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Calcul multivariable Une approche libre

Juan Carlos Bustamante

Section 2.7 Polynômes de Taylor avec plusieurs variables

Sous-section Quelques rappels

Pour commencer, en guise de rappel et aussi de motivation, plaçons-nous dans le contexte des fonctions d’une variable réelle. Nous utiliserons ces idées et ces résultats pour obtenir ce que nous cherchons, à savoir:
  • une formule pour avoir les polynômes de Taylor des fonctions de plusieurs variables;
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  • une idée de l’erreur commise lorsque nous utilisons une approximation de Taylor plutôt que la fonction elle-même.
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Une des conséquences de ceci sera le résultat analogue au critère de la dérivée seconde permettant de classifier les points critiques. Ceci viendra dans la section suivante.
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Soit donc \(g\) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \(I\) et \(t_0\) un point à l’intérieur de \(I\text{.}\)
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La formule de Taylor du premier ordre (autour de \(t_0\)) dit que, pour \(t\in I\text{,}\) il existe \(c_t\) dans \(I\) tel que
\begin{align*} g(t) \amp = \underbrace{g(t_0) + g'(t_0)(t-t_0)}_{\text{Approx. linéaire}} + \underbrace{\frac{1}{2} g''(c_t)(t-t_0)^2}_{\text{Reste}}\text{.} \end{align*}
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Si \(g\) est trois fois dérivable, on aura à nouveau un (autre) \(c_t\) entre \(x_0\) et \(t\) tel que
\begin{align*} g(t) \amp = \underbrace{g(t_0) + g'(t_0)(t-t_0) + \frac{1}{2}g''(t_0)(t-t_0)^2 }_{\text{Approx. quadratique}} + \underbrace{\frac{1}{3!} g'''(c_t)(t-t_0)^3}_{\text{Reste}}\text{.} \end{align*}
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La partie \(Q(t) = g(t_0) + g'(t_0)(t-t_0) + \frac{1}{2}g''(t_0)(t-t_0)^2 \) est l’approximation quadratique, ou encore l’approximation de Taylor d’ordre \(2\), de \(g\) autour de \(t_0\text{.}\) Le reste correspondant, à savoir \(R_2(t) = \frac{1}{3!}g'''(c_t)(t-t_0)^3\text{,}\) vérifie
\begin{equation*} \lim_{t\to t_0}\frac{R_2(t)}{(t-t_0)^2} = 0\text{.} \end{equation*}
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Sous-section Avec plusieurs variables

Voyons maintenant comment obtenir les formules analogues pour les fonctions à plusieurs variables. L’idée centrale sera de considérer une telle fonction \(f\) et de la composer avec un chemin \(\pmb{\g}\text{,}\) de sorte à obtenir une fonction \(g = f\circ \pmb{\g}\) d’une variable à laquelle appliquer les résultats mentionnés auparavant.
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Soit donc \(\cD \subset \R^n\) et \(\vr_0\) un point intérieur à \(\cD\) proche de \(\vr_0\text{.}\) Soit par ailleurs \(f : \cD \to \R \) ayant des dérivées partielles continues jusqu’à l’ordre \(3\text{.}\) Écrivons aussi \(\vr = \ctvec{x_1}{\vdots}{x_m}\) puis \(\vh = \vr - \vr_0 = \ctvec{h_1}{\vdots}{h_n}\text{.}\)
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Nous voulons une approximation de \(f(\vr) = f(\vr_0 + \vh) \text{.}\) Pour cela, considérons le chemin \(\pmb{\g} : t \mapsto \vr_0 + t (\vr - \vr_0) = r_0 + t\vh\text{.}\) Il s’agit de la droite qui relie \(\vr_0\) (à \(t=0\)) à \(\vr_0\) (à \(t=1\)). Remarquons qu’il s’agit d’un chemin de vitesse constante, à savoir \(\pmb{\g}' = \vh\text{.}\)
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Posons finalement \(g = f \circ \pmb{\g} : t \mapsto f(\pmb{\g}(t)) = f(\vr_0 + t\vh)\text{.}\) Alors, l’approximation de Taylor de \(g\) autour de \(t_0 = 0\) permet d’obtenir, pour \(t=1\text{,}\)
\begin{equation*} g(1) = g(0) + g'(0) + \frac{1}{2}g''(0) + \frac{1}{3!}g'''(c) \end{equation*}
pour un \(c\) entre \(0\) et \(1\text{.}\)
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Or, \(g(0) = f(\pmb{\g}(0)) = f(\vr_0)\text{.}\)
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Par ailleurs,
\begin{align*} g'(t) \amp = \vD (f\circ \pmb{\g})(t) = \vD f(\pmb{\g}(t) \pmb{\g}'(t) = \sum_{j\,=\,1}^n \pdiff{f}{x_j}(\pmb{\g}(t)) \vh \\ \amp = \sum_{j\,=\,1}^n \pdiff{f}{x_j}(\vr_0 + t\vh) h_j \text{.} \end{align*}
En particulier,
\begin{equation*} g'(0) = \vD f(\vr_0) \vh = \sum_{j\,=\,1}^n \pdiff{f}{x_j}(\vr_0) h_j\text{.} \end{equation*}
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Pour calculer le terme d’ordre \(2\text{,}\) nous devons dériver encore une fois \(g'(t)\) puis évaluer en \(0\text{.}\)
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Afin d’alléger les notations, utilisons les indices pour indiquer les dérivées partielles. Ainsi, on écrit \(f_{x_j}\) au lieu de \(\pdiff{f}{x_j}\text{,}\) de sorte que
\begin{equation*} g'(t) = \sum_{j\,=\,1}^n f_{x_j}(\vr_0 + t\vh) h_j = \sum_{j\,=\,1}^n (f_{x_j}\circ \pmb{\g})(t) h_j\text{.} \end{equation*}
Nous calculons alors, pour un \(j\) fixé,
\begin{equation*} \diff{}{t} \left(f_{x_j} \circ\pmb{\g}\right)(t) = \vD f_{x_j}(\pmb{\g}(t)) \pmb{\g}'(t) = \vD f_{x_j}(\vr_0 + t\vh) \vh\text{.} \end{equation*}
Or, \(\vD f_{x_j}(\vr_0 + t\vh)\) est la matrice à une rangée formée par les dérivées partielles de \(f_{x_j}\text{,}\) qu’on note \(f_{x_j\, x_i}\text{,}\) évaluées en \(\vr_0 + t \vh\text{,}\) de sorte que
\begin{align*} \diff{}{t} \left(f_{x_j} \circ\pmb{\g}\right)(t)\amp = \left.\begin{bmatrix} f_{x_j\, x_1} \amp f_{x_j\, x_2}\amp \ldots \amp f_{x_j\, x_n} \end{bmatrix} \right|_{\vr_0 + t\vh} \begin{bmatrix}h_1 \\ h_2 \\ \vdots \\ h_n\end{bmatrix} \\ \amp = \sum_{i\,=\,1}^n f_{x_j\, x_i}(\vr_0 + t \vh)h_i \text{.} \end{align*}
Il vient donc que
\begin{align*} g''(t) = \amp \diff{}{t} \left( \sum_{j\,=\,1}^n (f_{x_j}\circ \pmb{\g})(t) \ h_j \right) = \sum_{j\,=\,1}^n\left(\diff{}{t} (f_{x_j} \circ \pmb{\g})(t) \right)h_j \\ \amp = \sum_{j\,=\,1}^n \sum_{i\,=\,1}^n f_{x_j\, x_i}(\vr_0 + t \vh) h_i\, h_j\text{,} \end{align*}
et donc le terme qui nous intéresse est
\begin{equation*} g''(0) = \sum_{i,\,j\, =\, 1}^n f_{x_j\, x_i}(\vr_0) h_i\, h_j\text{.} \end{equation*}
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Remarquons que l’hypothèse de continuité des dérivées partielles d’ordre 2 donne l’égalité des dérivées partielles croisées. Par ailleurs, nous pouvons écrire la double somme apparaissant dans \(g''(t)\) de façon plus succincte à l’aide du produit matriciel. En effet, on vérifie que
\begin{align*} \sum_{i,\, j\, =\, 1}^n f_{x_j\, x_i}(\vr_0) h_i\, h_j \amp =\begin{bmatrix} h_1 \amp \cdots \amp h_n\end{bmatrix} \left.\begin{bmatrix} f_{x_1 x_1} \amp \cdots \amp f_{x_n x_1} \\ \vdots \amp \ddots \amp \vdots \\ f_{x_1 x_n} \amp \cdots \amp f_{x_n x_n}\end{bmatrix}\right|_{\vr_0} \begin{bmatrix} h_1 \\ \vdots \\ h_n\end{bmatrix} \\ \amp = \vh^T \left.\begin{bmatrix} f_{x_1 x_1} \amp \cdots \amp f_{x_n x_1} \\ \vdots \amp \ddots \amp \vdots \\ f_{x_1 x_n} \amp \cdots \amp f_{x_n x_n}\end{bmatrix}\right|_{\vr_0} \vh \text{.} \end{align*}
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Remarquons que la matrice apparaissant dans la formule ci-haut est exactement la matrice des dérivées partielles des composantes de \(\vnabla f\text{,}\) vue comme une fonction à valeurs dans \(\R^n\text{.}\) Avec les notations des sections précédentes, on noterait cette matrice \(\vD \vnabla f\text{,}\) mais il est naturel de la noter \(\vD^2 f\text{.}\)
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Définition 2.7.1.

Soit \(f : \cD \to \R^n\) de classe \(C^2\) et \(\vr_0\in\cD\) un point intérieur. Alors,
  1. la matrice hessienne de \(f\) en \(\vr_0\) est la matrice
    \begin{equation*} \vD^2 f (\vr_0) = \left.\begin{bmatrix} f_{x_1 x_1} \amp \cdots \amp f_{x_n x_1} \\ \vdots \amp \ddots \amp \vdots \\ f_{x_1 x_n} \amp \cdots \amp f_{x_n x_n}\end{bmatrix}\right|_{\vr_0}\text{;} \end{equation*}
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  2. la forme quadratique \(Hf(\vr_0) : \R^n \to \R\) définie par
    \begin{equation*} Hf(\vr_0)(\vh) = \frac{1}{2} \vh^T \vD^2 f (\vr_0) \vh \end{equation*}
    est la forme quadratique hessienne de \(f\) en \(\vr_0\).
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Rappelons que \(\vh = \vr - \vr_0\text{.}\)
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Définition 2.7.2.

Soit \(f : \cD \to \R^n\) de classe \(C^2\) et \(\vr_0\in\cD\) un point intérieur. Le polynôme de Taylor d’ordre \(2\) de \(f\) autour de \(\vr_0\) est
\begin{align*} Q(\vr) \amp = f(\vr_0) + \vD f(\vr_0)(\vr - \vr_0) + Hf(\vr_0)(\vr-\vr_0) \\ \amp = f(\vr_0) + \vD f(\vr_0)(\vr - \vr_0) + \frac{1}{2} (\vr - \vr_0)^T \vD^2 f (\vr_0) (\vr - \vr_0) \text{.} \end{align*}
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Voyons quelques exemples. Dans la pratique, on traitera surtout les cas où \(n=2\) ou \(3\text{.}\) Si \(n=2\text{,}\) on écrit \(\vr_0 = (x_0, y_0),\ \vr = (x,y)\) et \(\vh = \vr - \vr_0 =(x-x_0, y-y_0) = (h_x, h_y) \text{.}\) Le polynôme de Taylor s’écrit alors
\begin{align} Q(x,y) = \amp f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) \tag{✶}\\ \amp + \frac{1}{2}\left[f_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0)^2 + 2 f_{xy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)\right.\notag\\ \amp + \left. f_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2 \right]\text{.}\notag \end{align}
Il est commun d’utiliser les polynômes de Taylor pour faire des approximations. On veut approcher la valeur de \(f(x_0 + \De x, y_0 + \De y)\text{,}\) avec l’information de \(f\) (et de ses dérivées) en \((x_0,y_0)\text{.}\) On aura alors
\begin{align} Q(x_0+ \De x,y_0 + \De y) = \amp f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\De x + f_y(x_0,y_0)\De y \tag{✶✶}\\ \amp + \frac{1}{2}\left[f_{xx}(x_0,y_0)\De x^2 + 2 f_{xy}(x_0,y_0)\De x \De y\right.\notag\\ \amp + \left. f_{yy}(x_0,y_0)\De y^2 \right]\text{.}\notag \end{align}
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La formule explicite pour les fonctions de trois variables est plus longue : on a les trois termes du premier ordre faisant intervenir les trois dérivées partielles, puis les six termes d’ordre 2 faisant intervenir les dérivées croisées d’ordre 3.
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Exemple 2.7.3.

Calculer l’approximation de Taylor d’ordre \(2\) de la fonction \(f : (x,y) \mapsto \cos (2x -y)\) autour de l’origine.
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On calcule
\begin{equation*} \vD f(x,y) =\begin{bmatrix} f_x(x,y) \amp f_y(x,y)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2\sin(2x -y) \amp \sin(2x-y)\end{bmatrix}\text{,} \end{equation*}
donc \(\vD f(0,0) = \begin{bmatrix} 0 \amp 0 \end{bmatrix} \text{.}\)
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Par ailleurs,
\begin{equation*} \vD^2 f(x,y) = \begin{bmatrix} f_{xx}(x,y) \amp f_{xy}(x,y)\\ f_{yx}(x,y) \amp f_{yy}(x,y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4\cos(2x-y) \amp 2\cos(2x-y) \\ 4\cos(2x-y) \amp -\cos(2x-y)\end{bmatrix}\text{,} \end{equation*}
et donc
\begin{equation*} \vD^2 f(0,0) = \left[\begin{array}{rr}-4\amp 2 \\ 2 \amp -1\end{array} \right]\text{.} \end{equation*}
Le polynôme de Taylor cherché est alors
\begin{align*} Q(x,y) \amp = 1 + \begin{bmatrix} 0 \amp 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix} + \frac{1}{2} \begin{bmatrix} x \amp y \end{bmatrix} \left[\begin{array}{rr}-4\amp 2 \\ 2 \amp -1\end{array} \right]\begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix} \\ \amp = 1+\frac{1}{2}(-4x^2 + 4y -y^2) = 1-2x^2 +2xy -\frac{1}{2}y^2 \text{.} \end{align*}
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Exemple 2.7.4.

Dans cet exemple, on trouve l’approximation quadratique de \(f(x,y)=\sqrt{1+4x^2+y^2}\) autour de \((x_0,y_0)=(1,2)\) et l’on s’en sert pour donner une valeur approchée de \(f(1.1,\,2.05)\text{.}\) Nous savons que nous avons besoin de toutes les dérivées jusqu’au deuxième ordre. Calculons-les, évaluons-les au point \((x_0,y_0)=(1,2)\text{.}\)
\begin{align*} f(x,y)&=\sqrt{1+4x^2+y^2}, & f(x_0,y_0)&=3,\\ f_x(x,y)&=\frac{4x}{\sqrt{1+4x^2+y^2}}, & f_x(x_0,y_0)&=\frac{4}{3},\\ f_y(x,y)&=\frac{y}{\sqrt{1+4x^2+y^2}}, & f_y(x_0,y_0)&=\frac{2}{3},\\ f_{xx}(x,y)&=\frac{4}{\sqrt{1+4x^2+y^2}} -\frac{16x^2}{(1+4x^2+y^2)^{3/2}}, & f_{xx}(x_0,y_0)&=\frac{4}{3} -\frac{16}{27}\\ &&&=\frac{20}{27},\\ f_{xy}(x,y)&=-\frac{4xy}{(1+4x^2+y^2)^{3/2}}, & f_{xy}(x_0,y_0)&= -\frac{8}{27},\\ f_{yy}(x,y)&=\frac{1}{\sqrt{1+4x^2+y^2}} -\frac{y^2}{(1+4x^2+y^2)^{3/2}}, & f_{yy}(x_0,y_0)&=\frac{1}{3} -\frac{4}{27}\\ &&&=\frac{5}{27}\text{.} \end{align*}
Remplaçons maintenant dans (✶✶) afin d’obtenir l’approximation quadratique de \(f\) autour de \((x_0,y_0)\) :
\begin{align*} &f\big(x_0+\De x,\,y_0+\De y\big)\\ &\hskip0.5in \approx f(x_0, y_0) +f_x(x_0, y_0)\De x+f_y(x_0, y_0)\De y \cr &\hskip1.0in +\frac{1}{2}\bigg[f_{xx}(x_0, y_0)\De x^2 +2f_{xy}(x_0, y_0)\De x\De y +f_{yy}(x_0, y_0)\De y^2\bigg] \cr &\hskip0.5in= 3+\frac{4}{3} \De x+\frac{2}{3}\De y +\frac{10}{27}\De x^2 -\frac{8}{27}\De x\De y+\frac{5}{54}\De y^2\text{.} \end{align*}
En particulier, si l’on pose \(\De x=0.1\) et \(\De y=0.05\text{,}\)
\begin{align*} f(1.1,\,2.05)&\approx 3 \!+\!\frac{4}{3} (0.1)\!+\!\frac{2}{3}(0.05) \!+\!\frac{10}{27}(0.01) \!-\!\frac{8}{27}(0.005)\!+\!\frac{5}{54}(0.0025)\\ &=3.1691\text{.} \end{align*}
La valeur exacte, à \(10^{-4}\) près, est \(3.1690\text{.}\) Le taux d’erreur est d’autour de 0.004 %.
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Exemple 2.7.5.

Dans cet exemple, nous calculons l’approximation quadratique de \(f(x,y)=e^{2x}\sin(3y)\) autour de \((x_0,y_0)=(0,0)\) de deux façons différentes.
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La première utilise la formule (✶). Calculons toutes les dérivées partielles jusqu’au deuxième ordre au point \((x_0,y_0)\) :
\begin{align*} f(x,y)&= e^{2x}\sin(3y), & f(x_0,y_0)&=0,\\ f_x(x,y)&= 2e^{2x}\sin(3y), & f_x(x_0,y_0)&=0,\\ f_y(x,y)&= 3e^{2x}\cos(3y), & f_y(x_0,y_0)&=3,\\ f_{xx}(x,y)&=4e^{2x}\sin(3y), & f_{xx}(x_0,y_0)&=0,\\ f_{xy}(x,y)&=6e^{2x}\cos(3y), & f_{xy}(x_0,y_0)&= 6,\\ f_{yy}(x,y)&=-9e^{2x}\sin(3y), &\qquad f_{yy}(x_0,y_0)&=0\text{,} \end{align*}
de sorte que l’approximation quadratique de \(f\) autour de \((0,0)\) est
\begin{align*} f\big(x\,,\,y\big) & \approx f(x, y) +f_x(x, y) x+f_y(0, 0)y\\ &\hskip1in+\frac{1}{2}\bigg[f_{xx}(0, 0)x^2 +2f_{xy}(0, 0) x y +f_{yy}(0, 0) y^2\bigg]\\ &=3y+6xy\text{.} \end{align*}
C’est plutôt simple : il suffit de calculer un certain nombre de dérivées, de les évaluer et d’appliquer la formule (✶).
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Mais il existe une autre façon, souvent plus efficace du point de vue des calculs. Elle utilise les résultats connus pour le calcul à une variable :
\begin{align*} e^{x}&=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots \qquad \text{ et } \sin y &=y - \frac{1}{3!}y^3+\cdots\text{.} \end{align*}
Remplaçons \(x\) par \(2x\) dans la première égalité et \(y\) par \(3y\) dans la seconde. Après multiplication, et en ne gardant que les termes de degré au plus 2, nous obtenons
\begin{align*} f(x,y)&= e^{2x}\sin(3y)\cr &= \Big[1+(2x)+\frac{1}{2!}(2x)^2+\cdots\Big] \Big[(3y) - \frac{1}{3!}(3y)^3+\cdots\Big]\\ &= \Big[1+2x+2x^2+\cdots\Big] \Big[3y - \frac{9}{2}y^3+\cdots\Big]\\ &= 3y+6xy+6x^2y+\cdots - \frac{9}{2}y^3- 9xy^3- 9x^2y^3+\cdots\\ &=3y + 6xy + \cdots \end{align*}
exactement comme dans le premier calcul.
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Sous-section Une borne pour l’erreur dans l’approximation linéaire

Lorsque nous avons étudié la différentiabilité et comment utiliser l’approximation linéaire d’une fonction, nous avons vu comment calculer une valeur approchée de \(f(\vr_0 + \De \vr)\text{,}\) à savoir
\begin{gather} f(\vr_0 + \De \vr) \approx f(\vr_0) + \vD f(\vr_0) \De \vr. \tag{✶} \end{gather}
Dans la pratique, il importe d’avoir une idée de la grandeur de l’erreur commise.
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La formule de Taylor nous donne la réponse. On sait que, pour les fonctions à une variable, l’erreur est donnée par
\begin{equation*} \frac{1}{2}g''(c_t)(t-t_0)^2 \end{equation*}
pour un \(c_t\) entre \(t_0\) et \(t\text{.}\)
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Ceci s’adapte aux fonctions de plusieurs variables en suivant la même logique que précédemment. Cette fois, l’erreur sera donnée par
\begin{equation*} Hf(\vr_0 + c \vh)(\vh) \end{equation*}
pour une valeur de \(c\) entre \(0\) et \(1\text{.}\) Cette expression équivaut à
\begin{equation*} \frac{1}{2}\sum_{i,\,j\,=\,1}^n f_{x_i\, x_j}(\vr_0 + c \vh)\, h_i\, h_j\text{.} \end{equation*}
Ainsi, si l’on peut borner les dérivées du second ordre de \(f\) au voisinage de \(\vr_0\text{,}\) on pourra borner l’erreur commise en utilisant l’approximation linéaire plutôt que la fonction elle-même.
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Démonstration.

En effet, il existe un réel \(c\) entre \(0\) et \(1\) tel que l’erreur est
\begin{align*} |f(\vr) - L(\vr)| \amp = \left| f(\vr_0 + \vh) - L(\vr_0 + \vh)\right| = \left| \sum_{i,\,j\,=\,1}^n f_{x_i\, x_j}(\vr_0 + c\vh)h_i\, h_j\right| \\ \amp \leqslant \sum_{i,\,j\,=\,1}^n \left| f_{x_i\, x_j}(\vr_0 + c\vh)h_i\, h_j\right| \\ \amp \leqslant \sum_{i,\,j\,=\,1}^n M |h_i|\, |h_j| = M \left( \sum_{i,\,j\,=\,1}^n |h_i|\right)^2 \text{.} \end{align*}
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Voyons un exemple avec deux variables, c’est-à-dire \(\vr = (x,y)\text{.}\) Posons \(\vh = \De \vr = (\De x, \De x) = (h_x,h_y)\text{.}\)
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Exemple 2.7.7. Exemple 2.4.19, revu.

Supposons que l’on veut approcher \(\frac{(0.998)^3}{1.003}\) comme à l’Exemple 2.4.19 et que l’on veut une borne pour l’erreur d’approximation. C’est ce qu’on peut obtenir en appliquant ce qui précède. Soit
\begin{equation*} f(x,y)=\frac{x^3}{y} \end{equation*}
et
\begin{equation*} x_0=1,\qquad \De x=-0.002,\qquad y_0=1,\qquad \De y=0.003\text{.} \end{equation*}
La valeur exacte est \(f\big(x_0 + \De x,\,y_0+\De y\big)\) et la valeur approchée est \(f\big(x_0,\,y_0\big) + \pdiff{f}{x}\big(x_0,\,y_0\big)\,\De x + \pdiff{f}{y}\big(x_0,\,y_0\big)\,\De y\text{,}\) de sorte que l’erreur d’approximation est
\begin{gather*} \frac{1}{2}\left| \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(\pmb{\g}(c)\big)\,\De x^2 +2\frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y} \big(\pmb{\g}(c)\big) \,\De x\De y + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(\pmb{\g}(c)\big)\,\De y^2 \right|\text{,} \end{gather*}
où \(\pmb{\g}(c) = (x_0, y_0) +c (\De x, \De y) = \big(1-0.002 c\,,\,1+0.0003 c\big)\) pour un certain \(0\leqslant c\leqslant 1\text{.}\) Pour notre fonction \(f\text{,}\)
\begin{align*} f(x,y)&=\frac{x^3}{y}, & \pdiff{f}{x}(x,y)&=\frac{3 x^2}{y}, & \pdiff{f}{y}(x,y)&=-\frac{x^3}{y^2},\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)&=\frac{6 x}{y}, & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)&=-\frac{3 x^2}{y^2}, & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)&=\frac{2 x^3}{y^3}\text{.} \end{align*}
Nous ne savons pas ce que \(\pmb{\g}(c)=\big(1-0.002 c\,,\,1+0.0003 c\big)\) vaut, mais nous savons que \(0\leqslant c\leqslant 1\text{,}\) de sorte que la composante \(x\) de \(\pmb{\g}(c)\) est inférieure à \(1\) et que la composante \(y\) de \(\pmb{\g}(c)\) est plus grande que \(1\text{.}\) Ainsi,
\begin{align*} \left|\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(\pmb{\g}(c)\big)\right|&\leqslant 6, & \left|\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\big(\pmb{\g}(c)\big)\right|&\leqslant 3, & \left|\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(\pmb{\g}(c)\big)\right|&\leqslant 2. \end{align*}
Nous pouvons donc choisir \(M = 6\text{.}\) On a alors, en vertu de la Proposition 2.7.6, que l’erreur vérifie
\begin{align*} \text{erreur} &\leqslant \frac{1}{2} 6 \left(|\De x^2| + |\De y|\right)^2\\ & = 3\left(0.002 + 0.003\right)^2\\ &= 0.000075\text{.} \end{align*}
Remarquons que cette borne est large, dans le sens que nous pouvons utiliser les valeurs maximales pour chacune des dérivées secondes, à savoir \(6,3\) et \(2\text{,}\) plutôt que la même valeur \(6\text{.}\) En effet, cette approche donnerait plutôt
\begin{align*} \text{erreur} &\leqslant \frac{1}{2}\left[6\De x^2 +2\times 3 |\De x\,\De y| +2\De y^2\right]\\ &\leqslant 3(0.002)^2 + 3(0.002)(0.003) +(0.003)^2\\ &= 0.000039\text{.} \end{align*}
Pour des fins de comparaison, l’erreur est \(0.0000389\text{,}\) à \(10^{-7}\) près.
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Exercices Exercices

Pour se pratiquer.

1.
On considère la fonction \(P: (x,y) \mapsto x^3 + xy + y^3 \)
  1. Donnez le développement de Taylor de \(P\) d’ordre 2 autour du point \((-1,1)\)
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  2. Même question, au voisinage du point \((1,2)\text{.}\)
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  3. Utilisez le résultat de la partie précédente pour calculer une approximation de \((1,01)^3 + (1,01)(1,99) + (1,99)^3\)
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2.
On considère la fonction \(f : (x,y)\mapsto \sqrt{x^2 + y^2}\text{.}\) Montrer que le polynôme de Taylor d’ordre 2 de \(f\) au voisinage du point \((\sqrt{2}, \sqrt{2})\) est \(\frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{8}y^2 - \frac{1}{4}xy.\)
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3.
Considérons la fonction \(f : (x,y)\mapsto xe^y\)
  1. Trouvez le polynome de Taylor d’ordre \(2 \) de \(f\) autour du point \((1,0)\text{,}\) par la définition.
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  2. Même question, avec en utilisant le polynome de Taylor de la fonction exponentielle, tel que fait dans la deuxième solution de lExemple 2.7.5
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4.
Pour chacune des fonctions suivantes, calculez son polynome de Taylor d’ordre deux au voisinage du point \((x_0,y_0)\) spécifié.
  1. \(f(x,y) = \frac{1}{1+x^2 + y^2}\) autour de \((0,0 )\text{,}\)
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  2. \(f(x,y) = e^{-x^2 - y^2}\) autour de \((0,0 )\text{,}\)
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  3. \(f(x,y) = \sin(xy) + \cos (xy) \) autour de \((0,0 )\text{,}\)
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  4. \(f(x,y) = e^{(y-1)^2}\, \sin x\) autour de \((0,1)\text{,}\)
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  5. \(f(x,y) = \sin xy -3x^2 \ln y +1 \) autour de \((\pi/2,1 )\)
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