Fonctions de plusieurs variables

Section 2.1 Fonctions de plusieurs variables

Dans le parcours mathématique usuel, on étudie les fonctions d’une variable. Une telle fonction est une règle qui associe exactement une quantité (un nombre ou un vecteur par exemple) à une valeur donnée. On étudie les fonctions réelles d’une variable réelle et leurs applications à l’aide de graphiques, des limites, de leurs dérivées ou de leurs intégrales notamment. Nous verrons que la plupart des idées du calcul à une variable trouvent leur place avec plusieurs variables. Bien entendu, certains ajustements seront nécessaires.

Définition 2.1.1.

Une fonction de plusieurs variables à valeurs réelles, disons \(f\text{,}\) est la donnée d’une région \(\plan{D} \subseteq \R^n\) et d’une règle qui, à chaque point \(\vr \in \plan{D}\text{,}\) fait correspondre un nombre réel \(f(\vr)\text{.}\) Le domaine de \(f\) est l’ensemble \(\plan{D}\text{,}\) tandis que son image est l’ensemble des valeurs prises par \(f\text{,}\) c’est-à-dire \(\{ f(\vr)| \vr\in \plan{D}\}\text{;}\) il s’agit d’un sous-ensemble de \(\R\text{.}\) On écrit dans ce cas

\begin{align*} f : \amp \plan{D}\ \longrightarrow \R\\ \amp \vr \longmapsto f(\vr) \end{align*}

et on lit “\(f\) va de \(\plan{D}\) dans \(\R\) et applique (ou envoie) \(\vr\) sur \(f(\vr)\)”.

Dans le cas \(n=2\text{,}\) on aura que \(\plan{D}\) est une région du plan \(\R^2\) et l’on écrira \(f(x,y)\) au lieu de \(f(\vr)\text{,}\) ou \(f(x_1, x_2)\) au lieu de \(f(\vx)\text{.}\)
Dans le cas \(n=3\text{,}\) on aura que \(\plan{D}\) est une région de l’espace \(\R^3\) et l’on écrira \(f(x,y,z)\) au lieu de \(f(\vr)\text{,}\) ou \(f(x_1, x_2,x_3)\) au lieu de \(f(\vx)\text{.}\)

Si seule la règle est donnée sans préciser le domaine, on conviendra que le domaine est le plus grand ensemble de points \(\vr\) tel que l’expression donnée est un nombre réel.

Exemple 2.1.2.

Soit \(f : (x,y) \mapsto \sqrt{x} + \sqrt{y} + \ln(4-x^2 -4y^2)\text{.}\)

Trouver le domaine de \(f\) et le représenter graphiquement.
Calculer \(f(1/4,1/4)\text{.}\)

Solution.

La présence des termes \(\sqrt{x}\) et \(\sqrt{y}\) impose d’avoir \(x\geqslant 0\) et \(y\geqslant 0\text{,}\) de sorte que le domaine se trouve dans le premier quadrant. Par ailleurs, il faut aussi avoir \(4-x^2 - 4y^2 \gt 0\text{.}\) L’équation \(x^2 + 4y^2 = 4\) définit une ellipse, la région qui nous intéresse est donc la partie du premier quadrant contenant l’origine, limitée par l’ellipse \((x/2)^2 + y^2 = 1\text{.}\) Les segments de droite correspondant aux axes font partie du domaine, mais pas la portion de l’ellipse.
Un calcul direct nous donne

\begin{align*} f(1/4,1/4) \amp= \sqrt{1/4} + \sqrt{1/4} + \ln (4-1/16 - 4/16) \\ \amp = 1 + \ln (59 /16). \end{align*}

described in detail following the image — Figure 2.1.3. Le domaine de la fonction \(f(x,y)= \sqrt{x} + \sqrt{y} + \ln(4-x^2 -4y^2)\)

Sous-section Graphes et ensembles de niveau

Lorsqu’on étudie une fonction d’une variable, on la représente à l’aide de sa courbe associée, ou son graphe. Si \(f : [a,b] \to \R\) est donnée, la courbe est l’ensemble \(\{(x,y)\in \R^2 |y= f(x), x\in [a,b] \}\text{.}\) Cette définition se généralise aux fonctions de plusieurs variables.

Définition 2.1.4.

Soit \(\plan{D}\subseteq \R^2\) et \(f:\plan{D} \to \R\) une fonction donnée. Le graphe de \(f\) est l’ensemble

\begin{equation*} \{(x,y,z)\in \R^3| z = f(x,y), (x,y)\in \plan{D}\}. \end{equation*}

Notons qu’il s’agit d’une surface dans \(\R^3\text{.}\)

Remarquons qu’il est habituel d’identifier le domaine \(\cD\text{,}\) qui est une partie de \(\R^2\text{,}\) à un sous-ensemble de \(\R^3\text{,}\) à savoir

\begin{equation*} \{(x,y,0)\in \R^3| (x,y)\in \plan{D}\}. \end{equation*}

De façon plus générale, on peut définir le graphe d’une fonction \(f\) définie sur une partie \(\plan{D}\) de \(\R^n\) comme l’ensemble des points \((\vx, f(\vx))\) de \(\R^n \times \R\) qu’on identifie naturellement à \(\R^{n+1}\text{.}\)

Exemple 2.1.5.

Supposons que nous lançons un projectile du niveau du sol (avec un bâton de golf, un canon...). Supposons que notre projectile ne tourne pas et qu’il est soumis seulement à la force gravitationnelle \(g\text{.}\) Dans ces conditions, la distance horizontale que le projectile voyagera, disons \(z\text{,}\) dépend de la vitesse initiale, disons \(x\) (en mètres par seconde), et de l’angle de tir, disons \(y\) (en radians). On aura alors \(z = f(x,y) = \frac{1}{g} x^2 \sin 2y\text{.}\)

Lorsqu’on étudie une fonction à plusieurs variables, on s’intéresse au rôle isolé de chacune des variables. Si, par exemple, on s’intéresse à \(f(x,y)\) et que l’on fixe la valeur de la variable \(x\) à \(x=x_0\text{,}\) on obtient une fonction de la seconde variable : \(g(y) = f(x_0, y)\text{.}\) De la même façon, nous avons une fonction \(h(x)= f(x,y_0)\) lorsque \(y_0\) est fixée. La courbe de la fonction \(z=h(x)\text{,}\) tracée sur le plan vertical (parallèle à l’axe des \(x\)) d’équation \(y=y_0\text{,}\) fait partie de la surface \(\plan{S}\) d’équation \(z=f(x,y)\text{.}\) Cette courbe est en fait l’intersection du plan \(y=y_0\) avec la surface \(\plan{S}\text{.}\) Avant d’illustrer ces concepts à l’exemple 2.1.7 , donnons une définition plus précise.

Définition 2.1.6.

Soit \(f(x,y)\) une fonction de deux variables définie sur une région \(\plan{D}\) et \((x_0,y_0)\in \plan{D}\text{.}\) Alors,

la trace de \(f\) dans la direction des \(x\text{,}\) à la valeur \(y=y_0\text{,}\) est la courbe d’équation \(z=f(x,y_0)\) dans le plan \(y=y_0\text{;}\)
la trace de \(f\) dans la direction des \(y\text{,}\) à la valeur \(x=x_0\text{,}\) est la courbe d’équation \(z=f(x_0,y)\) dans le plan \(x=x_0\text{.}\)

Exemple 2.1.7.

Considérons la fonction \(f(x,y) = x^2 \sin 2y\text{.}\) Nous avons alors quelques traces :

Dans la direction des \(x\text{,}\) elles sont données par les courbes d’équation
- \(z=f(x,0) = 0\) à la valeur \(y=0\text{;}\)
- \(z=f(x,\pi/6) = x^2 \sin \pi/3 = x^2 \sqrt{3}/2\) à la valeur \(y=\pi/6\text{;}\)
- \(z=f(x,3\pi/4) = x^2 \sin 2\pi/2 = -x^2 \) à la valeur \(y=3\pi /4\text{.}\)
On voit tout de suite qu’il s’agit de paraboles, à l’exception des traces à \(y=0, y=\pi/2, y=\pi\text{.}\) Dans ces cas, on a des droites horizontales.
Dans la direction des \(y\text{,}\) les traces sont données par les courbes d’équation
- \(z=f(0,y) = 0\) à la valeur \(x=0\text{;}\)
- \(z=f(5,y) = 25 \sin 2y \) à la valeur \(x=5\text{;}\)
- \(z=f(10,y) = 100\sin 2y \) à la valeur \(x=10\text{.}\)
Dans ce cas, il s’agit de courbes sinusoïdales.

Figure 2.1.8. La surface d’équation \(z=x^2\sin 2y \) ainsi que quelques traces

La méthode des traces permet de visualiser et d’esquisser une surface d’équation \(z=f(x,y)\text{.}\) En effet, on conçoit la surface comme un amoncellement de courbes (les traces). Ceci a été fait en considérant les coupes de la surface par des plans d’équation \(x=x_0\) ou \(y=y_0\text{.}\)

On voit maintenant une autre méthode, apparentée à ce qui est souvent fait en cartographie, où l’on considère les lignes de niveau constant du terrain, ou en météorologie, où l’on considère les courbes isothermes. Ceci correspond à faire les coupes selon des plans horizontaux d’équation \(z=z_0\) et à faire la projection sur le plan \(z=0\text{.}\)

Figure 2.1.9. Une surface \(z=f(x,y)\) ainsi que quelques courbes de niveau et quelques traces horizontales

Définition 2.1.10.

Soit \(f\) une fonction de deux variables définie sur une région \(\plan{D}\text{.}\) Pour un réel \(k\) donné, la courbe de niveau \(k\) de \(f\) est l’ensemble

\begin{equation*} f^{-1}(k) = \{(x,y)\in \plan{D}|\,f(x,y) = k\}\text{.} \end{equation*}

On doit noter que la trace au niveau \(k\) est l’intersection de la surface \(z=f(x,y)\) avec le plan \(z=k\text{.}\) La courbe de niveau \(k\text{,}\) pour sa part, est la projection de la trace sur le plan \(z=0\text{.}\)

La figure ci-après montre le diagramme des courbes de niveau de la fonction considérée à la Figure 2.1.9.

Figure 2.1.11. Un diagramme de courbes de niveau

Exemple 2.1.12.

Étudier les courbes de niveau des fonctions \(f_1(x,y) = x^2 + y^2\) et \(f_2(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}\text{.}\)

Pour \(f_1\text{,}\) on doit étudier les courbes d’équation \(x^2 + y^2 = k\text{.}\) On voit tout de suite que l’ensemble solution de cette équation est vide pour \(k\lt 0\text{,}\) réduit à l’origine si \(k=0\) et représente le cercle de rayon \(\sqrt{k}\) centré à l’origine si \(k\gt 0 \text{.}\) Par ailleurs, les traces dans la direction des \(x\) ou des \(y\) sont des paraboles des formes \(z=x^2 + y_0^2\) ou \(z= x_0^2 + y^2\text{.}\) La surface d’équation \(z=f_1(x,y)\) est un paraboloïde.
Pour \(f_2\text{,}\) on étudie les courbes d’équation \(\sqrt{ x^2 + y^2}= k\text{.}\) À nouveau, aucune solution pour \(k\lt 0\text{,}\) l’origine lorsque \(k=0\) et un cercle centré à l’origine pour \(k\gt 0 \text{,}\) mais de rayon \(k\) cette fois. Les traces dans la direction des \(x\) et des \(y\) sont données par \(z= \sqrt{x^2} = |x|\) et \(z=|y|\text{.}\) La surface obtenue cette fois est la moitié supérieure d’un cône.

Figure 2.1.13. Le graphe et les courbes de niveau de \(z=\sqrt{x^2 + y^2}\)

Figure 2.1.14. Le graphe et les courbes de niveau de \(z=x^2 + y^2\)

Sous-section Fonctions de trois variables

Les notions vues pour les fonctions de 2 variables s’appliquent mutatis mutandis aux fonctions de 3 variables.

La représentation d’une fonction de 3 variables par son graphe n’est pas pratique. En effet, si \(f(x,y,z)\) est donnée, son graphe défini par \(w = f(x,y,z)\) est un sous-ensemble de \(\R^4\text{.}\)

Cependant, la notion d’ensemble de niveau a une interprétation très concrète. Pour les fonctions à deux variables, les ensembles de niveau sont les solutions d’équation de la forme \(f(x,y)=k\text{,}\) ce sont donc des courbes. Notons qu’il n’est pas toujours possible d’isoler une des variables en fonction de l’autre, c’est-à-dire de donner une équation de la forme \(y = \phi(x)\) pour une telle courbe. Pour une fonction à trois variables, on s’intéresse aux solutions d’équation de la forme \(f(x,y,z)= k\text{.}\)

Définition 2.1.15.

Soit \(f\) une fonction de trois variables définie sur une région \(\plan{D}\subseteq \R^3\text{.}\) Pour un réel \(k\) donné, l’ensemble de niveau \(k\) de \(f\) est l’ensemble

\begin{equation*} f^{-1}(k) = \{(x,y,z)\in \plan{D}|\,f(x,y,z) = k\}\text{.} \end{equation*}

L’ensemble de niveau \(k\) est donc une surface de l’espace \(\R^3\text{.}\)

Remarquons que si une surface \(\plan{S}\) est donnée explicitement par une équation de la forme \(z= f(x,y)\text{,}\) alors on peut poser \(F(x,y,z) = z- f(x,y)\text{,}\) et la même surface \(\plan{S}\) peut être considérée comme la surface de niveau \(0\) pour la fonction \(F\text{.}\) Les ensembles de niveau de la fonction \(f\) sont, quant à eux, des courbes d’équation \(f(x,y) =k\text{.}\)

Exemple 2.1.16.

Déterminer les surfaces de niveau de la fonction \(f(x,y,z) = x^2+ y^2 -z^2\text{.}\)

On s’intéresse aux solutions de

\begin{align} \amp x^2 + y^2 -z^2 = k \tag{✶} \end{align}

pour différentes valeurs de \(k\text{.}\)

Si \(k=0\text{,}\) alors l’équation (✶) devient \(x^2+ y^2 = z^2\text{.}\) La surface correspondante est le cône circulaire dont l’axe est l’axe \(Oz\text{.}\)
Supposons \(k\lt 0\text{,}\) disons \(k=-c^2\) pour un certain \(c \gt 0\text{.}\) L’équation (✶) devient \(x^2 - y^2 -z^2 = -c^2\text{.}\) Les sections de la surface correspondante par les plans \(x=0\) ou \(y=0\) sont les hyperboles \(z^2 - z^2 = -c^2\) et \(y^2 - z^2 = -c^2\) des plans \(x=0\) ou \(y=0\text{.}\) Ces hyperboles coupent l’axe \(Oz\text{.}\) Les sections par le plan \(z= z_0\) sont vides lorsque \(z_0^2 \lt c^2\) et sont des cercles de rayon \(\sqrt{z_0^2 - c^2 }\) sinon. Les surfaces de niveau sont donc des hyperboloïdes à deux nappes.
Supposons maintenant \(k\gt 0 \text{,}\) disons \(k=c^2\) pour un certain \(c\gt 0\text{.}\) L’équation (✶) devient \(x^2+ y^2 -z^2 = c^2\text{.}\) Les sections par les plans \(x=0\) ou \(y=0\) sont encore des hyperboles dans les plans \(Oxz\) et \(Oyz\text{,}\) mais, cette fois, leurs équations sont \(x^2- z^2 = c^2\) ou \(y^2 - z^2 = c^2\) respectivement. Elles ne coupent pas l’axe \(Oz\text{,}\) mais les axes \(Ox\) ou \(Oy\text{.}\) Les sections par le plan \(z=z_0\) sont des cercles, et ce, peu importe la valeur de \(z_0\text{.}\) Dans ce cas, les surfaces de niveau sont des hyperboloïdes à une nappe.

Quelques surfaces de niveau de la fonction \(f(x,y,z)= x^2 + y^2- z^2\)

Figure 2.1.17. Quelques surfaces de niveau de la fonction \(f(x,y,z)= x^2 + y^2- z^2\)

Exercices Exercices

Pour se pratiquer.

1.

Dans chacun des points (a) et (b) ci-dessous, on vous fournit un croquis des parties du premier quadrant de quelques courbes de niveau d’une certaine fonction \(f(x,y)\text{.}\) Esquissez le premier octant du graphe correspondant \(z=f(x,y)\text{.}\)

(a)

(b)

Réponse.

(a)

(b)

2.

Esquissez quelques courbes de niveau de la fonction \(f(x,y)\) dont le graphe \(z=f(x,y)\) est esquissé ci-dessous.

Réponse.

3.

Esquissez quelques courbes de niveau de

\(\displaystyle f(x,y)=x^2+2y^2\)
\(\displaystyle f(x,y)=xy\)
\(\displaystyle f(x,y)=xe^{-y}\)

Réponse.

(a)

(b)

(c)

4.

Esquissez les courbes de niveau de \(f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}\text{.}\)

Réponse.

Pouir mieux comprendre.

5.

Dessinez un diagramme de courbes de niveau de \(f(x, y) = e^{-x^2 +4y^2}\text{,}\) montrant tous les types de courbes de niveau qui se produisent.

Réponse.

6.

Une surface est donnée implicitement par

\begin{equation*} x^2 + y^2 - z^2 + 2z = 0 \end{equation*}

Esquissez plusieurs courbes de niveau \(z = \)constante.
Dessinez un esquisse sommaire de la surface.

Réponse.

(a)

(b)

7.

Esquissez l’hyperboloïde \(z^2=4x^2+y^2-1\text{.}\)

Réponse.

8.

Décrivez les surfaces de niveau de

\(\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)
\(\displaystyle f(x,y,z)=x+2y+3z\)
\(\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2\)

Réponse.

(a) Si \(c \gt 0\text{,}\) alors \(f(x,y,z)=c\) est la sphère de rayon \(\sqrt{c}\) centrée à l’origine. Si \(c=0\text{,}\) alors \(f(x,y,z)=c\) est juste l’origine. Si \(c \lt 0\text{,}\) aucun \((x,y,z)\) satisfait \(f(x,y,z)=c\text{.}\)

(b) \(f(x,y,z)=c\) est le plan normal à \((1,2,3)\) contenant le point \((c,0,0)\text{.}\)

(c) Si \(c \gt 0\text{,}\) alors \(f(x,y,z)=c\) est le cylindre parallèle à l’axe \(z\) dont la coupe transversale est un cercle de rayon \(\sqrt{c}\) qui est parallèle au plan \(xy\) et est centré en l’axe \(z\text{.}\) Si \(c=0\text{,}\) alors \(f(x,y,z)=c\) est l’axe \(z\text{.}\) Si \(c \lt 0\text{,}\) aucun \((x,y,z)\) satisfait \(f(x,y,z)=c\text{.}\)

9.

Esquissez les graphes de

\(\displaystyle f(x,y)=\sin x\qquad 0\leqslant x\leqslant 2\pi,\ 0\leqslant y\leqslant 1\)
\(\displaystyle f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\displaystyle f(x,y)=|x|+|y|\)

Réponse.

(a)

(b)

(c)

10.

Esquissez et décrivez les surfaces suivantes.

\(\displaystyle 4x^2+y^2=16\)
\(\displaystyle x+y+2z=4\)
\(\displaystyle \frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{4}=1+\frac{x^2}{16}\)
\(\displaystyle y^2=x^2+z^2\)
\(\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{12}+\frac{z^2}{9}=1\)
\(x^2+y^2+z^2+4x-by+9z-b=0\text{,}\) où \(b\) est une constante.
\(\displaystyle \frac{x}{4}=\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}\)
\(\displaystyle z=x^2\)

Réponse.

(a) Il s’agit d’un cylindre elliptique parallèle à l’axe \(z\text{.}\) Voici un croquis de la partie de la surface située au-dessus du plan \(xy\text{.}\)

(b) Il s’agit d’un plan contenant les points \((4,0,0)\text{,}\) \((0,4,0)\) et \((0,0,2)\text{.}\) Voici un croquis de la partie du plan située dans le premier octant.

(d) Il s’agit d’un cône circulaire centré en l’axe \(y\text{.}\)

(e) Il s’agit d’un ellipsoïde centré en l’origine avec les demi-axes \(3\text{,}\) \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) et \(3\) le long des axes \(x\text{,}\) \(y\) et \(z\text{,}\) respectivement.

(f) Il s’agit de la sphère de rayon \(r_b=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+4b+97}\) centrée en \(\frac{1}{2}(-4,b,-9)\text{.}\)

(g) Il s’agit d’un paraboloïde elliptique avec l’axe \(x\text{.}\)

(h) Il s’agit d’un cylindre parabolique s’ouvrant vers le haut.

Pour aller plus loin.

11.

La surface inférieure présente des courbes de niveau circulaires, centrées le long de l’axe \(z\text{.}\) Les lignes données sont l’intersection de la surface avec la moitié droite du plan \(yz\text{.}\) Donnez une équation de la surface.

Réponse.

\(\displaystyle x^2+y^2=\left( \frac{|z|}{3}+1\right)^2\)

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