Sauter au contenu Table des matières Précédent Haut Suivant \( \newcommand{\N}{\mathbb N}
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{\pmb{\scriptscriptstyle\nabla}} } }
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\)
Section C.2 Dérivées partielles et champs gradients
Le calcul des dérivées partielles avec SageMath se fait avec la commande diff(...). À nouveau, plusieurs options sont disponibles : diff(f,x,1,y,2) par exemple retourne la dérivée partielle d’une fonction \(f\) (qui doit être définie) par rapport à \(x\) une fois, et par rapport à \(y\) deux fois, c’est à dire
\begin{equation*}
\frac{\partial^3 f}{\partial x\, \partial y^2}\text{.}
\end{equation*}
Voici d’autres exemples.
Ceci définit la fonction \(f(x,y) = xye^{x^2}\) puis on calcule certaines dérivées, à savoir :
La dérivée partielle d’ordre 2 : \(\frac{\partial^2 f}{\partial x\, \partial y}\)
La dérivée partielle d’ordre 2 : \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\)
La dérivée totale (du premier ordre de \(f\) ), à savoir la fonction que nous avons notée \(\vD f(x,y)\text{.}\)
La commande f.gradient() est une autre façon d’obtenir la dérivée (totale, du premier ordre) d’une fonction à valeurs scalaires \(f\text{.}\)
La dérivée totale d’ordre \(2\text{,}\) de \(f\text{,}\) \(\vD^2f(x,y)\text{,}\) c’est à dire la matrice hessienne de \(f\)
La commande f.hessian() est une autre façon d’obtenir la matrice hessienne d’une fonction \(f\text{.}\)
Voyons maintenant comment représenter un champ de vecteurs, avec la commande
plot_vector_field(..). Dans l’exemple ci-bas, on considère le champ
\(\vF(x,y) = -y\, \vi + x\, \vj \text{,}\) celui de la
figure 4.1.8 .
Pour le champ gradient d’une fonction \(f\) déjà définie, on pourrait faire plot_vector_field(f.gradient()...).
