text{.}\)

Exemple 1.6.2. Paramétrage de \((x-h)^2+(y-k)^2=a^2\).

On peut modifier le paramétrage de l’Exemple 1.6.1 pour obtenir celui du cercle de rayon \(a\) centré à \((h,k)\text{.}\) Une façon de procéder est de refaire l’esquisse de l’Exemple 1.6.1 avec le cercle translaté de sorte à avoir son centre à la bonne position.

Cette translation s’obtient en additionnant le vecteur \(h\vi + k\vj\text{.}\) Ainsi,

\begin{equation*} \vr(\theta) = \left(h+a\cos\theta\right)\vi + \left(k+a\sin\theta\right)\vj\qquad 0\leqslant \theta\leqslant 2\pi \end{equation*}

est un paramétrage du cercle \((x-h)^2+(y-k)^2=a^2\text{.}\)

Une seconde façon de procéder est de remarquer que l’on peut transformer l’identité \(\cos^2 t + \sin^2 t=1\) pour qu’elle devienne l’équation du cercle \((x-h)^2+(y-k)^2=a^2\text{,}\) en

multipliant l’identité par \(a^2\) pour obtenir \((a\cos t)^2 +(a\sin t)^2 =a^2\text{,}\) et ensuite
en posant \(\ a\cos t=x-h\ \) et \(\ a\sin t=y-k\text{,}\) ce qui transforme \((a\cos t)^2 +(a\sin t)^2 =a^2\) en \((x-h)^2+(y-k)^2=a^2\text{.}\)

Exemple 1.6.3. Paramétrage de \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) et de \(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\).

On peut obtenir des paramétrages des courbes \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) et \(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\) en partant de l’identité \(\cos^2 t + \sin^2 t=1\text{,}\) comme on l’a fait dans la seconde partie de l’exemple précédent.

Si l’on pose \(\ \cos t=\frac{x}{a}\ \) et \(\ \sin t=\frac{y}{b} \text{,}\) alors l’égalité \(\cos^2 t +\sin^2 t =1\) devient \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\text{.}\)
Si l’on pose \(\ \cos t= \big(\frac{x}{a}\big)^{\frac{1}{3}}\text{,}\) et \(\ \sin t=\big(\frac{y}{a}\big)^{\frac{1}{3}}\text{,}\) alors \(\cos^2 t +\sin^2 t =1\) devient \(\frac{x^{2/3}}{a^{2/3}}+\frac{y^{2/3}}{a^{2/3}}=1\text{.}\)

Ainsi,

\begin{alignat*}{2} \vr(t) &= (a\cos t)\,\vi + (b\sin t)\, \vj, \qquad &0\leqslant t\leqslant 2\pi\\ \vr(t) &= (a\cos^3 t)\,\vi + (a\sin^3 t)\, \vj &0\leqslant t\leqslant 2\pi \end{alignat*}

sont des paramétrages des courbes \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) et \(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{.}\) Afin de voir que, si \(t\) parcourt \([0,2\pi]\text{,}\) alors \(\vr(t)\) parcourt la courbe au complet, considérons les figures ci-bas.

La courbe \(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\) est appelée une astroïde. Son équation suggère qu’elle devrait ressembler à un cercle, mais ce n’est pas évident qu’elle admette les coins. Nous aborderons ces aspects plus tard, tangentiellement seulement.

Exemple 1.6.4. Paramétrage de \(e^y=1+x^2\).

Une méthode simple qui peut être utilisée pour paramétrer une courbe donnée par une équation de la forme \(f(x,y)=0\) consiste à utiliser \(x\) ou \(y\) comme paramètre et à isoler pour l’autre variable. Dans cet exemple, puisqu’on peut résoudre \(e^y=1+x^2\) pour avoir \(y\) comme fonction de \(x\text{,}\) en prenant les logarithmes des deux côtés, on obtient \(y=\ln\big(1+x^2\big)\text{,}\) on utilise \(x\) comme paramètre en posant \(t=x\text{.}\) Ceci donne le paramétrage

\begin{equation*} \vr(t) = t\,\vi + \ln(1+t^2)\,\vj \qquad -\infty\lt t\lt \infty. \end{equation*}

Exemple 1.6.5. Nouveau paramétrage de \(x^2+y^2=a^2\).

Il est aussi fréquent qu’on puisse utiliser \(x\) ou \(y\) pour paramétrer une partie d’une courbe, mais pas toute la courbe. Un exemple simple est fourni par le cercle \(x^2+y^2=a^2\text{.}\) Pour chaque \(-a\lt x\lt a\text{,}\) il existe deux points sur le cercle dont l’abscisse est \(x\text{.}\) Ainsi, on ne peut pas utiliser \(x\) pour paramétrer le cercle au complet. La situation avec \(y\) est la même. Cependant,

\begin{alignat*}{2} \vr(t) &= t\,\vi + \sqrt{a^2-t^2}\, \vj,\qquad &-a\lt t\lt a\\ \vr(t) &= t\,\vi -\sqrt{a^2-t^2}\, \vj\qquad &-a\lt t\lt a \end{alignat*}

sont des paramétrages de la moitié supérieure et de la moitié inférieure

En réalité, les deux points \((-a,0)\) et \((a,0)\) manquent, dans les deux cas.

du cercle, respectivement. Elles utilisent toutes les deux \(x\) comme paramètre, et

\begin{alignat*}{2} \vr(t) &= \sqrt{a^2-t^2}\,\vi +t\,\vj,\qquad &-a\lt t\lt a\\ \vr(t) &= -\sqrt{a^2-t^2}\,\vi + t\, \vj \qquad &-a\lt t\lt a \end{alignat*}

sont des paramétrages de la moitié droite et la moitié gauche du cercle respectivement. Cette fois, on utilise \(y\) comme paramètre.

Les courbes apparaissent souvent comme intersections de deux surfaces. Par exemple, l’intersection de l’ellipsoïde \(x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3}=1\) avec le paraboloïde \(z=x^2+2y^2\) est la courbe montrée dans la figure ci-bas.

Figure 1.6.6. L’intersection d’un ellipsoïde avec un paraboloïde

Une façon de paramétrer de telles courbes est de choisir une des trois coordonnées \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) \(z\) comme paramètre et de résoudre les équations donnant les surfaces pour les deux autres coordonnées en termes du paramètre. Voyons deux exemples.

Exemple 1.6.7.

L’ensemble des points \((x,y,z)\) vérifiant

\begin{alignat*}{2} x^3&-e^{3y} &&=0,\\ x^2&-e^{y} +z &&=0 \end{alignat*}

est une courbe. On choisit d’utiliser \(y\) comme paramètre et l’on considère

\begin{alignat*}{2} x^3& &&=e^{3y},\\ x^2&+z &&=e^{y} \end{alignat*}

comme un système de deux équations dont les inconnues sont \(x\) et \(z\text{,}\) en traitant \(y\) comme une constante. On résout la première équation pour \(x\text{,}\) puis l’on remplace dans la seconde équation et l’on résout pour \(z\text{.}\)

\begin{alignat*}{4} x^3& &&=e^{3y} &&\implies x=e^y\\ x^2&+z &&=e^{y} && &&\implies e^{2y}+z=e^y \implies z=e^y-e^{2y} \end{alignat*}

Ainsi,

\begin{equation*} \vr(y) = e^y\,\vi + y\,\vj + (e^y-e^{2y})\,\vk \end{equation*}

est un paramétrage de la courbe.

Figure 1.6.8. Courbe paramétrée par \(\vr(y) = e^y\,\vi + y\,\vj + (e^y-e^{2y})\,\vk\)

Exemple 1.6.9.

L’exemple précédent était truqué de sorte que les équations étaient faciles à résoudre pour trouver \(x\) et \(z\) en fonction de \(y\text{.}\) Dans la pratique, ce n’est pas toujours facile, il peut même être impossible de le faire. Voyons un exemple un peu plus réaliste. Considérons l’ensemble des \((x,y,z)\) vérifiant

\begin{alignat*}{1} x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3}&=1,\\ x^2+2y^2&=z, \end{alignat*}

qui est la courbe bleue dans la figure ci-haut. On remplace \(x^2=z-2y^2\) (de la seconde équation) dans la première, ce qui donne

\begin{equation*} -\frac{3}{2}y^2+z+\frac{z^2}{3}=1. \end{equation*}

Après complétion des carrés (pour \(z\)), ceci équivaut à

\begin{equation*} -\frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{3}\Big(z+\frac{3}{2}\Big)^2 = \frac{7}{4}. \end{equation*}

Si, par exemple, on s’intéresse aux points \((x,y,z)\) sur la courbe qui vérifient en plus \(y\geqslant 0\text{,}\) on peut résoudre pour avoir \(y\) en fonction de \(z\text{.}\)

\begin{equation*} y=\sqrt{\frac{2}{9}\Big(z+\frac{3}{2}\Big)^2-\frac{14}{12}} \end{equation*}

Alors, \(x^2=z-2y^2\) donne aussi \(x\) en fonction de \(z\text{.}\) Si \(x\geqslant 0\text{,}\)

\begin{align*} x&=\sqrt{z-\frac{4}{9}\Big(z+\frac{3}{2}\Big)^2+\frac{14}{6}}\\ &=\sqrt{\frac{4}{3}-\frac{4}{9}z^2-\frac{1}{3}z}. \end{align*}

Les autres signes de \(x\) et \(y\) peuvent être obtenus avec les signes adéquats devant les racines carrées. Dans notre exemple, \((x,y,z)\) se trouve sur la courbe, c’est-à-dire qu’il vérifie les équations originelles, si et seulement si \((\pm x,\pm y, z)\) appartiennent à la courbe.

Figure 1.6.10. Quatre segments de la courbe donnés par les différents signes de \(x\) et \(y\)

Exemple 1.6.11.

Trouver un paramétrage de la courbe intersection du cône \(z^2 = x^2+ y^2\) et du plan \(z=1+y\text{.}\)

Pour commencer, on peut élever au carré \(z\) de l’équation du plan et remplacer dans celle du cône, ce qui mène à

\begin{equation*} (1+y)^2 = x^2 + y^2 \implies 1+2y= x^2. \end{equation*}

De là, on tire \(x = \pm \sqrt{1+2y}\text{.}\) Comme \(z=1+y\text{,}\) on choisit \(y =t\) comme paramètre pour obtenir

\begin{equation*} \vr(t) = \sqrt{1+2t}\, \vi + t\, \vj + (1+t)\,\vk \qquad t\in \R. \end{equation*}

Il faut noter qu’on a en réalité deux paramétrages, selon le signe choisi pour la racine carrée dans l’expression de \(x\text{.}\) Chacun des deux paramétrages présente une moitié de la courbe (il s’agit en fait d’une parabole).
On peut choisir d’utiliser \(x = s\) comme paramètre. De notre équation \(1+2y = x^2\text{,}\) on tire \(y= \frac{1}{2}(s^2-1)\text{,}\) et l’équation du plan fournit \(z = \frac{1}{2}(s^2 + 1)\text{.}\) On a donc un autre paramétrage :

\begin{equation*} \vr(s) = s\, \vi + \frac{1}{2}(s^2 -1)\, \vj + \frac{1}{2}(s^2 + 1)\, \vk \qquad t\in \R. \end{equation*}

Exercices Exercices

Les questions Exercice 1.6.1 à Exercice 1.6.4 fournissent une pratique sur la pramétrisation des courbes. Être confortable avec l’algèbre et l’interprétation de ces descriptions sont des ingrédients essentiels afin de travailler efficacement avec les paramétrisations.

Pour se pratiquer.

1.

Considérez la courbe paramétrée par le temps:

\begin{equation*} \vr(t)=\left( \cos\left(\frac{\pi}{4}t\right), (t-5)^2\right) \end{equation*}

Faire une liste des trois points\((-1/\sqrt{2},0)\text{,}\) \((1,25)\text{,}\) et \((0,25)\) en ordre chronologique.

Réponse.

\((1,25)\text{,}\) \((-1/\sqrt2,0)\text{,}\) \((0,25)\text{.}\)

2.

Trouvez la vitesse (scalaire) d’une particule dont la fonction de la position est

\begin{equation*} \vr(t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\vi + e^{5t}\,\vj - e^{-5t}\,\vk \end{equation*}

Sélectionnez la bonne réponse:

\(\displaystyle |\vv(t)| = \big(e^{5t} + e^{-5t}\big)\)
\(\displaystyle |\vv(t)| = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}}\)
\(\displaystyle |\vv(t)| = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}}\)
\(\displaystyle |\vv(t)| = 5\big(e^{5t} + e^{-5t}\big)\)
\(\displaystyle |\vv(t)| = 5\big(e^t + e^{-t}\big)\)

Réponse.

(d)

Pour mieux comprendre.

3.

À quels points dans le plan \(xy\) est-ce que la courbe \((\sin t, t^2)\) se croise elle-même? Quelle est la différence en \(t\) entre la première fois que la courbe passe par un point, et la dernière ?

Réponse.

La courbe se croise elle-même à tous les points \((0,(\pi n)^2)\) où \(n\) est un entier. La courbe passe un tel point deux fois, à \(2\pi n\) unités de temps séparées.

4.

La courbe \(C\) est définie par l’intersection de l’ellipsoïde

\begin{equation*} x^2-\frac{1}{4}y^2+3z^2=1 \end{equation*}

et du plan

\begin{equation*} x+y+z=0. \end{equation*}

Lorsque \(y\) est très près de 0, et \(z\) est négatif, trouvez une expression donnant \(z\) en terme de \(y\text{.}\)

Réponse.

\(z=-\frac12\sqrt{1-\frac{y^2}{2}}-\frac{y}{4}\)

5.

Une particule trace une courbe dans l’espace, de telle sorte que sa position dans le temps \(t\) est

\begin{equation*} \vr(t)=e^{-t}\,\vi+\frac{1}{t}\,\vj+(t-1)^2(t-3)^2\,\vk \end{equation*}

pour \(t \gt 0\text{.}\)

Posons que l’axe des \(z\) positif pointe verticalement vers le haut, comme à l’habitude. Quand est-ce que la particule se déplace vers le haut, et quand est-ce qu’elle se déplace vers le bas? Est-ce qu’elle se déplace plus rapidement au temps \(t=1\) ou au temps \(t=3\text{?}\)

Réponse.

La particule se déplace en montant de \(t=1\) à \(t=2\text{,}\) et à partir de \(t=3\text{.}\) La particule se déplace en descendant de \(t=0\) à \(t=1\text{,}\) et de \(t=2\) à \(t=3\text{.}\)

La particule se déplace plus rapidement lorsque \(t=1\) que lorsque \(t=3\text{.}\)

6.

Quelle est la relation entre le vecteur vitesse et la vitesse scalaire d’une fonction vectorielle du temps?

Réponse.

Le vecteur vitesse est une quantité vectorielle, et donc possède une magnitude et une direction. La vitesse scalaire est un scalaire (soit la magnitude du vecteur vitesse). Ceci n’inclut pas la direction.

7.

Soit \(\vr(t)\) un chemin dans \(\R^3\text{.}\) Soient \(\vr'\text{,}\) \(\vr''\) , et \(\vr'''\) dénotant \(\diff{\vr}{t}\text{,}\) \(\difftwo{\vr}{t}\) et \(\frac{\mathrm{d}^3\vr}{\mathrm{d}{t}^3}\text{,}\) respectivement. Exprimez

\begin{equation*} \diff{}{t}\big[ (\vr \times \vr')\cdot\vr'' \big] \end{equation*}

en termes de \(\vr\text{,}\) \(\vr'\) , \(\vr''\) , et \(\vr'''\text{.}\) Selectionnez la bonne réponse.

\(\displaystyle (\vr'\times\vr'' )\cdot\vr'''\)
\(\displaystyle (\vr'\times\vr'' )\cdot\vr + (\vr\times\vr' )\cdot\vr'''\)
\(\displaystyle (\vr\times\vr' )\cdot\vr'''\)
\(\displaystyle 0\)
Aucune de ces réponses.

Réponse.

(c)

8.

Trouvez la vitesse, la vitesse scalaire et l’accélération au temps \(t\) pour une la particule dont la position est \(\vr(t)\text{.}\) Décrire le chemin de la particule.

\(\displaystyle \vr(t)= a \cos t\,\vi + a\sin t\,\vj + ct\,\vk\)
\(\displaystyle \vr(t)= a \cos t\sin t\,\vi + a\sin^2 t\,\vj + a\cos t\,\vk\)

Réponse.

(a)

\begin{align*} \vv(t)&= -a \sin t\,\vi+a\cos t\,\vj+c\,\vk\\ \diff{s}{t}(t)&= \sqrt{a^2+c^2}\\ \va(t)&= -a \cos t\,\vi-a\sin t\,\vj \end{align*}

Le chemin est une hélice de rayon \(a\) et à chaque tour de hauteur \(2\pi c\text{.}\)

(b)

\begin{align*} \vv(t)&= a \cos 2t\,\vi +a\sin 2t\,\vj-a\sin t\,\vk\\ \diff{s}{t}(t)&= a\sqrt{1+\sin^2t}\\ \va(t)&= -2a \sin 2t\,\vi +2a\cos 2t\,\vj-a\cos t\,\vk \end{align*}

Les coordonnées \((x,y)\) vont autour d’un cercle de rayon \(\frac{a}{2}\) et de centre \(\big(0,\frac{a}{2}\big)\) en sens anti-horaire. Au même moment, la coordonnée \(z\) oscille sur l’intervalle entre \(1\) et \(-1\) deux fois moins vite.

9.

Si une particule a une masse constante \(m\text{,}\) position \(\vr\text{,}\) et vecteur vitesse \(\vv\text{,}\) alors son moment angulaire est \(\vL=m(\vr\times\vv)\text{.}\)

Étant donnée une particule masse \(m=1\) et dont la position est donnée par \(\vr=(\sin t, \cos t, t)\text{,}\) trouver \(\left|\diff{\vL}{t} \right|\text{.}\)

Réponse.

\(|t|\)

10.

Supposons qu’une particule voyage dans l’espace avec position donnée par \(\vr(t)\text{,}\) telle que \(\vr''(t)=-\vr(t)\text{.}\) Montrer que “l’energie” \(|\vr(t)|^2+|\vr'(t)|^2\) est constante (comme fonction de \(t\)).

Réponse.

\(\diff{}{t}\big[|\vr(t)|^2+|\vr'(t)|^2\big]=0\)

Pour aller plus loin.

11.

Une caméra montée sur un poteau peut pivoter sur un cercle complet. Elle suit un objet dont la position à l’instant \(t\) (en secondes) est \(x(t)\) mètres à l’estdu poteau et \(y(t)\) mètres au nord.

Pour que la caméra soit toujours dirigée directement vers l’objet, à quelle vitesse doit-elle être programmée pour tourner à chaque instant \(t\text{?}\) (Donnez votre réponse en termes de \(x(t)\) et \(y(t)\) et de leurs dérivées, dans les unités rad/sec).

Réponse.

\(\frac{x(t)y'(t)-y(t)x'(t)}{x^2+y^2}\)

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