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Calcul multivariable: Une approche libre

Juan Carlos Bustamante

Section 1.4 Produit vectoriel

Dans cette section, nous étudierons une seconde “multiplication”, définie pour des vecteurs dans \(\R^3\) (contrairement au produit scalaire qui est défini sans égard à la dimension des vecteurs). Le produit vectoriel est souvent défini au moyen de ses applications en physique, mais il a aussi une très claire interprétation géométrique. L’approche qu’on retient relève plutôt de l’algèbre linéaire : on tire profit des propriétés des déterminants.
Étant donné deux vecteurs fixes \(\va,\vb\in \R^3\text{,}\) on peut définir une application \(\phi :\R^3 \to \R\) par la formule
\begin{equation*} \phi(\vx) = \text{det} (\vx,\va,\vb). \end{equation*}
En vertu des propriétés des déterminants, il s’agit d’une fonction linéaire, c’est-à-dire que, pour \(\vx,\vy \in \R^n\) et \(k\in \R\text{,}\) on a
\begin{align*} \phi(\vx + \vy) = \phi(\vx) +\phi(\vy) \amp \amp \text{ et }\amp \amp \phi(k\vx) =k \phi(\vx). \end{align*}
Ainsi, il existe un unique vecteur \(\vn\text{,}\) tel que
\begin{equation*} \vx \cdot \vn= \phi(\vx). \end{equation*}
Ceci nous permet de définir le produit vectoriel.

Définition 1.4.1.

Étant donné deux vecteurs \(\va,\vb\in \R^3\text{,}\) leur produit vectoriel, noté \(\va\times \vb\)
 1 
Il est aussi souvent noté \(\va \wedge \vb\text{,}\) surtout dans les textes européens.
, est l’unique vecteur vérifiant
\begin{equation*} \vx \cdot (\va \times \vb) = \text{det} (\vx, \va,\vb). \end{equation*}
L’expression \(\va \times \vb\) se lit en français “\(\va\) croix \(\vb\)” ou encore “\(\va\) produit vectoriel \(\vb\)”.

Démonstration.

  1. Cela suit de ce que pour tout \(\vx\in \R^3\text{,}\) on a \(\text{det} (\vx,\va, \vb) = - \det (\vx,\vb, \va)\text{.}\)
  2. En effet, en vertu de la définition, on a
    \begin{equation*} \va \cdot (\va \times \vb) = \text{det}\, (\va, \va, \vb) = 0, \end{equation*}
    ce qui montre le premier énoncé; le second se démontre de la même façon.
  3. De nouveau, ce sont les propriétés des déterminants qui donnent la preuve. Soit \(\vx\in \R^3\text{,}\) on a
    \begin{align*} \vx \cdot (\va \times (\b \vb + \g \vc)) \amp = \text{det}\, (\vx, \va, \b\,\vb + \g\,\vc)\\ \amp = \text{det}\, (\vx, \va, \b\,\vb) + \text{det}\, (\vx, \va, \g\,\vc) \\ \amp = \b\,\text{det}\, (\vx, \va, \vb) + \g\, \text{det}\, (\vx, \va, \vc) \\ \amp = \b \vx \cdot (\va \times \vb) + \g \vx\cdot (\va \times \vc) \\ \amp = \vx \cdot \left( \b\, (\va \times \vb) + \g(\va\times \vc) \right). \end{align*}
    Comme ceci est vrai pour tout \(\vx\in\R^3\text{,}\) on obtient la conclusion voulue
     2 
    En effet, s’il est vrai que la loi de simplification pour le produit scalaire n’est pas valide, il est vrai que si \(\vx \cdot \vv = \vx \cdot \vu\) pour tout \(\vx \in \R^n\text{,}\) alors \(\vv = \vu\text{.}\)
    .
  4. Écrivons \(\va \times \vb = x\vi + y \vj + z \vk\text{.}\) Nous avons alors
    \begin{equation*} x = \vi \cdot (\va \times \vb) = \begin{vmatrix} 1\amp a_1 \amp b_1 \\ 0 \amp a_2 \amp b_3\\ 0 \amp a_2 \amp b_3\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_2 \amp a_3 \\b_2 \amp b_3\end{vmatrix}. \end{equation*}
    Nous montrons de la même façon les autres égalités.
  5. Nous avons
    \begin{align*} |\va\times \vb|^2 \amp = \begin{vmatrix}a_2 \amp a_3\\ b_2 \amp b_3 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix}a_1 \amp a_3\\ b_1 \amp b_3 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix}a_1 \amp a_2\\ b_1 \amp b_2 \end{vmatrix}^2\\ \amp = \left(a_2 b_3 - a_3 b_2\right)^2 + \left( a_1 b_3 - b_1 a_3 \right)^2 + \left(a_1 b_2 - b_1 a_2\right)^2. \end{align*}
    Après développement, nous pouvons arranger les termes de façon équivalente pour obtenir
    \begin{equation*} \left(a_1 ^2 + a_2^2+a_3^2\right)\left(b_1^2+ b_2^2+b_3^2\right)- \left(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\right)^2, \end{equation*}
    qui à son tour est égal à
    \begin{equation*} |\va|^2 |\vb|^2 - (\va \cdot \vb)^2 = |\va|^2 |\vb|^2 - |\va|^2 |\vb|^2 \cos^2 \theta = |\va|^2 |\vb|^2 (1-\cos^2 \theta), \end{equation*}
    et le résultat suit de ce que \(1-\cos^2 \theta = \sin^2\theta\text{,}\) et nous considérons l’angle \(\theta \in [0,\pi]\text{,}\) de sorte que son sinus est positif.
  • Remarquons qu’il est usuel de définir le produit vectoriel au moyen de la formule de la propriété 3. La vérification des autres propriétés est alors un exercice de calcul, plutôt fastidieux et pas très édifiant.
  • La formule 4 fournit une façon concise d’écrire le produit vectoriel comme un déterminant symbolique
     3 
    Symbolique, car il ne s’agit pas, à proprement parler, d’un déterminant, les éléments apparaissant dans la première ligne étant des vecteurs, pas des nombres.
    :
    \begin{equation*} \va \times \vb = \begin{vmatrix}\vi \amp a_1 \amp b_1 \\ \vj \amp a_2 \amp b_2\\ \vk \amp a_3 \amp b_3 \end{vmatrix}. \end{equation*}
Les propriétés 2 et 5 de la Proposition 1.4.2 nous disent que si \(\va\) et \(\vb \) ne sont pas colinéaires, alors \(\va \times \vb\) est orthogonal au plan engendré par \(\va\) et \(\vb\text{,}\) et sa norme est \(|\va|\, |\vb|\, \sin \theta\text{.}\) Ceci laisse encore deux choix pour le produit vectoriel. Dans la figure de gauche ci-bas, les vecteurs \(\vc\) et \(\vd\) sont des candidats potentiels. Lequel des deux choisir? La règle de la main droite fournit la réponse : lorsque vos doigts de la main droite tournent d’un angle \(\theta\) de \(\va\) jusqu’à \(\vb\text{,}\) alors votre pouce indique la direction de \(\va \times \vb\text{.}\)
Figure 1.4.3. Pour le produit vectoriel, l’ordre des facteurs est important. À droite, la règle de la main droite.
La partie 5 admet une interprétation qui nous sera utile à plusieurs reprises par la suite : le produit vectoriel permet de calculer l’aire d’un parallélogramme.

Démonstration.

En effet, l’aire du parallélogramme en question est donnée par le produit de la longueur d’un de ses côtés, disons \(\va\) par la distance \(h\) d’un sommet à ce côté. Cette distance vaut \(h = |\vb| \sin \theta\text{.}\)
Le volume d’un parallélépipède est le produit de l’aire de sa base par sa hauteur. On vient de voir que cette base peut être calculée au moyen d’un produit vectoriel. De plus, la hauteur n’est rien d’autre qu’une projection, donc le produit scalaire n’est pas loin. Plus précisément, nous avons le résultat suivant.

Démonstration.

En effet, on peut choisir comme base le parallélogramme déterminé par \(\vb\) et \(\vc\text{.}\) Soit \(\vn =\vb \times \vc\text{.}\) L’aire de la base est donc \(A= |\vn|\text{.}\) Par ailleurs, \(\vn \) est orthogonal au plan qui contient cette base. La hauteur du parallélépipède est donnée par \(h = \left| \proj_{\vn}\, \va \right| \text{.}\) Il vient alors que le volume cherché est
\begin{align*} V \amp = h\cdot A = \left| \proj_{\vn}\, \va \right| |\vn| = \left|\frac{\va \cdot \vn}{\vn \cdot \vn}\vn \right|\, |\vn|\\ \amp = \frac{\left|\va \cdot \vn\right|}{|\vn|^2}|\vn|^2 = \left|\va \cdot (\vb\times \vc)\right|. \end{align*}
Le produit vectoriel a d’autres propriétés, nous finissons avec deux qui sont souvent utilisées.

Démonstration.

  1. La première identité résulte directement du fait que lorsqu’on échange deux vecteurs dans un déterminant, celui-ci est multiplié par \(-1\text{.}\) En effet, nous avons, par définition
    \begin{align*} \va \cdot (\vb \times \vc) \amp = \det(\va, \vb, \vc) \\ \amp = -\det (\va,\vc,\vb) \\ \amp = \det( \vc,\va, \vb)\\ \amp = (\va \times \vb ) \cdot \vc \end{align*}
  2. La preuve de la deuxième égalité n’est pas exceptionnellement difficile, il s’agit de calculer explicitement les deux côtés et remarquer qu’ils sont effectivement égaux. Nous avons d’une part
    \begin{equation*} \vb\times\vc \ =\ (b_2c_3-b_3c_2)\vi -(b_1c_3-b_3c_1)\vj + (b_1c_2-b_2c_1)\vk \end{equation*}
    Remplaçons dans le terme de gauche de l’égalité que nous devons montrer, ce qui donne
    \begin{align*} \va\times(\vb\times\vc)\amp = \det \left[ \begin{matrix} \vi &a_1 & b_2c_3 - b_3c_2\\ \vj & a_2 & -b_1c_3 + b_3c_1\\ \vk & a_3 & b_1 c_2 - b_2 c_1 \end{matrix} \right] \\ =\phantom{-}&\vi \big[a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(-b_1c_3+b_3c_1)\big]\\ -&\vj \big[a_1(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_2c_3-b_3c_2)\big]\\ +&\vk \big[a_1(-b_1c_3+b_3c_1)-a_2(b_2c_3-b_3c_2)\big] \end{align*}
    D’autre part, le terme de droite est
    \begin{align*} (\va\cdot\vc)\vb-(\va\cdot\vb)\vc \ =\ &(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)(b_1\vi +b_2\vj +b_3\vk )\\ &\hskip0.5in-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)(c_1\vi +c_2\vj +c_3\vk )\\ =\ & \vi \ \big[{\color{blue}{a_1b_1c_1}} +a_2b_1c_2+a_3b_1c_3- {\color{blue}{a_1b_1c_1}} -a_2b_2c_1-a_3b_3c_1\big]\\ {+}&\vj \ \big[a_1b_2c_1 +{\color{blue}{a_2b_2c_2}} +a_3b_2c_3-a_1b_1c_2 -{\color{blue}{a_2b_2c_2}} -a_3b_3c_2\big]\\ {+}&\vk \ \big[a_1b_3c_1+a_2b_3c_2 +{\color{blue}{a_3b_3c_3}} -a_1b_1c_3-a_2b_2c_3 -{\color{blue}{a_3b_3c_3}}\big]\\ {=}\ & \vi \ [a_2b_1c_2+a_3b_1c_3-a_2b_2c_1-a_3b_3c_1]\\ {+}&\vj \ [a_1b_2c_1+a_3b_2c_3-a_1b_1c_2-a_3b_3c_2]\\ {+}&\vk \ [a_1b_3c_1+a_2b_3c_2-a_1b_1c_3-a_2b_2c_3] \end{align*}
    La ernière expression que nous avons pour le terme de gauche est équivalente à la dernière expression que nous avons pour le terme de droite.

Exercices Exercices

Pour se pratiquer.

1.
Vérifier par calcul direct que
  1. \(\vi\times\vj=\vk\text{,}\) \(\vj\times\vk=\vi\text{,}\) \(\vk\times\vi=\vj\)
  2. \(\displaystyle \va\cdot(\va\times\vb)=\vb\cdot(\va\times\vb)=\vZero\)
2.
Calculez les aires des parallélogrammes déterminés par les vecteurs suivants vecteurs suivants.
  1. \(\displaystyle \llt -3,1\rgt,\ \llt 4,3\rgt\)
  2. \(\displaystyle \llt 4,2\rgt,\ \llt 6,8\rgt\)
Réponse.
  1. \(\displaystyle 13\)
  2. \(\displaystyle 20\)
3.
Considérez le plan \(W\text{,}\) défini par:
\begin{equation*} W\ :\ -x + 3y + 3z = 6,\qquad \end{equation*}
Trouver l’aire du parallélogramme sur \(W\) défini par \(0\leqslant x\leqslant 3\text{,}\) \(0\leqslant y\leqslant 2\text{.}\)
Réponse.
\(2\sqrt{19}\)
4.
Calculez les volumes des parallélépipèdes déterminés par les vecteurs suivants:
  1. \(\displaystyle \llt 4,1,-1\rgt,\ \llt -1,5,2\rgt,\ \llt 1,1,6\rgt\)
  2. \(\displaystyle \llt -2,1,2\rgt,\ \llt 3,1,2\rgt,\ \llt 0,2,5\rgt\)
Réponse.
  1. \(\displaystyle 126\)
  2. \(\displaystyle 5\)
5.
Calculez le produit vectoriel \(\llt 1,2,3\rgt\times\llt 4,5,6\rgt\text{.}\)
Réponse.
\(-3\vi+6\vj-3\vk\)
6.
Calculez les produits vectoriels suivants:
  1. \(\displaystyle \llt 1,-5,2\rgt \times\llt -2,1,5\rgt \)
  2. \(\displaystyle \llt 2,-3,-5\rgt \times\llt 4,-2,7\rgt \)
  3. \(\displaystyle \llt -1,0,1\rgt \times\llt 0,4,5\rgt \)
Réponse.
  1. \(\displaystyle \llt -27,-9,-9\rgt\)
  2. \(\displaystyle \llt -31,-34,8\rgt\)
  3. \(\displaystyle \llt -4,5,-4\rgt\)
7.
Soit \(\vp=\llt -1,4,2\rgt ,\ \vq=\llt 3,1,-1\rgt ,\ \vr=\llt 2,-3,-1\rgt \text{.}\) Vérifiez, par calcul direct, que
  1. \(\displaystyle \vp\times\vp=\vZero\)
  2. \(\displaystyle \vp\times\vq=-\vq\times\vp\)
  3. \(\displaystyle \vp\times(3\vr)=3(\vp\times\vr)\)
  4. \(\displaystyle \vp\times(\vq+\vr) = \vp\times\vq+\vp\times\vr\)
  5. \(\displaystyle \vp\times(\vq\times\vr) \ne (\vp\times\vq)\times\vr\)
Réponse.
(b) \(\vp\times\vq = -\vq\times\vp = \llt -6,5,-13\rgt\)
(c) \(\vp \times (3\vr) = 3(\vp\times\vr) = \llt 6,9,-15\rgt\)
(d) \(\vp\times(\vq+\vr) = \vp\times\vq+\vp\times\vr = \llt -4,8,-18\rgt\)
(e) \(\vp\times(\vq\times\vr) = \llt -46,-19,15\rgt\text{,}\) \((\vp\times\vq)\times\vr = \llt -44,-32,8\rgt\)
8.
Calculez l’aire du triangle dont les sommets sont \((0,0,0)\text{,}\) \((1,2,3)\) et \((3,2,1)\text{.}\)
Réponse.
\(2\sqrt{6}\)

Pour mieux comprendre.

9.
Montrer que l’aire du parallélogramme déterminée par les vecteurs \(\va\) et \(\vb\) est \(|\va\times \vb|\text{.}\)
10.
Montrez que le volume du parallélépipède déterminé par les vecteurs \(\va,\ \vb\) et \(\vc\) est
\begin{equation*} |\va\cdot(\vb\times\vc)|. \end{equation*}
11.
Considérons l’énoncé suivant : “Le vecteur \(\va\times(\vb\times\vc)\) est de la forme \(\a\vb+\b\vc\) pour certains nombres réels \(\a\) et \(\b\text{.}\)” Si l’affirmation est vraie, prouvez-la. Si l’affirmation est fausse, donnez un contre-exemple.
Réponse.
Vraie.
12.
Quelles conclusions géométriques pouvez-vous tirer de \(\va\cdot(\vb\times\vc)=\llt 1,2,3\rgt\) ?
Réponse.
Aucune. L’équation donnée n’a aucun sens.
13.
Quelles conclusions géométriques pouvez-vous tirer de \(\va\cdot(\vb\times\vc)=0\) ?
Réponse.
Si \(\vb\) et \(\vc\) sont parallèles, alors \(\va\cdot(\vb\times\vc)=0\) pour tout \(\va\text{.}\) Si \(\vb\) et \(\vc\) ne sont pas parallèles, alors \(\va\) doit être de la forme \(\a\vb+\b\vc\) avec \(\a\) et \(\b\) des nombres réels.
14.
Trouvez une formule pour \((\va\times\vb)\cdot(\vc\times\vd)\) qui fait intervenir les produits scalaires mais pas les produits vectoriels.
Réponse.
\((\va\times\vb)\cdot(\vc\times\vd)= (\va\cdot\vc)(\vb\cdot\vd) -(\va\cdot\vd)(\vb\cdot\vc)\)
15.
Un prisme a les six sommets suivants
\begin{alignat*}{2} A&=(1,0,0)\qquad & A'&=(5,0,1)\\ B&=(0,3,0) & B'&=(4,3,1)\\ C&=(0,0,4) & C'&=(4,0,5) \end{alignat*}
  1. Vérifier que trois des faces sont des parallélogrammes. Sont-ils rectangulaires ?
  2. Trouvez la longueur de \(AA'\text{.}\)
  3. Trouvez l’aire du triangle \(ABC\text{.}\)
  4. Trouvez le volume du prisme.
Réponse.
    • \(AA'B'B\) est un parallélogramme, mais n’est pas un rectangle.
    • \(AA'C'C\) est un rectangle.
    • \(BB'C'C\) est un parallélogramme, mais n’est pas un rectangle.
  2. \(\displaystyle \sqrt{17}\)
  3. \(\displaystyle \frac{13}{2}\)
  4. \(\displaystyle \frac{51}{2}\)

Pour aller plus loin.

16.
Une particule \(P\) de masse unitaire dont la position dans l’espace au temps \(t\) est \(\vr(t)\) a un moment angulaire \(L(t)=\vr(t)\times\vr'(t)\text{.}\) Si \(\vr''(t)=\rho(t)\vr(t)\) pour une fonction scalaire \(\rho\text{,}\) montrez que \(L\) est constante, c’est-à-dire qu’elle ne varie pas avec le temps. Ici \('\) désigne \(\diff{}{t}\text{.}\)
17.
(Théorème de Pythagore à trois dimensions) Un corps solide dans l’espace avec exactement quatre sommets est appelé un tétraèdre. Soit \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) \(C\) et \(D\) les aires des quatre faces d’un tétraèdre. Supposons que les trois arêtes se rejoignant au sommet opposé à la face d’aire \(D\) sont perpendiculaires l’une à l’autre. Montrez que \(D^2=A^2+B^2+C^2\text{.}\)
Réponse.
Voir la solution.
18.
(Loi des cosinus en trois dimensions) Soient \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) \(C\) et \(D\) les aires des quatre faces d’un tétrahèdre. Soit \(\a\) l’angle entre les faces d’aires \(B\) et \(C\text{,}\) soit \(\b\) l’angle entre les faces d’aires \(A\) et \(C\) et soit \(\g\) l’angle entre les faces d’aires \(A\) et \(B\text{.}\) (Par définition, l’angle entre deux faces est l’angle entre les vecteurs normaux aux faces). Montrez que
\begin{equation*} D^2=A^2+B^2+C^2-2BC\cos\a-2AC\cos\b-2AB\cos\g \end{equation*}
Réponse.
Voir la solution.
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