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Section 4.2 Intégrales de ligne

Dans cette section, nous étudions les intégrales de ligne, ce que nous ferons en deux temps. Tout d’abord, nous verrons les intégrales de ligne des fonctions à valeurs scalaires, puis les intégrales des champs de vecteurs.

Sous-section Intégrales de ligne de fonctions à valeurs scalaires

Supposons que nous avons une courbe \(\cC\) paramétrée par un chemin \(\vr(t)\) avec \(a\leqslant t\leqslant b\text{.}\) Supposons de plus que \(\cC\) est un fil mince, dont la densité au point \(\vr\) est donnée par une fonction \(\rho(\vr)\text{.}\) Nous voulons calculer la masse de notre fil. Pour ceci, nous adoptons la stratégie usuelle du calcul intégral : faire des divisions en petits morceaux, calculer des approximations, puis additionner pour passer à la limite et obtenir une intégrale. Soit donc \(n\) un nombre naturel.
  • Nous divisons l’intervalle \(a\leqslant t\leqslant b\) en \(n\) sous-intervalles de longueur \(\De t=\frac{b-a}{n}\text{.}\) Posons en plus \(t_\ell = a + \ell\De t\) pour \(\ell \in \{1,\ldots, n\}\text{.}\)
  • La longueur de la portion de la courbe entre \(\vr\big(t_{\ell-1}\big)\) et \(\vr\big(t_\ell\big)\) est approximativement \(\big|\vr\big(t_\ell\big)-\vr\big(t_{\ell-1}\big)\big|\text{.}\) La masse de cette portion de courbe est approximativement \(\rho\big(\vr(t_\ell)\big) \big|\vr\big(t_\ell\big)-\vr\big(t_{\ell-1}\big)\big|\text{.}\)
Ceci donne une approximation de la masse de notre fil \(\cC\text{,}\) à savoir
\begin{equation*} \sum_{\ell=1}^n \rho\big(\vr(t_\ell)\big) \big|\vr\big(t_\ell\big)-\vr\big(t_{\ell-1}\big)\big| =\sum_{\ell=1}^n \rho\big(\vr(t_\ell)\big) \bigg|\frac{\vr\big(t_\ell\big)-\vr\big(t_{\ell-1}\big)} {t_\ell-t_{\ell-1}}\bigg|\De t\text{.} \end{equation*}
Puis, on prend la limite lorsque \(n\rightarrow\infty\text{.}\) Si nous supposons que
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On peut affaiblir ces conditions et exiger que \(\vr'(t)\) et \(\rho(t)\) soient continues et bornées sauf peut-être en un nombre fini de points (le vecteur \(\vr'(t)\) n’a pas besoin d’exister en ces points).
que \(\vr(t)\) est de classe \(C^1\) et que \(\rho(\vr)\) est continue, on obtient
\begin{equation*} \text{Masse de } \cC = \int_a^b \rho\big(\vr(t)\big) \left|\diff{\vr}{t}(t)\right|\,\dee{t}\text{,} \end{equation*}
qui fournit la définition qui suit.

Définition 4.2.1.

Soit \(\cC\) une courbe dans \(\R^n\) paramétrée par \(\vr(t)\) avec \(a\leqslant t\leqslant b\text{,}\) et \(f\) une fonction continue définie dans une région de \(\R^n\) contenant \(\cC\text{,}\) alors on définit
\begin{equation*} \int_\cC f\,\dee{s} =\int_a^b f\circ \vr(t) |\vr'(t)|\, \dee{t}\text{.} \end{equation*}
Dans cette notation, l’indice \(\cC\) spécifie la courbe, et \(\dee{s}\) est la longueur d’arc.
  • Si \(\cC\) est une courbe de \(\R^3\) et qu’elle est paramétrée par \(\vr(t) = x(t)\vi + y(t)\vj + z(t) \vk\text{,}\) alors la formule ci-haut se lit
    \begin{equation*} \int_\cC f(x,y,z)\,\dee{s} =\int_a^b f\big(x(t), y(t) , z(t) \big)\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\ \dee{t}\text{.} \end{equation*}
  • Si \(\cC\) est une courbe dans \(\R^2\) (et donc que \(f\) est une fonction de deux variables) paramétrée par \(\vr(t) = x(t)\vi + y(t)\vj\text{,}\) alors la formule devient
    \begin{equation*} \int_\cC f(x,y)\,\dee{s} =\int_a^b f\big(x(t), y(t) \big)\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\ \dee{t}\text{.} \end{equation*}

Remarque 4.2.2.

Dans la définition donnée, \(\displaystyle \int_{\cC}f\, \dee{s}\) est définie en termes du paramétrage de la courbe, mais le chemin \(\vr\) n’apparaît pas dans le terme défini. Ceci laisse penser que, même si \(\vr\) apparaît dans la formule, deux paramétrages différents pour la courbe \(\cC\) donnent le même résultat. C’est en effet le cas, c’est-à-dire que l’intégrale de ligne dépend de la courbe et non du paramétrage. Cette question sera abordée plus tard.
À la lumière de la définition ci-haut, on peut interpréter la longueur d’arc d’une courbe. En effet, le Théorème 1.8.1 se lit, avec les notations introduites dans la Définition 4.2.1, comme
\begin{equation*} L= \int_{\cC} \,\dee{s}\text{,} \end{equation*}
qu’on peut interpréter en disant que la longueur totale \(L\) est la somme des petits éléments de longueur de courbe \(\dee{s}\text{.}\)

Exemple 4.2.3.

Soit \(\cC\) le segment de droite allant de \(A(0,1)\) vers \(B(1,0)\text{,}\) et \(f(x,y) = x + y \text{.}\) Calculer \(\displaystyle \int_\cC f\, \dee{s}\text{.}\)
Solution.
Commençons par donner un paramétrage du segment de droite \(\cC\text{.}\) La façon standard de paramétrer un segment allant de \(A\) à \(B\) est d’écrire
\begin{align*} \vr(t) \amp= (1-t)\overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB} \amp \amp \\ \amp= (1-t)\va + t \vb \amp \amp 0\leqslant t \leqslant 1 \text{.} \end{align*}
described in detail following the image
Le segment de \((0,1)\) à \((1,0)\)
Dans notre cas, puisque \(\vb = \vi\) et \(\va = \vj\text{,}\) ceci revient à écrire
\begin{equation*} \vr(t) = t\vi + (1-t)\vj = x(t) \vi + y(t)\vj\text{.} \end{equation*}
Nous avons aussi \(\vr'(t) = \vi - \vj\text{,}\) de sorte que \(|\vr'(t)| = \sqrt{2}\text{.}\) Ainsi, nous pouvons calculer directement
\begin{align*} \int_\cC f\, \dee{s} \amp = \int_0^1 \left[x(t) + y(t)\right] \sqrt{2}\, \dee{t} = \int_0^1 \left[t+ (1-t)\right]\, \dee{t} \\ \amp= \int_0^1\sqrt{2} \ \dee{t} = \sqrt{2} \text{.} \end{align*}

Exemple 4.2.4.

Calculer \(\displaystyle \int_\cC f\, \dee{s}\) lorsque \(\cC\) est la portion de la parabole \(y^2 = 4x\) allant de \((0,0)\) à \((9,6)\text{.}\)
Solution.
Nous commençons par obtenir un paramétrage de \(\cC\text{.}\) L’équation \(y^2 = 4x\) donne \(x= \left(y/2\right)^2\text{.}\) Nous posons donc \(x(t) = t^2\) et \(y(t) = 2t\text{,}\) pour \(t\in[0,3]\text{.}\) Ainsi, notre chemin est \(\vr(t) = t^2 \, \vi + 2t\vj\text{.}\)
described in detail following the image
La parabole \(y^2 = 4x\) allant de \((0,0)\) à \((9,6)\)
On calcule aisément \(\vr'(t) = 2y\vi + 2\vj\text{,}\) et donc \(|\vr'(t)| = \sqrt{4t^2 + 4 } = 2\sqrt{1+t^2}\text{,}\) puis on calcule l’intégrale de ligne :
\begin{align*} \int_{\cC} f\, \dee{s} \amp= \int_0^3 f(\vr(t)) |\vr'(t)|\, \dee{t} = \int_0^3 2t \cdot 2\sqrt{1+t^2}\, \dee{t} \\ \amp= 2\int_0^3 2t\sqrt{1+t^2}\, \dee{t} = 2 \frac{2}{3}\left. \left(1+t^2\right)^{3/2}\right|_{t=0}^{t=3} = \frac{4}{3}\left(10^{3/2} -1\right)\text{.} \end{align*}
Voyons maintenant un exemple avec une courbe dans l’espace. De plus, la courbe considérée est obtenue comme l’union de deux courbes. Naturellement, il faut additionner les deux résultats.

Exemple 4.2.5.

Soit \(f(x,y,z)= x+\sqrt{y}-z^2\) et \(\cC\) la trajectoire de \((0,0,0)\) à \((1,1,0)\) suivant la parabole \(y=x^2\) du plan \(Oxy\text{,}\) suivie du segment de droite de \((1,1,0)\) à \((1,1,1)\text{.}\) Calculer \(\displaystyle \int_{\cC} f\, \dee{s}\text{.}\)
Solution.
Soit \(\cC_1\) la portion de parabole, puis \(\cC_2\) le segment de droite. Nous avons alors
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Il est très tentant d’écrire que “\(\cC = \cC_1 + \cC_2\)”.
\begin{equation*} \int_{\cC} f\, \dee{s} = \int_{\cC_1} f\, \dee{s} + \int_{\cC_2} f\, \dee{s}\text{.} \end{equation*}
Afin de calculer l’intégrale voulue, calculons les deux termes indépendamment.
  • La courbe \(\cC_1\) est paramétrée par \(\vr_1(t) = t\vi + t^2\vj + 0 \vk\text{,}\) avec \(t\in [0,1]\text{.}\) On calcule \(\vr'_1(t) = \vi + 2t \vj\text{,}\) et donc \(|\vr'_1(t)| = \sqrt{1+t^2}\text{,}\) et donc :
    \begin{align*} \int_{\cC_1} f\, \dee{s} \amp= \int_0^1 \left(t+(\sqrt{t})^2 - 0^2 \right) \sqrt{1+4t^2}\, \dee{t} = \int_0^1 2t\sqrt{1+4t^3}\, \dee{t}\\ \amp= \left.\frac{1}{6} \, {\left(4 \, t^{2} + 1\right)}^{\frac{3}{2}}\right|_{t=0}^{t=1} = \frac{1}{6}\left(5^{3/2}-1\right) \text{.} \end{align*}
  • Comme précédemment, on a un paramétrage de \(\cC_2\) donné par \(\vr_2(t) = \vi + \vj +t\vk\) pour \(t\in [0,1]\text{.}\) Ceci donne \(\vr_2'(t) = \vk\text{,}\) et donc \(|\vr_2'(t)| = 1\text{,}\) et donc
    \begin{align*} \int_{\cC_2} f\, \dee{s} \amp= \int_0^1 \left(1+1^2-t^2\right) \cdot 1 \, \dee{t} = \int_0^1 2-t^2 \, \dee{t} = 5/3 \end{align*}
Ainsi,
\begin{equation*} \int_{\cC} f\, \dee{s} = \int_{\cC_1} f\, \dee{s} + \int_{\cC_2} f\, \dee{s} = \frac{1}{6}\left(5^{3/2} -1\right) + \frac{5}{3} = \frac{1}{6}\left(5^{3/2} -9\right)\text{.} \end{equation*}
Nous avons motivé les intégrales de ligne par le problème du calcul de la masse d’un fil mince de densité variable donnée par une fonction \(\rho(\vr)\text{.}\) Ce contexte mène naturellement au problème du calcul du centre de gravité, ou des moments d’inertie d’un tel fil par rapport à différents axes de rotation. Supposons donc que la courbe \(\cC\text{,}\) c’est-à-dire la forme de notre fil, est une courbe dans \(\R^3\) (s’il s’agit d’une courbe dans \(\R^2\text{,}\) il faut simplement ignorer la coordonnée \(z\)). La masse totale est
\begin{equation*} \text{Masse} = \int_{\cC} \rho(x,y,z)\, \dee{s}. \end{equation*}
De même, les coordonnées de son centre de gravité sont
\begin{align*} \bar{x} \amp= \frac{\displaystyle \int_{\cC}x\, \rho(x,y,z)\, \dee{s} }{\displaystyle \int_{\cC}\rho(x,y,z) \, \dee{s},} \amp \bar{y} \amp= \frac{\displaystyle \int_{\cC}y\, \rho(x,y,z)\, \dee{s} }{\displaystyle \int_{\cC}\rho(x,y,z) \, \dee{s},} \amp \bar{z} \amp= \frac{\displaystyle \int_{\cC}z\, \rho(x,y,z)\, \dee{s} }{\displaystyle \int_{\cC}\rho(x,y,z) \, \dee{s}} \\ \amp= \frac{1}{M}\int_{\cC} x \rho \, \dee{s} \amp \amp=\frac{1}{M}\int_{\cC} y \rho \, \dee{s} \amp \amp= \frac{1}{M}\int_{\cC} z \rho \, \dee{s}\text{.} \end{align*}
On comparera ces formules à celle pour le centre de masse d’une plaque occupant une région \(\cR\) du plan (voir Formule 3.3.5).
Naturellement, les moments d’inertie de notre fil par rapport à l’axe des \(x\text{,}\) des \(y\) ou des \(z\text{,}\) que nous notons \(I_x,\ I_y\) et \(I_z\) respectivement, sont donnés par
\begin{align*} I_x \amp= \displaystyle \int_{\cC} (y^2 + z^2)\rho\, \dee{s}, \amp I_y \amp= \displaystyle \int_{\cC} (x^2 + z^2)\rho\, \dee{s}, \amp I_z \amp= \displaystyle \int_{\cC} (x^2 + y^2)\rho\, \dee{s}\text{.} \end{align*}
Notons que le terme \(y^2 + z^2\) dans l’expression de \(I_x\) provient du carré de la distance du point \((x,y,z)\) à l’axe de rotation, c’est-à-dire l’axe \(Ox\text{.}\)
De même, la valeur moyenne de la fonction \(f\) sur la courbe \(\cC\) est donnée par
\begin{equation*} \bar f = \frac{\displaystyle \int_{\cC} f\, \dee{s}}{\displaystyle \int_{\cC} \, \dee{s}} = \frac{1}{L}\int_{\cC} f\, \dee{s}. \end{equation*}
On comparera cette formule à celles de la Définition 3.3.2.
Voyons un exemple.

Exemple 4.2.6.

Supposons que nous avons un fil hélicoïdal
 3 
Par exemple, votre slinky préféré.
dont la forme est donnée par
\begin{equation*} \vr(t) = x(t)\vi + y(t) \vj + z(t)\vk = a\cos t\,\vi + a\sin t\,\vj + bt\, \vk \qquad 0\leqslant t\leqslant 2\pi \end{equation*}
et que ce fil a une densité de masse constante \(\rho\text{.}\) Trouver le centre de masse du fil. Nous avons en particulier
\begin{equation*} \vr'(t) = -a\sin t\, \vi + a\cos t\,\vj + b\,\vk\text{,} \end{equation*}
de sorte que
\begin{equation*} |\vr'(t)| = \sqrt{a^2 \sin^2 t + a^2 \cos^2 t + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2}\text{.} \end{equation*}
Ainsi,
\begin{align*} \bar x &= \frac{\int x \dee{s}}{\int \dee{s}} = \frac{\int_0^{2\pi} x(t) \sqrt{a^2+b^2}\,\dee{t}} {\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2}\,\dee{t}} = \frac{\int_0^{2\pi} a\cos(t) \,\dee{t}}{2\pi} =0,\\ \bar y &= \frac{\int y \dee{s}}{\int \dee{s}} = \frac{\int_0^{2\pi} y(t) \sqrt{a^2+b^2}\,\dee{t}} {\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2}\,\dee{t}} = \frac{\int_0^{2\pi} a\sin(t) \,\dee{t}}{2\pi} =0,\\ \bar z &= \frac{\int z \dee{s}}{\int \dee{s}} = \frac{\int_0^{2\pi} z(t) \sqrt{a^2+b^2}\,\dee{t}} {\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2}\,\dee{t}} = \frac{\int_0^{2\pi} bt \,\dee{t}}{2\pi} =\frac{b}{2\pi}\Big[\frac{t^2}{2}\Big]_0^{2\pi} =b\pi\text{,} \end{align*}
de sorte que le centre de masse se trouve sur l’axe de la spirale, à mi-chemin entre l’extrémité inférieure et l’extrémité supérieure.

Sous-section Intégrales de ligne des champs de vecteurs

Rappelons qu’un champ de vecteurs \(\vF\) est une fonction qui à chaque point \(\vr\) d’une région de \(\R^2\) ou \(\R^3\text{,}\) associe un vecteur \(\vF(\vr) = P\vi + Q \vj \) ou \(\vF(\vr) = P\,\vi + Q\,\vj + R\, \vk\) (ici les composantes \(P,Q, R\) sont des fonctions de la variable vectorielle \(\vr\)).
Cette notion pouvant paraître un peu abstraite, voyons quelques exemples familiers.
  • Si un gaz ou un liquide occupe une région \(\cD\) de l’espace et qu’il bouge à un instant \(t\) donné à chaque point de \(\cD\text{,}\) le gaz ou le liquide considéré a un vecteur vitesse. Nous avons alors un champ de vitesses.
  • Dans une région de l’espace, nous avons des forces qui dépendent de la position (entre autres). Nous avons alors un champ de forces \(\vF\text{.}\)
  • Si \(f\) est une fonction de deux ou trois variables définie sur une région \(\cD\text{,}\) alors, en chaque point \(\vr\text{,}\) nous avons le vecteur gradient \(\vnabla f (\vr) \text{.}\) Nous avons donc un champ de vecteurs, le champ gradient de la fonction \(f\text{.}\)
Supposons que nous voulons trouver le travail effectué par une force \(\vF(\vr)\) qui déplace une particule le long d’un chemin \(\vr(t)\text{.}\) Pendant “l’intervalle infinitésimal”
 4 
Oui, oui, il faudrait, en toute rigueur, considérer de petits intervalles de temps \(\De t \gt 0\text{,}\) puis prendre la limite lorsque \(\De t\rightarrow 0\text{.}\) Mais, à ce stade-ci, nous avons l’habitude de cette mécanique.
entre \(t\) et \(t+\dee{t}\text{,}\) la particule se déplace de \(\vr(t)\) à \(\vr(t)+\dee{\vr}\text{,}\)\(\dee{\vr}=\diff{\vr}{t}(t)\,\dee{t}\text{.}\) Par définition, le travail effectué pendant ce laps de temps est
\begin{equation*} \vF\big(\vr(t)\big)\cdot\dee{\vr} = \vF\big(\vr(t)\big)\cdot \diff{\vr}{t}(t)\,\dee{t}\text{.} \end{equation*}
Le travail total pendant la durée du déplacement entre \(t_0\) et \(t_1\) est donc
\begin{equation*} W = \int_{t_0}^{t_1}\vF\big(\vr(t)\big)\cdot\diff{\vr}{t}(t)\,\dee{t}\text{.} \end{equation*}
Ceci nous mène à définir ce qui suit.

Définition 4.2.7.

Soit \(\cC\) une courbe paramétrée par \(\vr(t)\) avec \(t_0\leqslant t\leqslant t_1\text{.}\) Alors,
\begin{equation*} \int_\cC\vF\cdot\dee{\vr} =\int_{t_0}^{t_1}\vF\big(\vr(t)\big)\cdot \vr'(t)\,\dee{t}\text{.} \end{equation*}
Voyons maintenant quelques exemples.

Exemple 4.2.8.

Soit \(P_0=(0,0)\text{,}\) \(P_1=(1,1)\) et \(\vF(x,y) = xy\,\vi + (y^2+1)\,\vj \text{.}\) Nous considérons trois trajectoires, toutes allant de \(P_0\) à \(P_1\text{.}\)
  1. Soit \(\cC_1\) le segment de droite de \(P_0\) à \(P_1\text{.}\)
  2. Soit \(\cC_2\) la trajectoire obtenue par juxtaposition de deux segments de droite, partant de \(P_0\text{,}\) suivant l’axe des \(x\) jusqu’à \((1,0)\text{,}\) puis suivant la droite verticale \(x=1\) de \((1,0)\) à \(P_1\text{.}\)
  3. Soit \(\cC_3\) la portion de la parabole \(x=y^2\) de \(P_0\) à \(P_1\text{.}\)
Le champ et les trois trajectoires
Nous allons calculer l’intégrale de \(\vF\) le long de ces trois trajectoires.
  1. Nous paramétrons \(\cC_1\) par \(\vr(t) = t\,\vi+t\,\vj\) avec \(t\in[0,1]\text{.}\) Ainsi, \(x(t)=t\) et \(y(t)=t\text{,}\) de sorte que
    \begin{equation*} \vF\big(\vr(t)\big) = t^2\,\vi + (t^2+1)\,\vj\qquad\text{et}\qquad \diff{\vr}{t}(t) = \vi + \vj\text{,} \end{equation*}
    ce qui permet de calculer
    \begin{align*} \int_{\cC_1}\vF\cdot\dee{\vr} &=\int_{0}^{1}\vF\big(\vr(t)\big)\cdot\diff{\vr}{t}(t)\,\dee{t} =\int_{0}^{1}\big[t^2\,\vi + (t^2+1)\,\vj\big]\cdot[\vi + \vj]\,\dee{t}\\ &=\int_{0}^{1}\big[2t^2+1\big]\,\dee{t}\\ &=\frac{5}{3}\text{.} \end{align*}
  2. Nous séparons \(\cC_2\) en deux morceaux : \(\cC_{2,x}\) de \(P_0\) à \((1,0)\) en suivant l’axe des \(x\text{,}\) et \(\cC_{2,y}\) allant de \((1,0)\) à \(P_1\) le long de la droite \(x=1\text{.}\) Nous paramétrons \(\cC_{2,x}\) par \(\vr(x) = x\,\vi\) avec \(x \in [0,1]\text{,}\) et \(\cC_{2,y}\) par \(\vr(y) = \vi+y\,\vj\) avec \(y \in[0,1]\text{.}\)
    \begin{align*} &\int_{\cC_2}\vF\cdot\dee{\vr} =\int_{\cC_{2,x}}\vF\cdot\dee{\vr} + \int_{\cC_{2,y}}\vF\cdot\dee{\vr}\\ &\hskip0.25in=\int_{0}^{1}\big[(x) (0)\,\vi + (0^2+1)\,\vj\big]\cdot \overbrace{\diff{\ }{x}\big(x\,\vi\big)}^{\vi}\,\dee{x}\\ &\hskip1.25in + \int_{0}^{1}\big[(1) (y)\,\vi + (y^2+1)\,\vj\big]\cdot \overbrace{\diff{\ }{y}\big(\vi+y\,\vj\big)}^{\vj}\,\dee{y}\\ &\hskip0.25in=\int_{0}^{1}0\,\dee{x} + \int_{0}^{1}\big(y^2+1\big)\,\dee{y}\\ &\hskip0.25in=\frac{4}{3} \end{align*}
    Notons que l’intégrale le long de \(\cC_{2,x}\) est nulle parce que, le long de cette portion de la trajectoire, le champ \(\vF\) est orthogonal à la trajectoire. Nous pouvons observer ceci dans la figure ci-haut.
  3. Nous paramétrons \(\cC_3\) par \(\vr(t) = t^2\,\vi+t\,\vj\) avec \(t\in[0,1]\text{.}\) Alors, \(x(t)=t^2\) et \(y(t)=t\text{,}\) de sorte que
    \begin{equation*} \vF\big(\vr(t)\big) = t^3\,\vi + (t^2+1)\,\vj\qquad\text{et}\qquad \diff{\vr}{t}(t) = 2t\,\vi + \vj\text{,} \end{equation*}
    ce qui permet de calculer
    \begin{align*} \int_{\cC_3}\vF\cdot\dee{\vr} & =\int_{0}^{1}\big[t^3\,\vi + (t^2+1)\,\vj\big]\cdot[2t\,\vi + \vj]\,\dee{t}\\ &=\int_{0}^{1}\big[2t^4+t^2+1\big]\,\dee{t}\\ &=\frac{2}{5}+\frac{1}{3}+1 = \frac{26}{15}\text{.} \end{align*}
Il importe de remarquer que, même si les points initial et final des trois trajectoires coïncident, les valeurs des intégrales \(\int_{\cC_1}\vF\cdot\dee{\vr}\text{,}\) \(\int_{\cC_2}\vF\cdot\dee{\vr}\) et \(\int_{\cC_3}\vF\cdot\dee{\vr}\) diffèrent.

Exemple 4.2.9.

Soit \(\vF(x,y) = 2y\,\vi + 3x\,\vj\text{.}\) Calculer les intégrales curvilignes de \(\vF\) le long des trajectoires suivantes.
  1. Soit \(\cC_1\) le cercle \(x^2+y^2=1\text{,}\) parcouru une fois dans le sens contraire à celui des aiguilles d’une montre, en partant (et finissant) en \((1,0)\text{.}\)
  2. Soit \(\cC_2\) le chemin trivial qui est formé du seul point \((1,0)\text{.}\)
Solution.
Nous calculons l’intégrale \(\displaystyle \int_{\cC_i}\vF\cdot\dee{\vr}\) pour chacune des courbes.
  1. Nous paramétrons \(\cC_1\) par \(\vr(t) = \cos t\,\vi+\sin t\,\vj\) avec \(t\in[0,2\pi]\text{.}\) Ainsi,
    \begin{align*} \oint_{\cC_1}\vF\cdot\dee{\vr} &=\int_{0}^{2\pi}\big[2\sin t\,\vi + 3\cos t\,\vj\big] \cdot[-\sin t\,\vi + \cos t\,\vj]\,\dee{t}\\ &=\int_{0}^{2\pi}\big[-2\sin^2 t+3\cos^2 t\big]\,\dee{t}\text{.} \end{align*}
    On pourrait calculer ces intégrales au moyen des identités trigonométriques des angles doubles, mais on peut s’en tirer avec moins d’effort. Puisque \(\sin^2 t\) et \(\cos^2 t\) s’obtiennent l’une de l’autre par translation et que les deux sont périodiques de période \(\pi\text{,}\) les deux intégrales \(\int_0^{2\pi}\sin ^2 t\,\dee{t}\) et \(\int_0^{2\pi}\cos ^2 t\,\dee{t}\) sont égales (puisqu’elles représentent la même aire, voir la figure ci-bas).
    Ainsi,
    \begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \sin^2 t\,\dee{t} &=\int_{0}^{2\pi} \cos^2 t\,\dee{t} =\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}\big[\sin^2 t+\cos^2t\big]\,\dee{t}\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \dee{t} =\pi \end{align*}
    et
    \begin{gather*} \oint_{\cC_1}\vF\cdot\dee{\vr} =-2\int_{0}^{2\pi} \sin^2 t\,\dee{t} +3\int_{0}^{2\pi} \cos^2 t\,\dee{t} =\pi. \end{gather*}
  2. Nous obtenons un paramétrage de \(\cC_2\) par \(\vr(t) = \vi\) pour, disons, \(t\in[0,1]\text{.}\) Alors, \(\diff{\vr}{t}(t) = \vZero\) et \(\int_{\cC_2}\vF\cdot\dee{\vr}=0\text{.}\)
De nouveau, il convient de noter que, malgré le fait que \(\cC_1\) et \(\cC_2\) ont le même point initial et final, \((1,0)\text{,}\) les deux intégrales \(\int_{\cC_1}\vF\cdot\dee{\vr}\) et \(\int_{\cC_2}\vF\cdot\dee{\vr}\) sont différentes.
Rappelons que le vecteur tangent unitaire \(\vT\) est tel que \(\vr' = |\vr'|\vT\text{.}\) Par ailleurs, l’abscisse curviligne \(s\) vérifie \(\diff{s}{t} = |\vr'|\)
 5 
Et l’on écrit souvent \(\dee{s} = |\vr'|\dee{t}\text{.}\)
. Ainsi, nous avons, en vertu de la définition de l’intégrale de ligne d’une fonction scalaire, la formule qui suit.
L’intégrale de ligne qui nous occupe calcule la somme des projections du champ \(\vF\) tangentiellement à la courbe \(\cC\text{.}\) Pour cette raison, on appelle souvent cette intégrale le flux de \(\vF\) le long de \(\cC\), ou encore la circulation de \(\vF\) le long de \(\cC\). Il sera utile de penser en ces termes.
Par ailleurs, si l’on a un champ de vecteurs \(\vF(x,y) = P(x,y)\vi + Q(x,y)\vj\) et un chemin \(\vr(t) = x(t)\vi + y(t)\vj\text{,}\) on aura
\begin{equation*} \vF(\vr(t))\cdot \vr'(t) = P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\, y'(t)\text{,} \end{equation*}
qu’on écrit de façon plus compacte sous la forme
\begin{equation*} \vF \cdot \vr' = P\,x' + Q\,y'\text{.} \end{equation*}
L’intégrale de ligne devient donc
\begin{equation*} \int_{\cC}\vF \cdot \dee{\vr} = \int_a^b \vF \cdot \vr' \ \dee{t} = \int_a^b P\, x' + Q\, y'\ \dee{t}\text{,} \end{equation*}
qu’on note naturellement
\begin{equation*} \int_{\cC} P \dee{x} + Q \dee{y}. \end{equation*}
Cette écriture équivalente pour \(\int_{\cC} \vF \dee{\vr}\) donne lieu aux intégrales de ligne de la forme
\begin{equation*} \int_{\cC} P\dee{x} \qquad \text{ et } \qquad \int_{\cC} Q \dee{y}. \end{equation*}
Une remarque analogue tient pour les champs (et les chemins) dans \(\R^3\) : si \(\vF = P \vi + Q \vj + R \vk\text{,}\) on aura
\begin{align*} \int_{\cC} \vF \cdot \dee{\vr} \amp = \int_{\cC} P\,\dee{x} + Q\,\dee{y} + R\,\dee{z} \text{.} \end{align*}
Voyons maintenant deux exemples.

Exemple 4.2.11.

Calculer l’intégrale de ligne \(\displaystyle \int_{\cC} (x-y)\dee{x} + (x+y)\dee{y}\text{,}\)\(\cC\) est le triangle de sommets \((0,0), (1,0)\) et \((0,1)\) orienté dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
Solution.
On divise \(\cC\) en trois portions, chacune correspondant à un des côtés du triangle : \(\cC_1\) le segment allant de \((0,0)\) à \((1,0)\text{,}\) \(\cC_2\) le segment allant de \((1,0)\) à \((0,1)\text{,}\) puis \(\cC_3\) celui de \((0,1)\) à \((0,0)\text{.}\) Dans la figure ci-contre, nous avons aussi le champ de vecteurs \(\vF(x,y) = (x-y)\vi + (x+y)\vj\text{.}\)
La trajectoire et le champ
  • La portion \(\cC_1\) est paramétrée par \(\vr(t) = x(t)\vi + y(t) \vj = t\vi + 0 vj\) pour \(t\in[0,1]\text{.}\) Nous avons alors \(\vr'(t) = x'(t)\vi + y'(t) \vj = \vi\text{.}\) Ainsi,
    \begin{align*} \int_{\cC_1} (x-y)\dee{x} + (x+y)\dee{y} \amp=\int_0^1\left(x(t) - y(t)\right)x'(t) + \left(x(t) + y(t)\right)y'(t)\ \dee{t} \\ \amp=\int_0^1 (t-0)\cdot 1 + (t+0)\cdot 0 \ \dee{t} \\ \amp=\int_0^1 t\ \dee{t} = \frac{1}{2} \text{.} \end{align*}
  • La portion \(\cC_2\) est paramétrée par \(\vr(t) = x(t)\vi + y(t) \vj = (1-t)\vi + t vj\) pour \(t\in[0,1]\text{.}\) Nous avons alors \(\vr'(t) = x'(t)\vi + y'(t) \vj = -\vi + \vj\text{.}\) Ainsi,
    \begin{align*} \int_{\cC_2} (x-y)\dee{x} + (x+y)\dee{y} \amp=\int_0^1\left(x(t) - y(t)\right)x'(t) + \left(x(t) + y(t)\right)y'(t)\ \dee{t} \\ \amp=\int_0^1 ((1-t) - t)(-1) + ((1-t)+t)(1) \ \dee{t} \\ \amp=\int_0^1 2t\ \dee{t} = 1 \text{.} \end{align*}
  • La portion \(\cC_3\) est paramétrée par \(\vr(t) = x(t)\vi + y(t) \vj = 0\vi + (1-t) vj\) pour \(t\in[0,1]\text{.}\) Nous avons alors \(\vr'(t) = x'(t)\vi + y'(t) \vj = -\vj\text{.}\) Ainsi,
    \begin{align*} \int_{\cC_x} (x-y)\dee{x} + (x+y)\dee{y} \amp=\int_0^1\left(x(t) - y(t)\right)x'(t) + \left(x(t) + y(t)\right)y'(t)\ \dee{t} \\ \amp=\int_0^1 (0-(1-t))\cdot 0 + (0+(1-t))(-1) \ \dee{t} \\ \amp=\int_0^1 t-1 \dee{t} = -\frac{1}{2} \text{.} \end{align*}
Il vient alors que \(\int_{\cC} (x-y)\dee{x} + (x+y)\dee{y} = 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\text{.}\)
Le fait que l’intégrale sur \(\cC_3\) soit négative et les deux autres positives peut être lu dans le graphique ci-haut. En effet, pendant la portion du trajet le long de \(\cC_3\text{,}\) on observe que le champ \(\vF\) pointe en s’opposant au déplacement : en effet, le champ a une composante verticale positive, tandis que le déplacement se fait vers le bas.

Exemple 4.2.12.

Calculer le travail effectué par le champ \(\vF(x,y,z) = (y-x^2)\vi + (z-y^2)\vj + (x-z^2)\vk\) entre l’origine et le point \((1,1,1)\) le long de la courbe paramétrée par \(\vr_(t) = t\vi + t^2\vj +t^3\vk\) avec \(t\in[0,1]\text{.}\)
Solution.
Pour commencer, calculons
\begin{align*} \vF(\vr(t)) \amp = \left(y(t) - x(t)^2\right) \vi + \left(z(t) - y(t)^2\right)\vj + \left(x(t)-z(t)^2\right)\vk \\ \amp = (t^2 - t^2)\vi + (t^3-t^4)\vj + (t-t^6)\vk. \end{align*}
Par ailleurs, on a directement \(\vr'(t) = \frac{d}{dt}\left( t\vi + t^2\vj +t^3\vk\right) = \vi + 2t \vj + 3t^2 \vk\text{,}\) de sorte que
\begin{equation*} \vF(\vr(t))\cdot \vr'(t) = 2t^4-2t^5+3t^3-3t^8. \end{equation*}
L’intégrale voulue est donc
\begin{align*} \int_{\cC} \vF \cdot \dee{\vr} \amp = \int_0^1 \vF(\vr(t))\cdot \vr'(t)\, \dee{t} \\ \amp = \int_0^1 2t^4-2t^5 +3t^3 -3t^8 \ \dee{t}\\ \amp = \left. \frac{2}{5}t^5 -\frac{2}{6}t^6+\frac{3}{4}t^4 - \frac{3}{9}t^9\right|_{t=0}^{t=1} = \frac{29}{60} \text{.} \end{align*}
Supposons maintenant nous voulons calculer le taux d’entrée ou de sortie d’un fluide dans une région du plan limitée par une courbe fermée \(\cC\text{.}\) Si \(\vF\) est le champ de vitesses du fluide, on ne doit plus projeter \(\vF\) tangentiellement à \(\cC\) (ce qu’on fait lorsqu’on calcule \(\vF \cdot \vT\)), mais plutôt projeter \(\vF\) sur un vecteur \(\vn \) unitaire et orthogonal à la courbe en chaque point. Dans ce cas, le flux de \(\vF\)à travers \(\cC\) sera donné par
\begin{equation*} \int_{\cC} \vF \cdot \vn\, \dee{s}\text{.} \end{equation*}
Notre courbe étant fermée, nous devons choisir un vecteur unitaire qui pointe vers l’extérieur. Puisque la courbe est plane, le vecteur tangent unitaire \(\vT\) a une composante \(\vk\) nulle. Ainsi, en chaque point de la courbe, les vecteurs \(\vk \times \vT\) et \(\vT \times \vk\) sont tous les deux unitaires et orthogonaux à la courbe. Prenons pour acquis que le paramétrage \(\vr\) de \(\cC\) fait parcourir la courbe dans le sens contraire à celui des aiguilles d’une montre. Dans ce cas, c’est le vecteur \(\vn = \vT \times \vk\) qui pointe vers l’extérieur.
Afin de faire les calculs explicites, rappelons que
\begin{align*} \vT \amp= \frac{1}{|\vr'|}\vr' = \frac{1}{ds/dt}\vr' = \diff{t}{s}\left(\diff{x}{t}\vi + \diff{y}{t}\vj\right) \\ \amp= \diff{x}{s}\vi + \diff{y}{s}\vj\text{.} \end{align*}
Ainsi, on calcule le produit vectoriel
\begin{align*} \vn \amp= \vT \times \vk =\left| \begin{array}{ccc}\vi \amp dx/ds \amp 0\\ \vj \amp dy/ds \amp 0 \\ \vk \amp 0 \amp 1\end{array}\right| = \diff{y}{s}\vi - \diff{x}{s}\vj. \end{align*}
Si notre champ de vitesses est \(\vF = P\vi + Q\vj\text{,}\) nous aurons
\begin{align*} \vF \cdot \vn \amp= P \diff{y}{s} - Q\diff{y}{s} \text{,} \end{align*}
et le flux à travers la courbe est donné par
\begin{align} \int_{\cC} \vF \cdot \vn\ \dee{s} \amp = \int_{\cC}P \diff{y}{s} - Q \diff{x}{s} \ \dee{s} = \int_{\cC} P \dee{y} - Q \dee{x} \text{.}\tag{✶} \end{align}

Exemple 4.2.13.

Soit \(\vF(x,y) = P(x,y)\vi + Q(x,y) \vj = (x-y)\vi + x \vj\text{.}\) Calculer le flux de \(\vF\) à travers (vers l’extérieur) le cercle \(x^2 + y^2 = 1\text{.}\)
Solution.
Nous avons un paramétrage du cercle \(\cC\) qui le parcourt dans le sens trigonométrique, à savoir \(\vr(t) = x(t)\vi + y(t)\vj = \cos t\, \vi + \sin t\, \vj\) avec \(0\leqslant t \leqslant 2\pi\text{.}\) On calcule \(\vr'(t) = -\sin t\, \vi + \cos t\ \vj\text{,}\) et le flux est
\begin{align*} \int_{\cC}P \dee{y} - Q\dee{x} \amp = \int_0^{2\pi}(x(t) - y(t))y'(t) - x(t) y'(t)\ \dee{t} \\ \amp=\int_0^{2\pi} (\cos t - \sin t)(\cos t) - (\cos t)(-\sin t) \, \dee{t} \\ \amp=\int_0^{2\pi} \cos^2 t \, \dee{t} = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} 1+\cos 2t\ \dee{t} = \pi\text{.} \end{align*}
La trajectoire et le champ
Remarquons que le flux vers l’extérieur est positif, en accord avec ce que nous observons dans la figure : lorsque le champ de vecteurs traverse la courbe \(\cC\text{,}\) il le fait en allant de l’intérieur vers l’extérieur.

Exercices Exercices

Pour se pratiquer.

Pour mieux comprendre.

1.
Évaluer \(\int_\cC x^2y^2\,\dee{x}+x^3y\,\dee{y}\) en sens antihoraire autour du carré ayant pour sommets \((0,0)\text{,}\) \((1,0)\text{,}\) \((1,1)\) et \((0,1)\text{.}\)
Réponse.
\(\frac{1}{6}\)
2.
Considérer le champ de vecteurs
\begin{equation*} \vF(x, y) = (e^x \cos y + x^2, \, x^2y + 3). \end{equation*}
Évaluer l’intégrale de ligne \(\int_C\vF\cdot \dee{\vr}\) le long de la courbe orientée \(C\) obtenue en se déplaçant de \((0, 0)\) à \((1,0)\) à \((1, \pi)\) et finalement à \((0, \pi)\) le long de segments droits.
Réponse.
\(2(e-1)+\frac{\pi^2}{2}+3\pi\)
3.
Évaluer \(\int_\cC\vF\cdot \dee{\vr}\) pour
  1. \(\vF(x,y)=xy\,\vi-x^2\,\vj\) le long de \(y=x^2\) de \((0,0)\) à \((1,1)\text{;}\)
  2. \(\vF(x,y,z)=(x-z)\,\vi+(y-z)\,\vj-(x+y)\,\vk\) le long du chemin polygonal de \((0,0,0)\) à \((1,0,0)\) à \((1,1,0)\) à \((1,1,1)\text{.}\)
Réponse.
(a) \(-\frac{1}{4}\)
(b) \(-1\)
4.
Trouver le travail effectué par le champ de forces \(\vF(x,y,z) = (x - y^2, \, y - z^2, \, z - x^2)\) sur une particule se déplaçant le long du segment droit allant de \((0, 0, 1)\) à \((2, 1, 0)\text{.}\)
Réponse.
\(\frac{7}{3}\)
5.
Soit \(C\) la moitié supérieure du cercle unité centré en \((1, 0)\) (c’est-à-dire la partie du cercle se situant au-dessus de l’axe \(x\)), orientée en sens horaire. Calculer l’intégrale de ligne \(\int_C xy\,\dee{y}\text{.}\)
Réponse.
\(-\frac{2}{3}\)