Section1.1Points et coordonnées en deux et trois dimensions
Chaque point du plan peut être étiqueté par deux coordonnées 1
C’est pourquoi le plan \(xy\) est dit être de “dimension deux”, le nom de chaque point étant une paire de nombres réels.
\((x,y)\) qui spécifient la position du point en termes d’unités choisies par rapport à des axes et à une origine donnés.
L’ensemble des points du plan est noté \(\R^2\) (sans surprise, le \(2\) dans \(\R^2\) signifie que chaque point est étiqueté par deux nombres; le \(\R\) dans \(\R^2\) veut dire que ce sont deux nombres réels). Remarquons que :
la distance du point \((x,y)\) à l’axe des abscisses est \(|y|\text{;}\)
si \(y\gt 0\text{,}\) alors \((x,y)\) se trouve au-dessus de l’axe des abscisses, et si \(y\lt 0\text{,}\) alors \((x,y)\) se trouve au-dessous de cet axe;
la distance du point \((x,y)\) à l’axe des \(y\) est \(|x|\text{;}\)
si \(x\gt 0\text{,}\) alors \((x,y)\) se trouve à la droite de l’axe des \(y\text{,}\) et si \(x\lt 0\text{,}\) alors \((x,y)\) se trouve à la gauche de l’axe;
la distance du point \((x,y)\) à l’origine \((0,0)\) est \(\sqrt{x^2+y^2}\text{.}\)
De la même façon, un point dans l’espace tridimensionnel peut être étiqueté par trois coordonnées \((x,y,z)\text{,}\) tel qu’illustré dans les figures ci-après.
L’ensemble formé par les points dans l’espace tridimensionnel est \(\R^3\text{.}\) Le plan qui contient, entre autres, les axes des abscisses et des coordonnées est appelé le plan \(xy\text{.}\)
Le plan \(Oxy\) est l’ensemble des points \((x,y,z)\) tels que \(z=0\text{.}\)
Le plan \(Oxz\) est l’ensemble des points \((x,y,z)\) tels que \(y=0\text{.}\)
Le plan \(Oyz\) est l’ensemble des points \((x,y,z)\) tels que \(x=0\text{.}\)
Plus généralement :
L’ensemble des points \((x,y,z)\) vérifiant \(z=c\) est un plan parallèle au plan \(Oxy\) et se trouve à une distance \(|c|\) de celui-ci. Si \(c \gt 0\text{,}\) le plan \(z=c\) est au-dessus du plan \(Oxy\text{.}\) Si \(c \lt 0\text{,}\) le plan \(z=c\) est au-dessous du plan \(Oxy\text{.}\) On dit que le plan \(z=c\) est à une distance signée\(c\) 2
C’est-à-dire une distance affectée en plus d’un signe indiquant une direction.
du plan \(Oxy\text{.}\)
L’ensemble des points \((x,y,z)\) vérifiant \(y=b\) est un plan parallèle au plan \(Oxz\) et se trouve à une distance signée\(b\) de celui-là.
L’ensemble des points \((x,y,z)\) vérifiant \(x=a\) est un plan parallèle au plan \(Oyz\) et se trouve à une distance signée\(a\) de celui-là.
Remarquons que les distances en dimension 3 se calculent comme en dimension 2.
La distance du point \((x,y,z)\) au plan \(Oxy\) est \(|z|\text{;}\)
La distance du point \((x,y,z)\) au plan \(Oxz\) est \(|y|\text{;}\)
La distance du point \((x,y,z)\) au plan \(Oyz\) est \(|x|\text{;}\)
La distance du point \((x,y,z)\) à l’origine \((0,0,0)\) est \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\text{.}\)
Afin de voir que la distance du point \((x,y,z)\) à l’origine \((0,0,0)\) est en fait \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\text{,}\)
on applique le théorème de Pythagore au triangle rectangle de sommets \((0,0,0)\text{,}\)\((x,0,0)\) et \((x,y,0)\text{,}\) de sorte que la distance de \((0,0,0)\) à \((x,y,0)\) est \(\sqrt{x^2+y^2}\text{,}\) puis
on applique le théorème de Pythagore au triangle rectangle de sommets \((0,0,0)\text{,}\)\((x,y,0)\) et \((x,y,z)\text{,}\) ce qui donne que la distance de \((0,0,0)\) à \((x,y,z)\) est \(\sqrt{{\big(\sqrt{x^2+y^2}\big)}^2+z^2}
=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\text{.}\)
Plus généralement, la distance du point \((x,y,z)\) au point \((x',y',z')\) est
Remarquons que ceci fournit l’équation d’une sphère sans effort additionnel. En effet, les points d’une sphère sont les points équidistants du centre de la sphère. Ainsi, par exemple, l’équation de la sphère centrée à \((1,2,3)\) et de rayon \(4\text{,}\) c’est-à-dire l’ensemble de tous les points \((x,y,z)\) dont la distance à \((1,2,3)\) est \(4\text{,}\) est
Décrire l’ensemble des points \((x,y,z)\) dans \(\R^3\) qui satisfont
\(\displaystyle x^2 +y^2+z^2= 2x-4y+4\)
\(\displaystyle x^2 +y^2+z^2 \lt 2x-4y+4\)
Réponse.
La sphère de rayon 3 de centre \((1,-2,0)\text{.}\)
L’intérieur de la sphère de rayon 3 de centre \((1,-2,0)\text{.}\)
2.
Décrire et esquisser l’ensemble des points \((x,y)\) dans \(\R^2\) qui satisfont
\(\displaystyle x=y\)
\(\displaystyle x+y=1\)
\(\displaystyle x^2+y^2=4\)
\(\displaystyle x^2+y^2=2y\)
\(\displaystyle x^2+y^2 \lt 2y\)
Réponse.
\(x=y\) est une ligne droite passant par l’origine formant un angle de \(45^\circ\) avec l’axe des \(x\) et l’axe des \(y\text{.}\) Illustré dans la figure ci-dessous à gauche.
\(x+y=1\) est une ligne droite passant par les points \((1,0)\) et \((0,1)\text{.}\) Illustré dans la figure ci-dessus à droite.
\(x^2+y^2=4\) est le cercle de centre \((0,0)\) et de rayon 2. Illustré dans la figure ci-dessous à gauche.
\(x^2+y^2=2y\) est le cercle de centre \((0,1)\) et de rayon 1. Illustré dans la figure ci-dessus à droite.
\(x^2+y^2 \lt 2y\) est l’ensemble des points qui sont strictement à l’intérieur du cercle de centre \((0,1)\) et de rayon 1. Illustré par la région ombragée (cercle pointillé non-inclu) de l’image ci-dessous.
3.
Décrire l’ensemble des points \((x,y,z)\) dans \(\R^3\) qui satisfont les conditions suivantes. Esquisser la partie de l’ensemble qui se trouve dans le premier octant.
\(\displaystyle z = x\)
\(\displaystyle x + y + z = 1\)
\(\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 = 4\)
\(x^2 + y^2 + z^2 = 4\text{,}\)\(z = 1\)
\(\displaystyle x^2+y^2=4\)
\(\displaystyle z = x^2 + y^2\)
Réponse.
L’ensemble \(z=x\) est le plan qui contient l’axe des \(y\) et qui forme un angle de \(45^\circ\) avec le plan \(xy\text{.}\) Voici une figure de la partie du plan qui est dans le premier octant:
\(x+y+z=1\) est le plan passant par les points \((1,0,0)\text{,}\)\((0,1,0)\) et \((0,0,1)\text{.}\) Voici une figure de la partie du plan qui est dans le premier octant:
\(x^2+y^2+z^2=4\) est la sphère de centre \((0,0,0)\) et de rayon 2. Voici une figure de la partie du plan qui est dans le premier octant:
\(x^2+y^2+z^2=4\text{,}\)\(z=1\) est le cercle dans le plan \(z=1\) de centre \((0,0,1)\) et de rayon \(\sqrt{3}\text{.}\) La partie du cercle dans le premier octant est le quart de cercle lourd dans la figure:
\(x^2+y^2=4\) est le cylindre de rayon \(2\) ayant pour centre l’axe des \(z\text{.}\) Voici une figure de la partie du cylindre qui est dans le premier octant:
\(z=x^2+y^2\) est un paraboloïde consistant en une pile verticale de cercles horizontaux. L’intersection de la surface avec le plan \(yz\) est la parabole \(z=y^2\text{.}\) Voici une figure de la partie du paraboloïde qui est dans le premier octant:
Pour mieux comprendre.
4.
Soit \(A\) le point \((2,1,3)\text{.}\)
Trouver la distance entre \(A\) et le plan \(xy\text{.}\)
Trouver la distance entre \(A\) et le plan \(xz\text{.}\)
Trouver la distance entre \(A\) et le plan \((x,0,0)\) sur l’axe des \(x\text{.}\)
Trouver le point de l’axe des \(x\) qui est le plus près de \(A\text{.}\)
Quelle est la distance entre \(A\) et l’axe des \(x\text{?}\)
Réponse.
\(\displaystyle 3\)
\(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle \sqrt{(x-2)^2 + 10}\)
\(\displaystyle (2,0,0)\)
\(\displaystyle \sqrt{10}\)
5.
Considérer un triangle arbitraire. Choisir un système de coordonnées de telle sorte qu’un des sommets soit à l’origine et qu’un second sommet soit sur l’axe des \(x\) positif. Appeler les coordonnées du deuxième sommet \((a,0)\) et celles du troisème sommet \((b,c)\text{.}\) Trouver le cercle circonscrit (le cercle passant par les trois sommets).
Réponse.
Le cercle circonscrit est de centre \((\bar x,\bar y)\) et de rayon \(r\) avec \(\bar x=\frac{a}{2}\text{,}\)\(\bar y=\frac{b^2+c^2-ab}{2c}\) et \(r=\sqrt{\big(\frac{a}{2}\big)^2+\big(\frac{b^2+c^2-ab}{2c}\big)^2}\text{.}\)
Pour aller plus loin.
6.
Une certaine surface consiste en tous les points \(P=(x,y,z)\) tels que la distance entre \(P\) et le point \((0,0,1)\) est égale à la distance entre \(P\) et le plan \(z+1=0\text{.}\) Trouver une équation pour la surface, esquisser et décrire verbalement.
Réponse.
\(x^2+y^2=4z\) La surface est un paraboloïde consistant en une pile de cercles horizontaux, en commençant par le point à l’origine et dont le rayon augmente verticalement. Le cercle dans le plan \(z=z_0\) a un rayon \(2\sqrt{z_0}\text{.}\)
7.
Montrer que l’ensemble des points \(P\) qui sont deux fois plus loin de \((3,-2,3)\) que de \((3/2,1,0)\) est une sphère. Trouver son centre et son rayon.
Réponse.
La sphère a un rayon égal à 3 a pour centre \((1,2,-1)\text{.}\)
8.
La pression \(p(x,y)\) au point \((x,y)\) est au moins de zéro et est déterminée par l’équation \(x^2-2px+y^2=3p^2\text{.}\) Esquisser des isobares. Une isobare est une courbe avec équation \(p(x,y)=c\) pour une constante \(c\geqslant 0\text{.}\)
