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Algèbre linéaire et géométrie vectorielle

Juan Carlos Bustamante, Sylvain Bérubé

Section 5.1 Définitions et propriétés de base

Ona déjà utilisé les déterminants de matrices \(2\times 2\text{,}\) notamment en lien avec l’inversibilité et l’indépendance linéaire. On commence par quelques rappels / remarques au sujet de ces déterminants. Ceci mettra la table pour ce qui sera fait par la suite.
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Remarque 5.1.1.

  1. Étant donnée \(A= \mdd abcd\text{,}\) son déterminant, qu’on dénote par \(\det{A}\) ou \(|A|\text{,}\) est le nombre réel \(\det{A} =|A| = ad-bc\text{.}\) On sait que :
    \begin{align*} A \text{ inversible} \amp \Leftrightarrow \det{A}\ne 0 \text{ et dans ce cas } A^{-1} = \frac{1}{\det{A}} \mdd{d}{-b}{-c}{a} \\ \amp \Leftrightarrow \text{les colonnes de } A \text{ sont linéairement indépendantes} \\ \amp \Leftrightarrow \text{les rangées de } A \text{ sont linéairement indépendantes.} \end{align*}
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  2. Il est clair que \(\det{A} = \det{A^T}\text{.}\) De plus, si \(A\) est inversible, alors, par une suite d’opérations élémentaires sur ses lignes, elle peut être transformée en la matrice identité, \(I\text{,}\) et \(\det{I} = 1\text{.}\) On peut donc se demander si \(A = \mdd{a}{b}{c}{d}\) est donnée, et \(A'\) est obtenue à partir de \(A\) par une seule opération élémentaire, quel est le lien entre \(\det{A}\) et \(\det{A'}\text{.}\)
    1. Opération \(R_1 \leftrightarrow R_2\text{.}\) Un calcul immédiat montre que le déterminant change de signe dans ce cas.
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    2. Opération \(kR_i\) avec \(k\ne 0\text{.}\) Un calcul direct montre que le déterminant est lui-même multiplié par \(k\text{.}\)
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    3. Opération \(R_i + k R_j\text{.}\) Un calcul direct montre que le déterminant est inchangé dans ce cas.
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  3. Étant donnée une équation \(\mdd a b c d \rvd{x_1}{x_2} = \rvd{y_1}{y_2}\text{,}\) écrite sous la forme \(A\vx = \vy\text{,}\) si \(\det{A} \ne 0\text{,}\) alors on a
    \begin{equation*} \vx = A^{-1} \vy= \frac{1}{\det{A}} \Mdd{d}{-b}{-c}{a} \Rvd{y_1}{y_2} \end{equation*}
    ce qui permet d’exprimer la solution au moyen de déterminants.
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Dans ce qui suit, on va voir que toutes ces caractéristiques ont leurs analogues pour les matrices de taille plus grande. Il faut cependant définir ce que les déterminants sont dans ces cas.
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Sous-section Définitions et premières propriétés

La définition des déterminants qu’on présente ici est une définition récursive :
  • On sait calculer les déterminants \(2\times 2\text{;}\)
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  • On définit un déterminant \(3\times 3\) comme une combinaison linéaire bien spécifique de déterminants \(2 \times 2\text{;}\)
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  • On définit un déterminant \(4\times 4\) comme une combinaison linéaire bien spécifique de déterminants \(3 \times 3\text{;}\)
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  • En général, on définit un déterminant \(n\times n\) comme une combinaison linéaire bien spécifique de déterminants \((n-1) \times (n-1)\text{.}\)
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Afin de donner la définition récursive, il faut convenir que le déterminant d’une matrice \(1\times 1\text{,}\) à savoir \(A = [a]\) est simplement le nombre \(a\text{.}\)
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On a besoin d’un peu de vocabulaire pour être plus précis au sujet des “combinaisons linéaires bien spécifiques”.
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Définition 5.1.2.

Soit \(A = [a_{i,j}] \in \mmn{n}{n}\) une matrice donnée.
  1. On appelle mineur de \(a_{i,j}\) le déterminant de la matrice dans \(\mmn{(n-1)}{(n-1)}\) obtenue à partir de \(A\) en biffant la \(i^{\text{ème}}\) ligne et la \(j^{\text{ème}}\) colonne. Cette matrice sera notée \(A_{i,j}\text{.}\)
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  2. Le cofacteur de \(a_{i,j}\text{,}\) qu’on note \(C_{i,j}\) est défini par \(C_{i,j} = (-1)^{i+j}\det{A_{i,j}}\text{.}\)
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Exemple 5.1.3.

Calculer les mineurs et cofacteurs des matrices suivantes :
  1. \(A = \mdd{2}{3}{3}{5}\text{.}\)
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  2. \(A = \mtt{5}{-3}{\phantom{-}2}{1}{0}{2}{3}{-1}{3}\text{.}\)
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Réponse.
  1. La matrice \(A\) est de taille \(2 \times 2\) ses mineurs sont des déterminants de taille \(1\times 1\text{,}\) c’est-à-dire des nombres.
    \begin{align*} A_{1,1} = [5], \quad A_{1,2} = [3], \amp\qquad C_{1,1} = 5, \quad \ \ C_{1,2} = -3,\\ A_{2,1} = [3], \quad A_{2,2}=[2], \amp \qquad C_{2,1}=-3, \quad C_{2,2} = 2. \end{align*}
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  2. Cette fois la matrice \(A\) a trois rangées et trois colonnes. Il y a donc \(9\) mineurs et \(9\) cofacteurs. Voici les sous-matrices associées:
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    \begin{align*} A_{1,1} = \Mdd{0}{2}{-1}{3}, \amp \amp A_{1,2}= \Mdd{1}{2}{3}{3},\amp \amp A_{1,3} = \Mdd{1}{0}{3}{-1}, \\ A_{2,1} = \Mdd{3}{2}{-1}{3}, \amp \amp A_{2,2}= \Mdd{5}{2}{3}{3},\amp \amp A_{2,3} = \Mdd{5}{-3}{3}{-1}, \\ A_{3,1} = \Mdd{-3}{2}{0}{2}, \amp \amp A_{3,2}= \Mdd{5}{2}{1}{2},\amp \amp A_{3,3} = \Mdd{5}{-3}{1}{0} \text{.} \end{align*}
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    Les cofacteurs sont donnés par \(C_{i,j}=(-1)^{i+j}\det{A_{i,j}}\text{.}\)
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    \begin{gather*} C_{1,1} = +\Ddd{0}{2}{-1}{3} = 2, \ C_{1,2} = -\Ddd{1}{2}{3}{3} = 3,\ C_{1,3} = +\Ddd{1}{0}{3}{-1} = -1,\\ C_{2,1} = -\Ddd{3}{2}{-1}{3} = -11,\ C_{2,2} = +\Ddd{5}{2}{3}{3} = 9,\ C_{2,3} = -\Ddd{5}{-3}{3}{-1} = -4,\\ C_{3,1} = +\Ddd{-3}{2}{0}{2} = -6, \ C_{3,2} = -\Ddd{5}{2}{1}{2} = -8,\ C_{3,3} = +\Ddd{5}{-3}{1}{0} = 3\text{.} \end{gather*}
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On peut maintenant définir le déterminant d’une matrice \(n\times n\text{.}\)
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Définition 5.1.4. Le déterminant, le long de la première rangée.

Soit \(A = [a_{i,j}] \in \mmn{n}{n}\text{,}\) son déterminant est
\begin{equation*} \det{A} = |A| = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j}a_{1j} |A_{1,j}|. \end{equation*}
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On écrit
\begin{equation*} \mathrm{det}\, \left[\begin{array}{ccc}a_{1,1} \amp \cdots \amp a_{1,n}\\ \vdots \amp \ddots \amp \vdots\\ a_{n,1}\amp \cdots \amp a_{n,n}\end{array}\right] = \left|\begin{array}{ccc}a_{1,1} \amp \cdots \amp a_{1,n}\\ \vdots \amp \ddots \amp \vdots\\ a_{n,1}\amp \cdots \amp a_{n,n}\end{array}\right| \end{equation*}
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Mise en garde 5.1.5.

On a deux notations pour le déterminant d’une matrice. S’il est vrai que la notation \(\det{A}\) est très claire, elle peut parfois être un peu encombrante. Quoiqu’il en soit, la notation \(|A|\) est aussi très courante, elle est plus concise, mais il faut faire attention à ne pas confondre ceci avec une valeur absolue.
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Dans le cas des matrices \(3\times 3\) on peut écrire une formule explicite pour le déterminant, à savoir:
\begin{equation*} \left|\begin{array}{ccc} a_{1,1} \amp a_{1,2} \amp a_{1,3}\\ a_{2,1} \amp a_{2,2} \amp a_{2,3}\\ a_{3,1} \amp a_{3,2} \amp a_{3,3} \end{array}\right| = a_{1,1}\begin{vmatrix}a_{2,2}\amp a_{2,3}\\ a_{3,2}\amp a_{3,3}\end{vmatrix} - a_{1,2}\begin{vmatrix}a_{2,1}\amp a_{2,3}\\ a_{3,1}\amp a_{3,3}\end{vmatrix} + a_{1,3}\begin{vmatrix}a_{2,1}\amp a_{2,2}\\ a_{3,1}\amp a_{3,2}\end{vmatrix}. \end{equation*}
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Exemple 5.1.6.

Calculer le déterminant de la matrice \(A = \mtt{5}{-3}{2}{1}{0}{2}{3}{-1}{3}\text{.}\)
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Solution.
On calcule directement
\begin{align*} \left|\begin{array}{rrr} 5 \amp -3 \amp 2\\ 1 \amp 0 \amp 2\\ 3 \amp -1 \amp 3 \end{array}\right| \amp = 5\begin{vmatrix}0\amp 2\\ -1\amp 3\end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix}1\amp 2\\ 3\amp 3\end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} 1\amp 0 \\ 3\amp -1\end{vmatrix}\\ \amp = 5 \cdot 2 + 3\cdot(-3) +2 \cdot (-1)\\ \amp = 10-9-2 =-1 \end{align*}
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À vous de jouer 5.1.7.

Calculer le déterminant de la matrice suivante :
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\begin{equation*} B = \displaystyle\left[\begin{array}{rrr} 0 \amp -2 \amp 4 \cr 4 \amp 4 \amp -4 \cr -3 \amp 3 \amp -3 \cr \end{array}\right] \end{equation*}
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Réponse : \(\mathrm{det}(B)=\ \).
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Réponse.
\(48\)
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Il existe une formule / façon visuelle de calculer les déterminants \(3\times 3\text{,}\) appelée la règle de Sarrus. C’est l’analogue à la définition des déterminants \(2 \times 2\text{.}\) Le déterminant d’une matrice \(2\times 2\text{,}\) \(A = \mdd{a_{11}}{a_{12}}{a_{21}}{a_{22}}\) peut être représenté par le diagramme ci-contre.
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Un schéma montrant le calcul

Remarque 5.1.8. Règle de Sarrus.

Soit \(A = \mtt{a_{1,1}}{a_{1,2}}{a_{1,3}}{a_{2,1}}{a_{2,2}}{a_{2,3}}{a_{3,1}}{a_{3,2}}{a_{3,3}}\) alors son déterminant peut être calculé comme suit:
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  1. Recopier les deux premières colonnes de \(A\) à la droite de \(A\text{,}\) ce qui donne lieu à un arrangement rectangulaire avec \(3\) rangées et \(5\) colonnes.
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  2. Effectuer les produits des éléments sur les six diagonales.
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  3. Le déterminant se calcule en additionnant les produits des diagonales descendantes, puis en soustrayant les produits des diagonales ascendantes.
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Il faut noter que cette règle n’est valable que pour les déterminants \(3\times 3\text{.}\) Aucune généralisation raisonnable pour les déterminants de taille supérieure n’existe. Par ailleurs, elle présente un inconvénient si on travaille avec des paramètres à l’intérieur des matrices. Bien qu’elle donne un résultat correct, on ne privilégiera pas cette méthode.
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Il se trouve qu’il n’y a aucune raison de privilégier la première rangée pour la définition. Le lemme suivant dit précisément qu’on peut faire le calcul par rapport à n’importe quelle rangée ou n’importe quelle colonne, mais avec un certain ajustement dans les signes. Afin de démontrer ce résultat, on a besoin de deux résultats intermédiaires.
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Démonstration.

On donne une preuve par récurrence. Le cas de base, \(n=1\) est trivial, et le cas \(n=2\) est une vérification directe.
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On suppose maintenant l’énoncé vrai pour les matrices dans \(\R^{(n-1)\times(n-1)}\text{.}\) Comme le terme \(a_{1,1}C_{1,1}\) apparaît des deux côtés de l’égalité (✶) qu’on veut établir, et que \(a_{1,1}\) n’apparaît dans aucun des autres termes, il suffit de considérer les autres termes des deux côtés de (✶).
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Dans le terme de droite, le \(i^{\text{è}}\) terme est \(a_{i,1}C_{i,1} =a_{i,1}(-1)^{1+i}\det{A_{i,1}}\text{.}\)
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Le calcul de \(\det{A_{i,1}}\) le long de la première rangée demande le calcul de \(n-1\) déterminants de taille \((n-1)\times(n-1)\text{.}\) On doit donc enlever, à chaque fois, une rangée et une colonne de plus à la matrice \(A_{i,1}\text{.}\) On dénote par \(A_{1i,1j}\) la matrice obtenue de \(A\) en enlevant les rangées \(1\) et \(i\) ainsi que les colonnes \(1\) et \(j\text{.}\)
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Le \(j^\text{è}\) terme dans le calcul de \(\det{A_{i,1}}\) est alors \(a_{1,j}(-1)^{1+j-1} \det{A_{1i,1j}}\text{.}\) Ainsi, le terme qui contient \(a_{i,1}a_{1,j}\) dans le membre de droite de (✶) est
\begin{equation*} a_{i,1}(-1)^{i+1}a_{1j}(-1)^{1+j-1}\det{A_{1i,1j}} = a_{i,1}a_{1,j} (-1)^{i+j+1} \det{A_{1i,1j}}\text{.} \end{equation*}
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On cherche maintenant le terme contenant \(a_{i,1}a_{1,j}\) dans le membre de gauche de (✶). Le facteur \(a_{1,j}\) apparaît seulement dans le terme
\begin{equation*} a_{1,j} C_{1,j} =a_{1,j} (-1)^{1+j}\det{A_{1,j}}\text{.} \end{equation*}
L’hypothèse de récurrence permet de développer \(\det{A_{1,j}}\) le long de la première colonne.
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Le \(i^{\text{e}}\) terme de ce développement est \(a_{i,1}(-1)^{(i-1)+1} \det{A_{1i,1j}}\) de sorte que le terme qui contient \(a_{i,1}a_{1,j}\) dans le membre de gauche de (✶) est
\begin{equation*} a_{1,j}(-1)^{1+j} a_{i,1}(-1)^{i-1+1} \det{A_{1i,1j}} = a_{1,j}a_{i,1}(-1)^{i+j+1}\det{A_{1i,1j}} \end{equation*}
qui est exactement le même que dans le terme de droite. Ceci permet de conclure que l’égalité (✶) tient pour les matrices de \(\R^{n\times n}\text{.}\)
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En vertu du principe de récurrence, le résultat est vrai pour tout \(n\text{.}\)
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Une première conséquence est que le déterminant est invariant par transposition.
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Démonstration.

On donne une démonstration par récurrence. Le cas \(n=2\) se vérifie aisément.
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On suppose le résultat vrai pour les matrices de taille \((n-1)\times (n-1)\text{,}\) et on se donne une matrice \(A\in \mn{n}\text{.}\) On calcule le déterminant de \(A^T\) selon sa première colonne. Il suffit de remarquer que la sous-matrice obtenue de \(A^T\) en enlevant la rangée \(i\) et la colonne \(j\) est la transposée de la sous-matrice obtenue de \(A\) en enlevant la rangée \(j\) et la colonne \(i\text{.}\) L’hypothèse de récurrence donne le résultat directement.
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Le deuxième résultat préliminaire donne l’effet de l’échange de deux rangées ou colonnes dans le calcul du déterminant d’une matrice.
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Démonstration.

On donne encore une fois une preuve par récurrence. Le cas \(n=2\) se vérifie aisément.
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On suppose donc que le résultat est vrai pour les matrices de taille \((n-1)\times (n-1)\text{.}\) Soit \(A \in\mmn{n}{n}\) et \(B\) la matrice obtenue en échangeant deux rangées qu’on suppose adjacentes pour commencer, on peut supposer qu’il s’agit des rangées \(r\) et \(r+1\text{.}\)
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On peut développer \(\det{B}\) le long de sa première colonne. Le terme numéro \(i\) de ce développement est \(b_{i,1}(-1)^{i+1}\det{B_{i,1}}\text{.}\)
  • Si \(i\neq r\) et \(i\neq r+1\text{,}\) alors \(b_{i,1} =a_{i,1}\) tandis que la matrice \(B_{i,1}\) est obtenue de \(A_{i,1}\) en échangeant les rangées \(r\) et \(r+1\text{.}\) L’hypothèse de récurrence donne alors \(\det{B_{i,1}} = - \det{A_{i,1}}\text{.}\) Ceci montre que les termes autres que le \(r^\text{è}\) et le \((r+1)^\text{è}\) dans le calcul de \(\det{B}\) sont les opposés des termes correspondants dans le calcul de \(\det{A}\text{.}\) Il faut regarder les deux termes manquants.
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  • Si \(i=r\text{,}\) alors \(b_{i,1} = b_{r,1} = a_{r+1,1}\) et \(B_{i,1} = B_{r,1} =A_{r+1,1}\text{.}\) Ainsi, le \(r^\text{è}\) terme dans le calcul de \(\det{B}\) est
    \begin{align*} (-1)^{r+1}b_{r,1} \det{ B_{r,1}} \amp = (-1)^{r+1}a_{r+1,1}\det{A_{r+1,1}} \\ \amp = -(-1)^{r+1+1}a_{r+1,1} \det{A_{r+1,1}} \end{align*}
    qui est l’opposé du \((r+1)^\text{è}\) terme qui apparaît dans le calcul de \(\det{A}\text{.}\)
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  • De la même façon, le \((r+1)^\text{è}\) terme dans le calcul de \(\det{B}\) est l’opposé du \(r^\text{è}\) terme qui apparaît dans le calcul de \(\det{A}\)
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On considère maintenant le cas où les rangées échangées ne sont pas adjacentes. Si on veut échanger les rangées \(r\) et \(s\text{,}\) avec \(r\lt s\text{,}\) on peut le faire avec une séquence d’échanges de rangées adjacentes. On commence par échanger la rangée \(s\) avec la rangée \(s-1\text{,}\) puis la rangée \(s-1\) (où se trouve désormais la rangée \(s\) originale) avec la rangée \(s-2\text{,}\) et ainsi de suite. Pour ceci, \(s-r\) échanges de rangées adjacentes sont requis. Au bout de ce processus, la rangée qui originalement se trouvait à la rangée \(r\) se trouve à la rangée \(r+1\text{.}\) Il faut la placer à la rangée \(s\text{,}\) ce qui requiert \(s-r-1\) échanges de rangées adjacentes. En tout, \(2(s-r)-1\) (qui est un nombre impair) échanges de rangées adjacentes ont été faits. Chaque échange multiplie le déterminant par \(-1\text{.}\) Le résultat suit.
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Une conséquence immédiate est que si deux rangées sont égales, alors le déterminant est nul.
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Démonstration.

Soit \(A \in \mn{n}\) telle que les rangées \(i\) et \(j\) sont égales. De ce fait, si on les échange, la matrice reste telle quelle, mais le déterminant change de signe, c’est-à-dire \(\det{A} = - \det{A}\) ce qui force \(\det{A} = 0\text{.}\)
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Démonstration.

On fait la démonstration pour le développement par rapport aux rangées pour commencer. On commence avec la matrice \(A\) puis on échange les rangées \(i\) et \(i-1\text{,}\) puis les rangées \(i-1\) et \(i-2\text{,}\) et ainsi de suite jusqu’à échanger les rangées \(2\) et \(1\text{.}\) La matrice résultante, qu’on convient d’appeler \(B\text{,}\) a la \(i^{\text{e}}\) rangée de \(A\) tout en haut, tandis que les rangées \(1,\ldots, i-1\) sont décalées vers le bas. Les autres rangées sont inchangées. Comme \(i-1\) échanges de rangées ont été effectués, on a \(\det{B} = (-1)^{i-1}\det{A}\text{,}\) ou encore \(\det{A} = (-1)^{i-1}\det{B}\text{.}\)
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On calcule le déterminant de \(B\) par rapport à la première rangée, en utilisant le fait que \(b_{1,j} = a_{i,j}\) et \(B_{1,j} = A_{i,j}\) pour tout \(j\in\{1,\ldots,n\}\text{.}\) Il vient alors
\begin{align*} \det{A} \amp = (-1)^{i-1}\det{B} = (-1)^{i-1} \sum_{j=1}^n (-1)^{j+1} b_{1,j} \det{B_{1,j}}\\ \amp = (-1)^{i-1} \sum_{j=1}^n (-1)^{j+1} a_{i,j} \det{A_{i,j}} \\ \amp = \sum_{j=1}^n (-1)^{j+i} a_{i,j} \det{A_{i,j}} \end{align*}
qui est le développement du déterminant de \(A\) le long de la rangée \(i\text{.}\)
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La preuve pour le développement le long d’une colonne se fait de façon analogue.
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Exemple 5.1.14.

Considérer \(A = \mtt{5}{-3}{2}{1}{0}{2}{3}{-1}{3}\text{.}\) Calculer son déterminant le long d’autres lignes / colonnes.
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Solution.
Du fait qu’il y a un zéro dans la deuxième rangée, deuxième colonne, il serait opportun de faire le développement le long de la deuxième rangée ou de la deuxième colonne.
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Par rapport à la deuxième rangée:
\begin{align*} \left|\begin{array}{rrr} 5 \amp -3 \amp 2\\ 1 \amp 0 \amp 2\\ 3 \amp -1 \amp 3 \end{array}\right| \amp =1\cdot(-1)^3 \left|\begin{array}{rr}-3\amp 2\\ -1\amp 3 \end{array}\right| + 0 \cdot(-1)^4 \left|\begin{array}{rr} 5\amp 2\\3\amp3 \end{array}\right| + 2\cdot(-1)^5 \left|\begin{array}{rr} 5\amp -3\\ 3\amp -1\end{array}\right|\\ \amp = -(-7) -2\cdot 4 = 7-8 = -1 \end{align*}
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Par rapport à la deuxième colonne :
\begin{align*} \left|\begin{array}{rrr} 5 \amp -3 \amp 2\\ 1 \amp 0 \amp 2\\ 3 \amp -1 \amp 3 \end{array}\right| \amp = (-3)\cdot(-1)^3 \left|\begin{array}{rr} 1 \amp 2\\ 3 \amp 3 \end{array}\right| + 0\cdot(-1)^4 \left|\begin{array}{rr} 5 \amp 2\\ 3 \amp 3 \end{array}\right| + (-1)\cdot(-1)^5 \left|\begin{array}{rr} 5 \amp 2\\ 1 \amp 2 \end{array}\right|\\ \amp = 3(-3) + 0 + 1\cdot 8 = -9 + 8 = -1 \end{align*}
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Exemple 5.1.15.

Calculer le déterminant de la matrice \(A=\left[ \begin{array}{rrrr} 7 \amp 3 \amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 7\\ 8 \amp 3 \amp9 \amp 4 \\ 0 \amp 7 \amp 0 \amp 2 \end{array}\right]\text{.}\)
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Solution.
Comme la troisième colonne comporte une seule entrée non nulle, il semble logique de faire le développement par rapport à celle-ci. Dans les égalités ci-dessous, les annotations en dessous/au-dessus des égalités servent à justifier l’égalité en question. Ainsi par exemple dans la première égalité, le \(C_3\) signifie que l’on fait le développement par rapport à la troisième colonne. On calcule alors:
\begin{align*} \det{A} =\left| \begin{array}{rrrr} 7 \amp 3 \amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 7\\ 8 \amp 3 \amp9 \amp 4 \\ 0 \amp 7 \amp 0 \amp 2 \end{array}\right|\amp \xlongequal[]{C_3} 9\cdot(-1)^6\left|\begin{array}{rrr}7\amp4\amp1\\0\amp1 \amp 7\\ 0\amp 7\amp 2 \end{array}\right|\\ \amp\xlongequal{C_1} 9\cdot 7 \left| \begin{array}{rr}1\amp 7\\ 7\amp2\end{array}\right| \\ \amp = 9\cdot 7 \cdot(2-49) = -9\cdot7\cdot47 = -2961 \end{align*}
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À vous de jouer 5.1.16.

Le déterminant de la matrice
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\begin{equation*} A = \left[\begin{array}{rrrrr} 0 \amp -8 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \\ -4 \amp 6 \amp 6 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 7 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ -3 \amp 0 \amp 1 \amp 3 \amp 3 \\ -6 \amp 2 \amp 0 \amp 0 \amp 9 \\ \end{array}\right] \end{equation*}
est .
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Indice : Trouvez une bonne ligne ou colonne et développez par les mineurs.
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Réponse.
\(-756\)
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Comme le montre l’exemple précédent, lorsqu’une matrice a plusieurs zéros dans une rangée ou dans une colonne, le calcul est aisé. On a considéré les matrices échelonnées, elles ont des zéros en dessous de la diagonale. La définition suivante généralise ceci.
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Définition 5.1.17.

Soit \(A=[a_{i,j}] \in \mmn{n}{n}\) une matrice carrée.
  1. \(A\) est une matrice triangulaire supérieure si tous les coefficients en dessous de la diagonale sont nuls, c’est-à-dire si \(i\gt j \) entraîne \(a_{i,j}=0.\)
    \begin{equation*} A= \left[\begin{array}{ccccc} \ast \amp \ast \amp \cdots \amp \ast \amp \ast\\ 0 \amp \ast \amp \cdots \amp \ast \amp \ast\\ 0 \amp 0 \amp \cdots \amp \vdots \amp \vdots\\ \vdots\amp \vdots \amp \ddots \amp \ast \amp \ast \\ 0\amp 0\amp \cdots \amp 0 \amp \ast \end{array}\right] \end{equation*}
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  2. \(A\) est une matrice triangulaire inférieure si tous les coefficients au-dessus de la diagonale sont nuls, c’est-à-dire si \(i\lt j \) entraîne \(a_{i,j}=0.\)
    \begin{equation*} A= \left[\begin{array}{ccccc} \ast \amp 0 \amp 0 \amp \cdots \amp 0\\ \ast \amp \ast \amp 0 \amp \cdots \amp 0\\ \ast \amp \ast \amp \ast \amp \cdots \amp 0\\ \vdots \amp \vdots \amp \vdots \amp \ddots \amp \vdots\\ \ast \amp \ast \amp \ast \amp \cdots \amp \ast \end{array}\right] \end{equation*}
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Une matrice triangulaire est une matrice triangulaire supérieure ou triangulaire inférieure.
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Démonstration.

On donne une preuve par récurrence pour les matrices triangulaires supérieures. Le cas de base, \(n=2\text{,}\) se vérifie aisément.
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On suppose donc l’énoncé vrai pour les matrices triangulaires supérieures de taille \((n-1)\times (n-1)\text{.}\) Soit \(A=[a_{i,j}] \) une matrice triangulaire supérieure. On calcule le déterminant de \(A\) le long de sa première colonne:
\begin{align*} |A|\amp = a_{1,1} \det{A_{1,1}}-\underbrace{a_{2,1}}_{=0} \det{A_{2,1}}+ \cdots +(-1)^{n+1}\underbrace{a_{n,1}}_{=0}\det{A_{n,1}} \\ \amp = a_{1,1}\det{A_{1,1}}. \end{align*}
Or, comme \(A\) est triangulaire supérieure, il en va de même pour \(A_{1,1}\text{.}\) L’hypothèse de récurrence dit alors que son déterminant est le produit de ses entrées sur la diagonale. Il vient
\begin{equation*} |A| = a_{1,1}\det{A_{1,1}} = a_{1,1}\left(a_{2,2}\cdots a_{n,n}\right) \end{equation*}
ce qui établit le résultat pour \(A\text{.}\)
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Exemple 5.1.19.

Soit \(A = \left[\begin{array}{rrrr} 1 \amp -3 \amp 2 \amp -5 \\ 0 \amp 2 \amp-2 \amp-3\\ 0 \amp 0 \amp -3 \amp5\\ 0\amp 0 \amp 0 \amp -1\end{array}\right]\text{.}\) Alors le déterminant de \(A\) est \(6\text{.}\)
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À vous de jouer 5.1.20.

Trouvez le déterminant de la matrice suivante :
\begin{equation*} M = \displaystyle\left[\begin{array}{rrr} 3 \amp -4 \amp 7 \cr 0 \amp 2 \amp -6 \cr 0 \amp 0 \amp 3 \cr \end{array}\right] . \end{equation*}
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Réponse : \(\mathrm{det}(M)=\) .
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Réponse.
\(3\cdot 2\cdot 3\)
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En général, une matrice n’est pas nécessairement triangulaire. Il faut donc se donner d’une méthode plus efficace en général. On sait passer d’une matrice donnée à une forme échelonnée de celle-ci. Cette dernière est triangulaire supérieure. Le résultat suivant est à la base de la méthode générale requise. L’idée est de garder trace de l’effet de chaque opération élémentaire sur le déterminant.
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Le premier énoncé a déjà été donné, c’est le lemme 5.1.11, qu’on énonce à nouveau par souci de complétude.
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Démonstration.

  1. Ceci a déjà été prouvé, c’est le lemme 5.1.11.
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  2. Soit \(B\) obtenue de \(A\) en multipliant la \(i^{\text{e}}\) rangée par \(k.\) En particulier, \(b_{i,j} = k a_{i,j}\) et \(B_{i,j} = A_{i,j}\) pour tout \(j\) tel que \(1\leqslant j \leqslant n\text{.}\) On calcule alors le déterminant de \(B\) le long de la \(i^{\text{e}}\) rangée.
    \begin{align*} \det{B} \amp = \sum_{j=1}^n b_{i,j}\cdot(-1)^{i+j}\det{B_{i,j}} \\ \amp = \sum_{j=1}^n ka_{i,j}\cdot(-1)^{i+j}\det{A_{i,j}} \\ \amp = k \sum_{j=1}^n a_{i,j}\cdot(-1)^{i+j}\det{A_{i,j}} = k\det{A} \end{align*}
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  3. On donne une preuve par récurrence sur \(n\text{.}\) On commence par le cas de base, \(n=2\text{.}\) Soit donc \(A= \mdd{a}{b}{c}{d}\) et \(B = \mdd{a}{b}{c+ka}{d+kb}\) obtenue de \(A\) par l’opération élémentaire \(R_2 + kR_1\text{.}\) On calcule alors
    \begin{align*} \det{B} \amp =\left| \begin{array}{cc}a\amp b\\ c+ka \amp d+kb\end{array}\right| = a(d+kb) - (c+ka)b \\ \amp = (ad+akb)-(cb+akb) \\ \amp = ad - bc = \det{A}. \end{align*}
    Le cas d’une opération élémentaire de la forme \(R_1 + kR_2\) se fait de façon similaire. Mieux encore, on peut le déduire de ce qui a déjà été fait en invoquant la partie (a) deux fois.
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    On suppose maintenant l’énoncé vrai pour les matrices de taille \((n-1)\times (n-1)\text{.}\) Soit \(B\) obtenue de \(A\) (de taille \(n\times n\)) par l’opération élémentaire \(R_i + kR_j\text{.}\) On va développer \(\det{B}\) par rapport à la \(j^\text{è}\) rangée. Pour ceci, on remarque que cette rangée est inchangée par l’opération effectuée, de sorte que \(b_{j,l} = a_{j,l}\) pour \(l\in\{1,\ldots, n\}\text{.}\) Par ailleurs, les matrices \(B_{j,l}\) sont obtenues des \(A_{j,l}\) par ajout à une rangée de \(k\) fois une autre rangée
     1 
    mais pas forcément par l’opération \(R_i + kR_j\text{,}\) puisque les tailles et les numérotations des rangées peuvent changer.
    . De plus, il s’agit de matrices de taille \((n-1)\times (n-1)\) de sorte que l’hypothèse de récurrence s’applique, c’est-à-dire \(\det{B_{j,l}}=\det{A_{j,l}}\) et on a
    \begin{align*} \det{B} \amp =\sum_{l=1}^n b_{j,l}\cdot(-1)^{j+l} \det{B_{j,l}} \\ \amp = \sum_{l=1}^n a_{j,l}\cdot(-1)^{j+l} \det{A_{j,l}} = \det{A}. \end{align*}
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Remarque 5.1.22.

  1. Le résultat précédent donne la méthode cherchée, puisque
    \begin{equation*} A \underbrace{\rightarrow \cdots \rightarrow }_{\text{op. élémentaires }} \underbrace{\quad R \quad }_{\text{ f. échelonnée}} \text{ et } |R| =\text{ produit des coeff. sur la diagonale.} \end{equation*}
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  2. On peut également effectuer des opérations sur les colonnes, grâce au corollaire 5.1.10.
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Démonstration.

En effet, il y a un facteur \(k\) qui sort de chaque rangée, et il y a \(n\) rangées.
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On termine avec quelques exemples.
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Exemple 5.1.24.

Calculer le déterminant suivant : \(\left|\begin{array}{rrrr} 0 \amp2 \amp -4 \amp 5\\3\amp 0 \amp-3 \amp 6\\2\amp4\amp5\amp7\\5 \amp -1 \amp -3 \amp 1\end{array}\right|\)
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Solution.
On effectue des opérations élémentaires sur les rangées pour obtenir une matrice triangulaire (en gardant en tête l’effet sur le déterminant).
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\begin{align*} \left|\begin{array}{rrrr} 0 \amp 2 \amp -4 \amp 5\\ 3 \amp 0 \amp -3 \amp 6\\ 2 \amp 4 \amp 5 \amp 7\\ 5 \amp -1 \amp -3 \amp 1 \end{array}\right| \amp \xlongequal{R_1 \leftrightarrow R_2} -\left|\begin{array}{rrrr} 3 \amp 0 \amp -3 \amp 6\\ 0 \amp 2 \amp -4 \amp 5\\ 2 \amp 4 \amp 5 \amp 7\\ 5 \amp -1 \amp -3 \amp 1 \end{array}\right| \\ \xlongequal{\tfrac{1}{3}R_1} -3 \left|\begin{array}{rrrr} 1 \amp 0 \amp -1 \amp 2\\ 0 \amp 2 \amp -4 \amp 5\\ 2 \amp 4 \amp 5 \amp 7\\ 5 \amp -1 \amp -3 \amp 1 \end{array}\right| \amp \xlongequal[R_4-5R_1]{R_3-2R_1} -3 \left|\begin{array}{rrrr} 1 \amp 0 \amp -1 \amp 2\\ 0 \amp 2 \amp -4 \amp 5\\ 0 \amp 4 \amp 7 \amp 3 \\ 0 \amp -1 \amp 2 \amp -9 \end{array}\right| \\ \xlongequal{C_1} -3 \left| \begin{array}{rrr}2\amp -4 \amp 5\\ 4\amp 7 \amp 3\\ -1\amp 2 \amp -9 \end{array}\right| \amp \xlongequal{R_1 \leftrightarrow R_3} 3 \left| \begin{array}{rrr} -1\amp 2 \amp -9\\ 4\amp 7 \amp 3\\2\amp -4 \amp 5 \end{array}\right| \\ \xlongequal[\substack{R_2 + 4R_1 \\ R_3 + 2R_1}]{-R_1} - 3 \left| \begin{array}{rrr}1\amp -2 \amp 9 \\ 0 \amp 15 \amp -33\\ 0 \amp 0\amp -13 \end{array} \right| \amp = (-3)\cdot 15 \cdot (-13) = 585 \end{align*}
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Exemple 5.1.25.

Soient \(a,b,c\) trois nombres réels distincts et
\begin{equation*} V = \left[\begin{array}{rrr} 1\amp a \amp a^2 \\ 1\amp b \amp b^2\\ 1\amp c \amp c^2\end{array}\right]. \end{equation*}
Montrer que \(|V| \ne 0\text{.}\)
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Solution.
On calcule, à l’aide des propriétés des déterminants.
\begin{align*} \left|\begin{array}{rrr} 1 \amp a \amp a^2\\ 1 \amp b \amp b^2\\ 1 \amp c \amp c^2 \end{array}\right| \amp \xlongequal{\substack{R_2-R_1\\ R_3-R_1}} \left|\begin{array}{ccc} 1 \amp a \amp a^2\\ 0 \amp b-a \amp b^2-a^2\\ 0 \amp c-a \amp c^2-a^2 \end{array}\right| \xlongequal{C_1} \left| \begin{array}{cc} b-a \amp b^2 - a^2 \\c-a \amp c^2 - a^2\end{array}\right|\\ = \left| \begin{array}{cc} b-a \amp (b-a)(b+a) \\c-a \amp (c-a)(c+a)\end{array}\right|\amp\xlongequal[\tfrac{1}{c-a}R_2]{\tfrac{1}{b-a}R_1} (b-a)(c-a)\left| \begin{array}{cc} 1 \amp (b+a) \\1 \amp (c+a)\end{array}\right| \\ \amp \xlongequal[R_2-R_1]{} \left|\begin{array}{cc} 1 \amp (b+a) \\0 \amp (c-b)\end{array}\right| =(b-a)(c-a)(c-b) \end{align*}
qui est non nul, du fait que \(a,b,c\) sont distincts.
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À vous de jouer 5.1.26.

Soit la matrice
\begin{equation*} A = \left[\begin{array}{rrr} a \amp 8 \amp 3 \\ a \amp -8 \amp 1 \\ 8 \amp 3 \amp a \end{array}\right]. \end{equation*}
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Déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(|A| = 0\text{.}\) Énumérer les valeurs en les séparant par des virgules et donner une précision d’au moins deux chiffres après la virgule (notée ".").
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Valeurs de \(a\) : .
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Réponse.
\(\frac{-6+\sqrt{6^{2}-4\cdot \left(-16\right)\cdot 256}}{2\cdot \left(-16\right)}, \frac{-6-\sqrt{6^{2}-4\cdot \left(-16\right)\cdot 256}}{2\cdot \left(-16\right)}\)
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On a vu que si une matrice a deux rangées ou deux colonnes égales, alors le déterminant est nul. Ceci est une instance d’un résultat beaucoup plus général qui lie le déterminant à l’indépendance linéaire. Il sera abordé à la section suivante où en prime on aura un lien avec l’inversibilité d’une matrice. Pour l’instant, on se contente du résultat ci-après.
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Démonstration.

Si la rangée \(i\) est égale à \(k\) fois la rangée \(j\text{,}\) il suffit d’effectuer l’opération élémentaire \(R_i - kR_j\) pour obtenir une matrice avec une rangée complète de \(0\) et dont le déterminant est celui de la matrice d’origine. Le résultat suit de faire le développement selon cette rangée.
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Pour les colonnes, il suffit de penser au cas déjà démontré et à la transposition.
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Maintenant un exemple avec des opérations sur les colonnes.
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Exemple 5.1.28.

Utiliser les propriétés des déterminants pour montrer que
\begin{equation*} \left|\begin{array}{cccc} a \amp a+1 \amp a+2 \amp e\\ b \amp b+1 \amp b+2 \amp f\\ c \amp c+1 \amp c+2 \amp g\\ d \amp d+1 \amp d+2 \amp h\end{array}\right| = 0. \end{equation*}
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Solution.
Un calcul direct donne:
\begin{align*} \left|\begin{array}{cccc} a \amp a+1 \amp a+2 \amp e\\ b \amp b+1 \amp b+2 \amp f\\ c \amp c+1 \amp c+2 \amp g\\ d \amp d+1 \amp d+2 \amp h\end{array}\right| \xlongequal[C_3-C_1]{C_2 - C_1} \left|\begin{array}{cccc} a \amp 1 \amp 2 \amp e\\ b \amp 1 \amp 2 \amp f\\ c \amp 1 \amp 2 \amp g\\ d \amp 1 \amp 2 \amp h\end{array}\right| = 0. \amp \end{align*}
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On a vu que l’ajout d’un multiple d’une rangée ou d’une colonne à une rangée ou une colonne donnée laisse le déterminant inchangé. On peut faire ce genre d’opérations d’un seul coup.
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Exemple 5.1.29.

Sachant que \(204,\ 527\) et \(255\) sont des multiples de \(17\text{,}\) montrer que \(\dtt204527255\) l’est aussi.
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Solution.
En effet, on a que \(204 = 17\cdot 12\text{,}\) \(527 = 17 \cdot 31\) et \(255 = 17 \cdot 15\text{.}\) On calcule alors:
\begin{align*} \left|\begin{array}{ccc}2 \amp 0 \amp 4 \\ 5 \amp 2 \amp 7\\ 2 \amp 5 \amp 5\end{array}\right| \amp \xlongequal{C_3 + 10C_2 } \left|\begin{array}{ccc}2 \amp 0 \amp 4 \\ 5 \amp 2 \amp 27\\ 2 \amp 5 \amp 55\end{array}\right| \xlongequal{C_3 + 100C_1 } \left|\begin{array}{ccc}2 \amp 0 \amp 204 \\ 5 \amp 2 \amp 527\\ 2 \amp 5 \amp 255\end{array}\right| \\ \amp = \left|\begin{array}{ccc}2 \amp 0 \amp 17 \cdot 12 \\ 5 \amp 2 \amp 17 \cdot 31 \\ 2 \amp 5 \amp 17\cdot 15 \end{array}\right| = 17\cdot\left|\begin{array}{ccc}2 \amp 0 \amp 12 \\ 5 \amp 2 \amp 31 \\ 2 \amp 5 \amp 15 \end{array}\right| \end{align*}
qui est clairement un multiple de \(17\text{,}\) puisque le dernier déterminant est forcément un entier.
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Exemple 5.1.30.

Trouver les valeurs possibles de \(x\) étant donné que
\begin{equation*} \left| \begin{array}{cccc} 1 \amp 5-x^2 \amp 2 \amp 2\\ 2 \amp 2 \amp 3 \amp 3\\ 3 \amp 3 \amp 5-x^2 \amp 4\\ 4 \amp 4 \amp 1 \amp 1\end{array}\right| =0. \end{equation*}
🔗
Solution.
On calcule d’abord la valeur du déterminant, grâce aux propriétés générales.
\begin{align*} \left| \begin{array}{cccc} 1 \amp 5-x^2 \amp 2 \amp 2\\ 2 \amp 2 \amp 3 \amp 3\\ 3 \amp 3 \amp 5-x^2 \amp 4\\ 4 \amp 4 \amp 1 \amp 1\end{array}\right| \amp \xlongequal[C_3-C_4]{C_2-C_1} \left| \begin{array}{cccc} 1 \amp 4-x^2 \amp 0 \amp 2\\ 2 \amp 0 \amp 0 \amp 3\\ 3 \amp 0 \amp 1-x^2 \amp 4\\ 4 \amp 0 \amp 0 \amp 1\end{array}\right| \\ \xlongequal{C_2} -(4-x^2)\left|\begin{array}{ccc}2\amp 0 \amp 3\\ 3\amp 1-x^2 \amp 4\\ 4 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right| \amp \xlongequal{C_2} -(4-x^2)(1-x^2) \left| \begin{array}{rr} 2\amp 3 \\ 4\amp 1\end{array}\right| \\ \amp = 10(4-x^2)(1-x^2) \end{align*}
Ainsi, le déterminant s’annule si et seulement si \(x\in \left\{\pm 2, \pm 1\right\}\text{.}\)
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Exemple 5.1.31.

Sachant que \(\dtt abcdefghi = 4\text{,}\) trouver les valeurs de
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  1. \(\left| \begin{array}{ccc} 2a \amp b/3 \amp c\\ 2d \amp e/3 \amp f\\ 2g \amp h/3 \amp i \end{array}\right|\text{.}\)
    🔗
    🔗
  2. \(\left| \begin{array}{ccc} a+2g \amp b+2h \amp c+2i\\ 3d +2g \amp 3e +2h\amp 3f + 2i\\ g \amp h \amp i \end{array}\right|\text{.}\)
    🔗
    🔗
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Solution.
On calcule directement.
  1. \(\phantom{m}\)
    🔗
    \begin{align*} \displaystyle \left| \begin{array}{ccc} 2a \amp b/3 \amp c\\ 2d \amp e/3 \amp f\\ 2g \amp h/3 \amp i \end{array}\right| \amp \xlongequal[3C_2]{\tfrac{1}{2}C_1} \quad \frac{2}{3} \displaystyle \left| \begin{array}{ccc} a \amp b \amp c\\ d \amp e \amp f\\ g \amp h \amp i \end{array}\right| = \frac{8}{3} \end{align*}
    🔗
    🔗
  2. \(\phantom{m}\)
    🔗
    \begin{align*} \left| \begin{array}{ccc} a+2g \amp b+2h \amp c+2i\\ 3d +2g \amp 3e +2h\amp 3f + 2i\\ g \amp h \amp i \end{array}\right| \amp \xlongequal[R_2 - 2 R_3]{R_1-2R_3} \left| \begin{array}{ccc} a \amp b \amp c\\ 3d \amp 3e \amp 3f \\ g \amp h \amp i \end{array}\right| \\ \amp \xlongequal{\tfrac{1}{3}R_2} 3 \left| \begin{array}{ccc} a \amp b \amp c\\ d \amp e \amp f \\ g \amp h \amp i \end{array}\right|=12 \end{align*}
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À vous de jouer 5.1.32.

Sachant que \(\mathrm{det} \displaystyle\left[\begin{array}{rrr} a \amp b \amp c \cr d \amp e \amp f \cr g \amp h \amp i \cr \end{array}\right] = 5\text{,}\) calculer les déterminants suivants.
🔗
\(\mathrm{det} \displaystyle\left[\begin{array}{rrr} g \amp h \amp i \cr a \amp b \amp c \cr d \amp e \amp f \cr \end{array}\right] =\)
🔗
\(\mathrm{det} \displaystyle\left[\begin{array}{ccc} a \amp b \amp c \cr 9d+a \amp 9e+b \amp 9f+c \cr g \amp h \amp i \cr \end{array}\right] =\)
🔗
\(\mathrm{det} \displaystyle\left[\begin{array}{ccc} a+7d \amp b+7e \amp c+7f \cr d \amp e \amp f \cr g \amp h \amp i \cr \end{array}\right] =\)
🔗
Réponse 1.
\(5\)
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🔗
Réponse 2.
\(5\cdot 9\)
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🔗
Réponse 3.
\(5\)
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