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Section C.2 Dérivées partielles et champs gradients

Le calcul des dérivées partielles avec SageMath se fait avec la commande diff(...). À nouveau, plusieurs options sont disponibles : diff(f,x,1,y,2) par exemple retourne la dérivée partielle d’une fonction \(f\) (qui doit être définie) par rapport à \(x\) une fois, et par rapport à \(y\) deux fois, c’est à dire
\begin{equation*} \frac{\partial^3 f}{\partial x\, \partial y^2}\text{.} \end{equation*}
Voici d’autres exemples.
Ceci définit la fonction \(f(x,y) = xye^{x^2}\) puis on calcule certaines dérivées, à savoir :
  1. La dérivée partielle d’ordre 2 : \(\frac{\partial^2 f}{\partial x\, \partial y}\)
  2. La dérivée partielle d’ordre 2 : \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\)
  3. La dérivée totale (du premier ordre de \(f\)), à savoir la fonction que nous avons notée \(\vD f(x,y)\text{.}\)
  4. La commande f.gradient() est une autre façon d’obtenir la dérivée (totale, du premier ordre) d’une fonction à valeurs scalaires \(f\text{.}\)
  5. La dérivée totale d’ordre \(2\text{,}\) de \(f\text{,}\) \(\vD^2f(x,y)\text{,}\) c’est à dire la matrice hessienne de \(f\)
  6. La commande f.hessian() est une autre façon d’obtenir la matrice hessienne d’une fonction \(f\text{.}\)
Voyons maintenant comment représenter un champ de vecteurs, avec la commande plot_vector_field(..). Dans l’exemple ci-bas, on considère le champ\(\vF(x,y) = -y\, \vi + x\, \vj \text{,}\) celui de la figure 4.1.8.
Pour le champ gradient d’une fonction \(f\) déjà définie, on pourrait faire plot_vector_field(f.gradient()...).