Calcul multivariable Intégrales doubles en coordonnées polaires

Section 3.2 Intégrales doubles en coordonnées polaires

Jusqu’à présent, lorsque nous avons défini les intégrales doubles, nous avons toujours subdivisé la région d’intégration en petits sous-rectangles à l’aide de droites parallèles aux axes de coordonnées.

Il n’y a rien qui nous oblige à subdiviser la région de la sorte. En effet, lorsque les régions sont circulaires et centrées à l’origine, il sera souvent avantageux d’utiliser des coordonnées polaires au lieu des coordonnées cartésiennes habituelles.

Sous-section Coordonnées polaires

Commençons par un rappel sur les coordonnées polaires.

Définition 3.2.1.

Les coordonnées polaires d’un point $(x,y)$ dans le plan $Oxy$ sont

\begin{align*} r&=\text{ la distance de }(0,0)\text{ à }(x,y),\\ \theta&=\text{ l'angle orienté (sens antihoraire) entre l'axe des $x$}\\ & \qquad \text{ et le segment de droite joignant le point $(0,0)$ à $(x,y)$.} \end{align*}

Les coordonnées polaires et cartésiennes sont reliées par les formules suivantes, qu’on déduit avec un peu de trigonométrie.

Formule 3.2.2.

\begin{align*} x&=r\cos\theta & y&=r\sin\theta\\ r&=\sqrt{x^2+y^2} & \tan\theta&=\frac{y}{x} \end{align*}

Les deux figures suivantes montrent des droites formées de points dont l’angle $\theta$ est constant et où $r$ varie (figure de gauche), et des courbes formées de points où $r$ est constant et dont l’angle $\theta$ varie (figure de droite).

Figure 3.2.3. Graphes des courbes $\theta = $constante, et $r = $constante.

Notons que l’angle $\theta$ est seulement défini jusqu’à un multiple de $2\pi\text{.}$ Par exemple, le point $(1,0)$ sur l’axe des $x$ peut avoir un angle $\theta=0\text{,}$ mais aussi $\theta=2\pi$ ou $\theta=4\pi\text{.}$ De plus, il est parfois pertinent d’avoir des angles négatifs. Lorsque $\theta \leqslant 0\text{,}$ l’angle doit être mesuré dans le sens horaire. Par exemple, le point $(0,-1)$ sur la portion négative de l’axe des $y$ peut avoir $\theta=-\frac{\pi}{2}\text{,}$ mais aussi $\theta=\frac{3\pi}{2}\text{.}$

Il est donc judicieux d’étendre les définitions de $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$ même lorsque $r$ est négatif. Par exemple, la figure ci-dessous montre $(x,y)$ avec $r=1\text{,}$ $\theta=\frac{\pi}{4}$ et avec $r=-1\text{,}$ $\theta=\frac{\pi}{4}\text{.}$

Les deux points se trouvent sur la droite faisant un angle de $\pi/4$ radian avec l’axe des abscisses, et les deux points se trouvent à la même distance de l’origine, mais de part et d’autre de l’origine.

Sous-section Courbes en coordonnées polaires

Voyons quelques exemples de tracés de courbes définies par leurs équations en coordonnées polaires.

Exemple 3.2.4. La cardioïde.

Il s’agit de la courbe d’équation $r(\theta)= 1+\cos\theta \text{.}$ Nous commençons par étudier les valeurs que prend $1+\cos\theta$ lorsque $\theta$ varie. Le graphe de $y=1+\cos\theta$ est

Prenons maintenant quelques valeurs communes de $\theta\text{,}$ calculons les valeurs de $r$ correspondantes et traçons ces points.

Lorsque $\theta=0\text{,}$ nous avons $r=1+\cos 0 = 1+1=2\text{.}$ Afin d’illustrer le point avec $\theta=0$ et $r=2\text{,}$ commençons par tracer la demi-droite formée de tous les points avec $\theta=0$ et $r \gt 0\text{.}$ Il s’agit précisément de l’axe des $x\text{,}$ en gris dans la figure de gauche ci-dessous. Puis, nous devons placer un point sur cette demi-droite, à une distance $r= 2$ de l’origine. Nous avons donc notre premier point, c’est le point rouge dans la figure.
Augmentons maintenant la valeur de $\theta\text{,}$ jusqu’à $\theta=\frac{\pi}{6}\text{.}$ Alors, $r=1+\cos\theta$ diminue à $r=1+\cos\frac{\pi}{6} = 1+\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 1.87\text{.}$ Pour illustrer le point avec $\theta=\frac{\pi}{6}$ et $r\approx 1.87\text{,}$ nous traçons en premier lieu la demi-droite formée des points vérifiant $\theta=\frac{\pi}{6}$ et $r \gt 0\text{.}$ Il s’agit de la demi-droite oblique, en gris dans la deuxième figure ci-dessous. Puis, nous plaçons un point à une distance d’environ $1.87$ de l’origine. C’est notre second point rouge dans la figure.
Augmentons ensuite $\theta$ davantage, par exemple :
- $\theta=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\text{,}$
- puis $\theta=\frac{3\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\text{,}$
- puis $\theta=\frac{4\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}\text{,}$
- puis $\theta=\frac{5\pi}{6}\text{,}$
- puis $\theta=\frac{6\pi}{6}=\pi\text{.}$
Au fur et à mesure que $\theta$ augmente, $r(\theta)=1+\cos\theta$ diminue à $r=1$ lorsque $\theta=\frac{\pi}{2}\text{,}$ et finalement jusqu’à $r=0\text{,}$ soit lorsque $\theta=\pi\text{.}$ Pour chacune des valeurs de $\theta\text{,}$ nous traçons d’abord la demi-droite avec la valeur donnée de $\theta$ et $r\geqslant 0\text{.}$ Il s’agit des demi-droites grises dans la figure de droite ci-dessus. Puis, nous plaçons un point rouge à une distance $r=1+\cos\theta$ de l’origine. Ce sont les points rouges dans la figure.
Nous pouvons continuer ce processus pour $\pi\leqslant \theta\leqslant 2\pi\text{.}$ Par contre, en regardant le graphique de la fonction $\cos\theta\text{,}$ nous remarquons que la courbe de $\cos\theta$ définie sur $\pi\leqslant \theta\leqslant 2\pi$ est une réflexion par rapport à la droite verticale $\theta=\pi$ de la courbe définie sur $0\leqslant \theta\leqslant \pi\text{.}$

En termes plus précis, nous avons $\cos(\pi+\theta) =\cos(\pi-\theta)\text{,}$ de sorte que $r(\pi+\theta) = r(\pi-\theta)\text{.}$ Nous obtenons donc la figure ci-après.
Finalement, nous relions les points rouges pour obtenir la courbe ci-dessous. Cette courbe est appelée une cardioïde puisqu’elle ressemble à un cœur
¹
Plutôt le cœur d’un(e) mathématicien(ne). Le mot “cardioïde” vient du mot grec $\kappa \alpha \rho \delta \iota \alpha\text{,}$ qui signifie “qui a la forme d’un cœur”.
.

Exemple 3.2.5. La rosace à trois pétales.

Utiliser la même procédure pour esquisser le graphe de $r=\sin(3\theta) \text{.}$ De nouveau, il est utile d’esquisser le graphe de $\sin(3\theta)\text{.}$ Pour $0\leqslant \theta\leqslant 2\pi\text{,}$ nous avons

Étant donné que $r(\theta+\pi) = \sin (3\theta+3\pi) = -\sin(3\theta)=-r(\theta)\text{,}$ la partie de la courbe $r$ définie sur $\pi\leqslant \theta\leqslant 2\pi$ se répète sur $0\leqslant \theta\leqslant \pi\text{.}$ Nous nous intéresserons donc seulement à l’intervalle $0\leqslant \theta\leqslant \pi\text{.}$

Nous allons d’abord considérer $0\leqslant \theta\leqslant \frac{\pi}{3}\text{,}$ de sorte que $0\leqslant 3\theta \leqslant \pi\text{.}$ Sur cet intervalle, la relation $r(\theta)=\sin(3\theta)$

commence à $r(0)=0\text{,}$ puis
$r$ augmente au fur et à mesure que $\theta$ augmente, jusqu’à ce que
$3\theta=\frac{\pi}{2}\text{,}$ soit $\theta=\frac{\pi}{6}\text{,}$ où $r\big(\frac{\pi}{6}\big)=1\text{,}$ et ensuite
$r$ diminue lorsque $\theta$ continue d’augmenter, jusqu’à ce que
$3\theta=\pi\text{,}$ soit $\theta=\frac{\pi}{3}\text{,}$ donc $r\big(\frac{\pi}{3}\big)=0$ de nouveau.

Voici une table de quelques valeurs de $r(\theta)$ pour $0\leqslant \theta\leqslant \frac{\pi}{3}\text{.}$ Remarquons que nous avons choisi des valeurs de $\theta$ pour lesquelles $\sin(3\theta)$ se calcule aisément.

$\theta$	$3\theta$	$r(\theta)$
0	0	0
$\frac{\pi}{12}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.71$
$\frac{2 \pi}{12}$	$\frac{\pi}{2}$	$1$
$\frac{3 \pi}{12}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.71$
$\frac{4 \pi}{12}$	$\pi$	$0$

Voici un dessin illustrant les points correspondants (figure de gauche) ainsi qu’une figure de la courbe définie sur $0\leqslant \theta\leqslant \frac{\pi}{3}\text{.}$

Ensuite, considérons $\frac{\pi}{3}\leqslant\theta\leqslant \frac{2\pi}{3}\text{,}$ de sorte que $\pi\leqslant 3\theta \leqslant 2\pi\text{.}$ Sur cet intervalle, $r(\theta)=\sin(3\theta)$
- commence à $r\big(\frac{\pi}{3}\big)=0\text{,}$ puis
- $r$ diminue lorsque $\theta$ augmente, jusqu’à ce que
- $3\theta=\frac{3\pi}{2}\text{,}$ soit $\theta=\frac{\pi}{2}\text{,}$ où $r\big(\frac{\pi}{2}\big)=-1\text{,}$ puis
- $r$ augmente lorsque $\theta$ augmente encore, jusqu’à ce que
- $3\theta=2\pi\text{,}$ soit $\theta=\frac{2\pi}{3}\text{,}$ donc $r\big(\frac{2\pi}{3}\big)=0$ de nouveau.
Nous obtenons maintenant, pour la première fois, des valeurs négatives de $r(\theta)\text{.}$ La figure de gauche ci-dessous illustre, pour chaque $\theta = \frac{4\pi}{12}=\frac{\pi}{3}\text{,}$ $\frac{5\pi}{12}\text{,}$ $\ \frac{6\pi}{12}=\frac{\pi}{2}\text{,}$ $\ \frac{7\pi}{12}$ et $\ \frac{8\pi}{12}=\frac{2\pi}{3}\text{,}$
- la demi-droite pointillée formée des points pour cette valeur de $\theta$ et $r \lt 0\text{,}$ et
- le point rouge correspondant à cette valeur de $\theta$ et $r(\theta)=\sin(3\theta)\text{.}$
La figure de droite illustre la courbe $r=\sin(3\theta)$ définie sur $\frac{\pi}{3}\leqslant \theta\leqslant \frac{2\pi}{3}\text{.}$
Finalement, considérons $\frac{2\pi}{3}\leqslant\theta\leqslant \pi\text{,}$ de sorte que $2\pi\leqslant 3\theta \leqslant 3\pi\text{.}$ Sur cet intervalle, $r(\theta)=\sin(3\theta)$
- commence à $r\big(\frac{2\pi}{3}\big)=0\text{,}$ puis
- $r$ augmente lorsque $\theta$ augmente aussi, jusqu’à ce que
- $3\theta=\frac{5\pi}{2}\text{,}$ soit $\theta=\frac{10\pi}{12}\text{,}$ où $r\big(\frac{5\pi}{2}\big)=1\text{,}$ et alors
- $r$ diminue lorsque $\theta$ continue d’augmenter, jusqu’à ce que
- $3\theta=3\pi\text{,}$ soit $\theta=\frac{12\pi}{12}=\pi\text{,}$ donc $r\big(\pi\big)=0$ de nouveau.
La figure de gauche ci-dessous illustre, pour chaque $\theta = \frac{8\pi}{12}=\frac{2\pi}{3}\text{,}$ $\frac{9\pi}{12}\text{,}$ $\ \frac{10\pi}{12}\text{,}$ $\ \frac{11\pi}{12}$ et $\ \frac{12\pi}{12}=\pi\text{,}$
- la demi-droite formée des points pour cette valeur de $\theta$ et $r\geqslant 0\text{,}$ et
- le point rouge correspondant à cette valeur de $\theta$ et $r(\theta)=\sin(3\theta)\text{.}$
La figure de droite illustre la courbe $r=\sin(3\theta)$ définie sur $\frac{2\pi}{3}\leqslant \theta\leqslant \pi\text{.}$

En ajoutant les trois courbes ensemble, nous obtenons la courbe complète qui se nomme la “rosace à trois pétales”.

Sous-section Intégrales en coordonnées polaires

Revenons au problème de l’utilisation des coordonnées polaires pour calculer des intégrales doubles. Jusqu’à présent, nous avons utilisé des coordonnées cartésiennes, cela implique que nos domaines d’intégration ont été divisés en sous-rectangles avec les côtés déterminés par des droites $x=$ constante et $y=$ constante. Sur ces sous-rectangles, nous avons fait l’hypothèse que l’intégrande $f(x,y)$ est essentiellement constant (ce qui s’explique par la continuité). Pour utiliser les coordonnées polaires, nous allons maintenant diviser la région d’intégration avec des droites $\theta =$ constante et des courbes $r=$ constante. Le plan $Oxy$ est ainsi découpé en des formes qui ressemblent approximativement à des rectangles.

Voici un agrandissement d’un de ces “sous-rectangles” approximatifs.

Un des côtés a une largeur de $\dee{r}\text{,}$ la distance séparant les courbes $r$ = constante. L’autre côté est un arc de cercle de rayon $r$ qui sous-tend l’angle au centre $\dee{\theta}\text{,}$ l’angle séparant deux droites consécutives d’équation $\theta$ = constante. Puisque la circonférence du cercle est $2\pi r$ et puisque l’angle $\dee{\theta}$ est la portion $\frac{\dee{\theta}}{2\pi}$ d’un cercle complet

Il faut mesurer les angles en radians.

, l’autre côté de ce rectangle approximatif est de longueur $\frac{\dee{\theta}}{2\pi}2\pi r = r\dee{\theta}\text{.}$ Ainsi, l’aire approximative de ce sous-rectangle polaire est donnée par la formule suivante.

Formule 3.2.6.

$\dee{A} = r\,\dee{r}\,\dee{\theta}$

En comparaison, rappelons que, avec les coordonnées cartésiennes, nous avions $\dee{A} =\dee{x}\,\dee{y}\text{.}$

Dans ce calcul informel, il y a plusieurs détails techniques qui ont été omis. Cependant, l’utilisation de cette procédure dans la définition rigoureuse d’une intégrale, c’est-à-dire dans laquelle on définit $\dee{r}$ et $\dee{\theta}$ comme des constantes multipliées par $\frac{1}{n}\text{,}$ suivies d’une limite lorsque $n\rightarrow \infty\text{,}$ donne, après passage à la limite, une erreur nulle.

Exemple 3.2.7. Masse.

Soit $0\leqslant a \lt b\leqslant 2\pi$ des constantes et $\cR$ la région

\begin{equation*} \cR=\Set{(r\cos\theta,r\sin\theta)}{a\leqslant \theta\leqslant b, B(\theta)\leqslant r\leqslant T(\theta)}, \end{equation*}

où $T(\theta)$ et $B(\theta)$ sont des fonctions continues et vérifient $B(\theta)\leqslant T(\theta)$ pour tout $a\leqslant \theta\leqslant b\text{.}$ Trouver la masse de $\cR$ si la densité est $f(x,y)\text{.}$

Solution.

La figure ci-dessous, à gauche, est une esquisse de $\cR\text{.}$ Notons que $r=T(\theta)$ est la courbe extérieure, et $r=B(\theta)\text{,}$ la courbe intérieure.

Divisons $\cR$ en quartiers (comme des pointes de pizza) en traçant plusieurs droites avec $\theta$ constant, dont les valeurs de $\theta$ diffèrent d’une petite quantité $\dee{\theta}\text{.}$ La figure de droite, ci-haut, montre un de ces quartiers, borné par des lignes bleues.

On peut diviser un de ces quartiers en sous-rectangles polaires, en traçant plusieurs cercles avec $r$ constant, dont les valeurs de $r$ sont séparées par une petite quantité $\dee{r}\text{.}$ La figure ci-dessous montre un de ces sous-rectangles polaires en noir.

Concentrons-nous maintenant sur un de ces sous-rectangles polaires, disons celui qui contient le point de coordonnées polaires $(r,\ \theta)\text{.}$ Comme nous l’avons vu à la Formule 3.2.6 précédente :

L’aire de ce sous-rectangle est approximativement donnée par $\dee{A} = r\,\dee{r}\,\dee{\theta}\text{.}$
Comme la densité de masse du sous-rectangle est essentiellement $f(x,y)=f\big(r\cos\theta,\,r\sin\theta\big)\text{,}$ la masse de ce sous-rectangle est essentiellement $f\big(r\cos\theta,\,r\sin\theta\big)\,r\,\dee{r}\,\dee{\theta}\text{.}$
Afin de trouver la masse d’un quartier, par exemple celui dont l’angle (polaire) varie de $\theta$ à $\theta+\dee{\theta}\text{,}$ nous additionnons simplement les masses des sous-rectangles composant ce quartier. Cela se fait en intégrant par rapport à $r\text{,}$ de sa valeur inférieure, soit $B(\theta)\text{,}$ jusqu’à sa valeur supérieure, soit $T(\theta)\text{.}$ La masse du quartier est alors
\begin{equation*} \left[ \int_{B(\theta)}^{T(\theta)} f\big(r\cos\theta\,\,r\sin\theta\big) r\,\dee{r}\right]\ \dee{\theta}. \end{equation*}
Finalement, afin de calculer la masse de $\cR\text{,}$ nous n’avons qu’à additionner les masses des différents quartiers, ce qui correspond à intégrer par rapport à $\theta\text{,}$ de sa valeur la plus petite jusqu’à sa valeur la plus grande sur $\cR\text{,}$ soit de $a$ à $b\text{.}$

En conclusion,

\begin{equation*} \text{Masse}(\cR) = \int_a^b \int_{B(\theta)}^{T(\theta)} f\big(r\cos\theta,\,r\sin\theta\big) r\, \dee{r}\, \dee{\theta}. \end{equation*}

Nous avons utilisé le mot “essentiellement” afin d’éviter certains détails techniques nécessaires pour établir une démarche rigoureuse. La preuve rigoureuse de la Formule 3.2.8 peut être obtenue avec ces mêmes idées de base, mais nécessite de résoudre certaines erreurs d’approximation. Cela est fait au paragraphe Justification de la formule du calcul de l’aire en coordonnées polaires, plus bas.

De l’exemple précédent découle la formule du calcul de la masse de la région

\begin{equation*} \cR=\Set{(r\cos\theta,r\sin\theta)}{a\leqslant \theta\leqslant b, B(\theta)\leqslant r\leqslant T(\theta)} \end{equation*}

avec densité $f(x,y)\text{,}$ c’est-à-dire

Formule 3.2.8.

\begin{equation*} \text{Masse }(\cR) = \int_a^b \int_{B(\theta)}^{T(\theta)} f\big(r\cos\theta,\,r\sin\theta\big)\ r\, \dee{r}\,\dee{\theta}. \end{equation*}

Nous pouvons d’emblée adapter l’exemple afin de calculer des aires. Ainsi, si nous posons la densité à $1\text{,}$ la formule de l’aire de la région

\begin{equation*} \cR = \Set{(r\cos\theta,r\sin\theta)}{a\leqslant \theta\leqslant b, 0\leqslant r \leqslant R(\theta)} \end{equation*}

est

Formule 3.2.9.

\begin{equation*} \text{Aire}(\cR) =\frac{1}{2} \int_a^b R(\theta)^2\ \dee{\theta}, \end{equation*}

Voyons un exemple illustrant ce calcul.

Exemple 3.2.10. Calcul d’aire en coordonnées polaires.

Soit $0\leqslant a \lt b\leqslant 2\pi$ deux constantes. Trouver l’aire de la région

\begin{equation*} \cR=\Set{(r\cos\theta,r\sin\theta)}{a\leqslant \theta\leqslant b, 0\leqslant r\leqslant B(\theta)}, \end{equation*}

où $R(\theta)\geqslant 0$ est une fonction continue.

Solution.

Pour obtenir l’aire de $\cR\text{,}$ nous devons simplement lui attribuer une densité égale à $1$ et calculer sa masse. Ainsi, en vertu de la Formule 3.2.8, avec $f(x,y)=1\text{,}$ $B(\theta)=0$ et $T(\theta)=R(\theta)\text{,}$

\begin{align*} \text{Aire}(\cR) &= \int_a^b \int_0^{R(\theta)}\ r\, \dee{r}\, \dee{\theta}. \end{align*}

On peut donc intégrer facilement par rapport à $r\text{,}$ ce qui donne

\begin{equation*} \text{Aire}(\cR) =\frac{1}{2} \int_a^b R(\theta)^2\ \dee{\theta}. \end{equation*}

L’expression $\frac{1}{2} R(\theta)^2\ \dee{\theta}$ dans la Formule 3.2.9 a une interprétation géométrique. En effet, il s’agit de l’aire d’un secteur d’un disque de rayon $R(\theta)$ (avec $R(\theta)$ traité comme une constante) qui sous-tend l’angle $\dee{\theta}\text{.}$

Cela s’explique par le fait que l’aire du secteur est la fraction $\frac{\dee{\theta}}{2\pi}$ de l’aire du disque complet, qui est $\pi R(\theta)^2\text{.}$ Ainsi, la Formule 3.2.9 dit simplement que l’aire de $\cR$ peut être calculée en découpant $\cR$ en secteurs minces, puis en additionnant leur aire.

Exemple 3.2.11. Aire en coordonnées polaires.

Calculer l’aire de la région du plan bornée par la rosace à trois pétales $r=\sin(3\theta)\text{.}$

Solution.

En observant la dernière figure de l’Exemple 3.2.5, nous devons calculer le triple de l’aire de la région

\begin{equation*} \cR=\Set{(r\cos\theta,r\sin\theta)}{0\leqslant \theta\leqslant \frac{\pi}{3},\ 0\leqslant r\leqslant \sin(3\theta)}. \end{equation*}

Ainsi, par la Formule 3.2.9, avec $a=0\text{,}$ $b=\frac{\pi}{3}$ et $R(\theta) =\sin(3\theta)\text{,}$

\begin{align*} \text{Aire}(\cR) &=\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin^2(3\theta)\ \dee{\theta}\\ &=\frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{3}} \big(1-\cos(6\theta)\big) \ \dee{\theta}\\ &= \frac{1}{4}\left[\theta -\frac{1}{6}\sin(6\theta)\right] _0^{\frac{\pi}{3}}\\ &=\frac{\pi}{12}. \end{align*}

Dans la première étape, nous avons appliqué l’identité de l’angle double $\cos(2\phi) = 1-2\sin^2(\phi)\text{.}$ Sans surprise, les identités trigonométriques apparaissent souvent lorsque les coordonnées polaires sont utilisées.

Exemple 3.2.12. Volume avec coordonnées polaires.

Un trou cylindrique de rayon $b$ est percé symétriquement au centre d’une sphère en métal de rayon $a\geqslant b\text{.}$ Calculer le volume du métal qui aura été enlevé.

Solution.

Utilisons un système de coordonnées avec le centre de la sphère à l’origine $(0,0,0)$ et dont l’axe du cylindre coïncide avec l’axe des $z\text{.}$ Notamment, la sphère est donnée par $x^2+y^2+z^2\leqslant a^2\text{.}$

Voici une esquisse de la portion de la sphère dans le premier octant. Le trou percé dans la sphère est tracé en rouge. Par symétrie, le volume total du métal enlevé sera huit fois le volume de la partie enlevée du premier octant.

Nous devons donc multiplier par huit le volume du solide

\begin{equation*} \cV_1 = \Set{(x,y,z)}{(x,y)\in\cR_1,\ 0\leqslant z\leqslant \sqrt{a^2-x^2-y^2}} \end{equation*}

avec comme région de base

\begin{equation*} \cR_1 = \Set{(x,y)}{x^2+y^2\leqslant b^2,\ x\geqslant 0,\ y\geqslant 0}. \end{equation*}

En coordonnées polaires :

\begin{align*} \cV_1 &= \Set{(r\cos\theta,r\sin\theta,z)}{(r\cos\theta,r\sin\theta)\in\cR_1,\ 0\leqslant z\leqslant \sqrt{a^2-r^2}},\\ \cR_1 &= \Set{(r\cos\theta,r\sin\theta)}{0\leqslant r\leqslant b,\ 0\leqslant \theta\leqslant \frac{\pi}{2}}. \end{align*}

Nous suivons notre stratégie habituelle : diviser, additionner puis obtenir une intégrale lors du passage à la limite. Nous découpons la région $\cR_1$ en petits morceaux et additionnons le volume des portions au-dessus de chacun de ces morceaux.

Divisons donc $\cR_1$ en secteurs en traçant plusieurs droites avec $\theta$ constant dont les valeurs diffèrent d’une petite quantité $\dee{\theta}\text{.}$ La figure de gauche ci-dessous montre un de ces secteurs, en bleu.
Concentrons-nous sur un de ces secteurs, qu’on divise à son tour en “sous-rectangles approximatifs” en traçant plusieurs cercles avec $r$ constant. Les différentes valeurs de $r$ diffèrent d’une petite quantité $\dee{r}\text{.}$ La figure de droite ci-dessus montre un de ces “sous-rectangles approximatifs”, en noir.
Regardons de plus près un de ces rectangles. Il contient un point dont les coordonnées polaires sont $(r, \theta)\text{.}$ Comme nous l’avons vu à la Formule 3.2.6:
- L’aire de ce petit sous-rectangle est essentiellement $\dee{A} = r\,\dee{r}\,\dee{\theta}\text{.}$
- La portion de $\cV_1$ qui se trouve au-dessus de ce sous-rectangle est essentiellement un parallélépipède dont la hauteur est $\sqrt{a^2-r^2}$ et dont la base a une aire de $\dee{A} = r\,\dee{r}\,\dee{\theta}\text{.}$ Ce solide est tracé en noir dans la figure ci-dessous. Ainsi, le volume de la portion de $\cV_1 $ qui se trouve au-dessus de notre “sous-rectangle” est essentiellement $\sqrt{a^2-r^2}\,r\,\dee{r}\,\dee{\theta}\text{.}$
Afin d’obtenir le volume de $\cV_1\text{,}$ nous devons donc calculer

\begin{equation*} \int_0^{pi/2}\int_0^b \sqrt{a^2 - r^2}\ r\, \dee{r}\, \dee{\theta}. \end{equation*}

Notons que l’intégrale à l’intérieur est indépendante de $\theta\text{,}$ ce qui s’explique par le fait que le volume du solide obtenu (tracé en bleu dans la figure ci-dessous) ne change pas lorsque $\theta$ varie, c’est-à-dire lorsque nous effectuons une rotation par rapport à l’axe des $z\text{.}$ On peut donc la sortir de l’intégrale extérieure afin d’obtenir le produit de deux intégrales (on peut comparer ce résultat au Théorème 3.1.7).

\begin{align*} \int_0^{\pi/2}\int_0^b \sqrt{a^2 - r^2}\ r\, \dee{r}\, \dee{\theta} &= \left[ \int_0^{\pi/2} \dee{\theta} \right] \left[\int_0^b \sqrt{a^2 - r^2}\ r\, \dee{r} \right]\\ &= \frac{\pi}{2} \int_{a^2}^{a^2-b^2} \frac{\sqrt{u}}{-2}\, \dee{u},\\ &\hskip0.5in \text{où } u= a^2-r^2,\\ &= \frac{\pi}{2} \left[\frac{u^{3/2}}{-3}\right]_{a^2}^{a^2-b^2}\\ &= \frac{\pi}{6} \left[a^3-{\big(a^2-b^2\big)}^{3/2}\right] \end{align*}
Finalement, nous devons multiplier par huit cette valeur. Le volume total du métal enlevé est donc
\begin{align*} \text{Volume}(\cV) &=8\,\text{Volume}(\cV_1)\\ &=\frac{4\pi}{3}\left[a^3-{\big(a^2-b^2\big)}^{3/2}\right]. \end{align*}

Nous pouvons faire quelques vérifications avant de poursuivre.

Si le rayon du trou est $b=0\text{,}$ aucun métal n’est enlevé. Notre réponse est cohérente avec ce cas particulier.
Si le rayon du trou est $b=a\text{,}$ le rayon du trou est celui de la sphère, de sorte qu’on enlève tout le métal contenu dans la sphère. À nouveau, dans ce cas, notre réponse donne $\frac{4}{3}\pi a^3\text{,}$ le volume de la sphère.
Si les deux rayons sont mesurés en mètres, le volume du solide enlevé, $\frac{4\pi}{3}\left[a^3-{\big(a^2-b^2\big)}^{3/2}\right]\text{,}$ a des unités de mètres cubes, comme il se doit.

Les deux problèmes précédents ont été énoncés, ou presque, en coordonnées polaires. Voyons maintenant comment passer des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires, et reconnaître quand il est utile de le faire.

Exemple 3.2.13. Passage aux coordonnées polaires.

Transformer l’intégrale $\displaystyle \int_0^1\int_0^x y\sqrt{x^2+y^2}\ \dee{y}\,\dee{x}$ en coordonnées polaires et l’évaluer.

Solution.

Commençons par établir une expression du domaine d’intégration en coordonnées polaires.

De l’intégrale donnée, $\displaystyle \int_0^1 \int_0^x y \sqrt{x^2 + y^2}\ \dee{y}\,\dee{x}\text{,}$ on déduit que la région d’intégration est

\begin{equation*} \cD=\Set{(x,y)}{0\leqslant x\leqslant 1,\ 0\leqslant y\leqslant x}, \end{equation*}

qui est esquissée dans la figure de gauche ci-dessous. Il s’agit d’un triangle rectangle.

Voyons maintenant comment chacune des droites qui forment la frontière de cette région s’exprime en coordonnées polaires.

L’axe des abscisses $y=r\sin\theta=0$ est simplement $\theta=0\text{.}$
La droite $x=1$ est $r\cos\theta=1$ ou encore $r=\frac{1}{\cos\theta}\text{.}$
Finalement, dans le premier quadrant, la droite
\begin{gather*} y=x \iff r\sin\theta = r\cos\theta \iff \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=1 \iff \theta=\frac{\pi}{4}. \end{gather*}

Ainsi, en coordonnées polaires, on peut écrire le domaine d’intégration sous la forme

\begin{equation*} \cR=\Big\{(r,\theta)\ \Big|\ 0\leqslant \theta\leqslant \frac{\pi}{4},\ 0\leqslant r\leqslant \frac{1}{\cos\theta}\Big\}. \end{equation*}

Transformons maintenant l’intégrande $y\sqrt{x^2+y^2}\text{.}$ Nous avons $x=r\cos\theta\text{,}$ $y=r\sin\theta$ et $\dee{x}\,\dee{y}=\dee{A}=r\,\dee{r}\,\dee{\theta}\text{,}$ de sorte que l’intégrande (incluant $\dee{A}$) devient

\begin{gather*} y\sqrt{x^2+y^2}\ \dee{y}\,\dee{x} =(r\sin\theta)\cdot r\cdot r\, \dee{r}\,\dee{\theta} =r^3\sin\theta\,\dee{r}\,\dee{\theta}. \end{gather*}

Nous pouvons maintenant écrire notre intégrale en coordonnées polaires.

\begin{align*} \int_0^1\int_0^x y\sqrt{x^2+y^2}\ \dee{y}\,\dee{x} &=\int_0^{\pi/4}\int_{0}^{\frac{1}{\cos\theta}} r^3 \sin \theta\ \dee{r}\, \dee{\theta} \end{align*}

L’intégrale par rapport à $r$ traite $\theta$ comme une constante, on peut donc sortir $\sin\theta$ de l’intégrale intérieure.

\begin{align*} \int_0^1\int_0^x y\sqrt{x^2+y^2}\ \dee{y}\,\dee{x} &=\int_0^{\pi/4} \sin\theta\int_0^{\frac{1}{\cos\theta}} r^3\ \dee{r}\, \dee{\theta}\\\ &=\frac{1}{4}\int_0^{\pi/4} \sin\theta\frac{1}{\cos^4\theta}\, \dee{\theta} \end{align*}

Effectuons le changement de variables.

\begin{equation*} u=\cos\theta,\ \dee{u}=-\sin\theta\ \dee{\theta} \end{equation*}

Lorsque $\theta=0\text{,}$ $u=\cos\theta=1$ et, lorsque $\theta=\frac{\pi}{4}\text{,}$ $u=\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{.}$ Ainsi,

\begin{align*} \int_0^1\int_0^x y\sqrt{x^2+y^2}\ \dee{y}\,\dee{x} &=\frac{1}{4}\int_1^{1/\sqrt{2}} -\frac{1}{u^4}\ \dee{u}\\ &=-\frac{1}{4}\left[\frac{u^{-3}}{-3}\right]_1^{1/\sqrt{2}} =\frac{1}{12}\left[2\sqrt{2}-1\right]. \end{align*}

Exemple 3.2.14.

Trouver l’aire de la région à l’intérieur du cercle $r=4\cos\theta\text{,}$ mais à gauche de la droite $x=1\text{.}$

Solution.

Avant de commencer, vérifions que $r=4\cos\theta$ est effectivement un cercle et trouvons à quoi ressemble ce cercle. Dès lors, nous convertissons l’équation $r=4\cos\theta$ en coordonnées cartésiennes. En multipliant les deux côtés par $r\text{,}$ nous obtenons

\begin{gather*} r^2=4r\cos\theta \iff x^2+y^2 =4x \iff (x-2)^2 + y^2 = 4. \end{gather*}

Ainsi, $r=4\cos\theta$ est le cercle de rayon $2$ centré en $(2,0)\text{.}$ Nous devons également trouver les points d’intersection du cercle $r=4\cos\theta$ avec la droite $x=r\cos\theta=1\text{.}$ En ces points,

\begin{align*} r\cos\theta=1\text{ et }\ r=4\cos\theta &\implies \frac{1}{\cos\theta} = 4\cos\theta\\ &\implies \cos^2\theta = \frac{1}{4}\\ &\implies \cos\theta =\frac{1}{2}\qquad\text{puisque }r\cos\theta=1 \gt 0\\ &\implies \theta = \pm \frac{\pi}{3}. \end{align*}

Voici une esquisse de la région qui nous intéresse, nommons-la $\cR\text{.}$

Nous pourrions déterminer l’aire de $\cR$ en utilisant un peu de géométrie élémentaire, puisqu’il s’agit d’un secteur circulaire duquel nous avons enlevé un triangle.

Continuons cependant notre calcul en utilisant une intégrale double en coordonnées polaires.

Puisque $\cR$ est symétrique par rapport à l’axe des abscisses, l’aire de $\cR$ est deux fois l’aire de la portion de $\cR$ qui se trouve au-dessus de l’axe des $x\text{.}$ Nommons $\cR_1$ cette moitié supérieure de $\cR\text{.}$ Notons que la droite $x=1$ en coordonnées polaires s’écrit sous la forme $r=\frac{1}{\cos\theta}\text{.}$ Voici une esquisse de $\cR_1\text{.}$

Remarquons que, sur $\cR_1\text{,}$ pour tout $\theta$ fixé entre $0$ et $\frac{\pi}{2}\text{,}$

si $\theta \lt \frac{\pi}{3}\text{,}$ alors $r$ varie de $0$ à $\frac{1}{\cos\theta}\text{,}$ tandis que
si $\theta \gt \frac{\pi}{3}\text{,}$ alors $r$ varie de $0$ à $4\cos\theta\text{.}$

Ceci nous oblige naturellement à séparer en deux notre domaine d’intégration, soit à $\theta =\frac{\pi}{3}$ :

\begin{align*} \text{Aire}(\cR_1)& = \int_0^{\pi/3}\int_0^{1/\cos\theta}r\ \dee{r}\,\dee{\theta} +\int_{\pi/3}^{\pi/2}\int_0^{4\cos\theta}r\ \dee{r}\,\dee{\theta}. \end{align*}

Puisque$\displaystyle \int r\ \dee{r}=\frac{r^2}{2}+C\text{,}$

\begin{align*} \text{Aire}(\cR_1) &=\int_0^{\pi/3} \frac{\sec^2\theta}{2}\, \dee{\theta} +\int_{\pi/3}^{\pi/2} 8\cos^2\theta\, \dee{\theta}\\ &=\frac{1}{2}\tan\theta\Big|_0^{\pi/3} +4\int_{\pi/3}^{\pi/2} \big[1+\cos(2\theta)\big]\ \dee{\theta}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{2} +4\left[\theta+\frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{\pi/3}^{\pi/2}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{2} +4\left[\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right]\\ &=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}, \end{align*}

et finalement

\begin{gather*} \text{Aire}(\cR)=2\text{Aire}(\cR_1) = \frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}. \end{gather*}

Sous-section Justification de la formule du calcul de l’aire en coordonnées polaires

Nous avons précédemment établi la formule du calcul de l’aire en coordonnées polaires, la Formule 3.2.9, de façon peu rigoureuse. Nous avons notamment utilisé le terme “essentiellement” à plus d’une reprise. Voyons maintenant la justification rigoureuse pour arriver à cette formule.

Soit $0\leqslant a \lt b\leqslant 2\pi\text{.}$ Dans l’Exemple 3.2.7 et dans l’Exemple 3.2.10, nous avons établi la formule

\begin{equation*} A=\frac{1}{2}\int_a^b R(\theta)^2\,d\theta \end{equation*}

pour l’aire de la région

\begin{equation*} \cR=\Set{\big(r\cos\theta,r\sin\theta\big)} {a\leqslant \theta\leqslant b,\ 0\leqslant r\leqslant R(\theta)}. \end{equation*}

Tout au long de l’argumentation, nous avons approximé l’aire de la région ombragée par $\dee{A} = r\,\dee{r}\,\dee{\theta}\text{.}$

Nous allons justifier cette approximation sous l’hypothèse qu’il existe $M$ et $L\in \R$ tels que

\begin{equation*} 0\leqslant R(\theta)\leqslant M \qquad\text{et}\qquad |R'(\theta)|\leqslant L \end{equation*}

pour tout $a\leqslant \theta\leqslant b\text{,}$ c’est-à-dire que $R(\theta)$ est borné et que sa dérivée existe et est bornée également.

On divise l’intervalle $a\leqslant \theta\leqslant b$ en $n$ sous-intervalles de même longueur $\De\theta=\frac{b-a}{n}\text{.}$ Soit $\theta_i^*$ le milieu du $i^{\text{ième}}$ sous-intervalle. Sur ce $i^{\text{ième}}$ intervalle, $\theta$ varie de $\theta_i^*-\frac{1}{2}\De\theta$ à $\theta_i^*+\frac{1}{2}\De\theta\text{,}$ donc $\big|\theta-\theta_i^*\big|\leqslant \frac{1}{2}\De\theta\text{.}$

En vertu du théorème des accroissements finis,

\begin{gather*} R(\theta)-R(\theta_i^*) = R'(c) (\theta-\theta_i^*) \end{gather*}

pour un certain $c \in \, ]\theta ,\ \theta_i^*[ \text{.}$ Comme $|R'(\theta)|\leqslant L\text{,}$ nous avons

\begin{equation*} \big|R(\theta)-R(\theta_i^*)\big| \leqslant L \big|\theta-\theta_i^*\big|. \tag{$*$} \end{equation*}

Ceci nous dit que la différence entre $R(\theta)$ et $R(\theta_i^*)$ ne peut pas être beaucoup plus grande que $\big|\theta-\theta_i^*\big|\text{.}$

Sur le $i^{\text{ième}}$ sous-intervalle, le rayon $r=R(\theta)$ prend des valeurs $R(\theta)$ avec $\theta$ vérifiant $\big|\theta-\theta_i^*\big|\leqslant\frac{1}{2}\De\theta\text{.}$ En vertu de $(*)\text{,}$ toutes ces valeurs de $R(\theta)$ se situent entre $r_i=R(\theta_i^*)-\frac{1}{2} L\De\theta$ et $R_i=R(\theta_i^*) +\frac{1}{2} L\De\theta\text{.}$ En conséquence, la portion de $\cR$ définie par $\theta$ dans le $i^{\text{ième}}$ sous-intervalle, à savoir

\begin{equation*} \cR_i=\Set{\big(r\cos\theta,r\sin\theta\big)} {\theta_i^*-\half\De\theta\leqslant \theta\leqslant \theta_i^*+\half\De\theta, \ 0\leqslant r\leqslant R(\theta)}, \end{equation*}

doit contenir complètement le secteur circulaire

\begin{equation*} \Set{\big(r\cos\theta,r\sin\theta\big)} {\theta_i^*-\half\De\theta\leqslant \theta\leqslant \theta_i^*+\half\De\theta, \ 0\leqslant r\leqslant r_i} \end{equation*}

et doit être complètement contenue dans le secteur circulaire

\begin{equation*} \Set{\big(r\cos\theta,r\sin\theta\big)} {\theta_i^*-\half\De\theta\leqslant \theta\leqslant \theta_i^*+\half\De\theta, \ 0\leqslant r\leqslant R_i}. \end{equation*}

Nous avons donc un secteur circulaire plus petit et un autre secteur circulaire plus grand que la région $\cR_i$ à approximer. L’aire d’un disque de rayon $\rho$ est $\pi\rho^2\text{.}$ Sachant qu’un secteur circulaire de rayon $\rho$ qui sous-tend un angle $\De \theta$ est la fraction $\frac{\De\theta}{2\pi}$ du disque, alors l’aire d’un secteur circulaire est $\frac{\De\theta}{2\pi}\pi\rho^2 = \frac{\De\theta}{2}\rho^2\text{.}$

Ainsi, l’aire de $\cR_i$ est bornée par

\begin{equation*} \frac{1}{2}\De\theta\, r_i^2 =\frac{1}{2}\De\theta\left[R(\theta_i^*)-\frac{1}{2} L\De\theta\right]^2 \quad\text{et}\quad \frac{1}{2}\De\theta\, R_i^2 =\frac{1}{2}\De\theta\left[R(\theta_i^*)+\frac{1}{2} L\De\theta\right]^2. \end{equation*}

En développant

\begin{equation*} \left[R(\theta_i^*)\pm \frac{1}{2} L\De\theta\right]^2 =R(\theta_i^*)^2 \pm L R(\theta_i^*)\De\theta +\frac{1}{4} L^2\De\theta^2 \end{equation*}

et puisque $0\leqslant R(\theta)\leqslant M\text{,}$ nous remarquons que

\begin{gather*} R(\theta_i^*)^2 - L M\De\theta +\frac{1}{4} L^2\De\theta^2\hskip2in\\ \leqslant \left[R(\theta_i^*)\pm \frac{1}{2} L\De\theta\right]^2\le\\ \hskip2in R(\theta_i^*)^2 + L M\De\theta +\frac{1}{4} L^2\De\theta^2. \end{gather*}

Ainsi, en multipliant par $\frac{\De\theta}{2}\text{,}$ on revient à borner l’aire de $\cR_i$ :

\begin{gather*} \frac{1}{2} R(\theta_i^*)^2\De\theta - \frac{1}{2} L M\De\theta^2 +\frac{1}{8} L^2\De\theta^3\hskip2in\\ \leqslant\text{Aire}(\cR_i)\le\\ \hskip2in\frac{1}{2} R(\theta_i^*)^2\De\theta + \frac{1}{2} L M\De\theta^2 +\frac{1}{8} L^2\De\theta^3. \end{gather*}

L’aire totale $A$ est donc bornée comme suit :

\begin{gather*} \sum_{i=1}^n\left[ \frac{1}{2} R(\theta_i^*)^2\De\theta - \frac{1}{2} L M\De\theta^2 +\frac{1}{8} L^2\De\theta^3\right]\hskip2in\\ \leqslant A\le\\ \hskip2in\sum_{i=1}^n\left[\frac{1}{2} R(\theta_i^*)^2\De\theta + \frac{1}{2} L M\De\theta^2 +\frac{1}{8} L^2\De\theta^3\right], \end{gather*}

\begin{gather*} \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n R(\theta_i^*)^2\De\theta - \frac{1}{2} n L M\De\theta^2 +\frac{1}{8} n L^2\De\theta^3\hskip2in\\ \leqslant A\le\\ \hskip2in \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n R(\theta_i^*)^2\De\theta + \frac{1}{2} n L M\De\theta^2 +\frac{1}{8} nL^2\De\theta^3. \end{gather*}

Sachant que $\De \theta=\frac{b-a}{n}\text{,}$

\begin{gather*} \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n R(\theta_i^*)^2\De\theta \!-\! \frac{ L M}{2}\frac{(b\!-\!a)^2}{n} \!+\!\frac{L^2}{8} \frac{(b\!-\!a)^3}{n^2}\hskip2in\\ \leqslant A\leqslant\\ \hskip2in\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n R(\theta_i^*)^2\De\theta \!+\! \frac{ L M}{2}\frac{(b\!-\!a)^2}{n} \!+\! \frac{L^2}{8} \frac{(b\!-\!a)^3}{n^2}. \end{gather*}

Maintenant, évaluons la limite lorsque $n\rightarrow\infty\text{.}$ Étant donné que

\begin{align*} &\lim_{n\rightarrow\infty}\left[ \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n R(\theta_i^*)^2\De\theta \pm \frac{ L M}{2}\frac{(b-a)^2}{n} +\frac{L^2}{8} \frac{(b-a)^3}{n^2}\right] \cr &\hskip1in=\frac{1}{2}\int_a^b R(\theta)^2\,d\theta \pm \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{ L M}{2}\frac{(b-a)^2}{n} +\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{L^2}{8} \frac{(b-a)^3}{n^2}\\ &\hskip1in=\frac{1}{2}\int_a^b R(\theta)^2\,d\theta \qquad \text{(car $L, M, a$ et $b$ sont des constantes)}, \end{align*}

nous avons

\begin{equation*} A=\frac{1}{2}\int_a^b R(\theta)^2\,d\theta, \end{equation*}

soit exactement ce que nous voulions obtenir.

Exercices Exercices

Pour se pratiquer.

1.

Considérez les points

\begin{align*} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1)\\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{align*}

Pour chaque $1\leqslant i\leqslant 5\text{,}$

esquissez, dans le plan $xy\text{,}$ le point $(x_i,y_i)$ et
trouvez en coordonnées polaires $r_i$ et $\theta_i\text{,}$ avec $0\le\theta_i \lt 2\pi\text{,}$ pour le point $(x_i,y_i)\text{.}$

Réponse.

Le premier esquisse ci-dessous contient les points, $(x_1,y_1)\text{,}$ $(x_3,y_3)\text{,}$ $(x_5,y_5)\text{,}$ qui sont sur les axes. Le deuxième esquisse ci-dessous contient les points, $(x_2,y_2)\text{,}$ $(x_4,y_4)\text{,}$ qui ne sont pas sur les axes.

$r_1 = 3\text{,}$ $\theta_1=0$

$r_2 = \sqrt{2}\text{,}$ $\theta_2=\frac{\pi}{4}$

$r_3 = 1\text{,}$ $\theta_3=\frac{\pi}{2}$

$r_4 = \sqrt{2}\text{,}$ $\theta_4=\frac{3\pi}{4}$

$r_5 = 2\text{,}$ $\theta_5=\pi$

2.

Trouvez toutes les paires $(r,\theta)$ telles que
\begin{equation*} (-2,0) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) \end{equation*}
Trouvez toutes les paires $(r,\theta)$ telles que
\begin{equation*} (1,1) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) \end{equation*}
Trouvez toutes les paires $(r,\theta)$ telles que
\begin{equation*} (-1,-1) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) \end{equation*}

Réponse.

(a) $\big(r=2\,,\,\theta= n\pi,\ n\text{ entier impair }\big)$ ou $\big(r=-2\,,\,\theta= n\pi,\ n\text{ entier pair }\big)$

(b) $\big(r=\sqrt{2}\,,\,\theta= \frac{\pi}{4} + 2n\pi\big)$ ou $\big(r=-\sqrt{2}\,,\,\theta= \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\big)\text{,}$ avec $n$ entier.

(c) $\big(r=\sqrt{2}\,,\,\theta= \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\big)$ ou $\big(r=-\sqrt{2}\,,\,\theta= \frac{\pi}{4} + 2n\pi\big)\text{,}$ avec $n$ entier.

3.

Considérez les points

\begin{align*} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1)\\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{align*}

Également, définissez, pour chaque angle $\theta\text{,}$ les vecteurs

\begin{gather*} \ve_r(\theta)=\cos\theta\ \vi + \sin\theta\ \vj\qquad \ve_\theta(\theta) = -\sin\theta\ \vi + \cos\theta\ \vj \end{gather*}

Déterminez, pour chaque angle $\theta\text{,}$ la longueur des vecteurs $\ve_r(\theta)$ et $\ve_\theta(\theta)$ et l’angle entre les vecteurs $\ve_r(\theta)$ et $\ve_\theta(\theta)\text{.}$ Calculez $\ve_r(\theta)\times\ve_\theta(\theta)$ (en voyant $\ve_r(\theta)$ et $\ve_\theta(\theta)$ comme des vecteurs à trois dimensions avec la composante $\vk$ nulle).
Pour chaque $1\leqslant i\leqslant 5\text{,}$ esquissez, dans le plan $xy\text{,}$ le point $(x_i,y_i)$ et les vecteurs $\ve_r(\theta_i)$ et $\ve_\theta(\theta_i)\text{.}$ Dans votre esquisse des vecteurs, placez les sources des vecteurs $\ve_r(\theta_i)$ et $\ve_\theta(\theta_i)$ à $(x_i,y_i)\text{.}$

Réponse.

(a) $\ve_r(\theta)$ et $\ve_\theta(\theta)$ ont une longueur de 1. L’angle entre ces vecteurs est $\frac{\pi}{2}\text{.}$ Le produit vectoriel est $\ve_r(\theta) \times \ve_\theta(\theta)=\vk\text{.}$

(b) Ici, se trouve l’esquisse de $(x_i,y_i)\text{,}$ $\ve_r(\theta_i)\text{,}$ $\ve_\theta(\theta_i)$ pour $i =1,3,5$ (les points sur les axes)

et ici se trouve l’esquisse (à une échelle différente) de $(x_i,y_i)\text{,}$ $\ve_r(\theta_i)\text{,}$ $\ve_\theta(\theta_i)$ pour $i =2,4$ (les points hors des axes).

4.

Soit $\llt a, b\rgt$ un vecteur. Soit $r$ la longueur de $\llt a, b\rgt$ et $\theta$ l’angle entre $\llt a, b\rgt$ et l’axe des $x\text{.}$

Exprimez $a$ et $b$ en termes de $r$ et de $\theta\text{.}$
Soit $\llt A, B\rgt$ le vecteur obtenu en faisant une rotation de $\llt a, b\rgt$ par un angle $\varphi$ autour de sa source. Exprimez $A$ et $B$ en termes de $a\text{,}$ $b$ et $\varphi\text{.}$

Réponse.

(a) $a=r\cos\theta\text{,}$ $b=r\sin\theta$

(b) $A=a\cos\varphi-b\sin\varphi\text{,}$ $B=b\cos\varphi+a\sin\varphi$

5.

Pour chacune des régions $\cR$ esquissées ci-dessous, exprimez $\iint_\cR f(x,y)\,\dee{A}$ comme une intégrale itérée en coordonnées polaires de deux façons différentes.

(a)

(b)

(c)

(d)

Réponse.

(a)

\begin{align*} \iint_\cR f(x,y)\,\dee{x}\,\dee{y} &=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^2\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)\ r\dee{r}\dee{\theta}\\ &=\int_0^2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ f(r\cos\theta,r\sin\theta)\ r\dee{\theta}\dee{r} \end{align*}

(b)

\begin{align*} \iint_\cR f(x,y)\,\dee{x}\,\dee{y} &=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_1^2\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)\ r\dee{r}\dee{\theta}\\ &=\int_1^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)\ r\dee{\theta}\dee{r} \end{align*}

(c)

\begin{align*} \iint_\cR f(x,y)\,\dee{x}\,\dee{y} &=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2\cos\theta}\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)\ r\dee{r}\dee{\theta}\\ &=\int_0^2 \int_0^{\arccos\frac{r}{2}} \ f(r\cos\theta,r\sin\theta)\ r\dee{\theta}\dee{r} \end{align*}

(d)

\begin{align*} \iint_\cR f(x,y)\,\dee{x}\,\dee{y} &=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{2}{\sin\theta}}\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)\ r\dee{r}\dee{\theta}\\ &=\int_0^2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)\ r\dee{\theta}\dee{r}\\ &\hskip0.5in+\int_2^{2\sqrt{2}} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\arcsin\frac{2}{r}}\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)\ r\dee{\theta}\dee{r} \end{align*}

6.

Esquissez le domaine d’intégration dans le plan $xy$ pour chacune des intégrales en coordonnées polaires suivantes.

$\displaystyle \displaystyle \int_1^2 \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)\ r\dee{\theta}\dee{r}$
$\displaystyle \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}} \ f(r\cos\theta,r\sin\theta)\ r\dee{r}\dee{\theta}$
$\displaystyle \displaystyle \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}}\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)\ r\dee{r}\dee{\theta}$

Réponse.

(a)

(b)

(c)

7.

Utilisez les coordonnées polaires afin d’évaluer chacune des intégrales suivantes.

$\displaystyle\iint_S (x+y)\dee{A}\text{,}$ où $S$ est la région dans le premier quadrant se trouvant à l’intérieur du disque $x^2+y^2\leqslant a^2$ et sous la droite $y=\sqrt{3}x\text{.}$
$\displaystyle\iint_Sx\ \dee{A}\text{,}$ où $S$ est le segment de disque $x^2+y^2\leqslant 2,\ x\geqslant 1\text{.}$
$\displaystyle\iint_T (x^2+y^2)\dee{A}\text{,}$ où $T$ est le triangle ayant pour sommets $(0,0), (1,0)$ et $(1,1)\text{.}$
$\displaystyle \displaystyle\iint_{x^2+y^2\leqslant 1} \ln(x^2+y^2)\,\dee{A}$

Réponse.

(a) $\frac{a^3}{6}\big[\sqrt{3}+1\big]$

(b) $\frac{2}{3}$

(d) $-\pi$

8.

Évaluez l’intégrale double itérée

\begin{equation*} \int_{x=0}^{x=2}\int_{y=0}^{y=\sqrt{4-x^2}} {(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}\ \dee{y}\,\dee{x} \end{equation*}

Réponse.

$\frac{16\pi}{5}$

9.

Évaluez $\displaystyle \iint_{\R^2} \frac{1}{{(1+x^2+y^2)}^2}\ \dee{A}\text{.}$

Réponse.

$\pi$

10.

Évaluez l’intégrale double

\begin{equation*} \iint_D y\sqrt{x^2+y^2}\,\dee{A} \end{equation*}

sur la région $D =\Set{(x,y)}{ x^2+y^2\leqslant 2,\ 0\leqslant y\leqslant x}\text{.}$

Réponse.

$1-\frac{1}{\sqrt{2}}$

Pour mieux comprendre.

11.

Trouvez le volume à l’intérieur de la sphère $x^2+y^2+z^2=2$ et au-dessus du paraboloïde $z=x^2+y^2\text{.}$

Réponse.

$\pi \left[\frac{4}{3}\sqrt{2}-\frac{7}{6}\right] \approx 2.26$

12.

Soit $a \gt 0\text{.}$ Trouvez le volume à l’intérieur du cylindre $x^2+(y-a)^2=a^2$ et entre les moitiés supérieure et inférieure du cône $z^2=x^2+y^2\text{.}$

Réponse.

$\frac{64}{9}a^3$

13.

Soit $a \gt 0\text{.}$ Trouvez le volume commun aux cylindres $x^2+y^2\leqslant 2ax$ et $z^2\leqslant 2ax\text{.}$

Réponse.

$\frac{128}{15}a^3$

14.

Considérez la région $E$ en 3 dimensions spécifiée par les inégalités $x^2 + y^2\leqslant2y$ et $0\leqslant z\leqslant \sqrt{x^2 + y^2}\text{.}$

Dessinez une image assez précise de $E$ en 3 dimensions. S’assurer de montrer les unités sur les axes de coordonnées.
Utilisez les coordonnées polaires afin de trouver le volume de $E\text{.}$ Notez que vous allez utiliser les “coordonnées polaires” si vous résolvez ce problème au moyen des coordonnées cylindriques.

Réponse.

(a)

(b) $\frac{32}{9}$

15.

Esquissez la région $L$ (dans le premier quadrant du plan $xy$) bornée par les courbes
\begin{equation*} x^2 + y^2 = 2,\ x^2 + y^2 = 4,\ y = x,\ y = 0. \end{equation*}
La masse d’une lame mince dont la fonction de densité $\rho(x,y)$ sur la région $L$ est donnée par
\begin{equation*} M =\iint_L \rho(x,y)\,\dee{A} \end{equation*}
Trouvez une expression pour $M$ comme une intégrale en coordonnées polaires.
Trouvez M lorsque
\begin{equation*} \rho(x,y) = \frac{2xy}{x^2+y^2} \end{equation*}

Réponse.

(a)

(b) $M = \int_0^{\pi/4}\int_{\sqrt{2}}^2\, \rho(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta)\ r\dee{r}\dee{\theta}$

16.

Cette question concerne l’intégrale

\begin{equation*} \int_0^1 \int_{\sqrt{3}y}^{\sqrt{4-y^2}} \ln\big(1+x^2+y^2)\ \dee{x}\,\dee{y} \end{equation*}

Esquissez le domaine d’intégration.
Évaluez l’intégrale en transformant en coordonnées polaires.

Réponse.

(a)

(b) $\frac{\pi}{12}\big[5\ln(5)-4\big]$

17.

Soit $D$ la région dans le plan $xy$ bornée à gauche par la droite $x = 2$ et à droite par le cercle $x^2 + y^2 = 16\text{.}$ Évaluez

\begin{equation*} \iint_D\big(x^2+y^2\big)^{-3/2}\ \dee{A} \end{equation*}

Réponse.

$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6}$

18.

Dans le plan $xy\text{,}$ le disque $x^2 + y^2\leqslant2x$ est coupé en $2$ pièces par la droite $y = x\text{.}$ Soit $D$ la pièce la plus large.

Esquissez $D$ en incluant une description du centre et du rayon du disque donné. Ensuite, décrire $D$ en coordonnées polaires $(r, \theta)\text{.}$
Trouvez le volume du solide sous $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ et au-dessus de $D\text{.}$

Réponse.

(a) $D = \Set{(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta)} {-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{4},\ 0\leqslant r\leqslant 2\cos\theta}$

(b) $\text{Volume}=\frac{40}{18\sqrt{2}} +\frac{16}{9}$

19.

Soit $G$ la région dans $\R^2$ donnée par

\begin{gather*} x^2 + y^2\leqslant1\\ 0\leqslant x\leqslant2y\\ y\leqslant2x \end{gather*}

Esquissez la région $G\text{.}$
Exprimez l’intégrale $\iint_G f(x,y)\ \dee{A}$ comme une somme d’intégrales itérées $\iint f(x, y)\ \dee{x}\dee{y}\text{.}$
Exprimez l’intégrale $\iint_G f(x,y)\ \dee{A}$ comme une intégrale itérée en coordonnées polaires $(r, \theta)\text{,}$ où $x = r \cos(\theta)$ et $y = r \sin(\theta)\text{.}$

Réponse.

(a)

(b)

\begin{align*} \iint_G f(x,y)\ \dee{A} &=\int_0^{\frac{1}{\sqrt{5}}}\int_{y/2}^{2y}\ f(x,y)\dee{x}\dee{y} +\int_{\frac{1}{\sqrt{5}}}^{\frac{2}{\sqrt{5}}}\int_{y/2}^{\sqrt{1-y^2}} \ f(x,y)\dee{x}\dee{y} \end{align*}

(c)

\begin{align*} \iint_G f(x,y)\ \dee{A} &=\int_{\arctan\frac{1}{2}}^{\arctan 2} \int_0^1\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)\ r\dee{r}\dee{\theta} \end{align*}

20.

Considérez

\begin{equation*} J = \int_0^{\sqrt{2}} \int_y^{\sqrt{4-y^2}} \frac{y}{x} e^{x^2+y^2}\ \dee{x}\,\dee{y} \end{equation*}

Esquissez la région d’intégration.
Inversez l’ordre d’intégration.
Évaluez $J$ en utilisant les coordonnées polaires.

Réponse.

(a)

(b) $J = \int_0^{\sqrt{2}}\int_0^x \frac{y}{x} e^{x^2+y^2}\ \dee{y}\,\dee{x} + \int_{\sqrt{2}}^2\int_0^{\sqrt{4-x^2}} \frac{y}{x} e^{x^2+y^2}\ \dee{y}\,\dee{x}$

21.

Trouvez le volume de la région dans le premier octant sous le paraboloïde

\begin{equation*} z=1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} \end{equation*}

Réponse.

$\frac{\pi}{8}ab$

Pour aller plus loin.

22.

Soit $D$ la région ombragée dans le diagramme. Trouvez la distance moyenne des points dans $D$ par rapport à l’origine. Vous pouvez utiliser le fait que $\int\cos^n(x)\,dx = \frac{\cos^{n-1}(x)\sin(x)}{n} +\frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2}(x)\,dx$ pour tous les nombres naturels $n\geqslant 2\text{.}$

Réponse.

$2\frac{\pi+44/9}{\pi+8}\approx 1.442$

23.

Un percolateur à café symétrique peut contenir 24 tasses lorsqu’il est plein. L’intérieur a une section transversale circulaire qui se rétrécit d’un rayon de 3’ au centre à 2’ à la base et au sommet, qui sont séparés de 12’. La surface de délimitation est parabolique. Où doit être placée la marque indiquant le niveau de 6 tasses ?

Réponse.

Environ 3.5’’ au-dessus du fond.

24.

Considérez la surface $S$ donnée par $z=e^{x^2+y^2}\text{.}$

Calculez le volume sous $S$ et au-dessus du disque $x^2+y^2\leqslant 9$ dans le plan $xy\text{.}$
Le volume sous $S$ et au-dessus d’une certaine région $R$ dans le plan $xy$ est
\begin{equation*} \int_0^1\bigg(\int_0^y e^{x^2+y^2}\,\dee{x}\bigg)\dee{y} +\int_1^2\bigg(\int_0^{2-y} e^{x^2+y^2}\,\dee{x}\bigg)\dee{y} \end{equation*}
Esquissez $R$ et exprimez le volume comme une seule intégrale itérée avec l’ordre d’intégration inversée. Ne calculez aucune intégrale dans la partie (b).

Réponse.

(a) $\pi\big(e^9-1\big)\approx 25,453$

(b) $\int_0^1 \int_x^{2-x}\ e^{x^2+y^2}\dee{y}\dee{x}$

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\(\theta\)	\(3\theta\)	\(r(\theta)\)
0	0	0
\(\frac{\pi}{12}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.71\)
\(\frac{2 \pi}{12}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(1\)
\(\frac{3 \pi}{12}\)	\(\frac{3\pi}{4}\)	\(\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.71\)
\(\frac{4 \pi}{12}\)	\(\pi\)	\(0\)