Définition 6.3.1.
Pour tout \(\j \in \R\text{,}\) on définit
\begin{equation*}
e^{i\j} = \cos\j + i\sin\j.
\end{equation*}
C’est la formule d’Euler.
Section 6.3 Forme exponentielle et applications
La formule d’Euler établit un lien remarquable entre la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques. Elle conduit à la forme exponentielle des nombres complexes, qui simplifie grandement les calculs de puissances et de racines.
Sous-section Formule d’Euler et forme exponentielle
Remarque 6.3.2.
Cette définition est motivée par les développements en série de Taylor de l’exponentielle, du cosinus et du sinus :
\begin{align*}
e^x \amp= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots,\\
\cos x \amp= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots,\\
\sin x \amp= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots.
\end{align*}
En substituant formellement \(x = i\j\) dans le développement de \(e^x\) et en regroupant les termes réels et imaginaires, on obtient
\begin{align*}
e^{i\j}
\amp= 1 + i\j - \frac{\j^2}{2!} - i\frac{\j^3}{3!} + \frac{\j^4}{4!} + \cdots\\
\amp= \left(1 - \frac{\j^2}{2!} + \frac{\j^4}{4!} - \cdots\right)
+ i\left(\j - \frac{\j^3}{3!} + \frac{\j^5}{5!} - \cdots\right)\\
\amp= \cos\j + i\sin\j,
\end{align*}
ce qui justifie la définition.
Remarque 6.3.3.
En particulier, pour \(\j = \pi\text{,}\) on obtient la célèbre identité d’Euler :
\begin{equation*}
e^{i\pi} + 1 = 0.
\end{equation*}
Définition 6.3.4.
Soit \(z \in \mathbb{C}\text{,}\) \(z \neq 0\text{,}\) de module \(r = |z|\) et d’argument \(\j\text{.}\) La forme exponentielle de \(z\) est
\begin{equation*}
z = r e^{i\j}.
\end{equation*}
Exemple 6.3.5.
Écrire \(z = -1 + i\) en forme trigonométrique et en exponentielle.
Solution.
D’après Exemple 6.2.5, on a \(r = \sqrt{2}\) et \(\j = \tfrac{3\pi}{4}\text{.}\) La forme trigonométrique est donc
\begin{equation*}
z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right),
\end{equation*}
et la forme exponentielle est
\begin{equation*}
z = \sqrt{2}\, e^{i 3\pi/4}.
\end{equation*}
Sous-section Théorème de De Moivre et puissances
Théorème 6.3.6. Théorème de De Moivre.
Soit \(z = r(\cos\j + i\sin\j)\) un nombre complexe de module \(r \geq 0\) et d’argument \(\j \in \R\text{.}\) Pour tout entier \(n \geq 1\text{,}\)
\begin{equation*}
z^n = r^n\bigl(\cos(n\j) + i\sin(n\j)\bigr).
\end{equation*}
Démonstration.
En notation exponentielle, \(z = r\, e^{i\j}\text{.}\) En utilisant les propriétés de l’exponentielle,
\begin{align*}
z^n \amp= \bigl(r\, e^{i\j}\bigr)^n = r^n\, e^{in\j}.
\end{align*}
En revenant à la forme trigonométrique,
\begin{equation*}
z^n = r^n\bigl(\cos(n\j) + i\sin(n\j)\bigr).
\end{equation*}
Exemple 6.3.7.
Calculer \((1 + i)^8\text{.}\)
Sous-section Racines \(n\)-ièmes
Définition 6.3.8.
Soit \(z \in \mathbb{C}\text{,}\) \(z \neq 0\text{,}\) et soit \(n \geq 1\) un entier. Une racine \(n\)-ième de \(z\) est tout nombre complexe \(w\) tel que \(w^n = z\text{.}\)
Proposition 6.3.9.
Soit \(z = r(\cos\j + i\sin\j) \in \mathbb{C}\text{,}\) \(z \neq 0\text{,}\) et soit \(n \geq 1\) un entier. Il existe exactement \(n\) racines \(n\)-ièmes de \(z\text{,}\) données par
\begin{equation*}
w_k = r^{1/n}\!\left(\cos\frac{\j + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\j + 2k\pi}{n}\right),
\qquad k = 0, 1, \ldots, n-1.
\end{equation*}
Ces \(n\) racines sont situées sur le cercle de rayon \(r^{1/n}\text{,}\) régulièrement espacées d’un angle de \(\tfrac{2\pi}{n}\text{.}\)
Démonstration.
En notation exponentielle, \(z = r\, e^{i\j}\text{.}\) Cherchons \(w = s\, e^{i\a}\) (avec \(s > 0\)) tel que \(w^n = z\text{,}\) soit
\begin{equation*}
s^n e^{in\a} = r\, e^{i\j}.
\end{equation*}
En égalant les modules, \(s^n = r\text{,}\) d’où \(s = r^{1/n}\text{.}\) En égalant les arguments modulo \(2\pi\text{,}\) \(n\a = \j + 2k\pi\) pour un entier \(k\text{,}\) d’où \(\a = \tfrac{\j + 2k\pi}{n}\text{.}\) Les valeurs \(k = 0, 1, \ldots, n-1\) donnent \(n\) arguments distincts dans \([0, 2\pi[\text{,}\) et toute autre valeur de \(k\) reproduit l’un de ces arguments.
On obtient donc exactement \(n\) racines distinctes :
\begin{equation*}
w_k = r^{1/n} e^{i(\j + 2k\pi)/n}, \qquad k = 0, 1, \ldots, n-1.
\end{equation*}
Exemple 6.3.10.
Trouver les trois racines cubiques de \(1\text{,}\) c’est-à-dire les solutions de \(z^3 = 1\text{.}\)
Solution.
On écrit \(z = 1 = 1 \cdot (\cos 0 + i \sin 0)\text{,}\) soit \(r = 1\) et \(\j = 0\text{.}\) La proposition donne les racines
\begin{equation*}
w_k = \cos\frac{2k\pi}{3} + i\sin\frac{2k\pi}{3}, \qquad k = 0, 1, 2,
\end{equation*}
soit explicitement :
\begin{align*}
w_0 \amp= \cos 0 + i\sin 0 = 1,\\
w_1 \amp= \cos\tfrac{2\pi}{3} + i\sin\tfrac{2\pi}{3}
= -\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}i,\\
w_2 \amp= \cos\tfrac{4\pi}{3} + i\sin\tfrac{4\pi}{3}
= -\tfrac{1}{2} - \tfrac{\sqrt{3}}{2}i.
\end{align*}
Ces trois points sont les sommets d’un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité.
