Définition 1.3.1.
Soit \(\va = (a_1, \ldots, a_n),\ \vb = (b_1,\ldots, b_n) \in \R^n\text{.}\) Leur produit scalaire est le nombre
\begin{equation*}
\va \cdot \vb =\sum_{i = 1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + \cdots +a_n b_n.
\end{equation*}
Section 1.3 Produit scalaire : angles et distances
1
D’où le nom : le résultat est un scalaire.
Le produit scalaire est défini pour des vecteurs avec un nombre arbitraire de composantes. Cependant, dans le cadre de ce texte, nous utiliserons souvent les vecteurs à deux ou trois composantes. Afin d’alléger l’écriture, nous exposons la théorie pour les vecteurs dans \(\R^n\text{,}\) nous laissons au lectorat le soin de faire les spécialisations aux cas \(n=2\) ou \(n=3\text{.}\)
2
Et surtout puisque nous présumons que le lecteur ou la lectrice générique de ce texte a suivi un cours d’algèbre linéaire.
Exemple 1.3.2.
- Soit \(\va = (3,1,-2)\) et \(\vb = (1,-1,1)\text{.}\) Calculer \(\va \cdot \vb\text{.}\)
- Calculer \((\vi + 2\vj)\cdot (-2\vi + \vj)\text{.}\)
Solution.
- Nous avons :\begin{equation*} \va \cdot\vb= (3,1,-2)\cdot (1,-1,1) = 3\times 1 + 1\times (-1) + (-2) \times 1 = 0. \end{equation*}
- Nous avons cette fois :\begin{equation*} (\vi + 2\vj)\cdot (-2\vi + \vj) = 1\times (-2) + 2 \times (-1) = -4. \end{equation*}
Proposition 1.3.3.
Soit \(\va, \vb,\vc \in \R^n\) et \(s,t\in \R\text{,}\) alors :
- \(\va \cdot \va\geqslant 0\text{,}\) et l’égalité a lieu si et seulement si \(\va = \vZero\) (positivité);
- \(\va \cdot \vb = \vb \cdot \va\) (commutativité);
- \(\displaystyle (s\va)\cdot \vb = s (\va \cdot \vb) = \va \cdot (s\vb); \)
- \(\va \cdot (\vb + \vc) = \va \cdot \vb + \va \cdot \vc\) (distributivité du produit scalaire sur l’addition).
Remarque 1.3.4.
Si le point \(P\) a pour coordonnées \((x,y,z)\text{,}\) alors le vecteur \(\vp=(x,y,z)\) est tel que \(\vp\cdot \vp = x^2 + y^2+z^2\text{.}\) Ceci revient, en vertu du théorème de Pythagore, à dire que la distance de \(P\) à l’origine est donnée par \(\sqrt{\vp\cdot \vp}\text{.}\) Ceci nous mène à la définition de la norme d’un vecteur.Définition 1.3.5.
Soit \(\va (a_1, \ldots, a_n)\in\R^n\text{.}\) Sa norme est la quantité
\begin{equation*}
|\va| = \sqrt{\va \cdot \va} = \sqrt{\sum_{i = 1}^na_ i^2}.
\end{equation*}
On dit d’un vecteur \(\va\) qu’il est unitaire si \(|\va|=1\text{.}\)
Exemple 1.3.6.
Calculer la norme de \(\va = (1,-1,1)\text{.}\)
Solution.
On calcule d’abord \(\va \cdot \va = 1^2 + (-1)^2 + 1^2 = 3\text{,}\) de sorte que \(|\va| = \sqrt{3}\text{.}\)
On doit noter que certain(e)s auteur(e)s utilisent une double barre pour la norme, c’est-à-dire qu’ils écriront \(||\va||\) au lieu de \(|\va|\text{.}\) Aussi, il faut faire attention au fait que le symbole utilisé pour la norme est celui des valeurs absolues pour les nombres. Le contexte devrait dissiper le doute – si tant est qu’il y en ait – concernant cette notation : \(|\va| \) est la norme du vecteur \(\va\text{,}\) tandis que \(|a|\) est la valeur absolue du scalaire \(a\text{.}\)
Proposition 1.3.7.
Soit \(\va \in \R^n\) et \(k\in \R\text{,}\) alors
\begin{equation*}
|k\va | = |k| \, |\va|.
\end{equation*}
Il est souvent utile de se donner un vecteur unitaire dans une direction donnée. Pour ce faire, si \(\va\ne \vZero\) est donné, on considère
\begin{equation*}
\va' = \frac{\va}{|\va|}.
\end{equation*}
En effet, en vertu de la Proposition 1.3.7, le vecteur \(\va'\) est unitaire et il pointe dans la même direction que \(\va\text{,}\) puisqu’il s’agit d’un multiple scalaire de celui-ci. On dit alors que \(\va\) a été normalisé.
Une des principales utilités du produit scalaire est son lien avec les angles, traduite dans le résultat suivant.
Théorème 1.3.8.
Soit \(\va,\vb\in \R^n\) et \(\theta \in [0,\pi]\) l’angle formé par ces vecteurs (voir la figure ci-après). Alors,
\begin{equation*}
\va \cdot \vb = |\va|\, |\vb|\, \cos \theta.
\end{equation*}
Démonstration.
Afin d’établir ce résultat, on calcule \(|\va-\vb|^2\) de deux façons différentes. La première consiste à calculer \(|\va-\vb|^2\) au moyen du produit scalaire, c’est-à-dire
\begin{align*}
|\va-\vb|^2\ &=\ (\va-\vb\,)\cdot(\va-\vb\,)\\
&=\ \va\cdot\va-\va\cdot\vb-\vb\cdot\va
+\vb\cdot\vb\\
&=\ |\va|^2+|\vb|^2-2\va\cdot\vb.
\end{align*}
Par ailleurs, la seconde façon de calculer \(|\va-\vb|^2\) fait appel à l’interprétation d’une norme comme distance et découle de la loi des cosinus pour les triangles.
\begin{equation*}
|\va - \vb|^2 = |\va|^2 + |\vb|^2 - 2|\va|\, |\vb| \cos \theta .
\end{equation*}
En combinant ces deux résultats, on obtient
\begin{equation*}
|\va|^2+|\vb|^2-2\va\cdot\vb = |\va|^2 + |\vb|^2 - 2|\va|\, |\vb| \cos \theta,
\end{equation*}
et le résultat suit après simplifications.Le résultat du Théorème 1.3.8 permet d’utiliser le produit scalaire pour déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux ou pas, c’est-à-dire si l’angle qu’ils forment est \(\frac{\pi}{2}\). De la même façon, on peut utiliser le produit scalaire pour calculer l’angle formé par deux vecteurs (le cosinus de cet angle en réalité). Notamment, si le produit scalaire est positif, il en va de même pour le cosinus, de sorte que l’angle est un angle aigu. Naturellement, un produit scalaire négatif signifie que l’angle est obtus.
3
La notion d’orthogonalité a été généralisée aux ensembles de fonctions, par exemple. Ceci joue un rôle très important dans les mathématiques appliquées plus avancées. La généralisation du produit scalaire est celle d’un “produit intérieur”.
Exemple 1.3.9.
Considérer les vecteurs suivants :
\begin{equation*}
\va=\left( 1,1,0 \right)\qquad
\vb=\left( 1,0,1 \right) \qquad
\vc=\left( -1,1,1\right).
\end{equation*}
Alors, les produits scalaires sont :
\begin{alignat*}{3}
\va\cdot\vb & = \left( 1,1,0 \right) \cdot \left( 1,0,1 \right)
&& = 1\times 1 +1\times 0+0\times 1
&& = 1;\\
\va\cdot\vc & = \left( 1,1,0 \right) \cdot \left( -1,1,1 \right)
&& = 1\times(-1) +1\times 1+0\times 1
&& = 0;\\
\vb\cdot\vc & = \left( 1,0,1 \right) \cdot \left( -1,1,1 \right)
&& = 1\times(-1) +0\times 1+1\times 1
&& = 0.
\end{alignat*}
Ceci nous permet de conclure que \(\vc\) est orthogonal à la fois à \(\va\) et à \(\vb\text{.}\) Étant donné que \(|\va|=|\vb|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}\text{,}\) le premier produit scalaire nous dit aussi que l’angle \(\theta\) formé par \(\va\) et \(\vb\) vérifie
\begin{gather*}
\cos\theta =\frac{\va\cdot\vb}{|\va|\,|\vb|}=\frac{1}{2}
\text{, de sorte que }
\theta =\frac{\pi}{3}.
\end{gather*}
Notons que si \(\va = (a_1,a_2,a_3)\) est donné, alors
\begin{align*}
\va\cdot \vi = a_1, \amp \amp\va \cdot \vj = a_2, \amp \amp \va \cdot \vk =a_3,
\end{align*}
de sorte que le produit scalaire peut servir à isoler les composantes d’un vecteur donné dans la direction des vecteurs de la base canonique.
Le même problème peut se poser pour d’autres directions. Voyons comment le traiter.
Étant donné deux vecteurs \(\va,\vb\text{,}\) on veut décomposer \(\va\) comme la somme d’un vecteur parallèle à \(\vb\text{,}\) qu’on appellera la projection de \(\va\) sur \(\vb\text{,}\) et d’un autre vecteur orthogonal à \(\vb\text{.}\)
Autrement dit, on veut trouver un scalaire \(\lambda\) et un vecteur \(\vw\) orthogonal à \(\vb\text{,}\) tels que
\begin{equation}
\va = \lambda \vb + \vw .\tag{1.3.1}
\end{equation}
Afin d’isoler la valeur de \(\lambda\text{,}\) prenons le produit scalaire de \(\va\) avec \(\vb\) :
\begin{equation*}
\va \cdot \vb = (\lambda \vb + \vw)\cdot \vb = \lambda \vb \cdot \va + \vw \cdot \vb = \lambda \vb \cdot \vb\text{,}
\end{equation*}
où la dernière égalité suit de ce que \(\vw\) doit être orthogonal à \(\vb\text{,}\) de sorte que \(\lambda = \frac{\va \cdot \vb}{\vb \cdot \vb} \text{.}\) Ceci étant, il suffit de poser \(\vw = \va - \lambda \vb\text{.}\) En effet, ce vecteur est orthogonal à \(\vb\text{,}\) puisque
\begin{equation*}
\vw \cdot \vb = (\va - \lambda \vb)\cdot\vb = \left(\va - \frac{\va \cdot \vb}{\vb \cdot \vb}\vb\right)\cdot \vb = \va \cdot \vb - \left( \frac{\va \cdot \vb}{\vb \cdot \vb}\vb\right)\cdot \vb = 0 .
\end{equation*}
Définition 1.3.11.
Étant donné deux vecteurs \(\va\) et \(\vb\text{,}\) la projection de \(\va\) sur \(\vb\) est le vecteur
\begin{equation*}
\proj_\vb\, \va = \left(\frac{\va \cdot \vb}{\vb \cdot \vb}\right)\vb.
\end{equation*}
Le scalaire \(\frac{\va \cdot \vb}{\vb \cdot \vb}\) est la composante de \(\va\) dans la direction de \(\vb\text{.}\)
On remarquera que la norme de la projection est
\begin{equation*}
\left|\proj_\vb\, \va\right| = \left| \frac{\va\cdot \vb}{\vb \cdot \vb }\vb \right| = \left|\frac{\va\cdot \vb}{\vb \cdot \vb } \right|\, |\vb| = \frac{|\va \cdot \vb|}{|\vb|} = |\va|\, |\cos \theta|.
\end{equation*}
Par ailleurs, si \(\vb\) est un vecteur unitaire, la composante de \(\va\) dans la direction de \(\vb\) est simplement \(\va \cdot \vb\text{.}\)
Exemple 1.3.12.
Trouver la projection de \(\left( 0,3\right)\) sur \(\left( 1,1\right)\text{,}\) telle qu’indiquée dans la figure.
En vertu de la Définition 1.3.11 avec \(\va=\left( 0,3\right)\) et \(\vb=\left( 1,1\right)\text{,}\) la projection est
\begin{align*}
\proj_{\vb}\, \va
&=\frac{\left( 0,3\right)\cdot\left( 1,1\right)}{|\left( 1,1\right)|^2}\,\left( 1,1\right)\\
&=\frac{0\times1+3\times 1}{1^2+1^2}\,\left( 1,1\right)
=\left( \frac{3}{2},\frac{3}{2}\right).
\end{align*}
Exercices Exercices
Pour se pratiquer.
1.
Déterminer si oui ou non les paires de vecteurs sont orthogonaux.
- \(\displaystyle \llt 1,3,2\rgt ,\ \llt 2,-2,2\rgt \)
- \(\displaystyle \llt -3,1,7\rgt ,\ \llt 2,-1,1\rgt \)
- \(\displaystyle \llt 2,1,1\rgt ,\ \llt -1,4,2\rgt \)
Réponse.
- perpendiculaire
- perpendiculaire
- non perpendiculaire
2.
Soit \(\va=\llt a_1,a_2\rgt\text{.}\) Calculer la projection de \(\va\) sur \(\vi\) et \(\vj\text{.}\)
Réponse.
\(\text{proj}_{\vi}\va=a_1\vi\) \(\text{proj}_{\vj}\va=a_2\vj\text{.}\)
3.
Est-ce que le triangle avec sommets \((1,2,3),\ (4,0,5)\) et \((3,6,4)\) a un angle droit?
Réponse.
Oui.
4.
Calculez le produit scalaire des vecteurs \(\va\) et \(\vb\text{.}\) Trouvez l’angle entre eux.
- \(\displaystyle \va=\llt 1,2\rgt ,\ \vb=\llt -2,3\rgt \)
- \(\displaystyle \va=\llt -1,1\rgt ,\ \vb=\llt 1,1\rgt \)
- \(\displaystyle \va=\llt 1,1\rgt ,\ \vb=\llt 2,2\rgt \)
- \(\displaystyle \va=\llt 1,2,1\rgt ,\ \vb=\llt -1,1,1\rgt \)
- \(\displaystyle \va=\llt -1,2,3\rgt ,\ \vb=\llt 3,0,1\rgt \)
Réponse.
\begin{alignat*}{2}
\va\cdot\vb&=4\qquad &
\theta &= 60.25^\circ
\tag{a}\\
\va\cdot\vb&=0 &
\theta &= 90^\circ
\tag{b}\\
\va\cdot\vb&=4 &
\theta &= 0^\circ
\tag{c}\\
\va\cdot\vb&=2 &
\theta &= 61.87^\circ
\tag{d}\\
\va\cdot\vb&=0 &
\theta &= 90^\circ
\tag{e}
\end{alignat*}
5.
Déterminez l’angle entre les vecteurs \(\va\) et \(\vb\) si
- \(\displaystyle \va=\llt 1,2\rgt,\ \vb=\llt 3,4\rgt\)
- \(\displaystyle \va=\llt 2,1,4\rgt,\ \vb=\llt 4,-2,1\rgt\)
- \(\displaystyle \va=\llt 1,-2,1\rgt,\ \vb=\llt 3,1,0\rgt\)
Réponse.
- \(\displaystyle 10.3^\circ\)
- \(\displaystyle 61.6^\circ\)
- \(\displaystyle 82.6^\circ\)
6.
Déterminer toutes les valeurs de \(y\) pour lesquelles les vecteurs donnés sont orthogonaux.
- \(\displaystyle \llt 2,4\rgt ,\ \llt 2,y\rgt \)
- \(\displaystyle \llt 4,-1\rgt ,\ \llt y,y^2\rgt \)
- \(\displaystyle \llt 3,1,1\rgt ,\ \llt 2,5y,y^2\rgt \)
Réponse.
- \(\displaystyle -1\)
- \(\displaystyle 0,4\)
- \(\displaystyle -2,-3\)
Pour mieux comprendre.
7.
Considérons l’énoncé suivant : “Si \(\va\ne\vZero\) et si \(\va\cdot\vb=\va\cdot\vc\text{,}\) alors \(\vb=\vc\text{.}\)” Si l’affirmation est vraie, prouvez-la. Si l’affirmation est fausse, donnez un contre-exemple.
Réponse.
Cette affirmation est fausse. Un contre-exemple est \(\va=\llt 1,0,0\rgt \text{,}\) \(\vb=\llt 0,1,0\rgt ,\vc=\llt 0,0,1\rgt \text{.}\) Alors \(\va\cdot\vb=\va\cdot\vc=0\text{,}\) mais \(\vb\ne\vc\text{.}\) Il y a beaucoup d’autres contre-exemples.
8.
Une bille est posée sur le plan \(ax+by+cz=d\text{.}\) Le système de coordonnées a été choisi de sorte que l’axe positif \(z\) pointe vers le haut. Le coefficient \(c\) est non nul et les coefficients \(a\) et \(b\) sont non tous nuls. Dans quel sens roule la bille? Pourquoi les conditions “\(c\ne 0\)” et “\(a,b\)” n’ont-elles pas toutes deux été imposées à zéro?
Réponse.
La bille roule dans le sens \(\llt ac,bc,-a^2-b^2\rgt\text{.}\) Si \(c=0\text{,}\) le plan est vertical. Dans ce cas, le marbre ne roule pas, il tombe tout droit. Si \(a=b=0\text{,}\) le plan est horizontal. Dans ce cas, la bille ne roule pas, elle reste immobile.
9.
Trouvez l’angle entre la diagonale d’un cube et la diagonale d’une de ses faces.
Réponse.
\(35.26^\circ\) ou \(90^\circ\) ou \(144.74^\circ\)
10.
Considérons les trois points \(O=(0,0)\text{,}\) \(A=(a,0)\) et \(B=(b,c)\text{.}\)
- Esquisser, en une seule figure,
- le triangle formé des sommets \(O\text{,}\) \(A\) et \(B\text{,}\) et
- le cercle circonscrit pour le triangle (c’est-à-dire le cercle passant par les trois sommets), et
- les vecteurs
- \(\overrightarrow{OA}\text{,}\) de \(O\) à \(A\text{,}\)
- \(\overrightarrow{OB}\text{,}\) de \(O\) à \(B\text{,}\)
- \(\overrightarrow{OC}\text{,}\) de \(O\) à \(C\text{,}\) où \(C\) est le centre du cercle circonscrit.
Ensuite, ajouter l’esquisse et evaluer, à partir de l’esquisse,- la projection du vecteur \(\overrightarrow{OC}\) sur le vecteur \(\overrightarrow{OA}\text{,}\) et
- la projection du vecteur \(\overrightarrow{OC}\) sur le vecteur \(\overrightarrow{OB}\text{.}\)
- Déterminer \(C\text{.}\)
- Évaluer, en utilisant la formule Définition 1.3.11,
- la projection du vecteur \(\overrightarrow{OC}\) sur le vecteur \(\overrightarrow{OA}\text{,}\) et
- la projection du vecteur \(\overrightarrow{OC}\) sur le vecteur \(\overrightarrow{OB}\text{.}\)
Réponse.
(a), (c)
\(\text{proj}_{\overrightarrow{\scriptstyle OA}}\,\overrightarrow{OC}
=\overrightarrow{OP_A}=\llt a/2,0\rgt\) \(\text{proj}_{\overrightarrow{\scriptstyle OB}}\,\overrightarrow{OC}
=\overrightarrow{OP_A}=\llt b/2,c/2\rgt\)
(b) Le centre du cercle circonscrit est \((\bar x,\bar y)\) avec \(\bar x=\frac{a}{2}\) et \(\bar y =\frac{b^2+c^2-ab}{2c}\text{.}\)
11.
Soit \(\vu=-2\vi+5\vj\) et \(\vv=\a\vi-2\vj\text{.}\) Trouver \(\a\) tel que
- \(\vu\) et \(\vv\) soient orthogonaux,
- \(\vu\) et \(\vv\) soient colinéaires,
- L’angle entre \(\vu\) et \(\vv\) est de \(60^\circ\text{.}\)
Réponse.
- \(\displaystyle -5\)
- \(\displaystyle 0.8\)
- Aucun
12.
Définissez \(\va=\llt 1,2,3\rgt\) et \(\vb=\llt 4,10,6\rgt\text{.}\)
- Trouvez la composante de \(\vb\) dans la direction de \(\va\text{.}\)
- Trouver la projection de \(\vb\) sur \(\va\text{.}\)
- Trouvez la projection de \(\vb\) perpendiculaire à \(\va\text{.}\)
Réponse.
- \(\displaystyle \frac{42}{\sqrt{14}}\)
- \(\displaystyle \llt 3,6,9\rgt\)
- \(\displaystyle \llt 1,4,-3\rgt\)
