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Calcul multivariable: Une approche libre

Juan Carlos Bustamante

Section 4.3 Le rotationnel et la divergence

Dans cette section, nous nous intéressons au calcul différentiel des champs vectoriels. Plus précisément, nous considérons le rotationnel et la divergence d’un champ de vecteurs. Si l’on pense au champ comme un à champ de vitesses, il s’agit de mesures qui permettent, jusqu’à un certain point, de caractériser ce champ par sa tendance à créer des rotations (sans déplacement) ou comme une source. Ces quantités seront intimement liées aux intégrales de flux rencontrées dans la section précédente, à savoir la circulation d’un champ (en lien avec le rotationnel) et le flux d’un champ à travers une courbe (en lien avec la divergence).

Sous-section Le rotationnel

Nous voulons mesurer la tendance que notre champ \(\vF\) a à créer un tourbillon en un point \((x_0,y_0)\) donné. Imaginons que nous disposons d’une roue à palettes, que nous déposons sur la surface de notre liquide. La roue ne peut pas bouger vers un autre point, mais le liquide peut faire tourner la roue.
Figure 4.3.1. Un champ de vitesses d’un liquide peut avoir tendance à créer un tourbillon en un point donné. La rotation a un axe dirigé par le vecteur \(\vn\text{,}\) normal au plan de rotation. Dans le cas des champs dans \(\R^2\text{,}\) cet axe est le vecteur \(\vk\text{.}\) Figure tirée de Calculus Volume 3, d’OpenStax
Considérons la trajectoire orientée dans le sens contraire des aiguilles d’une montre \(\cC\text{,}\) formée par :
  • \(\cC_1\text{,}\) le segment joignant \((x_0,y_0)\) à \((x_0+\De x, y_0)\text{,}\)
  • \(\cC_2\text{,}\) le segment joignant \((x_0+\De x,y_0)\) à \((x_0+\De x, y_0+ \De y)\text{,}\)
  • \(\cC_3\text{,}\) le segment joignant \((x_0+\De x,y_0 + \De y)\) à \((x_0, y_0+ \De y)\text{,}\) et finalement
  • \(\cC_4\text{,}\) le segment joignant \((x_0,y_0 + \De y)\) à \((x_0, y_0)\text{.}\)
Ainsi, nous avons le flux de \(\vF\) autour de \(\cC\text{:}\)
\begin{equation*} \oint_{\cC} \vF \cdot \dee{\vr} = \int_{\cC_1} \vF \cdot \dee{\vr} + \int_{\cC_2} \vF \cdot \dee{\vr} + \int_{\cC_3} \vF \cdot \dee{\vr} + \int_{\cC_4} \vF \cdot \dee{\vr}. \end{equation*}
Une trajectoire rectangulaire
Comme d’habitude, nous supposons \(\De x\) et \(\De y\) petits et que les composantes du champ \(\vF\) sont continues et possèdent des dérivées partielles continues. Sur chacun des segments, nous voulons une approximation de \(\vF \cdot \De \vr\text{,}\) ce que nous obtenons en choisissant un point d’échantillonnage pour l’évaluation du champ \(\vF\) sur chaque portion du trajet.
Portion Point évaluation \(\De \vr\) \(\vF \cdot \De \vr\)
\(\cC_1\text{,}\) bas \((x_0,y_0)\) \(\phantom{-}\De x\,\vi\) \(P(x_0,y_0)\De x\)
\(\cC_2\text{,}\) droite \((x_0+\De x,y_0)\) \(\phantom{-}\De y\,\vj\) \(Q(x_0+\De x,y_0)\De y\)
\(\cC_3\text{,}\) haut \((x_0,y_0 + \De y)\) \(-\De x\,\vi\) \(-P(x_0,y_0 + \De y)\De x\)
\(\cC_4\text{,}\) gauche \((x_0,y_0)\) \(-\De y\,\vj\) \(-Q(x_0,y_0)\De y\)
Ainsi, le flux correspondant aux portions horizontales du trajet est
\begin{align*} \int_{\cC_1} \vF \cdot \dee{\vr} + \int_{\cC_3} \vF \cdot \dee{\vr} \amp\approx \left[(P(x_0,y_0) - P(x_0, y_0 + \De y)\right] \De x \\ \amp = -\left[P(x_0, y_0 + \De y) - P(x_0,y_0) \right]\De x\\ \amp\approx -\pdiff{P}{y}(x_0, y_0) \De y\, \De x, \end{align*}
puisque nous avons l’hypothèse de la continuité de la dérivée partielle \(\pdiff{P}{y}\text{.}\)
De la même façon, le flux correspondant aux composantes verticales de la trajectoire est
\begin{align*} \int_{\cC_2} \vF \cdot \dee{\vr} + \int_{\cC_4} \vF \cdot \dee{\vr} \amp\approx \left[(Q(x_0 + \De x,y_0) - P(x_0, y_0)\right] \De y \\ \amp\approx \pdiff{Q}{y}(x_0, y_0) \De x\, \De y, \end{align*}
puisque nous avons l’hypothèse de la continuité de la dérivée partielle \(\pdiff{Q}{x}\text{.}\)
Le flux total est donc
\begin{align*} \oint_{\cC} \vF \cdot \dee{\vr} \amp=\sum_{i=1}^4 \int_{\cC_i} \vF \cdot \dee{\vr} \approx \left[\pdiff{P}{y}(x_0, y_0) - \pdiff{Q}{x} (x_0,y_0)\right]\De y \De x. \end{align*}
La densité de circulation, c’est-à-dire le flux par unité d’aire, est donc
\begin{equation*} \frac{\text{Flux}}{\text{Aire}} \approx \pdiff{P}{y} - \pdiff{Q}{x}. \end{equation*}

Exemple 4.3.2.

Considérons le champ \(\vF(x,y) = (x^2 -1)\vj\text{.}\) Sa densité de circulation est
\begin{equation*} \pdiff{(x^2 -1)}{x} - \pdiff{0}{y} = 2x. \end{equation*}
Le champ est représenté dans la figure ci-bas. Notons que toutes les flèches sont verticales vers le bas. On pourrait donc penser que ce champ représente une translation et que le rotationnel devrait être nul. En bout de ligne, ce n’est pas à une figure comme celle-ci qu’on pense lorsque l’idée d’un tourbillon est considérée.
Un champ vectoriel .
Figure 4.3.3. Le champ \(\vv = (x^2 - 1)\vj\)
Cependant, pensons à notre roue à palettes. S’il est vrai qu’elle voyagerait en suivant une translation donnée par des lignes droites vers le bas (les lignes de courant de ce champ sont effectivement ces droites), elle voyagerait en tournant sur elle-même. Au point \(A\text{,}\) par exemple, la vitesse du fluide à la droite de la roulette est légèrement inférieure à celle à la gauche (mais toujours près de \(A\)). Il en résulterait une faible rotation dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. Ceci correspond au fait que \(x_A \gt 0\text{,}\) et donc la densité de circulation en ce point vaut \(2x_A \gt 0\text{.}\)
Autour du point \(B\text{,}\) la situation est inversée.

Exemple 4.3.4.

Considérons le champ de vecteurs \(\vF = \sin y \, \vi + \cos x\, \vj \text{.}\) Son rotationnel (à proprement parler sa composante \(\vk\)) est \(\pdiff{}{x}\cos x - \pdiff{}{y}\sin y = -(\sin x + \cos y)\text{.}\)
La figure ci-bas montre
  • le champ \(\vF\text{,}\) indiqué par les flèches noires;
  • les courbes de niveau de la fonction \(-(\sin x + \cos y)\text{.}\)
described in detail following the image
Une champ, et la composante \(\vk\) de son rotationnel
On observe notamment que les valeurs élevées du rotationnel, ce qui correspond aux zones bleues, par exemple près du point \((-\pi/2,\pi)\text{,}\) correspondent aux endroits où le champ a une forte tendance à tourbillonner (sur lui même) dans le sens antihoraire. De la même façon, les zones rouges correspondent aux endroits où le tourbillon est fort en intensité, mais tourne dans le sens horaire. La droite qui joint \((-3\pi/2,\pi)\) à \((\pi, -3\pi/2)\text{,}\) par exemple, correspond à une zone de faible rotation, nous avons plutôt une tendance à un mouvement de translation sur cette région.
Pour les champs à 3 composantes, les choses sont passablement plus complexes. S’il est vrai qu’une rotation dans le plan ne peut avoir comme axe qu’un point (ou une droite perpendiculaire au plan passant par ce point si l’on tient à voir les choses en trois dimensions), dans l’espace, les axes de rotation peuvent avoir n’importe quelle orientation. La densité de circulation doit tenir compte de ceci, on devra avoir une densité de circulation pour chaque axe! Pour cette raison, il devra s’agir d’un champ de vecteurs à son tour.
On peut effectuer un raisonnement comme celui qui a mené à la notion de densité de circulation pour les champs à trois composantes. Ceci mène à la définition suivante.

Définition 4.3.5.

Le rotationnel du champ de vecteurs \(\vF = P\,\vi + Q\,\vj + R\,\vk\) est le champ \(\vnabla\times\vF(x,y,z)\text{,}\) aussi noté \(\rot \vF\text{,}\) défini par
\begin{align*} \vnabla\times\vF &=\Big(\frac{\partial R }{\partial y} -\frac{\partial Q }{\partial z} \Big)\vi +\Big(\frac{\partial P}{\partial z} -\frac{\partial R }{\partial x} \Big)\vj +\Big(\frac{\partial Q }{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \Big)\vk\\ &=\det\left[\begin{matrix} \vi & \pdiff{}{x} & P \\ \vj & \pdiff{}{y} & Q \\ \vk & \pdiff{}{z}& R \end{matrix}\right]\text{.} \end{align*}
  • En particulier, lorsqu’on a affaire à un champ dans le plan, le rotationnel devient \(\displaystyle\Big(\frac{\partial Q }{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \Big)\vk\text{.}\) C’est un champ dont une seule composante est non nulle. Pour cette raison, on commet souvent l’abus de langage qui consiste à dire que le rotationnel de \(\vF(x,y) = P(x,y)\, \vi + Q(x,y)\, \vj\) est la quantité \(\frac{\partial Q }{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\text{.}\)
  • L’utilisation du déterminant est en réalité un procédé mnémotechnique, souvent utilisé afin de faire les calculs, puisqu’il est facile de se tromper dans les signes.

Exemple 4.3.6.

Soit \(\vF(x,y,z) = (x^2 -y)\, \vi + 4z\, \vj + x^2\, \vk \text{.}\) Calculer le rotationnel de \(\vF\text{.}\)
On calcule directement
\begin{align*} \rot \vF = \vnabla \times \vF \amp = \begin{vmatrix} \vi & \pdiff{}{x} & x^2-y \\ \vj & \pdiff{}{y} & 4z \\ \vk & \pdiff{}{z}& x^2 \end{vmatrix} \\ \amp =\left(\pdiff{x^2}{y} - \pdiff{}{z}(4z) \right)\vi - \left(\pdiff{x^2}{x} - \pdiff{}{y}(x^2 - y)\right)\vj \\ \amp+ \left(\pdiff{}{x}(4z) -\pdiff{}{y}(x^2 - y) \right)\vk \\ \amp=-4\,\vi -2x\, \vj + \vk \end{align*}
Nous savons que le champ gradient d’une fonction \(f\) donne la direction de plus forte augmentation de la valeur de cette fonction. Nous verrons dans la Section 4.4 d’autres raisons pour lesquelles il est important de pouvoir décider si un champ est un champ gradient ou pas.
Une des utilités du rotationnel est qu’il peut être utilisé pour dépister les champs gradients. En effet, le résultat suivant nous dit que ceux-ci sont irrotationnels
 1 
C’est-à-dire que leur rotationnel est nul.
.

Démonstration.

Soit \(f\) une fonction de classe \(C^2\text{.}\) Alors, \(\vnabla f = f_x\, \vi + f_y\, \vj + f_z\, \vk\text{,}\) de sorte que
\begin{align*} \vnabla \times \vnabla f \amp = \begin{vmatrix} \vi & \pdiff{}{x} & f_x \\ \vj & \pdiff{}{y} & f_y \\ \vk & \pdiff{}{z}& f_z \end{vmatrix} \\ \amp = \left(\pdiff{f_z}{y} - \pdiff{f_y}{z}\right)\vi + \left(\pdiff{f_x}{z} - \pdiff{f_z}{x}\right)\vj = \left(\pdiff{f_y}{x} - \pdiff{f_x}{y}\right)\vk\\ \amp = \left(f_{zy} - f_{yz}\right)\vi + \left(f_{xz} - f_{zx}\right)\vj + \left(f_{yx} - f_{xy}\right)\vk \end{align*}
Or, \(f\) étant supposée de classe \(C^2\text{,}\) le Théorème 2.3.16 donne l’égalité des dérivées partielles croisées, et la conclusion suit.

Exemple 4.3.8.

Nous avons vu à l’Exemple 4.1.10 qu’il n’existe pas de fonction \(f\) telle que \(\vnabla f = xy\, \vi + (y^2 +1)\, \vj\text{.}\)
Avec les notations et les concepts introduits dans cette section, nous pouvons revoir ceci comme suit : posons \(\vG = xy\, \vi + (y^2 +1)\, \vj \text{.}\) Comme \(\vnabla \times \vG = -x\,\vk\text{,}\) qui est non nul, le champ \(\vG\) n’est pas irrotationnel. Il ne peut donc pas être un champ gradient.

Sous-section La divergence

Nous voulons maintenant savoir dans quelle mesure le champ \(\vF\) se comporte comme une source (voir l’exemple 4.1.4 ) dans un voisinage d’un point \((x_0,y_0)\) donné. Ceci revient à considérer le flux de \(\vF\) à travers une courbe fermée \(\cC\text{.}\)
Pour ceci, nous considérons la trajectoire fermée orientée dans le sens des aiguilles d’une montre \(\cC\text{,}\) formée par
  • \(\cC_1\text{,}\) le segment joignant \((x_0,y_0)\) à \((x_0+\De x, y_0)\text{,}\)
  • \(\cC_2\text{,}\) le segment joignant \((x_0+\De x,y_0)\) à \((x_0+\De x, y_0+ \De y)\text{,}\)
  • \(\cC_3\text{,}\) le segment joignant \((x_0+\De x,y_0 + \De y)\) à \((x_0, y_0+ \De y)\text{,}\) et finalement
  • \(\cC_4\text{,}\) le segment joignant \((x_0,y_0 + \De y)\) à \((x_0, y_0)\text{.}\)
Soit, par ailleurs, \(\vn\) un vecteur unitaire normal à la courbe, pointant vers l’extérieur. Comme nous l’avons vu, le flux à travers \(\cV\) est
\begin{equation*} \int_{\cC} \vF \cdot \vn \, \dee{s} = \int_{\cC_1} \vF \cdot \vn \, \dee{s} + \int_{\cC_2} \vF \cdot \vn \, \dee{s} + \int_{\cC_3} \vF \cdot \vn \, \dee{s} + \int_{\cC_4} \vF \cdot \vn \, \dee{s}. \end{equation*}
Comme précédemment, nous faisons une approximation de \(\vF \cdot \vn\) sur chaque portion de la trajectoire en choisissant un point d’évaluation pour \(\vF\text{.}\) Par ailleurs, la longueur de chaque portion de déplacement est \(\De s = \De x\) ou \(\De s= \De y\text{,}\) selon qu’on se trouve sur une portion horizontale ou verticale.
Une trajectoire rectangulaire
Portion Point évaluation \(\vn\) \(\vF \cdot \vn\ \De s\)
\(\cC_1\text{,}\) bas \((x_0,y_0)\) \(-\vj\) \(-Q(x_0,y_0)\De x\)
\(\cC_2\text{,}\) droite \((x_0+\De x,y_0)\) \(\phantom{-} \vi\) \(P(x_0+\De x,y_0)\De y\)
\(\cC_3\text{,}\) haut \((x_0,y_0 + \De y)\) \(\phantom{-} \vj\) \(Q(x_0,y_0 + \De y)\De x\)
\(\cC_4\text{,}\) gauche \((x_0,y_0)\) \(-\vi\) \(-P(x_0,y_0)\De y\)
Ainsi, le flux correspondant aux portions horizontales du trajet est
\begin{align*} \int_{\cC_1} \vF \cdot \vn \, \dee{s} + \int_{\cC_3} \vF \cdot \vn\, \dee{s} \amp\approx \left[-Q(x_0,y_0) + Q(x_0, y_0 + \De y)\right] \De x \\ \amp\approx \pdiff{Q}{y}(x_0, y_0) \De y\, \De x, \end{align*}
puisque nous avons supposé la continuité de \(\pdiff{Q}{y}\text{.}\)
De la même façon, le flux correspondant aux portions verticales est
\begin{align*} \int_{\cC_2} \vF \cdot \vn \, \dee{s} + \int_{\cC_4} \vF \cdot \vn\, \dee{s} \amp\approx \left[P(x_0+\De x,y_0) - P(x_0, y_0)\right] \De y \\ \amp\approx \pdiff{P}{x}(x_0, y_0) \De x\, \De y. \end{align*}
Le flux total est donc
\begin{align*} \oint_{\cC} \vF \cdot \vn \dee{s} \amp=\sum_{i=1}^4 \int_{\cC_i} \vF \cdot \vn\, \dee{s} \approx \left[\pdiff{P}{x}(x_0, y_0) + \pdiff{Q}{y} (x_0,y_0)\right]\De y \De x. \end{align*}
La densité de flux à travers, c’est-à-dire le flux par unité d’aire, est donc
\begin{equation*} \frac{\text{Flux}}{\text{Aire}} \approx \pdiff{P}{x} + \pdiff{Q}{y}. \end{equation*}

Définition 4.3.9.

La divergence du champ de vecteurs \(\vF = P\,\vi + Q\,\vj + R\,\vk\) est le champ \(\vnabla \cdot \vF(x,y,z)\text{,}\) aussi noté \(\div \vF\text{,}\) et est le champ défini par
\begin{align*} \vnabla \cdot \vF \amp = \pdiff{P}{x} + \pdiff{Q}{y} + \pdiff{R}{z}. \end{align*}
  • En particulier, lorsqu’on a affaire à un champ dans le plan, la divergence est \(\displaystyle \pdiff{P}{x} + \pdiff{Q}{y}\text{.}\)
  • À nouveau, l’écriture \(\vnabla \cdot \vF\) est un léger abus de notation, on conçoit \(\vnabla\) comme un vecteur formel, \(\vnabla = \pdiff{}{x}\vi + \pdiff{}{y}\vj + \pdiff{}{z}\vk\text{.}\)
Il faut noter que la difergence d’un champ vectorielune fonction à valeurs scalaires, à différence du rotationnel qui, lui, est un champ vectoriel.

Exemple 4.3.10.

Soit \(\vF(x,y) = -y\, \vi + x\, \vj\text{.}\) Alors sa divergence est
\begin{equation*} \div \vF = \vnabla \cdot \vF = \pdiff{}{x}(-y) + \pdiff{}{y}(x) = 0 \end{equation*}

Exemple 4.3.11.

Calculer la divergence du champ de vecteurs \(\vF = x^2 y \, \vi + z \,\vj + xyz\, \vk\text{.}\)
Solution.
On calcule directement :
\begin{equation*} \vnabla \cdot \vF = \pdiff{}{x}(x^2y) + \pdiff{}{y} (z)\,\vj + \pdiff{}{z}(xyz) = 2xy + 0 + xy = 3xy. \end{equation*}
Tout comme le rotationnel permet de dépister les champs gradients, la divergence permet de dépister les champs rotationnels. En effet, la divergence d’un tel champ est nulle, ce qu’on exprime en disant que les champs rotationnels sont “incompressibles”.

Démonstration.

En effet, avec les notations de l’énoncé, nous avons
\begin{equation*} \rot(\vF) = \vnabla \times \vF =(R_y-Q_z)\,\vi + (R_x-P_z)\,\vj + (Q_x - P_y)\,\vk \end{equation*}
et donc
\begin{align*} \vnabla \cdot (\vnabla \times \vF) \amp = \pdiff{}{x}(R_y - Q_z) + \pdiff{}{y}(R_x - P_z) + \pdiff{}{z}(Q_x - P_y)\\ \amp = R_{yx} - Q_{zx} + R_{xy} - P_{zy} + Q_{xz} - P_{yz}\\ \amp = 0 \end{align*}
où la dernière égalité vient encore une fois du Théorème de Clairault - Schwarz 2.3.16

Exemple 4.3.13.

Montrer qu’il n’existe pas de champ dont le rotationnel soit \(\vF = x\, \vi + y\, \vj + z\vk\)
Solution.
En effet, on calcule \(\vnabla \cdot \vF =\pdiff{x}{x} + \pdiff{y}{y} + \pdiff{z}{z} = 3.\)

Sous-section Le laplacien, et quelques identités

Il existe un autre opérateur différentiel souvent rencontré en sciences : il s’agit du laplacien
 2 
Pierre-Simon Laplace (1749-1827) était un mathématicien et astronome français. Il est également le Laplace de l’équation de Laplace, de la transformée de Laplace et de l’estimateur de Laplace-Bayes. Il fut l’examinateur de Napoléon lorsque celui-ci fréquentait l’École militaire de Paris.
. À la différence des autres opérateurs, il peut agir sur les fonctions ou sur les champs. De plus, il fait intervenir les dérivées du deuxième ordre.

Définition 4.3.14.

  1. Si \(f : (x,y,z)\mapsto f(x,y,z)\) est une fonction à valeurs scalaires, alors son laplacien est
    \begin{equation*} \Delta f= \vnabla^2 f =\vnabla\cdot\vnabla f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\text{.} \end{equation*}
  2. Si \(\vF : (x,y,z) \mapsto \vF(x,y,z)\) est un champ de vecteurs, alors son laplacien est le champ de vecteurs
    \begin{equation*} \Delta\vF= \vnabla^2\vF =\vnabla\cdot\vnabla \vF = \frac{\partial^2 \vF}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 \vF}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 \vF}{\partial z^2}\text{.} \end{equation*}
Remarquons que le laplacien d’une fonction est une fonction, tandis que celui d’un champ est un champ, en contraste avec ce que les autres opérateurs font.
Les opérateurs gradient, divergence, rotationnel et laplacien héritent des propriétés de la dérivation, mais, pour nos nouveaux opérateurs, nous avons un grand nombre de propriétés. Nous en donnons une liste de certaines identités. Les preuves viendront plus tard, mais il sera utile d’avoir un aide-mémoire
 3 
Qui non seulement économise de l’espace, mais aide aussi à la compréhension.
. Dans ce qui suit, nous utilisons la couleur bleue pour les identités qui sont souvent utilisées.
Aide-mémoire. La plupart des identités listées ci-haut, (en fait toutes sauf le Théorème 4.3.15e, le Théorème 4.3.17d et le Théorème 4.3.19) sont faciles à imaginer. Il faut simplement combiner la linéarité, les règles des produits avec les faits suivants :
  • Si le terme de gauche est un vecteur (ou un scalaire), alors le terme de droite doit aussi être un vecteur (ou un scalaire), et
  • les seuls produits valables entre des vecteurs sont le produit scalaire et le produit vectoriel, et
  • le produit d’un scalaire avec un scalaire ou un vecteur ne peut ni être un produit scalaire ni un produit vectoriel, et
  • \(\vA\times\vB = - \vB\times\vA\text{,}\) le produit vectoriel est anticommutatif.
Par exemple, considérons le Théorème 4.3.16c, qui dit que \(\vnabla\cdot(f\vF)=(\vnabla f)\cdot\vF+ f\,\vnabla\cdot\vF\text{.}\)
  • Le terme de gauche, \(\vnabla\cdot(f\vF)\text{,}\) est un scalaire, de sorte que celui de droite doit être un scalaire également.
  • Le terme de gauche, \(\vnabla\cdot(f\vF)\text{,}\) est la dérivée du produit de \(f\) et \(\vF\text{,}\) de sorte que, imitant la règle du produit, le terme de droite sera la somme de deux termes : l’un d’eux avec \(\vF\) multiplié par la “dérivée” de \(f\text{,}\) et un autre avec \(f\) multiplié par la “dérivée” de \(\vF\text{.}\)
  • La “dérivée” de \(f\) doit être \(\vnabla f\text{,}\) car \(\vnabla\cdot f\) et \(\vnabla\times f\) n’ont pas de sens. Pour obtenir un scalaire et non avec un vecteur, on doit prendre le produit scalaire de \(\vnabla f\) et \(\vF\text{.}\) Ainsi, le terme voulu est \((\vnabla f)\cdot\vF\text{.}\)
  • La “dérivée” de \(\vF\) doit être \(\vnabla\cdot\vF\) ou \(\vnabla\times\vF\text{.}\) Nous avons aussi besoin de multiplier par le scalaire \(f\) pour obtenir un scalaire. Ainsi, la “dérivée” doit être un scalaire, c’est-à-dire \(f\{\vnabla\cdot\vF\}\text{.}\)
  • Notre intuition est donc \(\vnabla\cdot(f\vF)=(\vnabla f)\cdot\vF+ f\,\vnabla\cdot\vF\text{,}\) qui est, heureusement, correct.

Exercices Exercices

Pour se pratiquer.

1.
Est-ce que \(\vnabla\times \vF\) doit être perpendiculaire à \(\vF\text{?}\)
Réponse.
Non.
2.
Évaluer \(\vnabla\cdot\vF\) et \(\vnabla\times\vF\) pour chacun des champs de vecteurs suivants.
  1. \(\displaystyle \vF=x\,\vi+y\,\vj+z\,\vk\)
  2. \(\displaystyle \vF=xy^2\vi-yz^2\vj+zx^2\vk\)
  3. \(\vF=\frac{x\vi+y\vj}{\sqrt{x^2+y^2}}\) (le vecteur polaire de base \(\hat{\bf r}\) en 2D)
  4. \(\vF=\frac{-y\vi+x\vj}{\sqrt{x^2+y^2}}\) (le vecteur polaire de base \(\hat{\pmb{\theta}}\) en 2D)
Réponse.
(a) \(\vnabla\cdot\vF=3\text{,}\) \(\vnabla\times\vF=\vZero\)
(b) \(\vnabla\cdot\vF=y^2-z^2+x^2\text{,}\) \(\vnabla\times\vF=2yz\,\vi-2xz\,\vj-2xy\,\vk\)
(c) \(\vnabla\cdot\vF=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{,}\) \(\vnabla\times\vF=\vZero\)
(d) \(\vnabla\cdot\vF=0\text{,}\) \(\vnabla\times\vF=\frac{\vk}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
3.
  1. Calculer et simplifier \(\vnabla\cdot\big(\frac{\vr}{r}\big)\) pour \(\vr=(x,y,z)\) et \(r=|(x,y,z)|\text{.}\) Exprimer la réponse en termes de \(r\text{.}\)
  2. Calculer \(\vnabla\times\big(yz\,\vi + 2xz\,\vj + e^{xy}\,\vk\big)\text{.}\)
Réponse.
(a) \(\frac{2}{r}\)
(b) \(\big(xe^{xy}-2x\big)\,\vi+y\big(1-e^{xy}\big)\,\vj+z\,\vk\)

Pour mieux comprendre.

4.
Soit \(\vF = P\,\vi + Q\,\vj\) le champ de vecteurs à deux dimensions montré ci-dessous.
  1. En supposant que le champ vectoriel dans l’image est un champ de forces, le travail effectué par le champ vectoriel sur une particule se déplaçant du point \(A\) au point \(B\) le long du chemin donné est :
    1. positif;
    2. négatif;
    3. nul;
    4. Pas assez d’information pour le déterminer.
  2. Quel énoncé est “le plus vrai” à propos de l’intégrale de ligne \(\int_{C_2} \vF\cdot\dee{\vr}\) ?
    1. \(\displaystyle \int_{C_2} \vF\cdot\dee{\vr} \gt 0\)
    2. \(\displaystyle \int_{C_2} \vF\cdot\dee{\vr}=0\)
    3. \(\displaystyle \int_{C_2} \vF\cdot\dee{\vr} \lt 0\)
    4. Pas assez d’information pour le déterminer.
  3. \(\vnabla\cdot\vF\) au point \(N\) (dans la figure) est:
    1. positif;
    2. négatif;
    3. nul;
    4. pas assez d’information pour le déterminer.
  4. \(Q_x - P_y\) au point \(Q\) est:
    1. positif;
    2. négatif;
    3. nul;
    4. pas assez d’information pour le déterminer.
  5. En supposant que \(\vF = P\,\vi + Q\,\vj\text{,}\) lequel des énoncés suivants est correct à propos de \(\frac{\partial P}{\partial x}\) au point \(D\text{?}\)
    1. \(\frac{\partial P}{\partial x}=0\) en \(D\)
    2. \(\frac{\partial P}{\partial x} \gt 0\) en \(D\)
    3. \(\frac{\partial P}{\partial x} \lt 0\) en \(D\)
    4. Le signe de \(\frac{\partial P}{\partial x}\) en \(D\) ne peut être déterminé avec l’information donnée.
Réponse.
(a) A
(b) B
(c) C
(d) A
(e) B
5.
Vérifier les identités vectorielles suivantes.
  1. \(\displaystyle \vnabla\cdot(f\vF)=f\vnabla\cdot\vF+\vF\cdot\vnabla f\)
  2. \(\displaystyle \vnabla\cdot(\vF\times\vG) =\vG\cdot(\vnabla\times\vF)- \vF\cdot(\vnabla\times\vG)\)
  3. \(\displaystyle \vnabla^2(fg)=f\,\vnabla^2 g+2\vnabla f\cdot\vnabla g+g\,\vnabla^2 f\)
Réponse.
(a) Par la règle du produit,
\begin{align*} \vnabla\cdot(f\vF) &=\pdiff{}{x}(fF_1) +\pdiff{}{y}(fF_2) +\pdiff{}{z}(fF_3)\\ &=\phantom{+}f\pdiff{F_1}{x} +f\pdiff{F_2}{y} +f\pdiff{F_3}{z}\\ &\phantom{=}+F_1\pdiff{f}{x} +F_2\pdiff{f}{y} +F_3\pdiff{f}{z}\\ &=f\,\vnabla\cdot\vF+\vF\cdot\vnabla f \end{align*}
(b) Encore, par la règle du produit,
\begin{align*} &\vnabla\cdot(\vF\times\vG)\\ &\hskip0.25in=\pdiff{}{x}(F_2G_3-F_3G_2) +\pdiff{}{y}(F_3G_1-F_1G_3) +\pdiff{}{z}(F_1G_2-F_2G_1)\\ &\hskip0.25in=\phantom{+}\pdiff{F_2}{x}G_3 -\pdiff{F_3}{x}G_2 +\pdiff{F_3}{y}G_1 - \pdiff{F_1}{y}G_3 +\pdiff{F_1}{z}G_2 - \pdiff{F_2}{z}G_1\\ &\hskip0.25in\phantom{=}+F_2\pdiff{G_3}{x} -F_3\pdiff{G_2}{x} +F_3\pdiff{G_1}{y} -F_1\pdiff{G_3}{y} +F_1\pdiff{G_2}{z} - F_2\pdiff{G_1}{z}\\ &\hskip0.25in=\phantom{+} \left(\pdiff{F_3}{y}-\pdiff{F_2}{z}\right)G_1 +\left(\pdiff{F_1}{z}-\pdiff{F_3}{x}\right)G_2 +\left(\pdiff{F_2}{x}-\pdiff{F_1}{y}\right)G_3\\ &\hskip0.25in\phantom{=} -F_1\left(\pdiff{G_3}{y}-\pdiff{G_2}{z}\right) -F_2\left(\pdiff{G_1}{z}-\pdiff{G_3}{x}\right) -F_3\left(\pdiff{G_2}{x}-\pdiff{G_1}{y}\right)\\ &=\vG\cdot(\vnabla\times\vF)- \vF\cdot(\vnabla\times\vG) \end{align*}
(c) Se rappeler que \(\vnabla^2(fg) = \vnabla\cdot\big[\vnabla(fg)\big]\text{.}\) Premièrement,
\begin{align*} \vnabla(fg) &=\vi\pdiff{}{x}(fg) +\vj\pdiff{}{y}(fg) +\vk\pdiff{}{z}(fg)\\ &=\phantom{+}\vi g\pdiff{f}{x} +\vj g\pdiff{f}{y} +\vk g\pdiff{f}{z}\\ &\phantom{=}+\vi f\frac{\partial g}{\partial x} +\vj f\frac{\partial g}{\partial y} +\vk f\frac{\partial g}{\partial z}\\ &=g\vnabla f+f\vnabla g \end{align*}
Donc, par la partie (a), deux fois,
\begin{align*} \vnabla^2(fg) & = \vnabla\cdot\big(g\vnabla f\big) +\vnabla\cdot\big(f\vnabla g\big)\\ &= g\big(\vnabla\cdot \vnabla f\big) + \big(\vnabla g\big)\cdot\big(\vnabla f\big) +f\big(\vnabla\cdot\vnabla g\big) + \big(\vnabla f\big)\cdot\big(\vnabla g\big)\\ &=f\,\vnabla^2 g+2\vnabla f\cdot\vnabla g+g\,\vnabla^2 f \end{align*}
6.
Dans ce qui suit, on utilise la notation \(\vr = x\,\vi + y\,\vj + z\,\vk\text{,}\) \(r = |\vr|\text{,}\) et \(k\) est un nombre \(k = 0, 1, -1, 2, -2, \dots\)
  1. Trouver la valeur \(k\) pour laquelle
    \begin{equation*} \vnabla (r^k) = -3\frac{\vr}{r^5}. \end{equation*}
  2. Trouver la valeur \(k\) pour laquelle
    \begin{equation*} \vnabla \cdot (r^k\vr) = 5r^2. \end{equation*}
  3. Trouver la valeur \(k\) pour laquelle
    \begin{equation*} \vnabla^2 (r^k) = \frac{2}{r^4}. \end{equation*}
Réponse.
(a) \(k=-3\)
(b) \(k=2\)
(c) \(k=-2\)
7.
Soit \(\vr\) le champ de vecteurs \(\vr = x\,\vi + y\,\vj + z\,\vk\) et soit \(r\) la fonction \(r = |\vr|\text{.}\) Soit \(\va\) le vecteur constant \(\va = a_1\,\vi + a_2\,\vj + a_3\,\vk\text{.}\) Calculer et simplifier les quantités suivantes. Les réponses doivent être exprimées en termes de \(\va\text{,}\) \(\vr\) et \(r\text{.}\) Il ne devrait pas y avoir de \(x\text{,}\) \(y\) ou \(z\) dans les réponses.
  1. \(\displaystyle \vnabla\cdot\vr\)
  2. \(\displaystyle \vnabla(r^2)\)
  3. \(\displaystyle \vnabla\times(\vr\times\va)\)
  4. \(\displaystyle \vnabla\cdot\big(\vnabla(r)\big)\)
Réponse.
(a) \(3\)
(b) \(2\vr\)
(c) \(-2\va\)
(d) \(\frac{2}{r}\)
8.
Soit \(\vr = x\,\vi + y\,\vj + z\,\vk \) et \(r = |\vr|\text{.}\)
  1. Calculer \(a\text{,}\) où \(\vnabla\big(\frac{1}{r}\big) =- r^a\,\vr\text{.}\)
  2. Calculer \(a\text{,}\) où \(\vnabla\cdot\big(r\,\vr\big) = ar\text{.}\)
  3. Calculer \(a\text{,}\) où \(\vnabla\cdot\big(\vnabla(r^3)\big) = ar\text{.}\)
Réponse.
(a) \(a=-3\)
(b) \(a=4\)
(c) \(a=12\)
9.
Trouver, si possible, un champ de vecteurs \(\vA\) qui a pour composante \(\vk\) \(A_3=0\) et qui est un potentiel vectoriel pour
  1. \(\vF=(1+yz)\vi+(2y+zx)\vj+(3z^2+xy)\vk\text{.}\)
  2. \(\vG= yz\vi+zx\vj+xy\vk\text{.}\)
Réponse.
(a) \(\vF\) ne peut avoir un potentiel vectoriel.
(b) Deux solutions possibles sont \(\vA=\frac{1}{2}(z^2-y^2)x\vi-\frac{1}{2} yz^2\vj\) et \(\vA=\frac{1}{2} xz^2\vi+\frac{1}{2}(x^2-z^2)y\vj\text{.}\)
10.
Soit
\begin{gather*} \vF = \frac{-z}{x^2+z^2}\,\vi +y\,\vj +\frac{x}{x^2+z^2}\,\vk \end{gather*}
  1. Déterminer le domaine de \(\vF\text{.}\)
  2. Déterminer le rotationnel de \(\vF\text{.}\) Simplifier si possible.
  3. Déterminer la divergence de \(\vF\text{.}\) Simplifier si possible.
  4. Est-ce que \(\vF\) est conservatif? Donner une raison pour la réponse.
Réponse.
(a) \(D=\Set{(x,y,z)}{x^2+z^2\ne 0}\)
(b) \(\vnabla\times\vF=\vZero\) sur \(D\)
(c) \(\vnabla\cdot\vF=1\) sur \(D\)
(d) \(\vF\) n’est pas conservatif sur le domaine \(D\) de la partie (a).
11.
Un physicien étudie un champ de vecteurs \(\vF\) dans son laboratoire. Il sait, d’après des considérations théoriques, que \(\vF\) doit être de la forme \(\vF=\nabla\times\vG\text{,}\) pour un certain champ de vecteurs lisse \(\vG\text{.}\) Des expériences montrent également que \(\vF\) doit être de la forme
\begin{equation*} \vF(x,y,z)=(xz+xy)\vi+\alpha(yz-xy)\vj+\beta(yz+xz)\vk\text{,} \end{equation*}
où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des constantes.
  1. Déterminer \(\alpha\) et \(\beta\text{.}\)
  2. Des expériences supplémentaires montrent que \(\vG=xyz\vi-xyz\vj+g(x,y,z)\vk\text{.}\) Trouver la fonction inconnue \(g(x,y,z)\text{.}\)
Réponse.
(a) \(\alpha=\beta=-1\)
(b) N’importe quelle fonction de la forme \(g(x,y,z)=xyz+w(z)\) fonctionne.

Pour aller plus loin.

12.
Un corps rigide effectue une rotation à une vitesse angulaire de \(\Om\) rad/s autour d’un axe passant par l’origine et de direction \(\hat{\bf a}\text{.}\) Lorsqu’on se tient à la tête de \(\hat{\bf a}\) en regardant vers l’origine, la rotation est en sens antihoraire. Soit \(\vOm=\Om\hat{\bf a}\text{.}\)
  1. Montrer que la vélocité d’un point \(\vr=(x,y,z)\) sur le corps est \(\vOm\times\vr\text{.}\)
  2. Évaluer \(\vnabla\times(\vOm\times\vr)\) et \(\vnabla\cdot(\vOm\times\vr)\text{,}\) en traitant \(\vOm\) comme une constante.
  3. Trouver la vitesse des personnes étudiantes dans une classe située à la latitude \(49^\circ\) N due à la rotation de la Terre. Ignorer les mouvements de la Terre autour du Soleil, du Soleil dans la Galaxie et ainsi de suite. Le rayon de la Terre est de 6378 km.
Réponse.
(a) Dénoter par \(\theta\) l’angle entre \(\hat{\bf a}\) et \(\vr\text{.}\) Le point \(\vr\) est à une distance de \(\ell=|\vr|\,\sin\theta\) de l’axe de rotation. Donc, lorsque le corps effectue une rotation, le point balaie un cercle de rayon \(\ell\) centré sur l’axe de rotation.
En une seconde, le point balaie un arc de ce cercle qui sous-tend un angle de \(\Om\) radians. Cet arc est la fraction \(\frac{\Om}{2\pi}\) d’un cercle entier et a donc une longueur de \(\frac{\Om}{2\pi}2\pi \ell=\Om\ell=\Om|\vr|\,\sin\theta\text{.}\) Ainsi, le point se déplace à une vitesse \(\Om|\vr|\,\sin\theta\text{.}\) Le vecteur de vélocité du point doit avoir une longueur de \(\Om|\vr|\,\sin\theta\) et une direction perpendiculaire à \(\hat{\bf a}\) et \(\vr\text{.}\) Le vecteur \(\vOm\times\vr\) est perpendiculaire à \(\vr\) et à \(\vOm=\Om\hat{\bf a}\) et a une longueur de \(\ |\vOm|\,|\vr|\,\sin\theta =\Om|\vr|\,\sin\theta \ \) comme voulu. Donc, le vecteur de vélocité est soit \(\vOm\times\vr\) soit son négatif. Par la règle de la main droite, c’est \(\vOm\times\vr\text{.}\)
(b) \(\vnabla\times(\vOm\times\vr)=2 \vOm, \qquad \vnabla\cdot(\vOm\times\vr)=0\)
(c) \(1095\) km/h
13.
Supposer que le champ de vecteurs \(\vF\) vérifie \(\vnabla\cdot \vF=0\) dans \(\R^3\) au complet. Soit
\begin{equation*} \vr(t)=tx\,\vi+ty\,\vj+tz\,\vk,\qquad 0\leqslant t\leqslant 1 \end{equation*}
une paramétrisation de la droite allant de l’origine à \((x,y,z)\text{.}\) Définir
\begin{equation*} \vG(x,y,z)=\int_0^1 t\,\vF\big(\vr(t)\big)\times\frac{d\vr}{dt}(t)\,dt\text{.} \end{equation*}
Montrer que \(\vnabla\times \vG=\vF\) sur \(\R^3\text{.}\)
Réponse.
Il faut montrer que \(\pdiff{G_3}{y}-\pdiff{G_2}{z}=F_1\text{.}\) Les autres composantes sont similaires. Premièrement,
\begin{align*} t\,\vF\big(\vr(t)\big)\times\diff{\vr}{t}(t) &=t\,\vF\big(tx,ty,tz\big)\times\big(x\,\vi+y\,\vj+z\,\vk\big)\\ &=t\det\left[\begin{matrix}\vi & \vj & \vk\\ F_1 & F_2 & F_3\\ x & y & z\end{matrix}\right] \end{align*}
En lisant les composantes \(\vk\) et \(\vj\) du déterminant, ça donne
\begin{align*} G_3(x,y,z)&=\int_0^1 t\big[F_1\big(tx,ty,tz\big)\,y-F_2\big(tx,ty,tz\big)\,x\big]\,dt\\ G_2(x,y,z)&=\int_0^1 t\big[F_3\big(tx,ty,tz\big)\,x-F_1\big(tx,ty,tz\big)\,z\big]\,dt \end{align*}
Donc,
\begin{align*} \pdiff{G_3}{y} &=\int_0^1 t\Big[F_1\big(tx,ty,tz\big)+ \frac{\partial F_1}{\partial y}\big(tx,ty,tz\big)\,ty -\frac{\partial F_2}{\partial y}\big(tx,ty,tz\big)\,tx\Big]\,dt\\ \pdiff{G_2}{z}&=\int_0^1 t\Big[ \frac{\partial F_3}{\partial z}\big(tx,ty,tz\big)\,tx -\frac{\partial F_1}{\partial z}\big(tx,ty,tz\big)\,tz -F_1\big(tx,ty,tz\big)\Big]\,dt \end{align*}
de sorte que
\begin{align*} \pdiff{G_3}{y}-\pdiff{G_2}{z} &=\int_0^1 \Big[2t\,F_1\big(tx,ty,tz\big)\\ &\hskip1in+t^2y\,\frac{\partial F_1}{\partial y}\big(tx,ty,tz\big) +t^2z\frac{\partial F_1}{\partial z}\big(tx,ty,tz\big)\\ &\hskip1in -t^2x\,\frac{\partial F_2}{\partial y}\big(tx,ty,tz\big) -t^2x\,\frac{\partial F_3}{\partial z}\big(tx,ty,tz\big)\Big]\,dt \end{align*}
Comme, par hypothèse, \(\vnabla\cdot\vF=\frac{\partial F_1}{\partial x} +\frac{\partial F_2}{\partial y} +\frac{\partial F_3}{\partial z}=0\text{,}\) les deux derniers termes
\begin{gather*} -t^2x\Big\{\frac{\partial F_2}{\partial y}\big(tx,ty,tz\big) +\frac{\partial F_3}{\partial z}\big(tx,ty,tz\big)\Big\} =-t^2x\Big\{-\frac{\partial F_1}{\partial x}\big(tx,ty,tz\big)\Big\} \end{gather*}
de telle sorte que
\begin{align*} &\pdiff{G_3}{y}-\pdiff{G_2}{z}\\ &\hskip0.25in=\int_0^1 \Big[2tF_1\big(tx,ty,tz\big) +t^2x\frac{\partial F_1}{\partial x}\big(tx,ty,tz\big) +t^2y\frac{\partial F_1}{\partial y}\big(tx,ty,tz\big)\\ &\hskip3.5in +t^2z\frac{\partial F_1}{\partial z}\big(tx,ty,tz\big)\Big]\,dt\\ &\hskip0.25in=\int_0^1 \frac{d }{dt}\Big[ t^2 F_1(tx,ty,tz)\Big]\,dt =\Big[ t^2 F_1(tx,ty,tz)\Big]^{t=1}_{t=0}\\ &\hskip0.25in= F_1(x,y,z) \end{align*}
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