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Calcul multivariable: Une approche libre

Juan Carlos Bustamante

Section 3.5 Intégrales triples en coordonnées cylindriques et sphériques

Plusieurs problèmes présentent certaines symétries. Il est plus facile de travailler sur ces problèmes avec des systèmes de coordonnées qui se prêtent bien à ces contextes. Les coordonnées polaires en sont un exemple, en deux dimensions. Nous allons considérer deux analogues tridimensionnels, à savoir les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques.

Sous-section Coordonnées cylindriques

Supposons que nous voulons calculer la masse d’un objet qui est invariant par rotations autour de l’axe \(Oz\text{,}\) par exemple un tube ou une boîte de conserve. Il est naturel d’utiliser une généralisation des coordonnées polaires. La façon la plus facile de le faire est de considérer les coordonnées polaires dans le plan \(Oxy\) et d’ajouter la coordonnée \(z\text{.}\) Ceci donne ce qu’on appelle les coordonnées cylindriques.

Définition 3.5.1.

Les coordonnées cylindriques d’un point (de coordonnées cartésiennes) \((x,y,z)\) sont \(r\text{,}\) \(\theta\) et \(z\text{,}\) définies par
\begin{align*} r&=\text{ distance de }(x,y,0)\text{ à }(0,0,0)\\ &=\text{ distance de }(x,y,z)\text{ à l'axe $z$,}\\ \theta&=\text{ angle entre l'axe $Ox$ positif et}\\ & \qquad \text{la demi-droite de $(0,0,0)$ à $(x,y,0)$,}\\ z&=\text{ distance signée de }(x,y,z) \text{ au plan $Oxy$}\text{,} \end{align*}
c’est-à-dire que \(r\) et \(\theta\) sont les coordonnées polaires usuelles et que \(z\) est \(z\text{.}\)
Les coordonnées cartésiennes et cylindriques sont liées par les formules suivantes. Comme pour les coordonnées polaires, il est utile de poser \(x = r\cos\theta\) et \(y = r\sin\theta\text{,}\) même pour des valeurs négatives de \(r\text{.}\) Aussi, on fera attention au fait que la formule pour \(\theta\) ne détermine l’angle qu’à \(\pi\) près. Il faut tenir compte du signe de \(x\) et \(y\text{.}\)
Voyons quelques surfaces données par les points dont les coordonnées cylindriques ont des valeurs constantes de \(r\text{,}\) \(\theta\) ou \(z\text{.}\)

Sous-section Volume en coordonnées cylindriques

Afin d’utiliser les coordonnées cylindriques pour calculer des intégrales triples, nous devons calculer l’élément de volume, \(\dee{V}\text{,}\) comme nous l’avons fait pour les intégrales doubles en coordonnées polaires. En effet, nous avons d’abord établi que \(\dee{A}=r\,\dee{r}\,\dee{\theta}\text{.}\) Dans ce qui suit, nous allons établir que \(\dee{V} =r\,\dee{r}\, \dee{\theta}\,\dee{z}\text{.}\)
Commençons donc par découper la région d’intégration :
  • D’abord horizontalement, en tranches d’épaisseur \(\dee{z}\text{.}\) Nous obtenons ceci en coupant par des plans horizontaux d’équation \(z= \) constante.
  • Puis, en divisant les tranches au moyen de surfaces vérifiant \(\theta = \) constante, avec les différences successives des différents \(\theta\) égales à \(\dee{\theta}\text{.}\)
  • Puis, en sous-divisant les quartiers ainsi obtenus en cubes approximatifs, en utilisant des surfaces vérifiant \(r=\) constante, avec les différences entre deux de ces valeurs successives de \(r\) égales à \(\dee{r}\text{.}\)
Nous finissons donc avec des cubes approximatifs, comme illustré dans la figure suivante.
  • Lorsque nous avons effectué les coupes avec les surfaces ayant \(r\) constant, l’écart entre ces valeurs était \(\dee{r}\) : ainsi, l’arête indiquée dans la figure a une longueur \(\dee{r}\text{.}\)
  • Lorsque nous avons effectué les coupes par les surfaces ayant \(z\) constant, les écarts étaient \(\dee{x}\text{,}\) de sorte que l’épaisseur, c’est-à-dire la longueur des traits verticaux, est \(\dee{z}\text{.}\)
  • Lorsque nous avons effectué les coupes avec les surfaces ayant \(\theta\) constant, l’écart entre deux de ces valeurs était \(\dee{\theta}\) : ainsi, les arêtes restantes sont des arcs de cercle de rayon \(r\)
     1 
    En fait, le rayon intérieur est \(r\text{,}\) mais le rayon extérieur est \(r+\dee{r}\text{.}\) Cependant, l’erreur que ceci entraîne tend vers zéro lorsque \(\dee{r}\text{,}\) \(\dee{\theta}\text{,}\) \(\dee{z}\) \(\rightarrow 0\text{.}\)
    qui sous-tend un angle \(\theta\) et donc ont une longueur \(r\,\dee{\theta}\text{.}\) On pourra revoir la justification de la Formule 3.2.6.
Ainsi, le volume de ces cubes approximatifs est (essentiellement
 2 
Par “essentiellement”, on veut dire que la formule pour \(\dee{V}\) tient lorsqu’on prend la limite \(\dee{r},\dee{\theta}, \dee{z}\rightarrow 0\) au niveau des sommes de Riemann.
) :

Sous-section Quelques exemples de calcul

Les coordonnées cylindriques sont de mise lorsque l’intégrande \(f\) est invariant par rotations autour de l’axe \(Oz\) ou lorsque le domaine est cylindrique. Voyons un premier exemple.

Exemple 3.5.4.

Trouver la masse du solide à l’intérieur de la sphère \(x^2+y^2+z^2=1\) lorsque la densité est \(\rho(x,y,z) = x^2+y^2\text{.}\)
Solution.
Avant de continuer, notons que \(x^2+y^2\) est le carré de la distance de \((x,y,z)\) à \(Oz\text{.}\) En conséquence, tant l’intégrande \(x^2+y^2\) que le domaine d’intégration \(x^2+y^2+z^2\leqslant 1\) sont invariants par rotations autour de l’axe \(Oz\text{.}\) Les coordonnées cylindriques sont donc un bon choix.
De nouveau, par symétrie, la masse totale de la sphère est huit fois la masse du premier octant.
Décrivons notre région d’intégration avec les coordonnées cylindriques pour calculer avec l’ordre d’intégration \(\dee{r}\, \dee{\theta}\, \dee{z}\text{.}\) Notons que l’équation de la sphère en coordonnées cylindriques est \(r^2 + z^2 =2\text{.}\)
  • Les points de notre solide vérifient globalement \(0\leqslant z \leqslant 1 \text{.}\)
  • Pour chaque \(z \in [0,1]\text{,}\) les points \((x,y,z)\) du solide vérifient \(0\leqslant x^2 + y^2 \leqslant 1-z^2\) et \(0\leqslant x,\ 0\leqslant y\text{.}\) En coordonnées cylindriques, ceci revient à dire que \((r,\theta, z)\) vérifient \(0\leqslant r^2 \leqslant 1-z^2\) et \(0\leqslant \theta \leqslant \pi/2\text{.}\)
  • L’intégrande est \(\rho(x,y,z) = x^2 + y^2 = r^2\text{.}\)
La masse de la portion du solide dans le premier octant est donc
\begin{align*} M \amp = \iiint_{\cE} \rho\ \dee{V} = \int_0^1 \int_{0}^{\pi/2}\int_0^{\sqrt{1-z^2}} r^2 \ r\, \dee{r}\, \dee{\theta}\, \dee{z}\\ \amp = \int_0^1 \int_{0}^{\pi/2}\int_0^{\sqrt{1-z^2}} r^3\, \dee{r}\, \dee{\theta}\, \dee{z} = \int_0^1\int_0^{\pi/2}\left[\frac{1}{4}r^4\right]_{r=0}^{r=\sqrt{-z^2}}\ \dee{\theta}\, \dee{z} \\ \amp= \frac{1}{4}\int_0^1\int_0^{\pi/2}\left(1-z^2\right)^2 \ \dee{\theta}\, \dee{z} = \frac{\pi}{8} \int_0^1 1-2z^2 + z^4\ \dee{z} \\ \amp= \frac{\pi}{8} \left[z-\frac{2}{3}z^3 + \frac{1}{5}{z^5}\right]_{z=0}^{z=1} =\frac{\pi}{8}\left(1-\frac{2}{3} + \frac{1}{5}\right) = \frac{\pi}{15} \text{.} \end{align*}
La masse totale de notre solide est donc \(\frac{8\pi}{15}\text{.}\)
Sans la calculer, posons l’intégrale en utilisant les coordonnées cylindriques dans l’ordre d’intégration \(\dee{z}\,\dee{r}\, \dee{\theta}\text{.}\)
  • La projection du solide (la partie dans le premier octant) sur le plan \(Oxy\) est le quart du disque unitaire. Il est décrit en coordonnées polaires par
    \begin{equation*} \{ r()\theta)| 0\leqslant r \leqslant 1,\ 0\leqslant \theta \leqslant \pi/2\}. \end{equation*}
  • Pour chaque \((r,\theta)\) sur cette région du plan, les points \((r,\theta,z)\) du solide vérifient \(0\leqslant z \leqslant \sqrt{1-r^2}\text{.}\)
La masse est donc également calculée par l’intégrale
\begin{equation*} \int_0^{\pi/2}\int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-r^2}}\ r^3 \dee{z}\, \dee{r}\, \dee{\theta}. \end{equation*}
Celle-ci est plus dure à calculer.
Finalement, voici l’intégrale correspondante en coordonnées cartésiennes.
\begin{equation*} \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-z^2}}\int_0^{\sqrt{1-y^2 - z^2}} \ \big(x^2+y^2\big) \ \dee{x}\, \dee{y}\, \dee{z} \end{equation*}
Dans notre prochain exemple, nous calculons le moment d’inertie d’un cône circulaire droit. Le moment d’inertie est défini (en deux dimensions) à la Définition 3.3.11. Ceci s’étend naturellement à trois dimensions.

Exemple 3.5.6.

Trouver le moment d’inertie d’un cône circulaire droit dont l’axe coïncide avec l’axe \(Oz\) et dont le sommet est, à l’origne, de rayon \(a\text{,}\) de hauteur \(h\) et de densité constante \(M\) autour de l’axe \(Oy\text{.}\)
Solution.
Voici une figure illustrant le cône ainsi que l’axe de rotation.
Calculons la densité \(\rho\) qui est constante. Comme la masse totale est \(M\text{,}\) la densité est \(\rho = M / V\text{,}\) où \(V\) est le volume. Nous devons donc calculer deux intégrales, une pour le volume puis une autre pour le moment d’inertie. Les deux auront le même domaine d’intégration \(\cV\text{,}\) qui est décrit comme suit.
  • Globalement, \(z\) varie de \(0\) à \(h\text{.}\)
  • Pour chaque \(z\) dans cet intervalle, la section de \(\cV\) par un plan horizontal est un cercle de rayon \(az/h\text{,}\) et donc \(\theta\) varie entre \(0\) et \(2\pi\text{,}\) puis \(r\) varie entre \(0\) et \(az/h\text{.}\)
Commençons par calculer le volume du cône.
\begin{align*} Vol(\cV) \amp= \iiint_{\cV}\dee{V} = \int_0^h \int_0^{2\pi}\int_0^{az/h} r\ \dee{r}\, \dee{\theta}\, \dee{z} \\ \amp= \int_0^h \int_0^{2\pi}\left[\frac{1}{2}r^2\right]_{r=0}^{r=az/h} \ \dee{\theta}\ \dee{z} = \int_0^h \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}\frac{a^2z^2}{h^2}\ \dee{\theta}\, \dee{z}\\ \amp= \pi\frac{a^2}{h^2}\int_{0}^h z^2\ \dee{z} = \pi\frac{a^2}{h^3}\frac{1}{3}\left.z^3\right|_{z=0}^{z=h} = \frac{1}{3}\pi a^2 h \end{align*}
Calculons maintenant le moment d’inertie. Pour un point \((x,y,z)\) donné, sa distance à l’axe de rotation (c’est-à-dire l’axe \(Oy\)) est \(D(x,y,z) = \sqrt{x^2 + z^2}\text{.}\) Ainsi, le moment d’inertie est
\begin{align*} \iiint_\cV (x^2+z^2)\ \dee{x}\,\dee{y}\,\dee{z} &=\int_0^h\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{a}{h}z}\ r\, \overbrace{\big(r^2\cos^2\theta+z^2\big)}^{x^2+z^2}\dee{r}\, \dee{\theta}\, \dee{z}\\ &=\int_0^h\dee{z}\int_0^{2\pi}\dee{\theta}\left[ \frac{1}{4}\left(\frac{a}{h}z\right)^4\cos^2\theta +\frac{1}{2}\left(\frac{a}{h}z\right)^2z^2\right]\\ &=\int_0^h\dee{z}\left[ \frac{1}{4}\frac{a^4}{h^4} +\frac{a^2}{h^2}\right]\pi z^4,\\ &\hskip0.5in\text{puisque} \int_0^{2\pi}\cos^2\theta\ \dee{\theta}=\pi,\\ &=\frac{1}{5}\left[ \frac{1}{4}\frac{a^4}{h^4} +\frac{a^2}{h^2}\right]\pi h^5\text{.} \end{align*}
Ainsi, nous avons
\begin{align*} I_\cA &=\iiint_\cV \overbrace{(x^2+z^2)}^{D(x,y,z)^2} \overbrace{\frac{M}{\frac{1}{3}\pi a^2h}}^{\rho(x,y,z)} \ \dee{x}\,\dee{y}\,\dee{z}\\ &=3\frac{M}{\pi a^2h} \ \frac{1}{5}\left[ \frac{1}{4}\frac{a^4}{h^4} +\frac{a^2}{h^2}\right]\pi h^5\\ &=\frac{3}{20} M\big(a^2+4h^2\big)\text{.} \end{align*}

Sous-section Coordonnées sphériques

Dans l’éventualité où l’on veut, par exemple, calculer une masse d’un objet qui est invariant par les rotations autour de tout axe passant par l’origine, il est avantageux d’utiliser un autre système de coordonnées, qui est aussi une généralisation des coordonnées polaires. Il s’agit des coordonnées sphériques. Cette fois, on mesure une distance à l’origine, puis deux angles, celui des coordonnées polaires et celui par rapport à l’axe \(Oz\text{.}\) Ce qui est fait ici est analogue au système utilisé pour repérer un endroit sur le globe terrestre : le rayon de la Terre étant spécifié, on donne la longitude, c’est-à-dire l’angle par rapport au méridien de Greenwich, puis la latitude, qui mesure l’angle d’écart par rapport à l’équateur terrestre. Pour les coordonnées sphériques, la latitude est mesurée par rapport au pôle nord.

Définition 3.5.7.

Les coordonnées sphériques d’un point de coordonnées cartésiennes \((x,y,z)\) sont \((r,\theta,\varphi)\text{,}\) définies par
\begin{align*} \rho&=\text{ distance de }(0,0,0)\text{ à }(x,y,z),\\ \varphi&=\text{ angle entre l'axe $Oz$ positif et la demi-droite},\\ \amp \qquad \text{$(0,0,0)$ en direction de $(x,y,z)$}\\ \theta&=\text{ angle entre l'axe $Ox$ positif }\\ \amp\qquad \text{et la demi-droite de $(0,0,0)$ en direction de $(x,y,z)$}\text{.} \end{align*}
Voici deux figures donnant une vue latérale et une vue d’en haut de la figure ci-haut.
La coordonnée sphérique \(\theta\) est la même que la coordonnée cylindrique \(\theta\text{.}\) La coordonnée sphérique \(\varphi\) est nouvelle, elle parcourt l’intervalle allant de \(0\) (sur l’axe \(z\) positif, “le pôle nord”) à \(\pi\) (sur l’axe \(z\) négatif, “le pôle sud”). Les formules reliant les coordonnées cartésiennes et sphériques sont les suivantes.
Voici trois figures montrant des surfaces où
  • \(\rho\) est constant, c’est-à-dire \(x^2+y^2+z^2=\rho^2\) avec \(\rho\) constant, il s’agit d’une sphère,
  • \(\theta\) est constant, c’est-à-dire un plan vertical, et
  • \(\varphi\) est constant, c’est-à-dire une surface où \(z=\sqrt{x^2+y^2}\ \tan\varphi\) avec \(\varphi\) constante (ceci ressemble à un entonnoir).

Sous-section Volume en coordonnées sphériques

Si l’on coupe un solide
  • en coupant d’abord selon des plans avec \(\theta\) constant, où l’écart entre deux valeurs consécutives est \(\dee{\theta}\text{,}\)
  • puis en coupant avec des surfaces avec \(\varphi\) constantes, avec la différence successive entre deux telles valeurs \(\dee{\varphi}\text{,}\)
  • puis en divisant ces régions en cubes approximatifs au moyen de surfaces données par des valeurs constantes de \(\rho\text{,}\) avec la différence entre deux de ces valeurs égale à \(\dee{\rho}\text{,}\)
nous obtenons des cubes approximatifs, comme illustré dans la figure ci-bas.
Les dimensions de ce cube en coordonnées sphériques sont essentiellement \(\dee{\rho}\) par \(\rho\dee{\varphi}\) par \(\rho\sin\varphi\,\dee{\theta}\text{.}\) Nous verrons pourquoi plus bas. Ainsi, le volume approché du cube est :
Voyons la justification de la formule ci-haut. Chacune des \(12\) arêtes du cube est formée en fixant les valeurs de deux des coordonnées \(\rho\text{,}\) \(\theta\text{,}\) \(\varphi\) et en faisant varier la troisième.
  • Quatre des arêtes sont formées en fixant \(\theta\) et \(\varphi\text{,}\) et en faisant varier \(\rho\text{.}\) L’intersection d’un plan donné par \(\theta\) fixe avec un cône donné par \(\varphi\) constant est une droite passant par l’origine. Quand nous avons fait nos coupes par des valeurs différentes de \(\rho\text{,}\) l’écart entre deux valeurs de \(\rho\) successives a été \(\dee{\rho}\text{,}\) ainsi ces arêtes du cube ont pour longueur \(\dee{\rho}\text{.}\)
  • Quatre autres des arêtes sont formées en fixant \(\theta\) et \(\rho\text{,}\) et en faisant varier \(\varphi\text{.}\) L’intersection d’un plan donné par \(\theta\) constant (qui contient l’origine) avec une sphère de rayon \(\rho\) fixe (centrée à l’origine) est un cercle de rayon \(\rho\) centré à l’origine, ce qu’on appellerait un méridien.
    Quand nous avons fait nos coupes avec les surfaces de \(\varphi\) constant, la différence entre deux valeurs successives était \(\dee{\varphi}\text{.}\) Ainsi, ces quatre arêtes sont des arcs de cercle dont le rayon est essentiellement \(\rho\) et qui sous-tendent un angle \(\dee{\varphi}\text{,}\) elles ont donc une longueur \(\rho\,\dee{\varphi}\text{.}\)
  • Les quatre arêtes restantes sont formées en fixant \(\varphi\) et \(\rho\text{,}\) et en faisant varier \(\theta\text{.}\) L’intersection d’un cône de \(\varphi\) fixe avec une sphère de \(\rho\) fixe est un cercle. Comme \(\rho\) et \(\varphi\) sont tous les deux fixes, le cercle est contenu dans le plan \(z=\rho\cos\varphi\text{.}\) En termes cartographiques, il s’agirait d’un parallèle. Le cercle a un rayon \(\rho\sin\varphi\) et est centré à \(\big(0,0, \rho\cos\varphi\big)\text{.}\)
    Lorsque nous avons effectué nos coupes avec des surfaces de \(\theta\) constant, la différence entre deux valeurs successives était \(\dee{\theta}\text{.}\) Ainsi, ces quatre arêtes du cube sont des arcs de cercle dont le rayon est essentiellement \(\rho\sin\varphi\) et qui sous-tendent un angle \(\dee{\theta}\text{.}\) Leur longueur est donc \(\rho\sin\varphi\,\dee{\theta}\text{.}\)

Exemple 3.5.10. Cône de crème glacée.

Trouver le volume du cône de crème glacée formé par l’intérieur de la sphère \(x^2+y^2+z^2=a^2\) qui se trouve au-dessus du plan \(Oxy\) et à l’intérieur du cône \(x^2+y^2=b^2 z^2\text{.}\) Ici, \(a\) et \(b\) sont deux constantes strictement positives.
Solution.
Remarquons que, en coordonnées sphériques,
\begin{equation*} x^2+y^2=\rho^2\sin^2\varphi,\qquad z^2=\rho^2\cos^2\varphi,\qquad x^2+y^2+z^2=\rho^2\text{.} \end{equation*}
Ainsi, en coordonnées sphériques, l’équation d’une sphère est \(\rho=a\text{,}\) et l’équation du cône est \(\tan^2\varphi = b^2\text{.}\) Posons \(\be=\arctan b\text{,}\) avec \(0 \lt \be \lt \frac{\pi}{2}\text{.}\) Voici une esquisse de la portion du cône de crème glacée qui se trouve dans le premier octant.
Afin de calculer le volume, décrivons notre région d’intégration en coordonnées sphériques. Nous avons que :
  1. l’angle \(\theta\) varie entre \(0\) et \(2\pi\text{,}\) puisque nous devons effectuer un tour complet autour de l’axe des \(z\text{;}\)
  2. le rayon \(\rho\) varie entre \(0\) et \(a\text{,}\) puisque la région contient l’origine et est limitée par la sphère de rayon \(a\text{;}\)
  3. l’angle \(\varphi\) varie entre \(0\) et \(\be\text{,}\) puisque nous commençons au pôle nord et que nous sortons de notre crème glacée lorsque nous frappons le cylindre.
Ainsi, le volume est donné par
\begin{align*} \text{Vol}(\cV) \amp = \iiint_{\cV}\ \dee{V} = \int_0^{2\pi} \int_0^a\int_0^\be\ \rho^2\, \sin \varphi\, \dee{\varphi}\, \dee{\rho}\, \dee{\theta} \\ \amp = \left[\int_0^{2\pi} \dee{\theta}\right] \left[\int_0^a \rho^2 \dee{\rho} \right]\left[ \int_0^\be \sin \varphi \ \dee{\varphi}\right]\\ \amp = 2\pi \cdot \frac{a^3}{3}\cdot (1-\cos \be) \text{.} \end{align*}
Notons que nous avons pu séparer l’intégrale triple en un produit de trois intégrales, car l’intégrande est un produit de fonctions des variables d’intégration, et les bornes d’intégration sont constantes. C’est le résultat analogue du Théorème 3.1.7 pour les intégrales triples.
Nous pouvons exprimer \(\be\) (qui ne faisait pas partie du problème donné) en termes de \(b\text{,}\) il suffit regarder le triangle ci-joint.
Le côté droit ainsi que celui du bas ont été choisis de sorte que \(\tan\be=b\text{,}\) c’est la définition de \(\beta\text{.}\) Ainsi, \(\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}\text{,}\) et le volume de notre cône de crème glacée est
\begin{equation*} \text{Vol}(\cV) =\frac{2\pi a^3}{3}\left[1-\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}\right]\text{.} \end{equation*}
À l’instar de l’Exemple 3.2.12, nous pouvons faire quelques vérifications salutaires.
  • Si \(b=0\text{,}\) le cône est simplement \(x^2+y^2=0\text{,}\) c’est-à-dire la droite \(x=y=0\) (il s’agit de l’axe des \(z\)), le volume total devrait être nul. Notre calcul donne en effet cette réponse.
  • À la limite, lorsque \(b\rightarrow\infty\text{,}\) l’angle \(\beta\rightarrow\frac{\pi}{2}\text{,}\) et le cornet de crème glacée tend vers l’hémisphère nord de la sphère de rayon \(a\text{.}\) Notre calcul donne en effet le volume de l’hémisphère, à savoir \(\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\pi a^3\) lorsque \(b\rightarrow \infty\text{.}\)

Exemple 3.5.11.

Un trou cylindrique de rayon \(b\) est percé dans une pomme parfaitement symétrique dont le rayon est \(a\geqslant b\text{.}\) Trouver le volume restant de la pomme.
Solution.
À l’Exemple 3.2.12, nous avons calculé le volume enlevé. Nous pourrions donc déduire le volume restant, le tout avec des coordonnées cylindriques. Au lieu de faire ceci, nous allons évaluer le volume avec une intégrale en coordonnées sphériques.
Comme à l’Exemple 3.2.12, choisissons notre système de coordonnées avec le centre de la pomme à l’origine et avec le centre de la perceuse suivant l’axe \(Oz\text{.}\) Voici une esquisse de la partie de la pomme du premier octant qui reste, ainsi qu’une vue latérale.
Afin de calculer le volume en coordonnées sphériques, décrivons la région.
  • Comme on doit effectuer un tour complet autour de l’axe \(z\) afin de parcourir la région, \(\theta\) varie entre \(0\) et \(2\pi\text{.}\)
  • L’angle \(\varphi\) varie entre \(\arcsin (b/a)\) et \(\pi/2\text{,}\) comme la figure de droite ci-haut le montre.
  • Pour des valeurs de \(\theta\) et \(\varphi\) fixées, les points \((\rho, \theta, \varphi)\) de notre région vérifient \(\frac{b}{\sin\varphi} \leqslant \rho \leqslant a\text{.}\) En effet, avec \(\theta\) et \(\varphi\) fixes, lorsque nous faisons varier \(\rho\text{,}\) c’est-à-dire lorsque nous quittons l’origine, nous entrons dans la région qui nous importe par la paroi intérieure du trou percé (ligne droite verticale en rouge dans la figure de droite ci-haut). Ceci correspond à \(\rho = \frac{b}{\sin \varphi}\text{.}\) Puis, on quitte la région lorsqu’on rencontre la sphère de rayon \(a\text{.}\)
Afin d’alléger l’écriture, posons \(\al = \arcsin (b/a)\text{.}\) Le volume qui nous intéresse est donc
\begin{align*} \text{Vol}(\cV) \amp = \iiint_{\cV} \ \dee{V} = \int_0^{2\pi}\int_{\al}^{\pi/2}\int_{\frac{b}{\sin \varphi}}^a \rho^2 \,\sin\varphi\, \dee{\rho}\, \dee{\varphi}\, \dee{\theta}\\ \amp=\int_0^{2\pi} \int_{\al}^{\pi/2}\left[\frac{1}{3}\sin \varphi \rho^3\right]_{\rho ={b/\sin\varphi}}^{\rho = a} \ \dee{\varphi}\, \dee{\theta}\\ \amp=\frac{1}{3} \int_0^{2\pi}\int_{\al}^{\pi/2} \sin\varphi \left(a^3 - \frac{b^3}{\sin^3 \varphi}\right) \ \dee{\varphi}\ \dee{\theta}\\ \amp=\frac{2\pi}{3} \int_{\al}^{\pi/2} a^3 \sin \varphi - b^3 \csc^2 \varphi\ \dee{\varphi}\\ \amp= \frac{2\pi}{3}\left[-a\cos \varphi + b^3\cot \varphi \right]_{\phi = \al}^{\varphi = \pi/2}\\ \amp= \frac{2\pi}{3} \left( a^3 \cos \al - b^3 \cot \al\right) \text{,} \end{align*}
où nous avons utilisé le fait que \(\displaystyle \int \csc^2 \varphi \ \dee{\varphi}= -\cot \varphi + C\) et que \(\cos\frac{\pi}{2} = \cot\frac{\pi}{2}=0\text{.}\) Du triangle ci-bas, nous pouvons conclure que \(\cos\al =\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} \) et que \(\cot\al=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}\text{.}\)
Ainsi, le volume de la portion de pomme restante est
\begin{equation*} \text{Vol}(\cV) =\frac{4}{3}\pi\big[a^2-b^2\big]^{3/2}\text{.} \end{equation*}
Nous pouvons faire quelques vérifications comme à l’Exemple 3.2.12.
  • Si le rayon de la perceuse est \(b=0\text{,}\) il n’y a rien qui est enlevé. Le volume restant doit être égal au volume de la sphère, \(\frac{4}{3}\pi a^3\text{.}\) Notre réponse est cohérente avec ceci.
  • Si le rayon de la perceuse est \(b=a\text{,}\) toute la pomme est enlevée, le volume restant est \(0\text{.}\) Encore une fois, notre réponse est en accord avec ceci.
Comme vérification finale, notons que la somme des réponses de l’Exemple 3.2.12 et de celui que nous venons de faire est bel et bien \(\frac{4}{3}\pi a^3\text{,}\) ce qui est rassurant.

Exercices Exercices

Pour se pratiquer.

1.
Utilisez \((r,\theta,z)\) pour dénoter les coordonnées cylindriques.
  1. Dessinez \(r=0\text{.}\)
  2. Dessinez \(r=1\text{.}\)
  3. Dessinez \(\theta=0\text{.}\)
  4. Dessinez \(\theta=\frac{\pi}{4}\text{.}\)
Réponse.
(a), (b)
(c), (d)
2.
Esquissez les points ayant les coordonnées cylindriques spécifiées.
  1. \(r=1\text{,}\) \(\theta=0\text{,}\) \(z=0\)
  2. \(r=1\text{,}\) \(\theta=\frac{\pi}{4}\text{,}\) \(z=0\)
  3. \(r=1\text{,}\) \(\theta=\frac{\pi}{2}\text{,}\) \(z=0\)
  4. \(r=0\text{,}\) \(\theta=\pi\text{,}\) \(z=1\)
  5. \(r=1\text{,}\) \(\theta=\frac{\pi}{4}\text{,}\) \(z=1\)
Réponse.
3.
Convertissez des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes.
  1. \(r=1\text{,}\) \(\theta=0\text{,}\) \(z=0\)
  2. \(r=1\text{,}\) \(\theta=\frac{\pi}{4}\text{,}\) \(z=0\)
  3. \(r=1\text{,}\) \(\theta=\frac{\pi}{2}\text{,}\) \(z=0\)
  4. \(r=0\text{,}\) \(\theta=\pi\text{,}\) \(z=1\)
  5. \(r=1\text{,}\) \(\theta=\frac{\pi}{4}\text{,}\) \(z=1\)
Réponse.
(a) \((1,0,0)\)
(b) \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)\)
(c) \((0,1,0)\)
(d) \((0,0,1)\)
(e) \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},1\right)\)
4.
Convertissez des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques.
  1. \(\displaystyle (1,1,2)\)
  2. \(\displaystyle (-1,-1,2)\)
  3. \(\displaystyle (-1,\sqrt{3}, 0)\)
  4. \(\displaystyle (0,0,1)\)
Réponse.
(a) \(r=\sqrt{2}\text{,}\) \(z=2\text{,}\) \(\theta=\frac{\pi}{4}\) (plus possiblement tout entier multiple de \(2\pi\))
(b) \(r=\sqrt{2}\text{,}\) \(z=2\text{,}\) \(\theta=\frac{5\pi}{4}\) (plus possiblement tout entier multiple de \(2\pi\))
(c) \(r=2\text{,}\) \(z=0\text{,}\) \(\theta=\frac{2\pi}{3}\) (plus possiblement tout entier multiple de \(2\pi\))
(d) \(r=0\text{,}\) \(z=1\text{,}\) \(\theta=\text{arbitraire}\)
5.
Réécrire les équations suivantes en coordonnées cylindriques.
  1. \(\displaystyle z=2xy\)
  2. \(\displaystyle x^2+y^2+z^2=1\)
  3. \(\displaystyle (x-1)^2 + y^2 =1\)
Réponse.
(a) \(z=r^2\sin(2\theta)\)
(b) \(r^2+z^2=1\)
(c) \(r=2\cos\theta\)
6.
Utilisez \((\rho,\theta,\varphi)\) pour dénoter les coordonnées sphériques.
  1. Dessinez \(\varphi=0\text{.}\)
  2. Dessinez \(\varphi=\frac{\pi}{4}\text{.}\)
  3. Dessinez \(\varphi=\frac{\pi}{2}\text{.}\)
  4. Dessinez \(\varphi=\frac{3\pi}{4}\text{.}\)
  5. Dessinez \(\varphi=\pi\text{.}\)
Réponse.
7.
Esquissez le point ayant les coordonnées sphériques spécifiées.
  1. \(\rho=0\text{,}\) \(\theta=0.1\pi\text{,}\) \(\varphi=0.7\pi\)
  2. \(\rho=1\text{,}\) \(\theta=0.3\pi\text{,}\) \(\varphi=0\)
  3. \(\rho=1\text{,}\) \(\theta=0\text{,}\) \(\varphi=\frac{\pi}{2}\)
  4. \(\rho=1\text{,}\) \(\theta=\frac{\pi}{3}\text{,}\) \(\varphi=\frac{\pi}{2}\)
  5. \(\rho=1\text{,}\) \(\theta=\frac{\pi}{2}\text{,}\) \(\varphi=\frac{\pi}{2}\)
  6. \(\rho=1\text{,}\) \(\theta=\frac{\pi}{3}\text{,}\) \(\varphi=\frac{\pi}{6}\)
Réponse.
8.
Convertissez des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques.
  1. \(\displaystyle (-2,0,0)\)
  2. \(\displaystyle (0,3,0)\)
  3. \(\displaystyle (0,0,-4)\)
  4. \(\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{3}\right)\)
Réponse.
(a) \(\rho=2\text{,}\) \(\theta=\pi\text{,}\) \(\varphi=\frac{\pi}{2}\)
(b) \(\rho=3\text{,}\) \(\theta=\frac{\pi}{2}\text{,}\) \(\varphi=\frac{\pi}{2}\)
(c) \(\rho=4\text{,}\) \(\theta=\text{arbitraire}\text{,}\) \(\varphi=\pi\)
(d) \(\rho=2\text{,}\) \(\theta=\frac{3\pi}{4}\text{,}\) \(\varphi=\frac{\pi}{6}\)
9.
Convertissez des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes.
  1. \(\rho=1\text{,}\) \(\theta=\frac{\pi}{3}\text{,}\) \(\varphi=\frac{\pi}{6}\)
  2. \(\rho=2\text{,}\) \(\theta=\frac{\pi}{2}\text{,}\) \(\varphi=\frac{\pi}{2}\)
Réponse.
(a) \(\left(\frac{1}{4}\,,\,\frac{\sqrt{3}}{4}\,,\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
(b) \((0,2,0)\)
10.
Réécrire les équations suivantes en coordonnées sphériques.
  1. \(\displaystyle z^2=3x^2+3y^2\)
  2. \(\displaystyle x^2+y^2+(z-1)^2=1\)
  3. \(\displaystyle x^2+y^2=4\)
Réponse.
(a) \(\varphi=\frac{\pi}{6}\text{ ou }\frac{5\pi}{6}\)
(b) \(\rho=2\cos\varphi\)
(c) \(\rho\sin\varphi=2\)
11.
Soit \(B\) dénotant la région à l’intérieur de la sphère \(x^2+y^2+z^2=4\) et au-dessus du cône \(x^2+y^2=z^2\text{.}\) Calculez le moment d’inertie
\begin{equation*} \iiint_B z^2\,\dee{V} \end{equation*}
Réponse.
\(\frac{64}{15}\pi\big(1-\frac{1}{2\sqrt{2}}\big)\approx 8.665 \)
12.
Trouvez la limite ou montrez qu’elle n’existe pas
\begin{equation*} \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{xy+yz^2+xz^2}{x^2+y^2+z^4} \end{equation*}
Utilisez les coordonnées sphériques.
Réponse.
Elle n’existe pas.

Pour mieux comprendre.

13.
En utilisant les coordonnées sphériques et les intégrales, montrez que le volume de la sphère de rayon \(1\) centré à l’origine est \(4\pi/3\text{.}\)
Réponse.
En coordonnées sphériques, la sphère en question est
\begin{align*} B =\big\{\ (\rho\sin\varphi\cos\theta\,,\,\rho\sin\varphi\sin\theta\,,\, \rho\cos\varphi)\ \big|\ 0\le\rho\leqslant 1\,,\,&0\le\varphi\le\pi\,,\,\\ &\hskip0.25in 0\le\theta\leqslant 2\pi\ \big\} \end{align*}
Comme \(\dee{V} =\rho^2\sin\varphi\ \dee{\rho}\,\dee{\varphi}\,\dee{\theta}\text{,}\)
\begin{align*} \text{Volume}(S) =\iiint_B\dee{V} &=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1\ \rho^2\sin\varphi\dee{\rho}\dee{\varphi}\dee{\theta}\\ &=\left[\int_0^{2\pi} \left[\int_0^{\pi}\ \sin\varphi \left[\int_0^1\ \rho^2\dee{\rho}\right]\dee{\varphi}\right]\dee{\theta}\right]\\ &= 2\pi\Big[-\cos\varphi\Big]_0^\pi \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_0^1 =(2\pi)(2)\left(\frac{1}{3}\right)\\ &=\frac{4\pi}{3} \end{align*}
14.
Utilisez les coordonnées cylindriques afin d’évaluer les volumes de chacune des régions suivantes.
  1. Au-dessus du plan \(xy\text{,}\) à l’intérieur du cône \(z=2a-\sqrt{x^2+y^2}\) et à l’intérieur du cylindre \(x^2+y^2=2ay\text{.}\)
  2. Au-dessus du plan \(xy\text{,}\) sous le paraboloïde \(z=1-x^2-y^2\) et dans le coin \(-x\leqslant y\leqslant \sqrt{3}x\text{.}\)
  3. Au-dessus du paraboloïde \(\ z=x^2+y^2\ \) et sous le plan \(\ z=2y\text{.}\)
Réponse.
(a) \(a^3\big(2\pi-\frac{32}{9}\big)\)
(b) \(\frac{7}{48}\pi\)
(c) \(\frac{\pi}{2}\)
15.
Soit \(E\) la région bornée entre les surfaces paraboloïque \(z = x^2 + y^2\) et \(z = 2 - x^2 - y^2\) et à l’intérieur du cylindre \(x^2 + y^2\leqslant1\text{.}\) Calculez l’intégrale de \(f(x,y,z) = {(x^2 + y^2)}^{3/2}\) sur la région \(E\text{.}\)
Réponse.
\(\frac{8\pi}{35}\)
16.
Soit \(E\) la région bornée au-dessus par la sphère \(x^2 + y^2 + z^2 = 2\) et en-dessous par le paraboloïde \(z = x^2 + y^2\text{.}\) Trouvez le centre de gravité de \(E\text{.}\)
Réponse.
\(\big(0,0,\frac{7}{16\sqrt{2}-14} \approx 0.811\big)\)
17.
Soit \(E\) la région la plus petite parmi les deux solides bornés par les surfaces \(z = x^2 + y^2\) et \(x^2 + y^2 + z^2 = 6\text{.}\) Évaluez \(\iiint_E (x^2+y^2)\ \dee{V}\) .
Réponse.
\(\pi\left[\frac{48}{5}\sqrt{6}-\frac{328}{15}\right] \approx 1.65\pi\)
18.
Soit \(a \gt 0\) un nombre réel positif fixé. Considérez le solide à l’intérieur du cylindre \(x^2 + y^2 = ax\) et de la sphère \(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\text{.}\) Calculez son volume.
Vous pouvez utiliser le fait que \(\int \sin^3(\theta) =\frac{1}{12}\cos(3\theta) -\frac{3}{4}\cos(\theta) +C\)
Réponse.
\(\frac{4a^3}{3}\left[\frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} \right]\)
19.
Soit \(E\) le solide se retrouvant à l’intérieur de la surface \(z = y^2\) et sous la surface \(z = 4 - x^2\text{.}\) Évaluez
\begin{equation*} \iiint_E y^2\ \dee{V} \end{equation*}
Vous pouvez utiliser les formules d’angle moitié:
\begin{equation*} \sin^2\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2},\qquad \cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \end{equation*}
Réponse.
\(\frac{16\pi}{3}\)
20.
Le centre de masse \((\bar x,\bar y, \bar z)\) d’un corps \(B\) ayant une densité \(\rho(x,y,z)\) (unités de masse par unité de volume) à \((x,y,z)\) est défini comme étant
\begin{gather*} \bar x=\frac{1}{M}\iiint_B x\rho(x,y,z)\ \dee{V}\quad \bar y=\frac{1}{M}\iiint_B y\rho(x,y,z)\ \dee{V}\\ \bar z=\frac{1}{M}\iiint_B z\rho(x,y,z)\ \dee{V} \end{gather*}
où
\begin{equation*} M=\iiint_B \rho(x,y,z)\ \dee{V} \end{equation*}
est la masse du corps. Donc, par exemple, \(\bar x\) est la moyenne pondérée de \(x\) sur le corps. Trouvez le centre de masse de la partie de la boule solide \(x^2+y^2+z^2\leqslant a^2\) avec \(x\geqslant 0\text{,}\) \(y\geqslant 0\) et \(z\geqslant 0\text{,}\) en assumant que sa densité \(\rho\) est constante.
Réponse.
\(\bar x=\bar y=\bar z=\frac{3}{8}a\)
21.
Une sphère de rayon \(2{\rm m}\) centrée à l’origine a une densité variable \(\frac{5}{\sqrt{3}}(z^2+1)\)\({\rm kg}/{\rm m}^3\text{.}\) Un trou de diamètre \(1{\rm m}\) est percé à travers la sphère le long de l’axe \(z\text{.}\)
  1. Posez une intégrale triple en coordonnées cylindriques donnant la masse de la sphère après que le trou ait été percé.
  2. Évaluez cette intégrale.
Réponse.
(a) \(\ds\text{masse} = \int_{1/2}^2 \dee{r} \int_{-\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}} \dee{z}\int_0^{2\pi}\dee{\theta}\ \frac{5}{\sqrt{3}}(z^2+1)r\)
(b) \(\frac{525}{24}\sqrt{5}\pi\approx 153.7\text{kg}\)
22.
Considérez le solide fini borné par les trois surfaces: \(z=e^{-x^2-y^2}\text{,}\) \(z=0\) et \(x^2+y^2=4\text{.}\)
  1. Posez (mais n’évaluez pas) l’intégrale triple en coordonnées cartésiennes décrivant le volume du solide.
  2. Calculez le volume du solide en utilisant n’importe quelle méthode.
Réponse.
(a) \(\ds\int_{-2}^2 \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int_0^{e^{-x^2-y^2}}\dee{z}\dee{y}\dee{x}\)
(b) \(\pi\big[1-e^{-4}\big]\approx 3.084\)
23.
Trouvez le volume du solide se trouvant à l’intérieur de \(x^2 + y^2 = 4\text{,}\) au-dessus de \(z = 0\) et sous \(2z = y\text{.}\)
Réponse.
\(\frac{8}{3}\)
24.
Considérez la région \(E\) en \(3\)-dimensions spécifiée par les inégalités sphériques
\begin{equation*} 1\leqslant \rho\leqslant1 + \cos \varphi \end{equation*}
  1. Dessinez, de façon raisonnablement précise, \(E\) en \(3\)-dimensions. S’assurer de montrer les unités sur les axes de coordonnées.
  2. Trouvez le volume de \(E\text{.}\)
Réponse.
(a)
(b) \(\frac{11\pi}{6}\)
25.
Utilisez les coordonnées sphériques pour évaluer l’intégrale
\begin{equation*} I=\iiint_D z\ \dee{V} \end{equation*}
où \(D\) est le solide formé par le cône \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) et la sphère \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\text{.}\) Autrement, \((x,y,z)\) est dans \(D\) si et seulement si \(\sqrt{x^2 + y^2}\leqslant z\) et \(x^2 + y^2 + z^2\leqslant4\text{.}\)
Réponse.
\(2\pi\)
26.
Utilisez les coordonnées sphériques afin de trouver
  1. Le volume à l’intérieur du cône \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) et à l’intérieur de la sphère \(x^2+y^2+z^2=a^2\text{.}\)
  2. \(\iiint_R x\, \dee{V}\) et \(\iiint_R z\, \dee{V}\) au-dessus de la partie de la sphère de rayon \(a\) se trouvant dans le premier octant.
  3. La masse de la planète sphérique de rayon \(a\) dont la densité à distance \(\rho\) du centre est \(\d=A/(B+\rho^2)\text{.}\)
  4. Le volume formé par \(\ \rho=a(1-\cos\varphi).\) Ici \(\rho\) et \(\varphi\) réfèrent aux coordonnées sphériques usuelles.
Réponse.
(a) \(2\pi\frac{a^3}{3}\big(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\big)\)
(b) \(\frac{\pi a^4}{16}\)
(c) \(4\pi A\big(a-\sqrt{B}\tan^{-1}\frac{a}{\sqrt{B}}\big)\)
(d) \(\frac{8}{3}\pi a^3\)
27.
Considérez la coquille hémisphérique délimitée par les surfaces sphériques
\begin{equation*} x^2 + y^2 + z^2 = 9\qquad\text{et}\qquad x^2 + y^2 + z^2 = 4 \end{equation*}
et au-dessus du plan \(z = 0\text{.}\) La coquille admet une densité constante \(D\text{.}\)
  1. Trouvez la masse de la coquille.
  2. Trouvez la location du centre de masse de la coquille.
Réponse.
(a) \(\frac{38}{3}\pi D\)
(b) \(\bar x = \bar y=0\)
\(\bar z =\frac{195}{152} \approx 1.28\)
28.
Soit
\begin{equation*} I = \iiint_T xz\ \dee{V} \end{equation*}
où \(T\) est le huitième de la sphère \(x^2 + y^2 + z^2\leqslant1\) avec \(x,y,z \geqslant 0\text{.}\)
  1. Esquissez le volume \(T\text{.}\)
  2. Exprimez \(I\) comme l’intégrale triple en coordonnées sphériques.
  3. Évaluez \(I\) par n’importe quelle méthode.
Réponse.
(a)
(b) \(I=\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}\int_0^1\ \rho^4\sin^2\varphi\cos\varphi\ \cos\theta\dee{\varphi}\dee{\theta}\dee{\rho}\)
(c) \(\frac{1}{15}\)
29.
Évaluez \(W = \iiint_Q xz\ \dee{V}\text{,}\) où \(Q\) est le huitième de la sphère \(x^2 + y^2 + z^2\leqslant9\) avec \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) \(z \geqslant 0\text{.}\)
Réponse.
\(\frac{81}{5}\)
30.
Évaluez \(\iiint_{\R^3} {\big[1+{(x^2+y^2+z^2)}^3\big]}^{-1}\ \dee{V}\text{.}\)
Réponse.
\(\frac{2\pi^2}{3}\)
31.
Évaluez
\begin{equation*} \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{1-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{1+\sqrt{1-x^2-y^2}} (x^2+y^2+z^2)^{5/2} \ \dee{z}\,\dee{y}\,\dee{x} \end{equation*}
en changeant en coordonnées sphériques.
Réponse.
\(\frac{64\pi}{9}\)
32.
Évaluez le volume d’un cylindre de rayon \(a\) et de hauteur \(h\) à l’aide d’une intégrale en coordonnées sphériques.
Réponse.
\(\pi a^2h\)
33.
  1. Évaluez \(\ds\iiint_\Om z\,\dee{V}\text{,}\) où \(\Om\) est la région à trois dimensions dans le premier octant \(x\geqslant 0\text{,}\) \(y\geqslant 0\text{,}\) \(z\geqslant 0\text{,}\) occupant l’intérieur de la sphère \(x^2+y^2+z^2=1\text{.}\)
  2. Utilisez le résultat de la partie (a) afin de déterminant rapidement le centre de gravité d’une boule hémisphérique donnée par \(z\geqslant 0\text{,}\) \(x^2+y^2+z^2\leqslant 1\text{.}\)
Réponse.
(a) \(\frac{\pi}{16}\)
(b) Le centre de gravité est \((\bar x,\bar y,\bar z)\) avec \(\bar x=\bar y=0\) et \(\bar z=\frac{3}{8}\text{.}\)
34.
Considérez la moitié supérieure d’une boule de rayon \(2\) centrée à l’origine. Supposons que la boule a une densité variable égale à \(9z\) unités de masse par unité de volume.
  1. Posez une intégrale triple donnant la masse de cette demi-boule.
  2. Trouvez quelle fraction de cette masse se trouve à l’intérieur du cône
    \begin{equation*} z=\sqrt{x^2+y^2} \end{equation*}
Réponse.
(a) \(\ds 9\int_0^2\int_0^{\pi/2}\int_0^{2\pi}\ \rho^3\,\sin\phi\,\cos\phi\dee{\theta}\dee{\varphi}\dee{\rho}\)
(b) \(\frac{1}{2}\)
35.
Un certain solide \(V\) est un cylindre circulaire droit. Sa base est le disque de rayon \(2\) centré à l’origine dans le plan \(xy\text{.}\) Il a une hauteur de \(2\) et sa densité est donnée par \(\sqrt{x^2 + y^2}\text{.}\)
Un solide plus petit \(U\) est obtenu en retirant le cône inversé, dont la base est la surface supérieure de \(V\) et dont le sommet est le point \((0, 0, 0)\text{.}\)
  1. Utilisez les coordonnées cylindriques pour poser une intégrale donnant la masse de \(U\text{.}\)
  2. Utilisez les coordonnées sphériques pour poser une intégrale donnant la masse de \(U\text{.}\)
  3. Trouvez la masse.
Réponse.
(a) \(\text{Masse} = \int_0^2\int_0^{2\pi}\int_z^2\ r^2\dee{r}\dee{\theta}\dee{z}\)
(b) \(\text{Masse} = \int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_0^{2\pi} \int_0^{2/\sin\varphi}\ \rho^3\sin^2\varphi\dee{\rho}\dee{\theta}\dee{\varphi}\)
(c) \(8\pi\)
36.
Un solide est borné en-dessous par le cône \(z\!=\!\sqrt{x^2\!+\!y^2}\ \) et au-dessus par la sphère \(x^2+y^2+z^2 = 2\text{.}\) Sa densité est \(\d(x,y,z) = x^2 + y^2\text{.}\)
  1. Exprimez la masse \(M\) du solide comme une intégrale triple, dont les bornes sont en coordonnées cylindriques.
  2. Comme en (a), mais en coordonnées sphériques.
  3. Évaluez \(M\text{.}\)
Réponse.
(a) \(\int_0^1\int_0^{2\pi} \int_r^{\sqrt{2-r^2}}\ r^3\dee{z}\dee{\theta}\dee{r}\)
(b) \(\int_0^{\sqrt{2}}\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/4}\ \rho^4\sin^3\varphi\dee{\varphi}\dee{\theta}\dee{\rho}\)
(c) \(\pi \left[\frac{16\sqrt{2}}{15} - \frac{4}{3}\right] \approx 0.5503\)
37.
Soit
\begin{gather*} I = \iiint_E xz\ \dee{V} \end{gather*}
où \(E\) est le huitième de la sphère \(x^2+y^2+z^2\leqslant 1\) avec \(x,y,z\geqslant 0\text{.}\)
  1. Exprimez \(I\) comme une intégrale triple en coordonnées sphériques.
  2. Exprimez \(I\) comme une intégrale triple en coordonnées cylindriques.
  3. Évaluez \(I\) par n’importe quelle méthode.
Réponse.
(a) \(\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}\int_0^1\ \rho^4\sin^2\varphi\cos\varphi\ \cos\theta\dee{\rho}\dee{\theta}\dee{\varphi}\)
(b) \(\int_0^1\int_0^{\pi/2}\int_0^{\sqrt{1-z^2}} \ r^2\,z\,\cos\theta\dee{r}\dee{\theta}\dee{z}\)
(c) \(\frac{1}{15}\)
38.
Soit
\begin{equation*} I = \iiint_T (x^2+y^2)\ \dee{V} \end{equation*}
où \(T\) est la région solide bornée en-dessous par le cône \(z =\sqrt{3x^2+3y^2}\) et au-dessus par la sphère \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\text{.}\)
  1. Exprimez \(I\) comme une intégrale triple en coordonnées sphériques.
  2. Exprimez \(I\) comme une intégrale triple en coordonnées cylindriques.
  3. Évaluez \(I\) par n’importe quelle méthode.
Réponse.
(a) \(\int_0^{3}\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/6}\ \rho^4\sin^3\varphi\dee{\varphi}\dee{\theta}\dee{\rho}\)
(b) \(\int_0^{3/2}\int_0^{2\pi} \int_{\sqrt{3}\,r}^{\sqrt{9-r^2}}\ \ r^3\dee{z}\dee{\theta}\dee{r}\)
(c) \(81\pi \left[\frac{4}{5} - \frac{9\sqrt{3}}{20}\right] \approx 5.24\)
39.
Soit \(E\) le “cornet de crème à glace” \(x^2 + y^2 + z^2\leqslant1\text{,}\) \(x^2 + y^2\leqslant z^2\) , \(z \geqslant 0\text{.}\) Considérez
\begin{equation*} J =\iiint_E \sqrt{x^2+y^2+z^2}\ \dee{V} \end{equation*}
  1. Écrire \(J\) comme une intégrale itérée, dont les bornes sont en coordonnées cylindriques.
  2. Écrire \(J\) comme une intégrale itérée, dont les bornes sont en coordonnées sphériques.
  3. Évaluez \(J\text{.}\)
Réponse.
(a) \(\int_0^{1/\sqrt{2}}\int_0^{2\pi} \int_r^{\sqrt{1-r^2}}\ r\sqrt{r^2+z^2}\dee{z}\dee{\theta}\dee{r}\)
(b) \(\int_0^{1}\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/4}\ \rho^3\sin\varphi\dee{\varphi}\dee{\theta}\dee{\rho}\)
(c) \(\frac{\pi}{2}\ \left[1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\)
40.
  1. Trouvez le volume du solide à l’intérieur de la surface définie par l’équation \(\rho = 8 \sin(\varphi)\) en coordonnées sphériques.
    Vous pouvez utiliser le fait que
    \begin{equation*} \int \sin^4(\varphi)\dee{\varphi} =\frac{1}{32}\big(12\varphi -8\sin(2\varphi) +\sin(4\varphi)\big) +C \end{equation*}
  2. Esquissez le solide ou décrivez ce à quoi il ressemble.
Réponse.
(a) \(\frac{2(8^3)\,\pi}{3}\ \frac{12\,\pi}{32}=128\pi^2\)
(b) La surface est un tore (un beigne) mais avec le trou au centre réduit à un point. La figure ci-dessous est un croquis de la partie de la surface située dans le premier octant.
41.
Soit \(E\) le solide
\begin{equation*} 0\leqslant z\leqslant \sqrt{x^2 + y^2},\qquad x^2 + y^2\leqslant1, \end{equation*}
et considérez l’intégrale
\begin{equation*} I = \iiint_E z \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\ \dee{V}. \end{equation*}
  1. Écrivez l’intégrale \(I\) en coordonnées cylindriques.
  2. Écrivez l’intégrale \(I\) en coordonnées sphériques.
  3. Évaluez l’intégrale \(I\) en utilisant une des deux formes.
Réponse.
(a) \(I = \int_0^1 \int_0^{2\pi} \int_0^r\ r\ z\ \sqrt{r^2+z^2}\dee{z}\dee{\theta}\dee{r}\)
(b) \(I = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_0^{2\pi} \int_0^{1/\sin\varphi}\ \rho^4\sin\varphi \ \cos\varphi\dee{\rho}\dee{\theta}\dee{\varphi}\)
(c) \(\frac{2(2\sqrt{2}-1)\pi}{15}\)
42.
Considérez les intégrales itérées
\begin{equation*} I =\int_{-a}^0\int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^0 \int_0^{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \big(x^2+y^2+z^2\big)^{2014}\ \dee{z}\,\dee{y}\,\dee{x} \end{equation*}
où \(a\) est une constante positive.
  1. Écrivez \(I\) comme une intégrale itérée en coordonnées cylindriques.
  2. Écrivez \(I\) comme une intégrale en coordonnées sphériques.
  3. Évaluez \(I\) en utilisant la méthode que vous préférez.
Réponse.
(a) \(\int_0^a \int_{\pi}^{3\pi/2} \int_0^{\sqrt{a^2-z^2}}\ r\big(r^2+z^2\big)^{2014}\dee{r}\dee{\theta}\dee{z}\)
(b) \(\int_0^{\pi/2} \int_{\pi}^{3\pi/2} \int_0^a\ \rho^{4030}\sin\varphi\dee{rho}\dee{\theta}\dee{\varphi}\)
(c) \(\frac{a^{4031}\pi}{8062}\)
43.
Le solide \(E\) est borné en-dessous par le paraboloïde \(z = x^2 + y^2\) et au-dessus par le cône \(z=\sqrt{x^2+y^2}\text{.}\) Soit
\begin{equation*} I = \iiint_E z\big(x^2+y^2+z^2\big)\ \dee{V} \end{equation*}
  1. Écrire \(I\) en termes des coordonnées cylindriques. Ne pas évaluer.
  2. Écrire \(I\) en termes des coordonnées sphériques. Ne pas évaluer.
  3. Calculez \(I\text{.}\)
Réponse.
(a) \(\int_0^1 \ r \int_0^{2\pi} \int_{r^2}^r\ z(r^2+z^2)\dee{z}\dee{\theta}\dee{r}\)
(b) \(\int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_0^{2\pi} \int_0^{\cos\varphi/\sin^2\varphi} \ \rho^5\sin\varphi \cos\varphi\dee{\rho}\dee{\theta}\dee{\varphi}\)
(c) \(\frac{3\pi}{40}\)
44.
Soit \(S\) la région du premier octant (i.e. \(x,y,z\geqslant 0\)) qui se trouve entre le cône \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) et en-dessous de la sphère \((z-1)^2 +x^2+y^2=1\text{.}\) Soit \(V\) son volume.
  1. Exprimez \(V\) comme une intégrale triple en coordonnées cylindriques.
  2. Exprimez \(V\) comme une intégrale triple en coordonnées sphériques.
  3. Calculez \(V\) en utilisant une des deux intégrales ci-dessus.
Réponse.
(a) \(V = \int_0^1 \int_0^{\pi/2}\int_r^{1+\sqrt{1-r^2}} \ r\dee{z}\dee{\theta}\dee{r}\)
(b) \(V = \int_0^{\pi/4} \int_0^{\pi/2} \int_0^{2\cos\varphi}\ \rho^2\sin\varphi\dee{\rho}\dee{\theta}\dee{\varphi}\)
(c) \(\frac{\pi}{4}\)
45.
Un solide est borné en-dessous par le cône \(z=\sqrt{3x^2+3y^2}\) et au-dessus par la sphère \(x^2+y^2+z^2=9\text{.}\) Sa densité est donnée par \(\d(x,y,z)=x^2+y^2\text{.}\)
  1. Exprimez la masse \(m\) du solide comme une intégrale triple en coordonnées cylindriques.
  2. Exprimez la masse \(m\) du solide comme une intégrale triple en coordonnées sphériques.
  3. Évaluez \(m\text{.}\)
Réponse.
(a) \(\int_0^{2\pi}\int_0^{3/2}\ r\int_{\sqrt{3}\,r}^{\sqrt{9-r^2}}\ r^2\dee{z}\dee{r}\dee{\theta}\)
(b) \(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/6}\int_0^3\ \big(\rho^2\sin\varphi\big) \big(\rho^2\sin^2\varphi\big)\dee{\rho}\dee{\varphi}\dee{\theta}\)
(c) \(2\pi \frac{3^5}{5} \big[\frac{2}{3}-\frac{3\sqrt{3}}{8}\big]\)

Pour aller plus loin.

46.
La densité de l’hydrogène gazeux dans une région de l’espace est donnée par la formule
\begin{equation*} \rho(x,y,z) =\frac{z+2x^2}{1+x^2+y^2} \end{equation*}
  1. À \((1,0,-1)\text{,}\) dans quelle direction est-ce que la densité de l’hydrogène augmente le plus rapidement?
  2. Vous êtes dans un vaisseau spatial à l’origine. Supposons que le vaisseau spatial vole dans la direction de \(\llt 0,0,1\rgt\text{.}\) Il y a un disque de rayon \(1\text{,}\) centré sur le vaisseau spatial et déployé perpendiculairement à la direction de la trajectoire, pour capter l’hydrogène. Quelle quantité d’hydrogène a été collectée au moment où le vaisseau spatial a parcouru une distance \(2\text{?}\)
    Vous pouvez utiliser le fait que \(\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\ \dee{\theta} =\pi\text{.}\)
Réponse.
(a) Le vecteur unitaire dans la direction du taux de croissance maximal est \(\frac{1}{\sqrt{10}}(3,0,1)\text{.}\)
(b) \(2\pi\)
47.
Un tore de masse \(M\) est généré en effectuant la rotation d’un cercle de rayon \(a\) autour d’un axe dans son plan à distance \(b\) du centre \((b \gt a)\text{.}\) Le tore a une densité constante. Trouvez le moment d’inertie autour de l’axe de rotation. Par définition le moment d’intertie est \(\iiint r^2 \dee{m}\text{,}\) où \(\dee{m}\) est la masse d’une pièce infiniment petite du solide et \(r\) est sa distance par rapport à l’axe.
Réponse.
\(M\big(\frac{3}{4}a^2+b^2\big)\)
48.
Le corps d’un bonhomme de neige est formé par les boules de neige \(x^2 + y^2 + z^2 = 12\) (ceci est son corps) et \(x^2 + y^2 + (z - 4)^2 = 4\) (ceci est sa tête).
  1. Trouvez le volume du bonhomme de neige en soustrayant l’intersection des deux boules de neige de la somme des volumes des boules de neige. [Rappelons que le volume d’une sphère de rayon \(r\) est \(\frac{4\pi}{3} r^3\text{.}\)]
  2. Nous pouvons également calculer le volume du bonhomme de neige comme une somme des intégrales triples suivantes :
    1. \begin{equation*} \int_0^{\frac{2\pi}{3}} \int_0^{2\pi} \int_0^2 \rho^2\sin{\varphi} \ \dee{\rho}\,\dee{\theta}\,\dee{\varphi} \end{equation*}
    2. \begin{equation*} \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{3}} \int_{\sqrt{3}\,r}^{4-\frac{r}{\sqrt{3}}} r\ \dee{z}\,\dee{r}\,\dee{\theta} \end{equation*}
    3. \begin{equation*} \int_{\frac{\pi}{6}}^\pi \int_0^{2\pi} \int_0^{2\sqrt{3}} \rho^2\sin(\varphi)\ \dee{\rho}\,\dee{\theta}\,\dee{\varphi} \end{equation*}
    Encerclez la bonne réponse parmi les choix soulignés et remplissez les espaces vides dans les descriptions suivantes de la région d’intégration pour chaque intégrale. [Remarque : nous avons déplacé les axes afin d’écrire certaines des intégrales ci-dessus. Les équations que vous indiquez doivent être celles avant que la translation ne soit effectuée].
    1. La région d’intégration dans (1) est une partie du bonhomme de neige.
      \begin{equation*} \underline{ \text{ corps / tête / corps et tête} } \end{equation*}
      C’est le solide entouré par la/le
      \begin{equation*} \underline{\text{sphère / cône}} \end{equation*}
      défini(e) par l’équation
      \begin{equation*} \rule{30ex}{0.2ex} \end{equation*}
      et la/le
      \begin{equation*} \underline{\text{sphère / cône}} \end{equation*}
      défini(e) par l’équation
      \begin{equation*} \rule{30ex}{0.2ex} \end{equation*}
    2. La région d’intégration dans (2) est une partie du bonhomme de neige.
      \begin{equation*} \underline{ \text{ corps / tête / corps et tête} } \end{equation*}
      C’est le solide entouré par la/le
      \begin{equation*} \underline{\text{sphère / cône}} \end{equation*}
      défini(e) par l’équation
      \begin{equation*} \rule{30ex}{0.2ex} \end{equation*}
      et la/le
      \begin{equation*} \underline{\text{sphère / cône}} \end{equation*}
      défini(e) par l’équation
      \begin{equation*} \rule{30ex}{0.2ex} \end{equation*}
    3. La région d’intégration dans (3) est une partie du bonhomme de neige.
      \begin{equation*} \underline{ \text{ corps / tête / corps et tête} } \end{equation*}
      C’est le solide entouré par la/le
      \begin{equation*} \underline{\text{sphère / cône}} \end{equation*}
      défini(e) par l’équation
      \begin{equation*} \rule{30ex}{0.2ex} \end{equation*}
      et la/le
      \begin{equation*} \underline{\text{sphère / cône}} \end{equation*}
      défini(e) par l’équation
      \begin{equation*} \rule{30ex}{0.2ex} \end{equation*}
Réponse.
(a) \(\frac{2\pi}{3}\left[\big(12\big)^{3/2}+54\right]\)
(b) i. La partie supérieure est la partie de la tête du bonhomme de neige qui se trouve à l’intérieur de la sphère.
\begin{equation*} x^2+y^2+(z-4)^2 = 4 \end{equation*}
et au-dessus du cône
\begin{equation*} z-4 = - \sqrt{\frac{x^2+y^2}{3}}. \end{equation*}
ii. La partie médiane est la partie de la tête et du corps du bonhomme de neige qui est délimitée sur le dessus par le cône. \(z-4 = - \sqrt{\frac{x^2+y^2}{3}}\) et est bornée par le dessous du cône \(z = \sqrt{3(x^2+y^2)} \text{.}\)
iii. La partie inférieure est la partie du corps du bonhomme de neige qui se trouve à l’intérieur la sphère \(x^2+y^2+z^2 = 12\) et est en-dessous du cône \(z = \sqrt{3(x^2+y^2)} \text{.}\)
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