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Section C.1 Cylindres et surfaces quadriques

Dans le plan, une courbe admet une équation générale \(F(x,y) = 0\) : penser à \(x^2 + y^2 - 1 = 0\text{,}\) où il n’est pas toujours possible d’isoler \(y\text{.}\) Dans l’espace, l’ensemble solution d’une équation de la forme \(F(x,y,z) = 0\) est une surface. Les surfaces quadriques et les cylindres sont parmi les surfaces les plus simples, après les plans. On les retrouve un peu partout (antennes, réservoirs, géolocalisation...).

Définition C.1.1. Les cylindres.

Les cylindres ne sont pas toujours circulaires. Un cylindre est une surface obtenue au moyen de :
  • une courbe plane quelconque ;
  • toutes les droites parallèles à une droite donnée qui passent par chacun des points de la courbe.

Exemple C.1.2.

  1. La surface d’équation \(z = x^2\) est un cylindre parabolique.
    La courbe \(z=x^2\) est une parabole dans le plan \(Oxz\) ; comme la variable \(y\) n’apparaît pas dans l’équation, on peut prendre cette parabole et la déplacer dans la direction des \(y\text{.}\)
    La parabole \(z=x^2\) dans le plan \(Oxz\text{,}\) déplacée dans la direction des \(y\text{.}\)
    Figure C.1.3. Le cylindre parabolique \(z=x^2\text{.}\)
  2. Un cylindre « cardiaque » : la courbe plane de départ est ici un cardioïde.
    Le cardioïde \(r = 1+\cos\theta\) (en coordonnées polaires dans le plan \(Oxy\)) est déplacé dans la direction des \(z\text{.}\)
    Un cylindre en forme de coeur, obtenu en déplaçant un cardioïde dans la direction verticale.
    Figure C.1.4. Un cylindre dont la base est un cardioïde.

Définition C.1.5. Les surfaces quadriques.

Ce sont des surfaces obtenues par une équation de la forme
\begin{equation*} F(x,y,z) = 0, \end{equation*}
où \(F\) est un polynôme de degré \(2\) dans les variables \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) \(z\text{.}\)

Remarque C.1.6. Forme générale.

Dans un système d’axes \(X,Y,Z\) quelconque, l’équation générale d’une surface quadrique est
\begin{equation*} AX^2+BY^2+CZ^2+DXY+EYZ+FXZ+GX+HY+IZ+J=0. \end{equation*}
Des changements de variables appropriés (rotations et translation) permettent toujours de se ramener, en minuscules \(x,y,z\) pour les nouvelles coordonnées, à l’une des deux formes suivantes :
\begin{equation*} Ax^2+By^2+Cz^2+D=0 \qquad \text{ou} \qquad Ax^2+By^2+Cz=0. \end{equation*}
La classification des surfaces quadriques est basée sur les signes de \(A,B,C\) et de \(D\) dans la première forme, et sur les signes de \(A,B\) dans la seconde. Notons que les traces et les sections selon les différentes directions sont des coniques (cercles, ellipses, paraboles, hyperboles), ou des droites (cas dégénérés).

Cas \(A,B,C \ne 0\).

  • si \(A,B,C\) sont de même signe et \(D\) de signe opposé, on se ramène à la forme
    \begin{equation*} \left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2+\left(\frac{z}{c}\right)^2=1. \end{equation*}
    La surface est un ellipsoïde, Toutes ses traces et sections sont des ellipses (des cercles si deux des trois dénominateurs coïncident). Si \(a=b=c\text{,}\) c’est une sphère de rayon \(a\) ;
    Un ellipsoïde aux trois demi-axes distincts.
    Figure C.1.7. Un ellipsoïde.
  • Si \(A,B,C\) ne sont pas tous de même signe (disons \(A,B\) de même signe et \(C\) de signe opposé) et \(D\) de signe opposé à celui de \(C\text{,}\) on se ramène à la forme
    \begin{equation*} \left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2-\left(\frac{z}{c}\right)^2=1. \end{equation*}
    La surface est un hyperboloïde à une nappe : une seule surface connexe, en forme de manchon. Ses traces horizontales (\(z=\text{cste}\)) sont des ellipses, et ses sections verticales (\(x=\text{cste}\) ou \(y=\text{cste}\)) sont des hyperboles.
    Un hyperboloïde à une nappe, avec ses traces elliptiques horizontales et ses sections hyperboliques verticales.
    Figure C.1.8. Un hyperboloïde à une nappe.
  • Si au contraire \(D\) est de même signe que \(C\) (donc de signe opposé à \(A\) et \(B\)), on se ramène à la forme
    \begin{equation*} \left(\frac{z}{c}\right)^2-\left(\frac{x}{a}\right)^2-\left(\frac{y}{b}\right)^2=1. \end{equation*}
    La surface est un hyperboloïde à deux nappes : deux surfaces disjointes, l’une pour \(z \ge c\) et l’autre pour \(z \le -c\text{.}\) Ses traces horizontales sont des ellipses, mais seulement pour \(|z| \ge c\) ; ses sections verticales sont des hyperboles ;
    Un hyperboloïde à deux nappes, avec ses traces elliptiques horizontales et ses sections hyperboliques verticales.
    Figure C.1.9. Un hyperboloïde à deux nappes.
  • si \(A,B,C\) ne sont pas tous de même signe et \(D=0\text{,}\) on se ramène à la forme
    \begin{equation*} \left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=\left(\frac{z}{c}\right)^2. \end{equation*}
    La surface est un cône : ses traces horizontales (\(z=\text{cste} \ne 0\)) sont des ellipses, et ses sections verticales (\(x=\text{cste}\) ou \(y=\text{cste}\)) sont des hyperboles, où, dans le cas \(x=0\) ou \(y=0\) des paires de droites passant par l’origine, le sommet du cône.
    Un cône elliptique, avec ses traces elliptiques horizontales et ses génératrices verticales.
    Figure C.1.10. Un cône elliptique.

Cas \(C \ne 0\).

  • si \(A,B \ne 0\) sont de même signe, on se ramène à la forme
    \begin{equation*} z=\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2. \end{equation*}
    La surface est un paraboloïde elliptique : ses traces horizontales (\(z=\text{cste}>0\)) sont des ellipses, et ses sections verticales (\(x=\text{cste}\) ou \(y=\text{cste}\)) sont des paraboles. On peut penser à un bol elliptique (ou rond si m \(a=b\)) ou à une antenne parabolique.
    Un paraboloïde elliptique, avec sa trace elliptique horizontale et ses sections paraboliques verticales.
    Figure C.1.11. Un paraboloïde elliptique.
  • Si \(A,B \ne 0\) sont de signes opposés, on se ramène à la forme
    \begin{equation*} z=\left(\frac{x}{a}\right)^2-\left(\frac{y}{b}\right)^2. \end{equation*}
    La surface est un paraboloïde hyperbolique (une « selle de cheval ») : ses traces horizontales (\(z=\text{cste}\ne 0\)) sont des hyperboles, et sa trace \(z=0\) dégénère en deux droites qui se croisent au col ; ses sections verticales sont des paraboles, tournées vers le haut dans le plan \(y=0\) et vers le bas dans le plan \(x=0\text{.}\)
    Un paraboloïde hyperbolique (une selle), avec sa trace dégénérée en deux droites et ses sections paraboliques verticales.
    Figure C.1.12. Un paraboloïde hyperbolique.
  • Si l’un des deux, disons \(B\text{,}\) est nul : un cylindre parabolique — comme celui de l’exemple C.1.2 (partie a).

Remarque C.1.13. Axe de symétrie.

Dans les équations sous forme standard ci-dessus (obtenues en l’absence de termes croisés \(XY,YZ,XZ\text{,}\) ou après les changements de variables qui les éliminent), les cylindres, cônes et paraboloïdes ne traitent pas les trois variables de façon symétrique : une seule d’entre elles apparaît au premier degré (ou est carrément absente, dans le cas d’un cylindre). On appelle axe de symétrie de la surface l’axe correspondant à cette variable. Par exemple :
  • le cylindre \(x^2+y^2=r^2\) (variable \(z\) absente) a pour axe de symétrie l’axe des \(z\) ;
  • le paraboloïde elliptique \(z=x^2+4y^2\) (variable \(z\) au premier degré) a pour axe de symétrie l’axe des \(z\) ;
  • le cône \(z^2=x^2+4y^2\) (variable \(z\) au deuxième degré, mais seule à apparaître avec un signe opposé aux deux autres) a aussi pour axe de symétrie l’axe des \(z\text{.}\)
Attention : malgré son nom, un axe de symétrie n’est en général pas un axe de révolution. Ce qu’on a montré ci-dessus, c’est que l’équation reste inchangée si on remplace \(x\) par \(-x\text{,}\) ou \(y\) par \(-y\) : l’axe de symétrie est l’intersection des deux plans de symétrie correspondants (par exemple, les plans \(xz\) et \(yz\) pour le paraboloïde \(z=x^2+4y^2\)). Ceci n’entraîne pas de symétrie par rotation autour de cet axe : les sections perpendiculaires à l’axe sont des ellipses (ici, dilatées d’un facteur \(2\) selon \(y\)), pas des cercles. La surface n’est donc une surface de révolution (image d’une courbe par rotation autour de l’axe) que dans le cas particulier où ces sections sont circulaires — par exemple \(z=x^2+y^2\text{,}\) mais pas \(z=x^2+4y^2\text{.}\)
De même, un ellipsoïde n’a pas d’axe de symétrie privilégié au sens ci-dessus (les trois variables jouent un rôle semblable), sauf si deux des trois demi-axes coïncident, auquel cas il devient une surface de révolution autour du troisième axe.
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