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Calcul multivariable: Une approche libre

Juan Carlos Bustamante

Section 2.4 Différentiabilité et approximations linéaires

Sous-section Motivation

Soit \(f\) une fonction d’une variable réelle et \(\cC\) son graphe, c’est-à-dire la courbe d’équation \(y=f(x)\text{.}\) Si \(f\) est dérivable en \(x_0\text{,}\) près du point \((x_0, f(x_0))\text{,}\) la courbe \(\cC\) ressemble à une droite, la tangente à \(\cC\) en ce point. L’équation de la tangente en question est
\begin{align} \amp y = y_0 + f'(x_0)(x-x_0)\text{,}\tag{✶} \end{align}
et la fonction \(L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)\) est l’approximation linéaire de \(f\) en \(x_0\)
 1 
Quoiqu’il serait plus exact de dire qu’il s’agit de l’approximation affine de \(f\) en \(x_0\text{.}\)
.
Figure 2.4.1. Graphe de \(f(x) = x^3-15x^2+71x-65 \) et de son approximation linéaire en \(x=7/2\)
De même, supposons que nous avons une surface \(\cS\) donnée par \(z=f(x,y)\) qui est suffisamment lisse au point \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\text{.}\) Plus on regarde \(\cS\) de près, plus elle aura l’air d’une portion de plan, qu’on conviendra d’appeler le plan tangent à \(\cS\) en \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\text{.}\)
Nous avons vu que les vecteurs \((1,0,f_x(x_0,y_0))\) et \((0,1,f_y(x_0,y_0))\) sont tangents à \(\cS\) en \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\text{.}\) Ils sont clairement non colinéaires, de sorte que leur produit vectoriel est un vecteur normal pour le plan tangent.
\begin{align*} \begin{bmatrix}1\\ 0\\ f_x(x_0,y_0)\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}0\\1 \\f_y(x_0,y_0)\end{bmatrix}&=\det\left[\begin{matrix}\vi& 1 &0 \\ \vj & 0 & 1 \\ \vk & f_x(x_0,y_0) & f_y(x_0,y_0)\end{matrix}\right]\\ &=-f_x(x_0,y_0)\,\vi - f_y(x_0,y_0)\,\vj +\vk \end{align*}
Le plan tangent à la surface \(z=f(x,y)\) au point \(\big(x_0\,,\,y_0\,,\,f(x_0,y_0)\big)\) est le plan passant par ce point et ayant pour vecteur normal \(-f_x(x_0,y_0)\,\vi - f_y(x_0,y_0)\,\vj +\vk\text{.}\) L’équation du plan est donc
\begin{equation*} -f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) - f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0) +\big(z-f(x_0,y_0)\big) =0\text{,} \end{equation*}
ou encore
\begin{equation*} z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0)\text{.} \end{equation*}
Pour résumer, on a le principe suivant.
Remarquons aussi que si nous écrivons \(\vD f(x_0,y_0) = \begin{bmatrix}f_x(x_0,y_0) \amp f_y(x_0,y_0)\end{bmatrix}\text{,}\) \(\vr = x\, \vi + y\, \vj\) et \(\vr_0 =x_0\, \vi + y_0\, \vj\text{,}\) cette équation devient simplement
\begin{equation*} z= f(\vr_0) + \vD f(\vr_0)(\vr - \vr_0)\text{,} \end{equation*}
que nous comparerons à l’équation (✶) pour la droite tangente à une courbe d’équation \(y = f(x)\text{.}\)
Finalement, notons que, pour la discussion qui précède, seule l’existence des dérivées partielles a été nécessaire. Or, on sait que ceci n’est même pas une garantie de la continuité des fonctions! On ne peut donc pas espérer que l’approximation linéaire soit une bonne approximation, utile pour les applications.

Sous-section La différentiabilité

Nous avons vu comment calculer l’approximation linéaire d’une fonction \(f\) autour d’un point \(\vr_0\text{.}\) Dans les applications, il importe de savoir à quel point il s’agit d’une bonne approximation.
Regardons le cas des fonctions à une variable. Supposons donc que nous avons une fonction \(f\text{,}\) dérivable en \(x_0\text{.}\) Son approximation linéaire en \(x_0\) est
\begin{equation*} L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)\text{.} \end{equation*}
La fonction et son approximation linéaire coïncident en \(x_0\text{.}\) Par ailleurs, on s’attend à ce que, pour \(x\) près de \(x_0\text{,}\) l’erreur commise lorsqu’on remplace \(f(x)\) par \(L(x)\) soit petite. Plus formellement, nous devons comparer l’écart \(|f(x) - L(x)|\) à \(|x-x_0|\text{,}\) c’est-à-dire que nous devons considérer le rapport
\begin{align*} \frac{|f(x) - L(x)|}{|x-x_0|} \amp = \frac{f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x-x_0)}{|x-x_0|}\\ \amp = \left|\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} - f'(x_0)\right|\text{.} \end{align*}
Mais d’après la définition de \(f'(x_0)\text{,}\) cette quantité tend vers \(0\) lorsque \(x\to x_0\text{.}\) Ainsi, pour une fonction d’une variable, son approximation linéaire, aussitôt qu’elle existe, est une bonne approximation.
Ceci nous mène à la définition suivante.

Définition 2.4.3.

Soit \(f:\cD \to \R\) une fonction avec \(\cD\subseteq \R^n\) et \(\vr_0\) un point intérieur de \(\cD\text{.}\) La fonction \(f\) est différentiable en \(\vr_0\) s’il existe une matrice \(T\in \R^{1\times n}\) (c’est-à-dire une matrice à une rangée et à \(n\) colonnes) telle que
\begin{equation*} \lim_{\vr \to \vr_0} \frac{|f(\vr) - f(\vr_0) - T (\vr - \vr_0)|}{|\vr - \vr_0|} =0\text{.} \end{equation*}
Cette définition ne nous dit pas quelle est la matrice \(T\text{,}\) qu’il faut comprendre comme une transformation linéaire de \(\R^n\) à \(\R\text{.}\) Plus précisément, c’est la partie linéaire de la transformation affine \(\vr \mapsto f(\vr_0) + T(\vr - \vr_0)\text{.}\) Comme on s’y attend, on peut montrer que \(T\) est donnée par les dérivées partielles de \(f\) évaluées en \(\vr_0\text{.}\)

Démonstration.

Soit \(f\) différentiable en \(\vr_0\) et \(T\) comme dans la définition. Avant de poursuivre, notons que \(T \ve_1 = t_1\text{.}\)
Par ailleurs, posons \(\vr = \vr_0 + h\ve_1\text{,}\) nous aurons alors, en vertu de la différentiabilité de \(f\text{,}\) que
\begin{align*} 0 \amp = \lim_{\vr \to \vr_0} \frac{|f(\vr) - f(\vr_0) - T (\vr - \vr_0)|}{|\vr - \vr_0|} \\ \amp = \lim_{h \to 0} \frac{|f(\vr_0 + h\ve_1) - f(\vr_0) - T (h\ve_1)|}{|h\ve_1|}\\ \amp = \lim_{h \to 0} \frac{|f(\vr_0 + h\ve_1) - f(\vr_0) - h t_1|}{|h|} \\ \amp= \lim_{h \to 0} \left|\frac{f(\vr) - f(\vr_0)}{h} - t_1 \right| \text{.} \end{align*}
Ceci montre que \(t_1 = \pdiff{f}{x_1}(\vr_0)\text{.}\) Le reste de la preuve se fait de la même façon.
Il est commun de poser \(\De \vr = \vr - \vr_0\text{,}\) de sorte que l’expression pour l’approximation linéaire devient
\begin{equation*} L(\vr_0 + \De \vr) = f(\vr_0) + \vD f(\vr_0)\De \vr\text{.} \end{equation*}
Voyons un exemple.

Exemple 2.4.5.

Soit \(\vr = x \vi + y \vj\) et \(f(\vr) = f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} \text{.}\) Alors,
\begin{align*} \pdiff{f}{x}(x,y)&=\frac{1}{2}\,\frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & f_x(x_0,y_0)&=\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}},\\ \pdiff{f}{y}(x,y)&=\frac{1}{2}\,\frac{2y}{\sqrt{x^2+y^2}}, & f_y(x_0,y_0)&=\frac{y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}. \end{align*}
Ainsi, \(\displaystyle \vD f(\vr_0) = \begin{bmatrix}\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} \amp \frac{y_0}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} \end{bmatrix}\text{,}\) et l’approximation linéaire cherchée est
\begin{align*} L(\vr) \amp= f(\vr_0) + \vD f(\vr_0)(\vr - \vr_0) \\ \amp = \sqrt{x_0^2 +y_0^2}+ \begin{bmatrix}\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} \amp \frac{y_0}{\sqrt{x0^2 + y_0^2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x-x_0\\ y-y_0\end{bmatrix}\\ \amp= \sqrt{x_0^2+y_0^2} + \frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}} (x-x_0) + \frac{y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}} (y-y_0) \text{,} \end{align*}
ou encore
\begin{equation*} L(x_0 + \De x, y_0 + \De y) = \sqrt{x_0^2+y_0^2} + \frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}\, \De x + \frac{y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}\, \De y\text{.} \end{equation*}
Avant de poursuivre, notons que la définition de différentiabilité est la même pour les fonctions à valeurs vectorielles, c’est-à-dire les fonctions de la forme \(f :\cD \subseteq \R^n \to \R^m\text{.}\) Dans ce cas, pour chaque \(\vr\) dans le domaine de \(f\text{,}\) nous avons que \(f(\vr) \in \R^m\text{,}\) c’est-à-dire que \(f\) a elle-même plusieurs composantes
\begin{equation*} f(\vr) = \left[ \begin{matrix} f_1(\vr)\\ \vdots \\ f_m(\vr) \end{matrix}\right]. \end{equation*}
Nous nous contentons d’énoncer le résultat suivant, dont la preuve dépasse (de si peu!) le contenu de ce manuel.
Nous pouvons regarder la définition du chemin tangent (voir la Définition 1.7.4) d’un autre œil. En effet, si \(\vr : I \to \R^m\) est un chemin, nous aurons
\begin{equation*} \vr(t) = \begin{bmatrix} x_1(t)\\ \vdots \\ x_m(t) \end{bmatrix}. \end{equation*}
Dans ce cas, \(\vD \vr(t_0)\) est la matrice de \(\R^{n\times 1}\text{,}\) c’est-à-dire le vecteur colonne à \(m\) composantes
\begin{equation*} \vD \vr(t_0) = \left[ \begin{matrix} x'_1(t_0)\\ \vdots \\ x'_m(t_0) \end{matrix}\right] = \vr'(t_0). \end{equation*}
Il s’agit précisément du vecteur vitesse associé au chemin \(\vr\text{.}\) L’approximation linéaire de \(\vr\) est
\begin{equation*} L(t) = \vr(t_0) + \vD\vr(t_0)(t-t_0) = \vr(t_0) + \vr'(t_0)(t-t_0)\text{,} \end{equation*}
c’est-à-dire le chemin tangent.
Notons que, pour les fonctions d’une seule variable, l’existence de la dérivée en un point équivaut à la différentiabilité en ce point. Avec des fonctions de plusieurs variables, les choses changent. Nous verrons plus bas un exemple de fonction dont les dérivées partielles existent, mais qui n’est pourtant pas différentiable. Pire, nous avons vu à l’Exemple 2.3.9 qu’il est possible d’avoir des dérivées partielles sans même avoir la continuité!
La notion de différentiabilité telle que définie ci-haut peut être difficile à vérifier. Heureusement, nous disposons du résultat suivant.
Voyons quelques exemples.

Exemple 2.4.8.

Soit \(f(x,y) = \sqrt{x^2 +y^2}\text{.}\) Voir qu’elle n’est pas différentiable à l’origine.
Solution.
Pour commencer, notons que le graphe de \(f\) est la moitié supérieure d’un cône. À l’origine, il n’y a pas de plan qui épouse bien la forme du cône : nous avons un coin prononcé, le graphe ne s’aplatit pas.
De façon plus analytique, calculons les dérivées partielles en \((0,0)\text{.}\) Nous avons, d’après la définition,
\begin{align*} f_x(0,0) \amp = \lim_{x\to 0}\frac{f(x,0) - f(0,0)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x^2}}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{|x|}{x}\text{,} \end{align*}
et cette limite n’existe pas. De même, \(f_y(0,0)\) n’existe pas. Ainsi, l’approximation linéaire n’existe pas à l’origine. La fonction ne peut pas être différentiable en ce point.
Par ailleurs, étudions les courbes de niveau de \(f\text{.}\) D’une part, les courbes de niveau autour de l’origine : on voit bien qu’il s’agit de cercles. D’autre part, dans les deux autres figures, on a les courbes de niveau autour du point \((1/2, 1/2)\text{,}\) avec deux facteurs d’agrandissement différents. En ce point, la fonction est différentiable. On observe que plus on regarde de près, plus ces courbes de niveau ressemblent à des droites, c’est-à-dire aux courbes de niveau des fonctions linéaires. C’est ce qu’on entend par “linéarité locale de \(f\)”.
Figure 2.4.9. Les courbes de niveau de \(f\text{.}\) À gauche, autour de l’origine. Les courbes sont des cercles. Au centre et à droite, les courbes de niveau autour de \((1/2,1/2)\text{.}\) À mesure qu’on regarde de plus près, ces courbes se voient de plus en plus comme des droites.

Exemple 2.4.10.

Considérer la fonction définie par \(f(x,y) = \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) lorsque \((x,y) \ne (0,0)\) et que \(f(0,0) = 0\text{.}\) Montrer que les dérivées partielles existent à l’origine, mais que la fonction n’est pas différentiable en ce point.
Solution.
Notons tout d’abord qu’il est aisé de montrer (par exemple en utilisant les coordonnées polaires) que la fonction \(f\) est continue à l’origine. On trouve son graphe ci-après, on remarque notamment qu’elle est sévèrement froissée à l’origine.
Figure 2.4.11. La fonction \(f(x,y)= \frac{xy}{\sqrt{x^+ y^2}}\) possède des dérivées partielles, mais n’est pas différentiable à l’origine.
Par ailleurs, on calcule les dérivées partielles aisément :
\begin{equation*} f_x(0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x,0) - f(0,0)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{0-0}{x} =0. \end{equation*}
On calcule de même \(f_y(0,0) = 0\text{.}\) Ainsi, \(L(\vr)\text{,}\) l’approximation linéaire de \(f\) autour de \((0,0)\text{,}\) est la fonction constante égale à zéro.
Ci-bas, on trouve les courbes de niveau de la fonction \(f\) près de l’origine. On voit tout de suite qu’elles ne ressemblent pas à celles d’une fonction linéaire. Ceci suggère que la fonction \(f\) n’est pas différentiable en \((0,0)\text{.}\) Voyons ceci de façon plus formelle.
Courbes de niveau d’une fonction non différentiable.
Figure 2.4.12. Les courbes de niveau de \(f\) près de l’origine, vues de près. Elles ne ressemblent pas à celles d’une fonction linéaire.
En effet, nous avons
\begin{equation*} \frac{|f(\vr) - L(\vr)|}{\vr - \vZero} = \frac{|f(\vr)|}{|\vr|} = \frac{\frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{xy}{x^2 + y^2}\text{,} \end{equation*}
et cette quantité ne tend pas vers \(0\) lorsque \((x,y)\to (0,0)\text{.}\)
À la lumière du Théorème 2.4.7, nous pouvons conclure qu’au moins une des dérivées partielles de la fonction \(f\) n’est pas continue à l’origine.
Si une fonction \(f\) est différentiable autour d’un point, c’est qu’elle peut être bien approchée par une fonction linéaire près de ce point. Ces dernières étant continues partout, on a, sans surprise :
Notons encore une fois qu’il est possible d’avoir l’existence des dérivées partielles sans la continuité, comme à l’Exemple 2.3.9, et l’existence des dérivées partielles sans la différentiabilité, comme à l’Exemple 2.4.10. Par ailleurs, il est possible d’avoir des fonctions qui sont différentiables, sans être de classe \(C^1\) (on voit un tel exemple plus bas, il s’agit d’une fonction d’une seule variable).

Exemple 2.4.14.

Soit la fonction \(f\) définie par
\begin{equation*} f(x,y)=\begin{cases} x^2 \sin (1/x)&\text{ si } x\ne 0 \\ 0&\text{si } x=0 \end{cases}\text{.} \end{equation*}
Utiliser les définitions pour montrer que \(f\) est continue et différentiable en \(x=0\text{,}\) mais que sa dérivée n’est pas continue en ce point.
Les règles usuelles pour le calcul des dérivées tiennent encore pour les fonctions à plusieurs variables.

Sous-section La différentielle et l’estimation des erreurs

Soit \(f : \cD \to \R\) différentiable en \(\vr_0\text{,}\) et posons \(\De \vr = \vr - \vr_0\text{.}\) Pour tout \(\e \gt 0\text{,}\) nous avons que, lorsque \(\De \vr\) est suffisamment petit,
\begin{equation*} \frac{|f(\vr_0 + \De \vr) - f(\vr_0) - \vD f(\vr_0)|}{|\De \vr|} \lt \e\text{,} \end{equation*}
c’est-à-dire
\begin{equation*} |f(\vr_0 + \De \vr) - f(\vr_0) - \vD f(\vr_0)| \lt \e |\De \vr|. \end{equation*}
De là, on tire un version raffinée du Principe 2.2.16.
Remarquons que si nous posons \(\De f = f(\vr) - f(\vr_0)\text{,}\) alors (✶) s’écrit
 2 
Qu’on comparera à \(\De g \approx g'(t_0) \De g\text{,}\) expression commune dans les cours de calcul à une variable.
\begin{equation*} \De f \approx \vD f (\vr_0) \De \vr\text{.} \end{equation*}
Pour les fonctions à deux variables, si l’on pose \(z = f(x,y)\text{,}\) il est usuel d’écrire
\begin{equation*} \De z \approx \vD f (\vr_0) \De \vr = \pdiff{f}{x}(x_0,y_0)\De x + \pdiff{f}{y}(x_0,y_0)\De y\text{,} \end{equation*}
et une adaptation évidente est faite si l’on a une fonction de trois variables et l’on pose \(w=f(x,y,z)\text{.}\)
Il faut bien noter que \(\De f = f(\vr)- f(\vr_0)\) est la variation réelle de \(f\) lorsque le point d’évaluation passe de \(\vr_0\) à \(\vr\text{.}\) Par ailleurs, la quantité \(\vD f(\vr_0)(\vr - \vr_0)\) est la variation dans l’approximation linéaire de \(f\text{.}\) Cette quantité est souvent appelée la différentielle de \(f\) en \(\vr_0\), et l’on écrit
\begin{equation*} df = \vD f(\vr_0) \De \vr. \end{equation*}
Comme l’écart \(\De \vr\) est arbitraire (et par analogie avec l’usage dans le contexte des fonctions à une variable), on écrit \(d\vr\) au lieu de \(\De \vr\text{,}\) et la formule ci-haut devient
\begin{align} df = \vD f(\vr_0) d\vr,\amp \tag{✶✶} \end{align}
qu’on comparera avec la formule \(dg = g'(t_0)\, dt\) vue dans les cours de calcul différentiel des fonctions à une variable.
Figure 2.4.17. La différentielle \(df\) approche la variation \(\De f\) de \(f(x,y)\text{.}\) Figure provenant de "Active Calculus".
De nouveau, et au risque de paraître redondants, spécialisons (✶✶) aux fonctions à deux ou trois variables.
  • Pour les fonctions à deux variables,
    \begin{align*} df \amp = f_x(x_0,y_0)dx + f_y(x_0,y_0)dy \\ \amp = \pdiff{f}{x}(x_0,y_0)dx + \pdiff{f}{y}(x_0,y_0)dx \text{,} \end{align*}
    ou encore
    \begin{equation*} df = f_x dx + f_y dy = \pdiff{f}{x}dx + \pdiff{f}{y} dy\text{.} \end{equation*}
  • Pour les fonctions à trois variables,
    \begin{align*} df \amp = f_x(x_0,y_0)dx + f_y(x_0,y_0)dy + f_z(x_0,y_0) dz\\ \amp = \pdiff{f}{x}(x_0,y_0,z_0)dx + \pdiff{f}{y}(x_0,y_0,z_0)dy + \pdiff{f}{z}(x_0,y_0,z_0)dz \text{,} \end{align*}
    ou encore
    \begin{equation*} df = f_x\, dx + f_y\, dy + f_z\, dz = \pdiff{f}{x}\,dx + \pdiff{f}{y}\, dy + \pdiff{f}{z}\, dz\text{.} \end{equation*}

Définition 2.4.18. Erreurs.

Soit \(Q\) une quantité approchée par \(Q+\De Q\text{.}\) Alors :
  • l’erreur absolue dans l’approximation est \(|\De Q|\text{;}\)
  • l’erreur relative dans l’approximation est \(\left|\frac{\De Q}{Q}\right|\text{;}\)
  • le pourcentage d’erreur est \(100\left|\frac{\De Q}{Q}\right|\text{.}\)
Voyons maintenant quelques exemples.

Exemple 2.4.19.

Trouver une valeur approchée de \(\frac{(0.998)^3}{1.003}\text{.}\)
Solution.
Soit \(f(x,y) = \dfrac{x^3}{y}\text{.}\) Nous allons trouver une valeur approchée de \(f(0.998,\,1.003)\text{.}\) On calcule aisément \(f(1,1) = \frac{1^3}{1}=1 \) et, puisque
\begin{equation*} \pdiff{f}{x}=\frac{3x^2}{y}\qquad \text{et}\qquad \pdiff{f}{y}=-\frac{x^3}{y^2}\text{,} \end{equation*}
on trouve aussi
\begin{equation*} \pdiff{f}{x}(1,1) = 3\frac{1^2}{1}=3 \qquad \text{et} \qquad \pdiff{f}{y}(1,1) = 1\frac{1^3}{1^2}=-1\text{.} \end{equation*}
Ainsi, on pose \(\De x=-0.002\) et \(\De y=0.003\text{,}\) ce qui donne
\begin{align*} \frac{0.998^3}{1.003} &=f(0.998,\,1.003) =f(1+\De x,\,1+\De y)\\ &\approx f\big(1,1\big) + \pdiff{f}{x}\big(1,1\big)\,\De x + \pdiff{f}{y}\big(1,1\big)\,\De y\\ &\approx 1 +3(-0.002)-1(0.003) =0.991\text{.} \end{align*}
On comparera cette valeur à la valeur exacte avec 7 décimales, à savoir \(0.9910389\text{.}\)

Exemple 2.4.20.

Trouver une valeur approchée de \((4.2)^{1/2} + (26.7)^{1/3} + (256.4)^{1/4}\text{.}\)
Solution.
Soit \(f(x,y,z) = x^{1/2} + y^{1/3} + z^{1/4}\text{.}\) Afin d’approcher \(f(4.2\,,\,26.7\,,\,256.4)\text{,}\) nous calculons
\begin{align*} f(4,27,256) &= (4)^{1/2} + (27)^{1/3} + (256)^{1/4} = 2+3+4 =9\text{,} \end{align*}
et puisque
\begin{equation*} \pdiff{f}{x}=\frac{1}{2x^{1/2}},\qquad \pdiff{f}{y}=\frac{1}{3y^{2/3}}\text{ et }\qquad \pdiff{f}{z}=\frac{1}{4z^{3/4}}\text{,} \end{equation*}
on trouve facilement
\begin{align*} \pdiff{f}{x}(4,27,256) &= \frac{1}{2(4)^{1/2}} =\frac{1}{2}\times\frac{1}{2},\\ \pdiff{f}{y}(4,27,256) &= \frac{1}{3(27)^{2/3}}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{9},\\ \pdiff{f}{z}(4,27,256) &= \frac{1}{4(256)^{3/4}}=\frac{1}{4}\times\frac{1}{64}\text{.} \end{align*}
Ainsi, si l’on pose \(\De x=0.2\text{,}\) \(\De y=-0.3\) et \(\De z=0.4\text{,}\) on aura
\begin{align*} &(4.2)^{1/2} + (26.7)^{1/3} + (256.4)^{1/4} =f(4.2,\,26.7,\,256.4)\\ &\hskip0.5in=f(4+\De x,\,27+\De y,\,256+\De z)\\ &\hskip0.5in\approx f\big(4,27,256\big) + \pdiff{f}{x}\big(4,27,256\big)\,\De x + \pdiff{f}{y}\big(4,27,256\big)\,\De y\\ &\hskip1in + \pdiff{f}{z}\big(4,27,256\big)\,\De z\\ &\hskip0.5in\approx 9 +\frac{0.2}{2\times2}-\frac{0.3}{3\times9} +\frac{0.4}{4\times64} = 9+\frac{1}{20}-\frac{1}{90}+\frac{1}{640}\\ &\hskip0.5in=9.0405 \end{align*}
arrondi à \(10^{-5}\text{.}\) On peut calculer avec une calculatrice ou un ordinateur que la valeur à \(10^{-5}\) près est \(9.03980\text{.}\)
Ceci fait une différence de
\begin{equation*} 100\frac{9.0405-9.0398}{9}\% =0.008\ \%\text{.} \end{equation*}
Remarquons que nous aurions pu, dans ce cas, utiliser les techniques de calcul différentiel à une variable pour approcher \((4.2)^{1/2}\text{,}\) \((26.7)^{1/3}\) et \((256.4)^{1/4}\text{,}\) puis additionner les résultats. En fait, ce qu’on a fait est équivalent.

Exemple 2.4.21.

Un triangle a des côtés de longueur \(a=10.1\) cm et \(b=19.8\) cm formant un angle de \(35^\circ\text{.}\) On veut calculer une valeur approchée de l’aire du triangle.
Solution.
Le triangle a pour hauteur \(h=a\sin\theta\text{,}\) de sorte que l’aire est
\begin{equation*} A(a,b,\theta) = \frac{1}{2} bh =\frac{1}{2} ab\sin\theta\text{.} \end{equation*}
Le facteur \(\sin\theta\) dans cette formule cache un piège. Nous devons calculer la dérivée de \(\sin\theta\text{,}\) mais la formule usuelle \(\diff{}{\theta}\sin\theta =\cos\theta\) n’est vraie que si \(\theta\) est mesuré en radians — pas en degrés.
Nous devons donc transformer \(35^\circ\) en
\begin{equation*} 35^\circ = (30+5) \frac{\pi}{180}\ \text{radians} =\Big(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{36}\Big)\ \text{radian} \end{equation*}
Nous devons donc approcher la valeur de \(A(10.1,\,19.8,\,\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{36}\big)\text{.}\) Nous allons choisir naturellement
\begin{align*} a_0&=10, & b_0&=20, & \theta_0&=\frac{\pi}{6},\\ \De a&=0.1, & \De b&=-0.2, & \De\theta&=\frac{\pi}{36}\text{.} \end{align*}
On évalue donc
\begin{align*} A\big(a_0,b_0,\theta_0\big) &=\frac{1}{2}a_0b_0\sin\theta_0 =\frac{1}{2}(10)(20)\frac{1}{2}=50,\\ \pdiff{A}{a}\big(a_0,b_0,\theta_0\big) &=\frac{1}{2}b_0\sin\theta_0 =\frac{1}{2}(20)\frac{1}{2} =5,\\ \pdiff{A}{b}\big(a_0,b_0,\theta_0\big) &=\frac{1}{2}a_0\sin\theta_0 =\frac{1}{2}(10)\frac{1}{2} =\frac{5}{2},\\ \pdiff{A}{\theta}\big(a_0,b_0,\theta_0\big) &=\frac{1}{2}a_0b_0\cos\theta_0 =\frac{1}{2}(10)(20)\frac{\sqrt{3}}{2} = 50\,\sqrt{3}\text{,} \end{align*}
de sorte que l’approximation linéaire est
\begin{align*} \text{Aire} & = A(10.1,\,19.8,\,\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{36}\big) = A(a_0+\De a,\,b_0+\De b,\,\theta_0+\De\theta\big)\\ &\approx A\big(a_0,b_0,\theta_0\big) + \pdiff{A}{a}\big(a_0,b_0,\theta_0\big)\De a + \pdiff{A}{b}\big(a_0,b_0,\theta_0\big)\De b\\ &\hskip1in + \pdiff{A}{\theta}\big(a_0,b_0,\theta_0\big)\De\theta\\ &=50 +5\times 0.1 +\frac{5}{2}\times (-0.2) +50\sqrt{3}\frac{\pi}{36}\\ &=50 +\frac{5}{10} -\frac{5}{10} +50\sqrt{3}\frac{\pi}{36}\\ &=50\left(1+\sqrt{3}\frac{\pi}{36}\right)\\ &\approx 57.56 \end{align*}
à deux décimales près. La valeur exacte, à deux décimales près, est \(57.35\text{.}\) Notre approximation entraîne une erreur d’à peu près
\begin{equation*} 100\ \frac{57.56-57.35}{57.35}\% =0.37\ \%\text{.} \end{equation*}
Une autre application des erreurs dues aux approximations linéaires est l’étude de comment les erreurs faites lors de mesures se propagent lors de calculs qui utilisent ces valeurs. Voyons un exemple.

Exemple 2.4.22. Exemple 2.4.21, suite.

Supposons que, comme à l’Exemple 2.4.21, nous voulons déterminer l’aire d’un triangle en mesurant les longueurs de deux côtés et l’angle qu’ils forment, avec la formule \(A(a,b,\theta) = \frac{1}{2} ab\sin\theta \text{.}\) Bien entendu, dans le monde réel
 3 
Dans notre “monde réel”, tout le monde utilise le calcul.
, on ne peut pas mesurer les longueurs et les angles de façon exacte. Ainsi, si l’on a besoin de connaître l’aire avec une erreur relative d’au plus 1 %, le problème devient : “Avec quelle précision doit-on calculer les longueurs et l’angle si l’on veut que l’aire calculée n’ait pas une erreur supérieure à 1 %?”
Soit \(a_0\) et \(b_0\) les longueurs exactes des côtés et \(\theta_0\) celle de l’angle, ainsi que \(a_0+\De a\text{,}\) \(b_0+\De b\) et \(\theta_0+\De\theta\) les valeurs mesurées, de sorte que \(\De a\text{,}\) \(\De b\) et \(\De\theta\) représentent les erreurs de nos mesures. Alors, l’erreur dans l’aire calculée sera approximativement
\begin{align*} \De A &\approx \pdiff{A}{a}\big(a_0,b_0,\theta_0\big)\,\De a + \pdiff{A}{b}\big(a_0,b_0,\theta_0\big)\,\De b + \pdiff{A}{\theta}\big(a_0,b_0,\theta_0\big)\,\De\theta\\ &=\frac{\De a}{2} b_0\sin\theta_0 +\frac{\De b}{2} a_0\sin\theta_0 +\frac{\De \theta}{2} a_0b_0\cos\theta_0\text{,} \end{align*}
et le pourcentage d’erreur sera
\begin{align*} 100\frac{|\De A|}{A(a_0,b_0,\theta_0)} &\approx \left| 100\frac{\De a}{a_0} + 100\frac{\De b}{b_0} +100\De\theta\frac{\cos\theta_0}{\sin\theta_0} \right|\text{.} \end{align*}
En vertu de l’inégalité du triangle, à savoir \(|u+v|\leqslant |u|+|v|\text{,}\) et du fait que \(|uv|=|u|\ |v|\text{,}\)
\begin{align*} &\left| 100\frac{\De a}{a_0} + 100\frac{\De b}{b_0} +100\De\theta\frac{\cos\theta_0}{\sin\theta_0} \right|\\ &\hskip1in\leqslant 100\left|\frac{\De a}{a_0}\right| + 100\left|\frac{\De b}{b_0} \right| +100|\De\theta|\ \left|\frac{\cos\theta_0}{\sin\theta_0} \right|\text{.} \end{align*}
Nous voulons que cette quantité soit inférieure à \(1\text{.}\)
Bien entendu, nous ne connaissons pas exactement \(a_0\text{,}\) \(b_0\) ni \(\theta_0\text{.}\) Mais supposons que nous avons confiance dans le fait que \(a_0\geqslant 10\text{,}\) \(b_0\geqslant 10\) et \(\frac{\pi}{6}\leqslant \theta_0 \leqslant \frac{\pi}{2}\text{,}\) de sorte que \(\cot\theta_0\leqslant \cot\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}\leqslant 2\text{.}\) Alors,
\begin{align*} 100\left|\frac{\De a}{a_0}\right|&\leqslant 100\left|\frac{\De a}{10}\right| = 10\,|\De a|,\\ 100\left|\frac{\De b}{b_0} \right|&\leqslant 100\left|\frac{\De b}{10} \right| = 10\,|\De b|,\\ 100|\De\theta|\ \left|\frac{\cos\theta_0}{\sin\theta_0} \right| &\leqslant 100|\De\theta|\ 2 =200\,|\De\theta| \end{align*}
et
\begin{gather*} 100\frac{|\De A|}{A(a_0,b_0,\theta_0)} \lesssim 10\,|\De a| + 10\,|\De b| +200\,|\De\theta|\text{,} \end{gather*}
de sorte qu’il suffira d’avoir des erreurs de mesure \(|\De a|\text{,}\) \(|\De b|\) et \(|\De\theta|\) vérifiant
\begin{equation*} 10\,|\De a| + 10\,|\De b| +200\,|\De\theta| \lt 1\text{.} \end{equation*}

Exemple 2.4.23.

Supposons que trois variables sont mesurées avec un pourcentage d’erreur \(\veps_1,\ \veps_2\) et \(\veps_3\) respectivement. En d’autres termes, si la valeur exacte de la variable \(i\) est \(x_i\) et que l’erreur mesurée de cette même variable est \(x_i+\De x_i\text{,}\) alors
\begin{equation*} 100\ \left|\frac{\De x_i}{x_i}\right|=\veps_i\text{.} \end{equation*}
Supposons de plus qu’une quantité \(P\) se calcule comme le produit de trois variables. Ainsi, la valeur exacte de \(P\) est \(P(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2x_3 \text{,}\) et la valeur calculée à partir des mesures est \(P(x_1+\De x_1,\,x_2+\De x_2,\,x_3+\De x_3)\text{.}\) Quel est le pourcentage d’erreur dans cette valeur calculée de \(P\text{?}\)
Solution.
Le pourcentage d’erreur dans la valeur calculée \(P(x_1+\De x_1,\,x_2+\De x_2,\,x_3+\De x_3)\) est
\begin{equation*} 100\ \left|\frac{P(x_1+\De x_1,\,x_2+\De x_2,\,x_3+\De x_3)-P(x_1,x_2,x_3)} {P(x_1,x_2,x_3)}\right|\text{.} \end{equation*}
On peut obtenir une valeur approchée beaucoup plus simple qui est souvent suffisante dans les applications. L’approximation linéaire donne
\begin{align*} P(x_1+\De &x_1,\,x_2+\De x_2,\,x_3+\De x_3)\\ &\approx P(x_1,x_2,x_3) +P_{x_1}(x_1,x_2,x_3)\,\De x_1 +P_{x_2}(x_1,x_2,x_3)\,\De x_2\\ &\hskip1in+P_{x_3}(x_1,x_2,x_3)\,\De x_3\text{.} \end{align*}
Les trois dérivées partielles sont
\begin{alignat*}{4} P_{x_1}(x_1,x_2,x_3)&=\pdiff{}{x_1}\big[x_1x_2x_3\big] &=x_2x_3,\cr P_{x_2}(x_1,x_2,x_3)&=\pdiff{}{x_2}\big[x_1x_2x_3\big] &=x_1x_3,\cr P_{x_3}(x_1,x_2,x_3)&=\pdiff{}{x_3}\big[x_1x_2x_3\big] &=x_1x_2\text{.} \end{alignat*}
Ainsi,
\begin{align*} &P(x_1+\De x_1,\,x_2+\De x_2,\,x_3+\De x_3)\\ &\hskip1in\approx P(x_1,x_2,x_3) +x_2x_3\,\De x_1+x_1x_3\,\De x_2+x_1x_2\,\De x_3\text{,} \end{align*}
et le pourcentage d’erreur (approchée) pour \(P\) est
\begin{align*} &100\ \left| \frac{P(x_1+\De x_1,x_2+\De x_2,x_3+\De x_3)-P(x_1,x_2,x_3)}{P(x_1,x_2,x_3)} \right|\\ &\hskip0.5in \approx 100\ \left| \frac{x_2x_3\De x_1+x_1x_3\De x_2+x_1x_2\De x_3}{P(x_1,x_2,x_3)} \right|\\ &\hskip0.5in =100\ \left|\frac{x_2x_3\De x_1+x_1x_3\De x_2+x_1x_2\De x_3}{x_1x_2x_3}\right|\\ &\hskip0.5in=\left|100\frac{\De x_1}{x_1}+100\frac{\De x_2}{x_2} +100\frac{\De x_3}{x_3}\right|\\ &\hskip0.5in\leqslant \veps_1+\veps_2+\veps_3\text{.} \end{align*}
Plus généralement, si l’on prend \(n\) variables plutôt que \(3\text{,}\) le pourcentage d’erreur dans le produit devient approximativement \(\ \smsum\limits_{i=1}^n\veps_i. \ \) C’est la base de la règle du pouce en sciences expérimentales qui dit que quand on prend des produits, les pourcentages d’erreur s’additionnent.
Encore plus généralement, si l’on prend un produit \(\prod_{i=1}^n x_i^{m_i}\text{,}\) alors le pourcentage d’erreur dans ce produit est approximativement \(\ \smsum\limits_{i=1}^n|m_i|\veps_i. \ \)

Exercices Exercices

Pour se pratiquer.

1.
Trouvez une valeur approximative pour \(f(x,y)=\sin(\pi xy+\ln y)\) en \((0.01,1.05)\) sans utiliser une calculatrice ou un ordinateur.
Réponse.
\(0.01\,\pi + 0.05 \approx 0.0814\)
2.
Soit \(\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+2y^2}\text{.}\) Trouvez une valeur approximative pour \(f (-0.9\,,\, 1.1)\) sans utiliser une calculatrice ou un ordinateur.
Réponse.
\(0.3\)
3.
Quatre nombres, chacun entre 0 et 50 (inclus), sont arrondis à la première décimale et ensuite multipliés ensemble. Estimez l’erreur maximale possible du produit calculé.
Réponse.
\(25000\)
4.
Soit \(z=f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}\text{.}\) Trouvez une valeur approximative pour \(f(-0.8,2.1)\text{.}\)
Réponse.
\(0.84\)
5.
Soit \(z = f(x,y)\) donné explicitement par
\begin{equation*} e^z + yz = x + y. \end{equation*}
  1. Trouvez la différentielle \(\dee{z}\text{.}\)
  2. Utilisez l’approximation linéaire au point \((1,0)\) pour approximer \(f(0.99,0.01)\text{.}\)
Réponse.
(a) La différentielle en \(x=a\text{,}\) \(y=b\) est \(\frac{\dee{x}}{e^{f(a,b)}+b} + \frac{1-f(a,b)}{e^{f(a,b)}+b} \,\dee{y}\)
(b) \(f\big(0.99\,,\,0.01\big) \approx 0\)
6.
Utilisez les différentielles pour trouver une approximation raisonnable pour la valeur de \(f(x,y)=xy\sqrt{x^2+y^2}\) en \(x=3.02\text{,}\) \(y=3.96\text{.}\) Notez que \(3.02\approx 3\) et \(3.96\approx 4\text{.}\)
Réponse.
\(59.560\)
7.
Utilisez les diffétrentielles pour estimer le volume de métal dans une canette de métal fermée dont le diamètre est de 8cm et la hauteur est de 12cm si le métal est 0.04cm de large.
Réponse.
\(\pi\times 128\times 0.04= 5.12\pi\approx 16.1\)cc
8.
Soit \(z\) une fonction de \(x\) et de \(y\) telle que
\begin{equation*} z^3 - z + 2xy - y^2 = 0,\qquad z(2, 4) = 1. \end{equation*}
  1. Trouvez l’approximation linéaire de \(z\) au point \((2, 4)\text{.}\)
  2. Utilisez votre réponse de la partie (a) pour estimer la valeur de \(z\) en \((2.02, 3.96)\text{.}\)
Réponse.
(a) \(z(x,y)\approx 1-4x+2y\)
(b) \(0.84\)
9.
Considérez la fonction \(f(x, y) = e^{-x^2 +4y^2}\text{.}\)
  1. Trouvez l’équation du plan tangent au graphe \(z = f (x,y)\) au point \((x, y) = (2, 1)\text{.}\)
  2. Trouvez l’approximation tangente de la valeur de \(f(1.99, 1.01)\) en utilisant le plan tangent trouvé à la partie (a).
Réponse.
(a) \(z=1-4x+8y\)
(b) \(1.12\)
10.
Soit \(z = f (x, y) = \ln(4x^2 + y^2)\text{.}\)
  1. Utilisez une approximation linéaire de la fonction \(z = f (x, y)\) en \((0, 1)\) afin d’estimer \(f(0.1, 1.2)\text{.}\)
  2. Trouvez un point \(P = (a, b, c)\) sur le graphe de \(z = f(x, y)\) tel que le plan tangent du graphe de \(z = f (x, y)\) au point \(P\) est parallèle au plan \(2x + 2y - z = 3\text{.}\)
Réponse.
(a) \(f(0.1,1.2) \approx 0.4\)
(b) \(\left(\frac{1}{5}\,,\,\frac{4}{5}\,,\,\ln\frac{4}{5}\right)\)
11.
  1. Trouvez l’équation du plan tangent à la surface \(x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2\) au point \(P = (1,1,-1)\text{.}\)
  2. Soit \(z\) défini implicitement par \(x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2\text{.}\) Trouvez \(\pdiff{z}{x}\) au point \(P = (1,1,-1)\text{.}\)
  3. Soit \(z\) la même fonction implicite que dans la partie (ii), définie par l’équation \(x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2\text{.}\) Soit \(x = 0.97\text{,}\) et \(y = 1\text{.}\) Trouvez la valeur approximative de \(z\text{.}\)
Réponse.
(a) \(-(2+\pi)x +2y +3z = -\pi-3\)
(b) \(\pdiff{z}{x}(1,1) = \frac{\pi+2}{3}\)
(c) \(z(0.97,1) \approx -\frac{\pi+102}{100}\)
12.
La surface \(x^4+y^4+z^4+xyz=17\) passe par le point \((0,1,2)\text{,}\) et près de ce point la surface détermine \(x\) comme une fonction, \(x=F(y,z)\text{,}\) de \(y\) et de \(z\text{.}\)
  1. Trouvez \(F_y\) et \(F_z\) en \((x,y,z)=(0,1,2)\text{.}\)
  2. Utilisez l’approximation par le plan tangent (aussi connue sous le nom d’approximation linéaire de premier ordre ou approximation différentielle) pour trouver la valeur approximative de \(x\) (près de \(0\)) tel que \((x,1.01, 1.98)\) se trouve sur la surface.
Réponse.
(a) \(F_y(1,2)=-2\text{,}\)\ \(F_z(1,2)=-16\)
(b) \(0.3\)

Pour mieux comprendre.

13.
Soit \(x_0\) et \(y_0\) des constantes et soit \(m\) et \(n\) des entiers. Si \(m \lt 0\) supposez que \(x_0\ne 0\text{,}\) et si \(n \lt 0\) supposez que \(y_0\ne 0\text{.}\) Définissez \(P(x,y) = x^m y^n\text{.}\)
  1. Trouvez l’approximation linéaire en \(P(x_0+\De x,y_0+\De y)\text{.}\)
  2. Dénotez par
    \begin{align*} P_\% &= 100\left|\frac{P(x_0+\De x,y_0+\De y)-P(x_0,y_0)}{P(x_0,y_0)}\right|\\ x_\% &= 100\left|\frac{\De x}{x_0}\right|\\ y_\% &= 100\left|\frac{\De y}{y_0}\right| \end{align*}
    le pourcentage d’erreurs en \(P\text{,}\) \(x\) et \(y\) respectivement. Utilisez l’approximation linéaire pour trouver la (approximation) borne supérieure sur \(P_\%\) en termes de \(m\text{,}\) \(n\text{,}\) \(x_\%\) et \(y_\%\text{.}\)
Réponse.
(a) \(P(x_0+\De x,y_0+\De y) \approx P(x_0,y_0) + mx_0^{m-1}y_0^n\,\De x + nx_0^m y_0^{n-1}\,\De y\)
(b) \(P_\%\leqslant|m|\,x_\% + |n|\,y_\%\)
14.
Considérez le travail suivant.
Nous calculons, approximativement, la coordonnée \(y\) du point dont les coordonnées polaires sont \(r=0.9\) et \(\theta=2^\circ\text{.}\) En general, la coordonnée \(y\) du point dont les coordonnées polaires sont \(r\) et \(\theta\) est \(Y(r,\theta) = r\sin\theta\text{.}\) Les dérivées partielles
\begin{equation*} Y_r(r,\theta)=\sin\theta\qquad Y_\theta(r,\theta) = r\cos\theta \end{equation*}
Donc l’approximation linéaire à \(Y(r_0+\De r,\theta_0+\De\theta)\) avec \(r_0=1\) et \(\theta_0=0\) est
\begin{align*} Y(1+\De r,0+\De\theta) &\approx Y(1,0) + Y_r(1,0)\,\De r + Y_\theta(1,0)\,\De\theta\\ &= 0\ +\ (0)\,\De r\ +\ (1)\De\theta \end{align*}
En appliquant ceci avec \(\De r=-0.1\) et \(\De\theta=2\) on à que la (approximation) coordonnée \(y\)
\begin{gather*} Y(0.9,2) = Y(1-0.1\,,\, 0+2)\approx 0\ +\ (0)\,(-0.1)\ +\ (1)(2) =2 \end{gather*}
Cette conclusion est ridicule. Nous disons que la coordonnée \(y\) est plus que deux fois la distance du point à l’origine. Quelle est l’erreur?
Réponse.
On utilise le fait que \(\diff{}{\theta}\sin\theta = \cos\theta\text{.}\) Ceci est vrai seulement si \(\theta\) est donnée en radians, pas en degrés.
15.
Un côté d’un triangle à angle droit mesure \(3\) unités avec une erreur maximale possible de \(\pm 0.1\text{,}\) et l’autre côté mesure \(4\) unités avec une erreur maximale possible de \(\pm 0.2\text{.}\) Utilisez l’approximation linéaire pour estimer l’erreur maximale possible en calculant la longueur de l’hypoténuse du triangle à angle droit.
Réponse.
\(0.22\)
16.
Si deux résistances ayant une résistance de \(R_1\) et de \(R_2\) sont en parallèles, alors la résistance résultante R satisfait l’équation \(\frac{1}{R} =\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\text{.}\) Utilisez l’approximation linéaire pour estimer le changement dans \(R\) si \(R_1\) décroît de \(2\) à \(1.9\) ohms et \(R_2\) croît de 8 à 8.1 ohms.
Réponse.
\(-0.06\)
17.
La résistance totale \(R\) de trois résistances, \(R_1\text{,}\) \(R_2\text{,}\) \(R_3\text{,}\) connectées en parallèles est déterminée par
\begin{equation*} \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3} \end{equation*}
Si les résistances, mesurées en Ohms, sont \(R_1=25\) ohms, \(R_2=40\) ohms et \(R_3=50\) ohms, avec une erreur possible de 0.5% dans chaque cas, estimez l’erreur maximale dans la valeur calculée de \(R\text{.}\)
Réponse.
\(\frac{1}{17}\approx 0.059\)
18.
La gravité spécifique \(S\) d’un objet est donnée par \(\ S=\frac{A}{A-W}\ \text{,}\) où \(A\) est le poids de l’objet lorsque dans les airs et \(W\) est le poids de l’objet dans l’eau. Si \(\ A=20\pm .01\ \) et \(\ W=12\pm.02\ \) trouvez l’approximation de l’erreur relative en calculant \(S\) avec les mesures données.
Réponse.
\(\frac{13}{40}\%=0.325\%\)
19.
La pression dans un solide est donnée par
\begin{equation*} P(s,r) = sr(4s^2 - r^2 - 2) \end{equation*}
où \(s\) est la chaleur spécifique et \(r\) est la densité. On s’attend à ce que la mesure \((s,r)\) soit approximativement \((2,2)\) et on voudrait avoir la valeur la plus précise possible pour \(P\text{.}\) Il y a deux façons différentes de mesurer \(s\) et \(r\text{.}\) La méthode \(1\) a une erreur pour \(s\) de \(\pm 0.01\) et une erreur pour \(r\) de \(\pm 0.1\text{,}\) tandis que la méthode 2 a une erreur de \(\pm 0.02\) pour \(s\) et pour \(r\text{.}\)
Devrions-nous utiliser la méthode 1 ou la méthode 2? Expliquez votre raisonnement.
Réponse.
La méthode 1 est meilleure.
20.
Une poutre rectangulaire qui est supportée à ses deux extrémités supportant une charge uniforme s’affaisse d’une quantité
\begin{equation*} S=C\frac{p\ell^4}{w h^3}\text{,} \end{equation*}
où \(p={\rm charge}\text{,}\) \(\ell={\rm longueur}\text{,}\) \(h={\rm hauteur}\text{,}\) \(w={\rm largeur}\) et \(C\) est une constante. Supposons que \(p\approx 100\text{,}\) \(\ell\approx 4\text{,}\) \(w\approx .1\) et \(h\approx.2\text{.}\) L’affaissement de la poutre sera-t-il plus sensible aux changements de hauteur de la poutre ou à des changements dans la largeur de la poutre?
Réponse.
L’affaissement sera plus sensible aux chagements de hauteur.
21.
Supposez qu’une fonction \(z = f (x, y)\) est implicitement définie par une équation:
\begin{equation*} xyz + x + y^2 + z^3 = 0 \end{equation*}
  1. Trouvez \(\pdiff{z}{x}\text{.}\)
  2. Si \(f(-1, 1) \lt 0\text{,}\) trouvez l’approximation linéaire de la fonction \(z = f (x, y)\) à \((-1, 1)\text{.}\)
  3. Si \(f(-1, 1) \lt 0\text{,}\) utilisez l’approximation linéaire en (b) pour approximer \(f(-1.02, 0.97)\text{.}\)
Réponse.
(a) \(f_x(x,y) = -\frac{y\,f(x,y) +1}{3f(x,y)^2 +xy}\)
(b) \(f(x,y) \approx -1 -\frac{3}{2} (y-1)\)
(c) \(-0.955\)
22.
Deux côtés et l’angle qu’ils forment dans triangle sont mesurés pour être \(3\pm.1\)m, \(4\pm.1\)m et \(90\pm 1^\circ\) respectivement. La longueur du troisième côtée est alors calculée en utilisant la loi du cosinus \(C^2=A^2+B^2-2AB\cos\theta\text{.}\) Quelle est l’erreur approximative maximale de la valeur calculée pour \(C\text{?}\)
23.
Considérez la surface donnée par:
\begin{equation*} z^3 - xyz^2 - 4x = 0. \end{equation*}
  1. Trouvez les expressions pour \(\pdiff{z}{x}\text{,}\) \(\pdiff{z}{y}\) comme fonctions de \(x\text{,}\) \(y\) et \(z\text{.}\)
  2. Évaluez \(\pdiff{z}{x}\text{,}\) \(\pdiff{z}{y}\) en \((1, 1, 2)\text{.}\)
  3. Les mesures sont effectuées avec erreurs, de telle sorte que \(x = 1 \pm 0.03\) et \(y = 1 \pm 0.02\text{.}\) Trouvez l’erreur maximale de mesure pour \(z\text{.}\)
  4. Une particule se déplace sur la surface le long d’un chemin dont la projection dans le plan \(xy\) est donnée en termes de l’angle \(\theta\) comme étant
    \begin{equation*} x(\theta) = 1 + \cos\theta,\ y(\theta) = \sin\theta \end{equation*}
    du point \(A : x = 2,\ y = 0\) jusqu’au point \(B : x = 1,\ y = 1\text{.}\) Trouvez \(\diff{z}{\theta}\) aux points \(A\) et \(B\text{.}\)
Réponse.
(a) \(\pdiff{z}{x} = \frac{4+yz^2}{3z^2-2xyz}\text{,}\) \(\pdiff{z}{x} = \frac{xz^2}{3z^2-2xyz}\)
(b) \(\pdiff{z}{x}(1,1) = 1\text{,}\) \(\pdiff{z}{y}(1,1) = \frac{1}{2}\)
(c) \(\pm 0.04\)
(d) À \(A\text{,}\) \(\diff{z}{\theta} =\frac{2}{3}\text{.}\)
À \(B\text{,}\) \(\diff{z}{\theta} = -1\text{.}\)
24.
Considérez la fonction \(f\) qui associe chaque point \((x, y)\) dans \(\R^2\) à \(ye^{-x}\text{.}\)
  1. Supposez que \(x = 1\) et \(y = e\text{,}\) mais que des erreurs de taille \(0.1\) sont faites en mesurant chacun des \(x\) et \(y\text{.}\) Estimez l’erreur maximale que ceci peut causer sur \(f(x,y)\text{.}\)
  2. Le graphe de la fonction \(f\) se situe dans \(\R^3\text{,}\) et le point \((1, e, 1)\) se situe dans le graphe. Trouvez un vecteur non-nul qui est perpendiculaire à ce graphe en ce point.
Réponse.
(a) \(\frac{1+e^{-1}}{10}\)
(b) n’importe quelle constante multipliée par \(\llt -1\,,\,e^{-1}\,,\,-1\rgt\)
25.
Une surface est définie implicitement par \(z^4 - xy^2 z^2 + y = 0\text{.}\)
  1. Calculez \(\pdiff{z}{x}\text{,}\) \(\pdiff{z}{y}\) en termes de \(x\text{,}\) \(y\) et \(z\text{.}\)
  2. Évaluez \(\pdiff{z}{x}\) et \(\pdiff{z}{y}\) en \((x, y, z) = (2, -1/2, 1)\text{.}\)
  3. Si \(x\) décroît de \(2\) à \(1.94\text{,}\) et \(y\) croît de \(-0.5\) à \(-0.4\text{,}\) trouvez le changement approximatif de \(z\) en \(1\text{.}\)
  4. Trouvez l’équation du plan tangent à la surface au point \((2, -1/2, 1)\text{.}\)
Réponse.
(a) \(\pdiff{z}{x} = \frac{y^2 z^2}{4z^3-2xy^2z}\text{,}\) \(\pdiff{z}{y} = \frac{2xy\, z^2-1}{4z^3-2xy^2 z}\)
(b) \(\pdiff{z}{x}(2,-1/2) =\frac{1}{12} \text{,}\) \(\pdiff{z}{y}(2,-1/2) =-1\)
(c) \(f(1.94,-0.4) - 1 \approx -0.105\)
(d) \(\frac{x}{12} -y -z = -\frac{1}{3}\)
26.
Une surface \(z = f (x, y)\) admet les dérivées \(\pdiff{f}{x}=3\) et \(\pdiff{f}{y}=-2\) en \((x, y, z) = (1, 3, 1)\text{.}\)
  1. Si \(x\) croît de \(1\) à \(1.2\text{,}\) et \(y\) décroît de \(3\) à \(2.6\text{,}\) trouvez le changement en \(z\) à l’aide d’une approximation linéaire.
  2. Trouvez l’équation du plan tangent à la surface au point \((1, 3, 1)\text{.}\)
Réponse.
(a) \(1.4\)
(b) \(3x-2y-z = -4\)
27.
D’après l’équation de van der Waal, un gaz satisfait l’équation
\begin{equation*} (pV^2 + 16)(V - 1) = T V^2 , \end{equation*}
où \(p\text{,}\) \(V\) et \(T\) dénotent la pression, le volume et la température respectivement. Supposons que le gaz est maintenant à une pression de \(1\text{,}\) un volume de \(2\) et une température de \(5\text{.}\) Trouvez l’approximation du changement de volume si \(p\) augmente de \(0.2\) et \(T\) augmente de \(0.3\text{.}\)
Réponse.
\(0.1\)
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