Longueur d’arc et courbure

Section 1.8 Longueur d’arc et courbure

Dans cette section, on s’intéresse à mesurer des courbes, dans un sens large. On va s’intéresser à la longueur d’une courbe, mais aussi à sa courbure.

Sous-section Longueur d’arc

Supposons pour commencer que nous avons un chemin \(\vr : [a,b] \to \R^2\) donné par \(\vr(t) = x(t)\,\vi + y(t)\, \vj \text{,}\) et tel que \(t_1 \ne t_2 \implies \vr(t_1) \ne \vr(t_2)\text{.}\) Cette condition assure que la trajectoire ne passe pas par le même point à deux instants différents. Nous voulons mesurer la longueur de la courbe décrite par \(\vr\text{.}\) Procédons avec l’idée usuelle du calcul intégral, c’est-à-dire couper, approcher, additionner puis passer à la limite pour obtenir une intégrale. Nous allons supposer que la fonction \(\vr\) est telle que ses composantes et leurs dérivées sont continues.

On commence par diviser l’intervalle \([a,b]\) en \(N\) sous-intervalles de même longueur \(\De t = \frac{1}{N}(b-a)\) en posant

\begin{align*} \amp a= t_0 \lt t_1 \lt \cdots \lt t_N = b, \\ \amp t_{i+1} - t_i = \De t \text{ pour } i\in\{1,2\ldots N-1\}. \end{align*}

On considère l’approximation de la courbe \(\plan{C}\) donnée par la ligne polygonale (brisée) reliant deux points successifs \(\vr(t_i)\) et \(\vr(t_{i+1})\text{,}\) pour \(i\) allant de \(1\) à \(N-1\text{.}\) La longueur de cette ligne polygonale est

\begin{equation*} L_N = \sum_{i = 1}^N |\vr(t_{i+1}) - \vr(t_i)|. \end{equation*}

La formule pour le calcul de la norme nous donne

\begin{equation*} |\vr(t_{i+1}) - \vr(t_i)| = \sqrt{ [x(t_{i+1}) - x(t_i)]^2 + [y(t_{i+1}) - y(t_i)]^2}. \end{equation*}

Si l’on suppose que les composantes de la fonction \(\vr\text{,}\) c’est-à-dire les fonctions \(x\) et \(y\text{,}\) sont dérivables, le théorème de la moyenne donne l’existence de \(t_i^\ast, t_i^{\ast \ast} \in[t_1, t_{i+1}]\) tels que

\begin{align*} x(t_{i+1}) - x(t_i) \amp = x'(t_i^\ast)(t_{i+1}-t_i),\\ y(t_{i+1}) - y(t_i) \amp = y'(t_i^{\ast\ast})(t_{i+1}-t_i), \end{align*}

\begin{align*} L_N =\sum_{i = 1}^{N-1}|\vr(t_{i+1}) - \vr(t_i)| \amp = \sum_{i = 1}^{N-1}\sqrt{ [x(t_{i+1}) - x(t_i)]^2 + [y(t_{i+1}) - y(t_i)]^2} \\ \amp = \sum_{i = 1}^{N-1}\sqrt{x'(t_i^\ast)^2 + y'(t_i^{\ast \ast})^2 }\Delta t. \end{align*}

Lorsque \(N\) tend vers l’infini, la ligne polygonale approche de mieux en mieux la courbe. Ainsi, on définit la longueur du chemin comme étant la limite, si elle existe de la somme ci-haut.

Nous avons fait l’hypothèse de continuité pour les fonctions \(x'\) et \(y'\text{,}\) ce qui permet de conclure

Mais nous ne le ferons pas dans ce texte.

que la limite existe et qu’elle vaut en fait

\begin{equation*} \lim_{N\to \infty} L_N = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\, dt. \end{equation*}

Il faut remarquer que l’expression

\begin{equation*} \sum_{i = 1}^{N-1}\sqrt{x'(t_i^\ast)^2 + y'(t_i^{\ast \ast})^2 }\Delta t \end{equation*}

n’est pas une somme de Riemann pour une intégrale, puisque les points d’évaluation sont différents.

Par ailleurs, on a \(\vr'(t) = x'(t)\,\vi + y'(t)\, \vj\text{,}\) de sorte qu’on peut écrire \(|\vr'(t)|\) à la place de la racine carrée dans l’intégrale ci-haut. Finalement, le même argument que celui qui vient d’être exposé est valable si l’on considère un chemin à valeurs dans \(\R^3\text{.}\)

Théorème 1.8.1.

Soit \(\vr : [a,b]\to \R^n\) un chemin dont les composantes sont des fonctions ayant des dérivées continues sur \(]a,b[\) et tel que la courbe \(\plan{C}\) est parcourue une seule fois lorsque \(t\) parcourt \([a,b]\text{.}\) Alors, la longueur de la courbe est

\begin{equation*} L =\int_a^b |\vr'(t)|\, dt. \end{equation*}

Par ailleurs, pour \(t\) entre \(a\) et \(b\text{,}\) l’abscisse curviligne, mesurée à partir de \(a\text{,}\) est la quantité

\begin{equation*} s(t) = \int_a^t |\vr'(u)|\, du. \end{equation*}

Elle mesure la longueur de la portion de la courbe lorsque le paramètre varie de \(a\) à \(t\text{.}\) De plus, on a

\begin{equation*} \diff{}{t}s(t) = |\vr'(t)|. \end{equation*}

Exemple 1.8.2. Périmètre d’un cercle.

En général, il peut être difficile de calculer une longueur. En guise d’exemple facile, calculons le périmètre du cercle \(x^2+y^2=a^2\text{.}\) Nous allons aussi trouver le vecteur tangent unitaire en tout point. Nous avons un paramétrage

\begin{equation*} \vr(\theta) = a\cos\theta\, \vi + a\sin\theta\, \vj\qquad 0\leqslant \theta\leqslant 2\pi \end{equation*}

de l’Exemple 1.6.1. En vertu du Théorème 1.8.1, avec le paramètre \(\theta\) au lieu de \(t\text{,}\)

\begin{align*} \vr'(\theta) &= -a\sin\theta\,\vi + a\cos\theta\, \vj,\\ |\vr'(\theta)| & = a. \end{align*}

Ainsi, la longueur totale est

\begin{equation*} L =\int_{0}^{2\pi} a\, dt = 2\pi a, \end{equation*}

ce qui est cohérent avec la formule bien connue

Les premières écritures connues d’une approximation de \(\pi\text{,}\) en Égypte et à Babylone, sont datées entre 1900 et 1600 av. J.-C. Le premier algorithme permettant de calculer rigoureusement \(\pi\) a été développé par Archimède vers 250 av, J.-C. Le premier usage du symbole \(\pi\) pour désigner le rapport entre le périmètre et le diamètre d’un cercle remonte à William Jones, en 1706.

Par ailleurs,

\begin{equation*} \vT = \frac{\vr'}{|\vr'|} = -\sin \theta\, \vi + \cos \theta\, \vj. \end{equation*}

Ainsi,

\begin{equation*} \vT \cdot \vr = (a\cos \theta\, \vi + a \sin \theta \, \vj)\cdot(-\sin \theta\, \vi + \cos \theta\, \vj) = 0, \end{equation*}

ce qui montre que, en tout point, la tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon en ce point. Ceci est une réalisation en deux dimensions de l’Exemple 1.7.8, un autre fait connu d’Euclide

C’est la proposition 18 du livre III des Éléments d’Euclide, vers 300 av. J.-C.

. Dans ce cas, \(s(\theta) = \int_0^\theta a\, du = a\theta\) est la longueur de la portion du cercle parcourue lorsque l’angle varie de \(0\) à \(\theta\text{.}\)

Exemple 1.8.3. Longueur d’une hélice.

Considérons le chemin

\begin{equation*} \vr(t) = 6\sin(2t)\vi + 6\cos(2t)\vj +5t\vk. \end{equation*}

Commençons par esquisser la courbe correspondante.

\(x(t)=6\sin(2t)\) et \(y(t) =6\cos(2t)\) satisfont \(x(t)^2+y(t)^2 = 36 \sin^2(2t) + 36\cos^2(2t) = 36\text{.}\) Ainsi, tous les points de la courbe se trouvent sur le cylindre \(x^2+y^2=36\text{,}\) et
lorsque \(t\) croît, \(x(t)\,\vi + y(t)\,\vj\) décrit un cercle \(x^2+y^2=36\text{,}\) et simultanément \(z(t) = 5t\) croît linéairement.

Voici la courbe :

Nous avons marqué trois points sur la figure. Le premier correspond à \(t=0\text{,}\) il s’agit de \(0\vi+6\vj+0\vk\text{.}\) Le deuxième correspond à \(t=\frac{\pi}{2}\text{,}\) c’est \(0\vi-6\vj+\frac{5\pi}{2}\vk\text{.}\) Le troisième correspond à \(t=\pi\text{,}\) il s’agit de \(0\vi+6\vj+5\pi\vk\text{.}\) Utilisons maintenant le Théorème 1.8.1 pour calculer la longueur de la courbe entre \(t=0\) et \(t=\pi\text{.}\)

\begin{align*} \vr(t) &= 6\sin(2t)\vi + 6\cos(2t)\vj +5t\vk\\ \vr'(t) &= 12\cos(2t)\vi -12\sin(2t)\vj +5\vk\\ &=\big|\vr'(t)\big| =\sqrt{12^2\cos^2(2t) +12^2\sin^2(2t)+5^2} = \sqrt{12^2+5^2}= 13\\ \\ s(\pi) &= \int_{0}^\pi \big|\vr'(t)\big|\, dt =13\pi \end{align*}

Exemple 1.8.4. Périmètre de l’astroïde.

Nous avons vu, à l’Exemple 1.6.3, un paramétrage de l’astroïde d’équation

⁴

Ne pas confondre astroïde et astéroïde, bien que les deux mots aient comme origine commune le mot grec pour étoile.

\(x^{2/3}+y^{2/3} = a^{2/3} \text{.}\) Nous avons un paramétrage

\begin{equation*} \vr(t) = a\cos^3t\,\vi + a\sin^3 t\,\vj. \end{equation*}

Afin d’utiliser le Théorème 1.8.1, calculons :

\begin{align*} \vr(t) &= a\cos^3t\,\vi + a\sin^3 t\,\vj,\\ \vr'(t) &= -3a\sin t\cos^2t\,\vi + 3a\sin^2 t\cos t\,\vj,\\ \diff{s}{t}(t)&=\big|\vr'(t)\big| = \sqrt{9a^2\sin^2t\cos^4t + 9a^2\sin^4t\cos^2t}\\ & = 3a \sqrt{\sin^2t\cos^2t(\cos^2t+\sin^2t)}\\ &=3a\big|\sin t\cos t\big|,\\ \vT(t) &= \frac{\vr'(t)}{|\vr'(t)|} = \frac{\sin t\cos t}{|\sin t\cos t|}\ \big(-\cos t\,\vi+\sin t\,\vj\big)\\ &= \sgn\!\big(\!\sin t\cos t\big)\ \big(-\cos t\,\vi+\sin t\,\vj\big). \end{align*}

Ici, \(\sgn\!\big(\!\sin t\cos t\big)\) dénote “le signe de \(\sin t\cos t\)”, c’est-à-dire \(+1\) lorsque \(\sin t\cos t \gt 0\) et \(-1\) lorsque \(\sin t\cos t \lt 0\text{.}\) Ainsi,

\begin{align*} \vT(t) &=\begin{cases}-\cos t\, \vi +\sin t \, \vj &\text{si } 0 \lt t \lt \frac{\pi}{2} \text{ ou } \pi \lt t \lt \frac{3\pi}{2}\\ \cos t \,\vi -\sin t\, \vj&\text{si } \frac{\pi}{2} \lt t \lt \pi \text{ ou } \frac{3\pi}{2} \lt t \lt 2\pi \end{cases}. \end{align*}

Avant de faire une esquisse et de calculer son périmètre, faisons quelques remarques qui vont nous simplifier la tâche. Pour commencer, \(\vr(0) = \vr(2\pi) \text{,}\) de sorte qu’il s’agit d’une courbe fermée. Puis,

Les signes des composantes de \(\vr(t)\) sont les signes des composantes de \(\cos t\,\vi +\sin t\,\vj\text{,}\) ce qui nous donne une idée du quadrant dans lequel \(\vr(t)\) se trouve, et les signes des composantes de \(\vr'(t)\) sont les signes des composantes de \(-\sin t\,\vi +\cos t\,\vj\text{,}\) ce qui nous donne une idée de comment les composantes varient. Ainsi, l’astroïde est une courbe fermée et, en plus,
- lorsque \(0\leqslant t\leqslant \frac{\pi}{2}\text{,}\) \(\vr(t)\) se trouve dans le premier quadrant et se déplace vers le haut et la gauche lorsque \(t\) croît;
- lorsque \(\frac{\pi}{2}\leqslant t\leqslant \pi\text{,}\) \(\vr(t)\) se trouve dans le deuxième quadrant et se déplace vers le bas et la gauche lorsque \(t\) croît;
- lorsque \(\pi\leqslant t\leqslant \frac{3\pi}{2}\text{,}\) \(\vr(t)\) se trouve au troisième quadrant et se déplace vers le bas et la droite lorsque \(t\) croît; et
- lorsque \(\frac{3\pi}{2}\leqslant t\leqslant 2\pi\text{,}\) \(\vr(t)\) se trouve dans le quatrième quadrant et se déplace vers le haut et la droite lorsque \(t\) croît.
- Ainsi, la courbe fait le tour de l’origine exactement une fois lorsque \(t\) varie de \(0\) à \(2\pi\text{.}\)
Quelque chose de particulier arrive lorsque \(\sin t\cos t\) s’annule en changeant de signe, c’est-à-dire lorsque \(t=0\text{,}\) \(\frac{\pi}{2}\text{,}\) \(\pi\text{,}\) \(\frac{3\pi}{2}\text{,}\) etc. En effet, \(\vT(t)\) change de direction abruptement. Plus précisément,

\begin{align*} \lim_{t\rightarrow 0-}\vT(t) &= \lim_{t\rightarrow 0-} \sgn\!\big(\!\sin t\cos t\big)\ \lim_{t\rightarrow 0-} \big(-\cos t\,\vi+\sin t\,\vj\big) =\vi,\\ \lim_{t\rightarrow 0+}\vT(t) &= \lim_{t\rightarrow 0+}\sgn\!\big(\!\sin t\cos t\big)\ \lim_{t\rightarrow 0+}\big(-\cos t\,\vi+\sin t\,\vj\big) =-\vi \end{align*}

et

\begin{align*} \lim_{t\rightarrow \pi/2-}\vT(t) &= \lim_{t\rightarrow \pi/2-}\sgn\!\big(\!\sin t\cos t\big)\ \lim_{t\rightarrow \pi/2-}\big(-\cos t\,\vi+\sin t\,\vj\big) =\vj,\\ \lim_{t\rightarrow \pi/2+}\vT(t) &= \lim_{t\rightarrow \pi/2+}\sgn\!\big(\!\sin t\cos t\big)\ \lim_{t\rightarrow \pi/2+}\big(-\cos t\,\vi+\sin t\,\vj\big) =-\vj, \end{align*}

et ainsi de suite. Ceci trahit la présence de points de rebroussement dans la courbe pour \(t=0\text{,}\) c’est-à-dire à \(\vr(0) = a\vi\) et à \(t=\frac{\pi}{2}\text{,}\) c’est-à-dire à \(\vr(\frac{\pi}{2}) = a\vj\text{,}\) et ainsi de suite. En somme, s’il est vrai que l’astroïde ressemble à un cercle, elle possède des points de rebroussement à \(\pm a\vi\) et à \(\pm a\vj\text{.}\) Voici une figure.

Figure 1.8.5. L’astroïde
L’astroïde est invariante sous les réflexions par rapport aux axes de coordonnées, c’est-à-dire que \(x^{2/3}+y^{2/3} = a^{2/3}\) est invariante par les transformations \(x\mapsto-x\) et aussi \(y\mapsto -y\text{.}\) Ainsi, pour trouver le périmètre, il suffit de trouver la longueur de la portion de la courbe dans le premier quadrant et de multiplier par \(4\text{.}\)
\begin{align*} L &=4\int_0^{\pi/2}\diff{s}{t}\ \dee{t} = 4\int_0^{\pi/2}3a\sin t\cos t\ \dee{t}\\ & = 6a\int_0^{\pi/2}\sin(2t)\ \dee{t} =6a\Big[-\frac{\cos(2t)}{2}\Big]_0^{\pi/2}\\ &=6a \end{align*}

Exemple 1.8.6. \(\vr'(t)=\vZero\).

Nous avons vu dans l’exemple précédent que l’astroïde a des points de rebroussement lorsque \(\vr'(t)\) s’annule. Cet exemple montre qu’il peut pratiquement tout arriver lorsque \(\vr'(t)=\vZero\text{.}\)

Supposons que nous nous promenons, et la position au temps \(t\) est donnée par \(\vr(t)\text{.}\) Si, à un instant donné, la vitesse est non nulle, il est difficile de changer de direction de déplacement de façon discontinue

⁵

Pour que la vitesse change de façon discontinue, l’accélération doit être infinie.

. D’autre part, lorsque \(\vr'(t)=0\text{,}\) on ne bouge pas, et il est facile d’effectuer un changement de direction. On peut par exemple rebrousser chemin, faire un virage brusque ou ne pas changer de direction du tout. Voici quelques exemples. Dans tous les cas, on a \(\vr'(0)=0\text{.}\)

\begin{alignat*}{4} \vr_1(t) &= t^5\,\vi + t^2\,\vj & \vr_1'(t)&= 5t^4\, \vi + 2t\, \vj\\ \vr_2(t) &= \begin{cases} t^2\,\vi & \text{si } t\geqslant 0 \\ t^2\,\vj & \text{si } t\leqslant 0 \end{cases}\qquad & \vr_2'(t)&= \begin{cases} 2t\, \vi & \text{si } t\geqslant 0 \\ 2t\vj & \text{si } t\leqslant 0 \end{cases}\\ \vr_3(t) &= t^3\,\vi & \vr_3'(t) &= 3t^2\,\vi \end{alignat*}

Sous-section L’abscisse curviligne

Jusqu’à présent, nous avons utilisé les chemins (objets algébriques, ce sont des fonctions) pour étudier des courbes (objets géométriques). Qui plus est, nous avons déjà mentionné le fait qu’une courbe donnée peut être paramétrée de plusieurs façons différentes. Deux questions, au moins, se posent naturellement :

Est-ce que la longueur d’une courbe est indépendante du paramétrage utilisé? La formule du Théorème 1.8.1 fait intervenir de façon essentielle le paramétrage de la courbe, mais, logiquement, la longueur devrait être indépendante.
Existe-t-il une façon “canonique” ou “naturelle” de paramétrer une courbe?

Proposition 1.8.7.

Soit \(\vr :[a,b] \to \R^n\) un chemin tel que \(\vr'(t) \ne \vZero\) pour \(t\in ]a,b[\) et \(L\) la longueur totale de la courbe. Alors, \(s : [a,b] \to [0, L]\text{,}\) la fonction de la longueur d’arc mesurée à partir de \(t=a\text{,}\) est une fonction inversible.

Démonstration.

Nous savons que \(s'(t) = |\vr'(t)|\text{,}\) et notre hypothèse nous dit que \(\vr\) ne s’annule pas sur \(]a,b]\text{,}\) de sorte que \(s\) est une fonction strictement croissante. Pour chaque \(y\in[0,L]\text{,}\) il existe donc un unique \(x\in[a,b]\) tel que \(y=s(x)\text{.}\) Il suffit alors de poser \(x= t(y)\text{.}\)

\(t\)\(t = t(s)\text{.}\)“paramétrage par rapport à l’abscisse curviligne”“paramétrage naturel”chemin

Exemple 1.8.8. Reparamétrage naturel : segment.

Soit \(P=(2,-2)\) et \(Q=(6,1)\text{.}\) Le segment de droite joignant \(P\) et \(Q\) peut être paramétré par \(\vr(t) = \vp + t(\vq - \vp) = (1-t)\vp + t\vq\) pour \(t\in [0,1]\text{.}\) Nous avons alors \(\vr'(t) = \vq- \vp = 3\,\vi + 4\,\vj\text{,}\) de sorte que \(\diff{s}{t} = |\vr'| = 5\text{,}\) et donc

\begin{equation*} s(t) = \int_0^t 5\, \dee{u} = 5t, \end{equation*}

ce qui permet d’obtenir \(t(s)=s/5\text{.}\) Nous pouvons obtenir le reparamétrage par rapport à l’abscisse curviligne :

\begin{equation*} \vr(t(s)) = \vr(s/5) = \vp + \frac{1}{5}(\vq - \vp). \end{equation*}

Notons que \(\diff{\vr}{s} = \frac{1}{5}(\vq - \vp)\) est de norme \(1\text{.}\)

Dans cet exemple, le changement de paramètre, \(t=s/5\text{,}\) a une signification évidente. On considère le paramétrage initial comme une position en fonction du temps. Le vecteur \(\vq - \vp\) est le vecteur vitesse, de norme 5. Le reparamétrage est donc un “changement de chronomètre” qui fait en sorte que la vitesse est \(1\text{.}\)

Exemple 1.8.9. Reparamétrage naturel : la chaînette.

Considérons la chaînette

⁶

Il s’agit de la courbe décrite par un fil lorsqu’il est suspendu par ses extrémités.

. \(y=\cosh x\text{,}\) elle peut être paramétrée par \(\vr(t) = t\, \vi + \cosh t\, \vj\text{.}\) Dans la figure de gauche ci-bas, on montre les positions correspondant à certaines valeurs également espacées du paramètre \(t\text{.}\) Remarquons que la distance séparant deux tels points a tendance à s’accroître.

described in detail following the image — Figure 1.8.10. \(\vr(t) = t\, \vi + \cosh t\, \vj\)

Le vecteur vitesse est \(\vr'(t) = \vi + \sinh t\, \vj\text{,}\) et la norme de celui-ci est

\begin{equation*} \sqrt{1 + \sinh^2 t} = \cosh t. \end{equation*}

Ainsi, l’abscisse curviligne mesurée à partir de \(t=0\) (ce qui correspond au point \((0,1)\)) est

\begin{equation*} s(t) = \int_0^t \cosh u\, \dee u = \sinh t. \end{equation*}

Ainsi, \(t = \arcsinh s = \ln(s+\sqrt{1+s^2})\text{.}\) Comme \(\cosh t = \sqrt{1+\sinh^2t} = \sqrt{1+s^2}\text{,}\) en substituant cette relation dans le paramétrage \(\vr\text{,}\) on obtient le paramétrage par rapport à l’abscisse curviligne :

\begin{equation*} \vr(t(s)) = t(s)\,\vi + \cosh t(s)\, \vj = \arcsinh s\, \vi + \sqrt{1+s^2}\, \vj. \end{equation*}

Dans la figure de droite, on observe quelques points correspondant à des valeurs également espacées de l’abscisse curviligne.

Sous-section Courbure (optionnel)

Si l’on s’intéresse à la courbure d’une courbe, on veut mesurer à quel point le vecteur tangent unitaire \(\vT\) change (de direction, puisqu’il est de norme constante) par rapport à la distance parcourue sur la courbe, c’est-à-dire qu’on s’intéresse à la quantité \(\frac{d\vT}{ds}.\)

Si d’une part cette quantité traduit très bien le concept voulu, il est d’autre part généralement difficile de trouver le paramétrage naturel d’une courbe donnée, et les calculs peuvent être fastidieux, voire impossibles. Afin de contourner cette difficulté technique, on suppose qu’on a un paramétrage par rapport au paramètre \(t\) et l’on invoque la dérivation des fonctions composées pour obtenir

\begin{equation*} \frac{d\vT}{ds} = \frac{d\vT}{dt}\frac{dt}{ds} =\frac{d\vT}{dt} \frac{1}{dt/ds} = \frac{d\vT}{dt} \frac{ds}{dt} = \frac{d\vT}{dt}\frac{1}{|\vr'(t)|}. \end{equation*}

Définition 1.8.12.

Soit \(\vr : [a,b] \to \R^n\) un chemin de classe \(C^2\) avec \(\vr'(t) \ne \vZero\) pour \(t\in [a,b]\text{.}\) Son vecteur de courbure est, par définition,

\begin{equation*} \vK(t) =\frac{1}{|\vr'(t)|} \frac{d\vT(t)}{dt}, \end{equation*}

et sa fonction de courbure est

\begin{equation*} \kappa(t) = | \vK(t)|. \end{equation*}

Remarquons que le vecteur \(\vT(t)\) est de norme constante, donc, en vertu de l’Exemple 1.7.8, il est orthogonal à son vecteur dérivé \(\frac{d\vT}{dt}\text{.}\) Comme le vecteur courbure est proportionnel à ce dernier, on obtient

\begin{gather} \vK(t) \perp \vT(t)\tag{✶} \end{gather}

Par ailleurs, le vecteur normal principal est un vecteur unitaire dans la direction de \(\vT'\text{,}\) c’est-à-dire

\begin{equation*} \vN = \frac{\vT'}{|\vT|'}. \end{equation*}

Exemple 1.8.13. Courbure d’un cercle.

Soit \(\vr (t) = a \cos t \, \vi + a \sin t\, \vj\) avec \(t\in[0,2\pi]\) un paramétrage du cercle centré à l’origine et de rayon \(a\text{.}\) Nous avons alors \(\vr'(t) = -a\sin t\,\vi + a\cos t\, \vj\text{,}\) dont la norme vaut \(|\vr'(t)| = a\text{.}\) Ainsi, le vecteur tangent unitaire est

\begin{equation*} \vT(t) = \frac{1}{a}\vr'(t) = -\sin t\, \vi + \cos t \, \vj, \end{equation*}

de sorte que \(\vT'(t) = -\cos t \, \vi - \sin t \, \vj.\) Ainsi,

\begin{equation*} \vK(t) = \frac{1}{a}\left(-\cos t\,\vi - \sin t\, \vj\right) \end{equation*}

et \(\kappa(t) = 1/a.\)

On remarque notamment que le vecteur de courbure \(\vK\) pointe vers le centre du cercle et que la courbure du cercle est l’inverse de son rayon : plus un cercle est petit, plus il est courbé.

Exemple 1.8.14. Courbure d’une droite.

Soit \(\vr(t) = \vp_0 + t\vd\) un paramétrage d’une droite. On a alors \(\vr'(t) = \vd\) qui est constant. Le vecteur tangent unitaire est alors \(\vT(t) = \frac{1}{|\vd|}\vd\text{,}\) de sorte que \(\vT'(t) = \vZero\text{.}\) Ainsi, le vecteur de courbure de la droite est \(\vK = \vZero\text{,}\) et sa fonction de courbure est nulle. En somme, les droites ne sont pas courbées, ce qui est plutôt rassurant.

\(\vv = \vr', \va = \vv', v = |\vv|\text{.}\)\(\vv\)\(\va\)\(v\)

Proposition 1.8.15.

Soit \(\vr : [a,b] \to \R^n\) un chemin régulier. Alors, son vecteur accélération vérifie

\begin{equation*} \vr''(t) = \frac{d^2s}{dt^2} \vT(t) + \left(\frac{ds}{dt}\right)^2,\ \vK(t) = v' \vT(t) + v^2 \vK(t)\text{.} \end{equation*}

Démonstration.

Afin d’alléger l’écriture, nous omettons la variable \(t\text{,}\) et écrivons par exemple \(\vr\) au lieu de \(\vr(t)\) et ainsi de suite.

Nous avons \(\vr' = |\vr'|\vT = \frac{ds}{dt}\vT\)donc, dérivant par rapport à \(t\text{,}\) avec la règle du produit, nous obtenons

\begin{equation*} \vr'' = \frac{d}{dt}\left(\frac{ds}{dt}\vT\right) = \left(\frac{d}{dt}\frac{ds}{dt}\right)\vT + \frac{ds}{dt}\frac{d\vT}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2} \vT + \left(\frac{ds}{dt}\right)^2 \vK , \end{equation*}

où la dernière égalité suit de ce que \(\frac{d\vT}{dt} = \frac{ds}{dt}\vK\text{,}\) d’après la Définition 1.8.12.

Remarque 1.8.16.

Nous avons \(\vK = \kappa \vN\text{,}\) de sorte que la formule précédente devient

\begin{equation} \va = v' \vT + \kappa v^2 \vN.\tag{1.8.1} \end{equation}

Ceci donne une décomposition de l’accélération en deux composantes orthogonales. D’une part, l’accélération tangentielle, \(\va_{\vT} = v'\vT\text{,}\) est liée au changement de la vitesse scalaire. D’autre part, l’accélération normale, \(\va_{\vN} = \kappa v^2 \vN = v^2 \vK\text{,}\) est liée au changement de direction, ce qui fait que la courbe (nom féminin) courbe (du verbe courber, c’est-à-dire change de direction).

Soit \(\vr\) un chemin et \(\vr(t_0)\) un point sur la courbe associée. Un cercle de rayon \(1 / \kappa(t_0)\) passant par ce même point aura, en plus du point commun, la même courbure. Pour cette raison, et par analogie avec l’Exemple 1.8.13, on dit que \(1/\kappa(t_0)\) est le rayon de courbure de la courbe au point \(\vr(t_0)\text{.}\) On sait que le vecteur de courbure d’un cercle pointe toujours vers son centre. Ainsi, afin de déterminer le centre du meilleur tel cercle, on utilise la direction du vecteur de courbure \(\vK(t_0)\text{,}\) on obtient alors le cercle osculateur

⁷

Le terme osculateur vient du latin et signifie embrasser; ainsi, le cercle osculateur est celui qui embrasse le mieux la courbe en un point donné.

Définition 1.8.17.

Soit \(\vr : [a,b] \to \R^n\) un chemin régulier en \(t_0\text{.}\) Le cercle osculateur à la courbe associée à \(\vr\) au point \(\vr(t_0)\) est le cercle de rayon \(1/\kappa(t_0)\) et de centre

\begin{equation*} \vr(t_0) + \frac{1}{\kappa(t_0)}\frac{\vK(t_0)}{|\vK(t_0)|} = \vr(t_0) + \frac{1}{\kappa(t_0)^2} \vK(t_0). \end{equation*}

Avant de voir des exemples, nous avons besoin d’un outil qui permet de faire efficacement les calculs nécessaires. Nous l’avons déjà mentionné, calculer le paramétrage naturel peut être ardu. Si, en plus, on doit dériver, les choses risquent de devenir compliquées.

Pour la suite, supposons que nous avons affaire à des chemins dans \(\R^3\text{,}\) quitte à ajouter une troisième coordonnée nulle si le chemin original est à valeur dans \(\R^2\text{.}\) Aussi, écrivons \(\vv = \vr',\ \va = \vv' = \vr''\) pour le vecteur vitesse et le vecteur accélération, et \(v = |\vv|\) pour la norme de la vitesse.

Proposition 1.8.19.

Soit \(\vr : [a,b] \to \R^3\) un chemin régulier. Alors,

\(\displaystyle \vv \times \va = v^3 (\vT \times \vK);\)
\(\displaystyle \kappa = \frac{|\vv \times \va|}{|\vv|^3};\)
\(\displaystyle \vK = \frac{(\vv \times \va) \times \vv}{v^4}.\)

Démonstration.

En effet, puisque \(\vv = v\vT\) et que, en vertu de la Proposition 1.8.15, \(\va = v'\, \vT + v^2\, \vK \text{,}\) il vient que

\begin{equation*} \vv \times \va = \left(v\vT\right)\times \left(v'\, \vT + v^2\, \vK\right) = v^3 \, (\vT \times \vK), \end{equation*}

où la dernière égalité suit de ce que \(\vT \times \vT = \vZero\text{.}\)
En effet, il suit de la première partie que

\begin{equation*} |\vv \times \va| = v^3 |\vT \times \vK| = v^3 |\vT|\, |\vK| = v^3 \kappa , \end{equation*}

où la troisième égalité suit de (✶) et du fait que \(\vT\) est unitaire. Puisque \(v = |\vv|\) et que le chemin est supposé régulier, ceci fournit le résultat voulu.
Par ailleurs, nous avons

\begin{align*} (\vv \times \va) \times \vv \amp = v^2\ (\vT \times \vK )\times (v\vT)\\ \amp = v^4 (\vT \times \vK) \times \vT \\ \amp = v^4 \left[ (\vT \cdot \vT)\, \vK - (\vT \cdot \vK)\, \vT\right] \\ \amp = v^4 \, \vK, \end{align*}

où la troisième égalité est donnée par la propriété (b) du produit vectoriel que nous avons vu auparavant, et la dernière, de ce que \(\vT\) est unitaire et de (✶).

Exemple 1.8.20. Ellipse : courbure et cercle osculateur.

Considérer l’ellipse \(\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1\text{.}\)

Trouver la fonction de courbure \(\kappa\text{.}\) À quels points sur la courbe trouve-t-on la plus grande et la plus petite courbures?
Trouver \(\vK\) ainsi que le centre du cercle osculateur à l’ellipse en un point quelconque.

Solution.

Nous avons un paramétrage de l’ellipse \(\vr (t) = a\cos t \, \vi + b\sin t\, \vj\) avec \(t\in[0,2\pi]\text{.}\) Ainsi, \(\vv = -a\sin t\, \vi + b\cos t\, \vj\) et \(\va = -a\cos t\, \vi -b\sin t\, \vj\text{.}\) On calcule alors

\begin{equation*} \vv \times \va = \left| \begin{array}{ccc}\vi \amp -a\sin t \amp -a\cos t\\ \vj \amp b\cos t \amp -b\sin t\\ \vk \amp 0 \amp 0\end{array}\right| = ab\vk. \end{equation*}

Ceci donne directement la fonction de courbure :

\begin{equation*} \kappa(t) = \frac{ab}{|\vv|^3} = \frac{ab}{v^3} = \frac{ab}{\left(a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t \right)^{3/2}}. \end{equation*}

Comme \(a\) et \(b\) sont constantes, cette expression atteint son maximum (respectivement son minimum) lorsque le dénominateur atteint son minimum (respectivement son maximum). De plus, comme \(v\geqslant 0\text{,}\) les intervalles de monotonie de \(v^3\) sont les mêmes que ceux de \(v^2\text{.}\) Ainsi, il suffit d’étudier les variations de la fonction \(c(t) = v(t)^2 = a^2 \sin^2t + b^2 \cos^2 t\text{.}\) Nous avons

\begin{align*} c'(t) \amp = -2a^2 \sin t\, \cos t + 2b^2 \sin t \, \cos t\\ \amp = (b^2 - a^2)2\sin t\, \cos t\\ \amp = (b^2-a^2) \sin 2t. \end{align*}

Cette expression s’annule lorsque \(t=0,\pi/2,\pi\) ou \(\pi \text{.}\) Si l’on suppose que \(a\gt b\text{,}\) on aura des minimums pour \(c(t)\text{,}\) donc des maximums pour \(\kappa(t)\) à \(t=0, \pi\text{,}\) et des maximums pour \(c(t)\text{,}\) donc des minimums à \(t=\pi/2, 3\pi/2\text{.}\) La signification géométrique est claire : l’ellipse est le plus courbée lorsqu’elle coupe l’axe des abscisses, et le moins courbée lorsqu’elle coupe l’axe des ordonnées
⁸
Noter que cette situation changera si \(b\gt a\text{.}\)
.
Nous avons

\begin{equation*} (\vv \times \va) \times \vv = \left| \begin{array}{ccc}\vi \amp 0 \amp -a\sin t\\ \vj \amp 0 \amp \phantom{-}b\cos t\\ \vk \amp ab \amp 0\end{array}\right| = \ctvec{-ab\cos t}{-a^2 b\sin t}{0} = -ab \ctvec{b\cos t}{a\sin t}{0}. \end{equation*}

Il vient alors que \(\vK = \frac{-ab}{v^4}\left(b\cos t \, \vi + a\sin t \vj\right)\text{.}\) Ainsi, le centre du cercle osculateur se trouve à

\begin{align*} \vr+ \frac{1}{\kappa^2}\vK \amp = \vr + \frac{v^6}{a^2 b^2}\vK\\ \amp = \left[\begin{array}{c}a \cos t\\ b\sin t \\0\end{array}\right] - \frac{v^2}{ab}\left[\begin{array}{cc}b \cos t \\ a\sin t\\ 0 \end{array}\right]. \end{align*}

Figure 1.8.21. L’ellipse \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\text{,}\) ainsi que son vecteur courbure \(\vK\text{,}\)sa courbure et son cercle osculateur de centre \(C\text{.}\) On peut aussi voir le lieu décrit par le centre du cercle osculateur, ceci ressemble à l’astroïde.

\(y=f(x)\)\(f''(x)\text{.}\)\(f''(x)\gt 0\)\(f''(x) \lt 0\text{.}\)

Exemple 1.8.22. Courbes \(y= f(x)\).

Soit \(\plan{C}\) la courbe d’équation \(y=f(x)\text{.}\) Calculer et interpréter le vecteur courbure.

Solution.

On utilise la variable indépendante \(x\) comme paramètre, de sorte qu’on a un paramétrage de la courbe \(\vr(t) = t\,\vi + f(t)\, \vj\text{.}\) Ainsi, on a \(\vv(t) = \vi + f(t)\, \vj\) et \(\va(t) = f''(t)\vj\text{.}\) On calcule alors

\begin{equation*} \vv(t) \times \va(t) = \left|\begin{array}{ccc}\vi \amp 1 \amp 0\\ \vj \amp f'(t) \amp 0 \\ \vk \amp f''(t) \amp 0 \end{array} \right| = f''(t)\, \vk, \end{equation*}

puis

\begin{equation*} \left(\vv(t) \times \va(t)\right) \times \vv(t) = \left|\begin{array}{ccc} \vi \amp 0 \amp 1\\ \vj \amp 0 \amp f''(t) \\ \vk \amp f'(t) \amp 0 \end{array}\right| = \ctvec{-f''(t)f'(t)}{f''(t)}{0}. \end{equation*}

De plus, \(v(t) = \sqrt{1+f'(t)^2}\text{,}\) ce qui donne

\begin{equation*} \vK(t) = \frac{1}{\left(1+f'(t)^2\right)^2}\ctvec{-f''(t)f'(t)}{f''(t)}{0} \implies \kappa(t) = |\vK(t)| = \frac{|f''(t)|}{\left[1+f'(t)^2\right]^{3/2}}. \end{equation*}

On retrouve notamment le fait que la composante \(y\) du vecteur de courbure a le même signe que la dérivée seconde, \(f''\text{.}\) Ceci fournit une autre preuve, s’il en faut, du fait que lorsqu’une fonction admet une dérivée seconde positive, sa courbe est courbée vers le haut, et inversement.

Exemple 1.8.23. Fonction de courbure.

Figure 1.8.24. On peut tracer la fonction de courbure (en rouge) associée à une fonction \(f(x) \) (en bleu). Dans la figure, \(f(x) = e^{-x^2}\text{.}\)

Exercices Exercices

Pour se pratiquer.

1.

Une courbe en \(\R^3\) est donnée paramétrée par \(\vr(t) = \left(2t \cos t, 2t \sin t,\frac{t^3}{3}\right)\)

Trouver la longueur de la portion de la courbe entre \(t = 0\) et \(t = 2\text{.}\)
Trouver un paramétrage de la tangente à la courbe au point correspondant à \(t = \pi\text{.}\)

Réponse.

(a) \(\frac{20}{3}\)

(b) \(x(t) = -2\pi -2t,\ y(t) = -2\pi t,\ z(t) = \frac{\pi^3}{3} + \pi^2 t\)

2.

Soit \(\vr(t) = \big(3 \cos t, 3 \sin t, 4t\big)\) la position d’une particule à l’instant \(t \geqslant 0\text{.}\)

Trouver le vecteur vitesse de la particule à l’intant \(t\text{.}\)
Trouver la longueur de la portion de la courbe associée comprise entre \(t = 1\) et \(t = 2\text{.}\)

Réponse.

(a) \(\vr'(t) = \big(-3 \sin t, 3 \cos t, 4\big)\)

(b) 5

3.

Considérer la courbe paramétrée par \(\vr(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\vi +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\vj + \sin^3 t\,\vk\)

Calculer la longuer de la portion de la courbe comprise entre les points correspondant à \(t = 0\) et \(t = \frac{\pi}{2}\text{.}\)
Calculer la longueur de la portion de la courbe entre \(t = 0\) et \(t = \pi\text{.}\)

Réponse.

(a) \(\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big)\)

(b) \(\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big)\)

4.

Considérer la courbe paramétrée par \(\vr(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\vi +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\vj + \sin^3 t\,\vk\)

Calculer la longuer de la portion de la courbe comprise entre les points correspondant à \(t = 0\) et \(t = \frac{\pi}{2}\text{.}\)
Calculer la longueur de la portion de la courbe entre \(t = 0\) et \(t = \pi\text{.}\)

Réponse.

(a) \(\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big)\)

(b) \(\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big)\)

5.

Soit \(\vr(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big)\text{,}\) \(t\geqslant 0\text{.}\) Calculer \(s(t\)), la fonction longuer d’arc pour le chemin donné. \(t\text{.}\)

Réponse.

\(s(t)=\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2}\)

Pour mieux comprendre.

6.

Trouvez la paramétrisation spécifiée de la partie du premier quadrant du cercle \(x^2+y^2=a^2\text{.}\)

En terme de la coordonnée \(y\text{.}\)
En terme de l’angle entre la droite tangente et l’axe des \(x\) positif.
En terme de la longueur d’arc à partir de \((0,a)\text{.}\)

Réponse.

(a) \(\vr(y)=\sqrt{a^2-y^2}\,\vi+ y\,\vj\text{,}\) \(0\leqslant y\leqslant a\)

(b) \(\big(x(\phi),y(\phi)\big) =\big(a\sin \phi ,-a\cos \phi \big)\text{,}\) \(\frac{\pi}{2}\le\phi\le\pi\)

(c) \(\big(x(s),y(s)\big) =\big(a\cos(\tfrac{\pi}{2}-\frac{s}{a}), a\sin(\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{s}{a})\big)\text{,}\) \(0\leqslant s\le\tfrac{\pi}{2}a\)

7.

Ci-dessous, se trouve le graphe de la fonction paramétrée \(\vr(t)\text{.}\) Soit \(s(t)\) la longueur d’arc le long de la courbe de \(\vr(0)\) à \(\vr(t)\text{.}\)

Indiquez sur le graphe \(s(t+h)-s(t)\) et \(\vr(t+h)-\vr(t)\text{.}\) Est-ce que ces quantités sont des scalaires ou des vecteurs?

Réponse.

Le vecteur en rouge est \(\vr(t+h)-\vr(t)\text{.}\) La longueur d’arc du segment indiqué par la ligne bleue est le (scalaire) \(s(t+h)-s(t)\text{.}\)

Remarque: lorsque \(h\) approche 0, la courbe (si elle est différentiable en \(t\)) commencence à ressembler à une droite, avec la longueur du vecteur \(\vr(t+h)-\vr(t)\) approchant le scalaire \(s(t+h)-s(t)\text{.}\) Cette étape est cruciale afin de comprendre le Lemma Théorème 1.8.1.

8.

Trouver la longueur d’arc du chemin \(\vr(t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big)\) pour \(0\leqslant a\leqslant t\leqslant b\text{,}\) avec \(m \gt 0\text{.}\) Exprimez le résultat en termes de \(m\text{,}\) \(a\text{,}\) et \(b\text{.}\)

Réponse.

\(\frac{8}{27}\Big[\Big(2 + \frac{9}{4}b^m\Big)^{3/2} -\Big(2 + \frac{9}{4}a^m\Big)^{3/2}\Big]\)

9.

Une particule se déplace le long de la courbe \(\cC\text{,}\) intersection des surfaces \(z^2=12y\) et \(18x=yz\text{,}\) vers le haut. Lorsque la partricule se trouve à \((1,3,6)\) son vecteur vitesse \(\vv\) et son vecteur accélération \(\va\) sont

\begin{equation*} \vv =6\,\vi+12\,\vj+12\,\vk\qquad \va = 27\,\vi+30\,\vj+6\,\vk \end{equation*}

Donner un paramétrage de \(\cC\) avec paramètre \(u=\frac{z}{6}\text{.}\)
Trouver a longueur de la portion de \(\cC\) entre \((0,0,0)\) et \((1,3,6)\text{.}\)
Si \(u=u(t)\) est la valeur du paramètre pour la position de la particule au temps \(t\text{,}\) trouver \(\diff{u}{t}\) lorsque la particule se trouve à \((1,3,6)\text{.}\)
Trouver \(\difftwo{u}{t}\) lorsque la particule se trouve à \((1,3,6)\text{.}\)

Réponse.

\(\displaystyle \vr(u)=u^3\,\vi+3u^2\,\vj+6u\,\vk\)
\(\displaystyle 7\)
\(\displaystyle 2\)
\(\displaystyle 1\)

10.

Soit \(\cC\) la courbe intersection des surfaces \(y=x^2\) et \(z=\frac{2}{3}x^3\text{.}\) Une particule voyage le long de \(\cC\) avec vitesse (scalaire) constante, telle que \(\diff{x}{t} \gt 0\text{.}\) La particule se trouve à \((0,0,0)\) au temps \(t=0\) et au point \((3,9,18)\) au temps \(t=\frac{7}{2}\text{.}\)

Trouver la longueur de la portion de \(\cC\) entre \((0,0,0)\) et \((3,9,18)\text{.}\)
Trouver la vitesse (sclaire) de la particule.
Trouver le vecteur vitesse de la particule lorsqu’elle se trouve à \(\big(1,1,\frac{2}{3}\big)\text{.}\)
Trouver l’accélération de la particule lorsqu’elle se trouve à \(\big(1,1,\frac{2}{3}\big)\text{.}\)

Réponse.

\(\displaystyle 21\)
\(\displaystyle 6\)
\(\displaystyle 2\vi+4\,\vj+4\,\vk\)
\(\displaystyle -\frac{8}{3}\big(2\vi+\,\vj-2\,\vk\big)\)

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