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Exercices 1.4 Exercices

Algèbre et géométrie vectorielles.

1.

Dans le plan \(\R^2\text{,}\) on considère les vecteurs \(\vu = \rvd{2}{1}\) et \(\vv = -\rvd{1}{3}\text{.}\)
  1. Dessiner la grille standard \(xy\) ainsi que la grille \(\vu-\vv\text{,}\) et dessiner le vecteur \(\vw = -2 \vu - \vv\) en position standard.
  2. Soit \(P(-4,-3)\text{.}\) Trouver les coordonnées du point \(Q\) tel que \(\vect{PQ} = \vu - 2 \vv\text{.}\)
  3. Dessiner le vecteur \(\vect{PQ}\) et l’exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs \(\vu\) et \(\vv\) en donnant une solution algébrique.
Réponse.
  1. Omise.
  2. \(Q = (0,4)\text{.}\)
  3. On a déjà la réponse en (b): \(\vect{PQ} = \vu - 2 \vv\text{.}\) À noter qu’on peut obtenir cette réponse en résolvant l’équation vectorielle \(\vect{PQ} = c_1 \vu + c_2 \vv\) pour \(c_1\) et \(c_2\text{.}\)

2.

Soient les vecteurs \(\vu = \rvd{\hfill 1}{-1}\) et \(\vv = \rvd{1}{1}\text{.}\) Montrer que tout vecteur de \(\R^2\) peut être obtenu comme combinaison linéaire de \(\vu\) et \(\vv\text{.}\)
Solution.
Soit \(\vw = \rvd{x}{y}\) un vecteur quelconque de \(\R^2\text{.}\) On cherche des réels \(a\) et \(b\) tels que \(\vw = a\vu + b\vv\text{,}\) c’est-à-dire
\begin{equation*} \Rvd{x}{y} = a \Rvd{1}{-1} + b \Rvd{1}{1} = \Rvd{a + b}{-a + b}. \end{equation*}
On obtient donc le système \(a + b = x\) et \(-a + b = y\text{.}\) En additionnant puis en soustrayant ces équations, on trouve
\begin{equation*} b = \dfrac{x + y}{2}, \qquad a = \dfrac{x - y}{2}. \end{equation*}
Ces valeurs existent pour tout choix de \(x\) et \(y\text{.}\) Ainsi, tout vecteur \(\rvd{x}{y}\) de \(\R^2\) s’écrit comme combinaison linéaire de \(\vu\) et \(\vv\text{,}\) ce qui montre que tout vecteur de \(\R^2\) peut être obtenu comme combinaison linéaire de \(\vu\) et \(\vv\text{.}\)

3.

Soient \(A(2,8),\ B(b,-1),\, C(-8,-5)\) et \(D(-5,d)\) tels que \(ABCD\) est un parallélogramme. Trouver les valeurs de \(b\) et \(d\text{.}\)
Réponse.
\(b = -1\) et \(d = 4\text{.}\)
Solution.
Dans un parallélogramme, on a \(\vect{AB} = \vect{DC}\text{.}\) Or
\begin{equation*} \vect{AB} = \Rvd{b-2}{-1-8} = \Rvd{b-2}{-9} \quad \textrm{et} \quad \vect{DC} = \Rvd{-8 - (-5)}{-5 - d} = \Rvd{-3}{-5-d}. \end{equation*}
En égalant les composantes, on obtient \(b - 2 = -3\) et \(-9 = -5 - d\text{,}\) donc \(b = -1\) et \(d = 4\text{.}\)

4.

Soit \(ABCD\) un parallélogramme et soit \(M\) le point tel que \(2 \vect{AM} = \vect{AC}\text{.}\) Montrer que \(2 \vect{BM} = \vect{BD}\text{.}\) Conclure que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leurs milieux.
Solution.
On sait que \(2\vect{AM} = \vect{AC}\text{.}\) Par ailleurs, puisque \(ABCD\) est un parallélogramme, alors \(\vect{CD} = \vect{BA}\text{.}\) Ainsi,
\begin{align*} \vect{BD} \amp = \vect{BA} + \vect{AC} + \vect{CD} \amp \textrm{(relation de Chasles)}\\ \amp = \vect{BA} + 2 \vect{AM} + \vect{BA}\\ \amp = \vect{BA} + \vect{AM} + \vect{AM} + \vect{BA}\\ \amp = \vect{BM} + \vect{BM} \amp \textrm{(relation de Chasles)}\\ \amp = 2 \vect{BM}. \end{align*}
Ainsi, \(2\vect{BM} = \vect{BD}\text{.}\)
Comme \(M\) appartient au segment \(AC\) et \(2\vect{AM} = \vect{AC}\text{,}\) c’est le milieu de \(AC\text{.}\) De même, comme \(M\) appartient à \(BD\) et \(2\vect{BM} = \vect{BD}\text{,}\) c’est le milieu de \(BD\text{.}\) On conclut que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leurs milieux.

5.

Soient \(P, X, Y\) trois points, \(I\) le milieu de \(XY\) et \(Q\) le point tel que \(I\) est le milieu de \(PQ\text{.}\) Montrer que \(XPYQ\) est un parallélogramme.
Solution.
Le quadrilatère \(XPYQ\) est un parallélogramme si \(\vect{XP} = \vect{QY}\text{.}\)
Puisque \(I\) est le milieu de \(XY\text{,}\) alors \(\vect{XI} = \vect{IY}\text{.}\) De même, puisque \(I\) est le milieu de \(PQ\text{,}\) alors \(\vect{PI} = \vect{IQ}\) ou encore \(\vect{IP} = \vect{QI}\text{.}\) Ainsi,
\begin{align*} \vect{XP} \amp = \vect{XI} + \vect{IP} \amp \textrm{(relation de Chasles)}\\ \amp = \vect{IY} + \vect{QI}\\ \amp = \vect{QY}. \amp \textrm{(relation de Chasles)} \end{align*}

6.

Soit \(ABC\) un triangle et \(P, Q, R\) les milieux des côtés \(BC\text{,}\) \(CA\) et \(AB\text{,}\) respectivement. Montrer que \(\vect{AP} + \vect{BQ} + \vect{CR} = \vZero\text{.}\)
Solution.
Soit \(O\) un point fixe et posons \(\va = \vect{OA}\text{,}\) \(\vb = \vect{OB}\) et \(\vc = \vect{OC}\text{.}\) Comme \(P, Q, R\) sont les milieux de \(BC, CA, AB\text{,}\) on a
\begin{equation*} \vect{OP} = \dfrac{\vb + \vc}{2},\qquad \vect{OQ} = \dfrac{\vc + \va}{2},\qquad \vect{OR} = \dfrac{\va + \vb}{2}. \end{equation*}
Alors
\begin{equation*} \vect{AP} = \vect{OP} - \vect{OA} = \dfrac{\vb + \vc}{2} - \va. \end{equation*}
De même,
\begin{equation*} \vect{BQ} = \dfrac{\vc + \va}{2} - \vb, \qquad \vect{CR} = \dfrac{\va + \vb}{2} - \vc. \end{equation*}
En additionnant,
\begin{align*} \amp \vect{AP} + \vect{BQ} + \vect{CR}\\ \amp = \left(\dfrac{\vb + \vc}{2} - \va\right) + \left(\dfrac{\vc + \va}{2} - \vb\right) + \left(\dfrac{\va + \vb}{2} - \vc\right)\\ \amp = \vZero. \end{align*}

7. Théorème de Varignon.

Soit \(ABCD\) un quadrilatère quelconque dans le plan. Montrer que les milieux de ces côtés forment un parallélogramme
Figure 1.4.1. \(PQRS\) est un parallélogramme.
Solution.
Soit \(P, Q, R, S\) les milieux respectifs des côtés \(AB, BC, CD, DA\text{.}\) Ceci implique que
\begin{equation*} \vect{PA} = \tfrac{1}{2} \vect{BA}, \quad \vect{AS} = \tfrac{1}{2} \vect{AD}, \quad \vect{QC} = \tfrac{1}{2} \vect{BC}, \quad \vect{CR} = \tfrac{1}{2} \vect{CD}. \end{equation*}
Ainsi,
\begin{align*} \vect{PS} - \vect{QR} \amp = \left( \vect{PA} + \vect{AS} \right) - \left( \vect{QC} + \vect{CR} \right)\\ \amp = \left( \tfrac{1}{2} \vect{BA} + \tfrac{1}{2} \vect{AD} \right) - \left( \tfrac{1}{2} \vect{BC} + \tfrac{1}{2} \vect{CD} \right)\\ \amp = \frac{1}{2} \left( \vect{BA} + \vect{AD} + \vect{CB} + \vect{DC} \right)\\ \amp = \frac{1}{2} \left( \vect{BB} \right)\\ \amp = \vZero. \end{align*}
Puisque \(\vect{PS} - \vect{QR} = \vZero\text{,}\) alors \(\vect{PS} = \vect{QR}\text{,}\) ce qui démontre que \(PQRS\) est un parallélogramme.

8.

Soit \(ABCD\) un quadrilatère quelconque, et \(M\) un point du plan. Soient par ailleurs \(P, Q, R, S\) les symétriques de \(M\) par rapport aux milieux des côtés de \(ABCD\text{.}\) Montrer que \(PQRS\) est un parallélogramme.
Solution.
Soient \(P', Q', R', S'\) les milieux respectifs des côtés \(AB, BC, CD, DA\text{,}\) et soient \(P, Q, R, S\) les symétriques de M par rapport à \(P', Q', R', S'\text{.}\) On veut montrer que \(\vect{PQ} = \vect{SR}\text{.}\)
Puisque \(P, Q, R, S\) les symétriques de M par rapport à \(P', Q', R', S'\text{,}\) alors
\begin{equation*} \vect{PP'} = \vect{P'M}, \quad \vect{QQ'} = \vect{Q'M}, \quad \vect{RR'} = \vect{R'M}, \quad \vect{SS'} = \vect{S'M}. \end{equation*}
Ainsi,
\begin{align*} \vect{PQ} \amp = \vect{PP'} + \vect{P'Q'} + \vect{Q'Q}\\ \amp = \vect{P'M} + \vect{P'Q'} + \vect{MQ'}\\ \amp = 2 \vect{P'Q'}. \end{align*}
De même,
\begin{align*} \vect{SR} \amp = \vect{SS'} + \vect{S'R'} + \vect{R'R}\\ \amp = \vect{S'M} + \vect{S'R'} + \vect{MR'}\\ \amp = 2 \vect{S'R'}. \end{align*}
Or, selon le théorème de Varignon, on sait que \(P'Q'R'S'\) est un parallélogramme, ce qui implique que \(\vect{P'Q'} = \vect{S'R'}\text{.}\) Par conséquent,
\begin{equation*} \vect{P'Q'} = \vect{S'R'} \Leftrightarrow \tfrac{1}{2} \vect{PQ} = \tfrac{1}{2} \vect{SR} \Leftrightarrow \vect{PQ} = \vect{SR}. \end{equation*}

9.

Soit \(ABC\) un triangle et \(M_0\) un point sur \(AB\text{.}\) La droite parallèle à \(BC\) qui passe par \(M_0\) coupe \(AC\) en \(M_1\text{.}\) La parallèle à \(AB\) par \(M_1\) coupe \(BC\) en \(M_2\text{,}\) et ainsi de suite. Le but de cet exercice est de montrer que \(M_6 = M_0\text{.}\)
Un triangle et une suite de points
  1. Utiliser le fait que \(A M_4 M_5 M_6\) et \(A M_1 M_2 M_3\) sont des parallélogrammes pour montrer, grâce à la relation de Chasles, que \(\vect{M_6 M_1} = \vect{M_5 M_4} + \vect{M_3 M_2}\text{.}\)
  2. Utiliser le fait que \(B M_3 M_4 M_5\) est un parallélogramme, ainsi que la relation de Chasles pour montrer que \(\vect{M_6 M_1} = \vect{M_0 M_1}\text{.}\)

10.

Étant donnés des points \(P_1,P_2, \ldots,P_n\text{,}\) un point \(P\) est dit être un barycentre de \(P_1,\ldots, P_n\) si \(\vect{PP_1}+\vect{PP_2}+\cdots+\vect{PP_n}=\vZero\text{.}\)
  1. Montrer que si \(P\) est un barycentre de \(P_1,\ldots, P_n\text{,}\) alors pour tout point \(O\) on a
    \begin{equation*} \vect{OP}=\frac{1}{n}\left(\vect{OP_1}+\vect{OP_2}+\cdots+\vect{OP_n}\right). \end{equation*}
    Conclure que le barycentre est unique.
  2. Soit \(k\leqslant n\) et \(G\) le barycentre de \(k\) points distincts parmi les \(n\) points donnés. Soit par ailleurs \(Q\) le barycentre des \(n-k\) points restants. Montrer que pour chaque point \(O\) on a
    \begin{equation*} \vect{OP}=\frac{k}{n}\vect{OG}+\frac{n-k}{n}\vect{OQ} \end{equation*}
  3. Montrer que \(P\) se trouve sur le segment joignant \(Q\) et \(G\text{.}\) Pour ceci, écrivez \(\vect{GP}\) comme multiple de \(\vect{GQ}\text{.}\) En quelle proportion le point \(P\) divise-t-il le segment \(GQ\text{?}\)
  4. Soit \(ABC\) un triangle. Utiliser les résultats précédents pour montrer que le barycentre des points \(A\text{,}\) \(B\) et \(C\) se trouve sur chacune des médianes du triangle \(ABC\) à \(\tfrac{2}{3}\) de la distance d’un sommet au milieu du côté opposé.

Produit scalaire, angles et distances.

11.

Soient \(A(1,5)\) et \(B(5,2)\text{.}\) Trouver les points \(C\) et \(D\) tels que \(ABCD\) est un carré se trouvant dans le premier quadrant.
Réponse.
\(C(8, 6)\) et \(D(4, 9)\text{.}\)

12.

Soit \(\vp = \rvd{2}{k}\) et \(\vq = \rvd{3}{5}\text{.}\) Trouver les valeurs de \(k\text{,}\) si elles existent, telles que:
  1. \(\vp\) et \(\vq\) sont orthogonaux.
  2. \(\vp\) et \(\vq\) sont colinéaires.
  3. \(\vp\) et \(\vq\) ont la même norme.
  4. \(\vp\) et \(\vq\) forment un angle de \(\pi/3\text{.}\)
Réponse.
  1. \(k=-\tfrac{6}{5}\text{.}\)
  2. \(k=\tfrac{10}{3}\text{.}\)
  3. \(k = \pm \sqrt{30}\text{.}\)
  4. \(k = \frac{34}{33} \sqrt{3} - \frac{20}{11}\text{.}\)

13.

  1. Trouver la valeur de \(r\) telle que \(\rvt{3}{3}{-2}\) et \(\rvt{5}{-1}{r}\) soient orthogonaux.
  2. Trouver les valeurs de \(r\) et \(s\) telles que \(\rvt{10}{r}{s}\) soit orthogonal à \(\rvt{1}{3}{2}\) et \(\rvt{-2}{1}{4}\) simultanément.
Réponse.
  1. \(r = 6\text{.}\)
  2. \(r = -8\) et \(s = 7\text{.}\)

14.

Soient \(\vu\) et \(\vv\) des vecteurs non nuls de \(\R^3\text{.}\)
  1. Donner un exemple concret montrant qu’il n’est généralement pas vrai que \(\nrm{\vu + \vv} = \nrm{\vu} + \nrm{\vv}\text{.}\)
  2. Sous quelles conditions, au sujet de \(\vu\) et \(\vv\text{,}\) l’égalité de la partie précédente est-elle vraie?
Réponse.
  1. \(\vu = \rvt{1}{0}{0}\) et \(\vv = \rvt{0}{1}{0}\text{.}\)
  2. L’égalité tient si et seulement si \(\vu = c \vv\) pour une constante \(c \gt 0\text{.}\)

15.

Montrer que \(\vu \cdot \vv = \frac{1}{4} \nrm{ \vu + \vv} ^2 - \frac{1}{4} \nrm{ \vu - \vv } ^2\text{.}\)
Solution.
Directement,
\begin{align*} \amp \frac{1}{4} \nrm{ \vu + \vv} ^2 - \frac{1}{4} \nrm{ \vu - \vv }^2\\ \amp = \frac{1}{4} \left( (\vu + \vv) \cdot (\vu + \vv) \right) - \frac{1}{4} \left( (\vu - \vv) \cdot (\vu - \vv) \right)\\ \amp = \frac{1}{4} \left( \vu \cdot \vu + 2 (\vu \cdot \vv) + \vv \cdot \vv \right) - \frac{1}{4} \left( \vu \cdot \vu - 2 (\vu \cdot \vv) + \vv \cdot \vv \right)\\ \amp = \frac{1}{4} \left( \vu \cdot \vu + 2 (\vu \cdot \vv) + \vv \cdot \vv - \vu \cdot \vu + 2 (\vu \cdot \vv) - \vv \cdot \vv \right)\\ \amp = \frac{1}{4} \left( 4 (\vu \cdot \vv) \right)\\ \amp = \vu \cdot \vv \end{align*}

16.

Un losange est un parallélogramme dont les côtés ont tous la même longueur. Montrer, en utilisant le produit scalaire, que les diagonales d’un losange coïncident avec ses bissectrices.
Solution.
Soit \(ABCD\) un losange et posons \(\vu = \vect{AB}\) et \(\vv = \vect{AD}\text{.}\) Comme tous les côtés du losange ont la même longueur, on a \(\nrm{\vu} = \nrm{\vv}\text{.}\)
Puisqu’un losange est un parallélogramme, alors \(\vect{BC} = \vect{AD} = \vv\text{.}\) Ainsi, la diagonale \(\vect{AC}\) est donnée par
\begin{equation*} \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BC} = \vu + \vv. \end{equation*}
Pour montrer que \(\vect{AC}\) est la bissectrice de l’angle \(\angle DAB\text{,}\) il suffit de vérifier que les angles \((\vu,\,\vu+\vv)\) et \((\vv,\,\vu+\vv)\) sont égaux. En termes de produit scalaire, cela revient à montrer l’égalité:
\begin{equation*} \frac{\vu \cdot (\vu + \vv)}{\nrm{\vu} \nrm{\vu + \vv}} = \frac{\vv \cdot (\vu + \vv)}{\nrm{\vv} \nrm{\vu + \vv}}. \end{equation*}
Les dénominateurs sont non nuls et égaux puisque \(\nrm{\vu} = \nrm{\vv}\text{.}\) L’égalité équivaut donc à \(\vu \cdot(\vu + \vv) = \vv \cdot (\vu + \vv)\text{.}\)
Or,
\begin{equation*} \vu \cdot (\vu + \vv) = \nrm{\vu}^2+ \vu \cdot \vv, \end{equation*}
\begin{equation*} \vv \cdot (\vu + \vv) = \vu \cdot \vv + \nrm{\vv}^2. \end{equation*}
Les deux expressions sont donc égales si et seulement si \(\nrm{\vu}^{2} = \nrm{\vv}^{2}\text{,}\) ce qui est vrai puisque le losange a tous ses côtés de même longueur.
Ainsi, \(\vect{AC}\) fait le même angle avec \(\vu\) et avec \(\vv\text{.}\) Ceci prouve que la diagonale est bien la bissectrice de l’angle en \(A\text{.}\) Le même raisonnement s’applique à tous les sommets du losange, d’où le résultat.

17.

Soient \(\vu, \vv\) deux vecteurs de \(\R^2\text{.}\)
  1. On définit \(\vw = \nrm{\vu} \vv + \nrm{\vv} \vu\text{.}\) Montrer que l’angle formé par \(\vu\) et \(\vv\) est le double de celui formé par \(\vu\) et \(\vw\text{.}\)
  2. On définit \(\vz = \nrm{\vu} \vv - \nrm{\vv} \vu\text{.}\) Que peut-on dire que \(\vw\) et \(\bbm{z}\text{?}\)
Solution.
  1. On veut montrer que \(\angle (\vu, \vv) = 2 \angle (\vu, \vw)\text{,}\) ce qui revient à montrer que \(\angle (\vu, \vw) = \angle (\vw, \vv)\text{.}\) Directement,
    \begin{align*} \amp \cos(\angle (\vu, \vw)) - \cos(\angle (\vw, \vv))\\ \amp = \frac{\vu \cdot \vw}{\nrm{\vu} \nrm{\vw}} - \frac{\vw \cdot \vv}{\nrm{\vw} \nrm{\vv}}\\ \amp = \frac{\vu \cdot (\nrm{\vu} \vv + \nrm{\vv} \vu)}{\nrm{\vu}} - \frac{(\nrm{\vu} \vv + \nrm{\vv} \vu) \cdot \vv}{\nrm{\vv}}\\ \amp = \frac{\nrm{\vu} (\vu \cdot \vv) + \nrm{\vv} \nrm{\vu}^2}{\nrm{\vu}} - \frac{\nrm{\vu} \nrm{\vv}^2 + \nrm{\vv} (\vu \cdot \vv)}{\nrm{\vv}}\\ \amp = \vu \cdot \vv + \nrm{\vv} \nrm{\vu} - (\nrm{\vu} \nrm{\vv} + \vu \cdot \vv)\\ \amp = 0. \end{align*}
    Puisque \(\cos(\angle (\vu, \vw)) - \cos(\angle (\vw, \vv)) = 0\text{,}\) alors \(\angle (\vu, \vw) = \angle (\vw, \vv)\text{.}\)
  2. Ils sont orthogonaux. En effet,
    \begin{align*} \vw \cdot \vz \amp = (\nrm{\vu} \vv + \nrm{\vv} \vu) \cdot (\nrm{\vu} \vv - \nrm{\vv} \vu)\\ \amp = \nrm{\vu}^2 (\vv \cdot \vv) - \nrm{\vu} \nrm{\vv} (\vv \cdot \vu) + \nrm{\vv} \nrm{\vu} (\vu \cdot \vv) - \nrm{\vv}^2 (\vu \cdot \vu)\\ \amp = \nrm{\vu}^2 \nrm{\vv}^2 - \nrm{\vv}^2 \nrm{\vu}^2\\ \amp = 0. \end{align*}

18.

Considérer un quadrilatère ayant deux côtés parallèles, mais pas nécessairement de même longueur.
  1. Montrer que le segment joignant les milieux des côtés non parallèles du quadrilatère est parallèle aux deux côtés du quadrilatère qui sont parallèles.
  2. Montrer que la longueur du segment de (a) est la moitié de la somme des longueurs des côtés parallèles.
Solution.
Soit le quadrilatère \(ABCD\) tel que les vecteurs \(\vect{AB}\) et \(\vect{DC}\) sont colinéaires. Ceci signifie qu’il existe un scalaire \(\l\) tel que \(\vect{DC} = \l \vect{AB}\text{.}\) Par ailleurs, on note \(E\) et \(F\) les points milieux des segments \(AD\) et \(BC\) respectivement. Ceci implique que \(\vect{EA} = -\vect{ED}\) et \(\vect{FB} = -\vect{FC}\text{.}\)
  1. Par la relation de Chasles, on a
    \begin{equation*} \vect{EF} = \vect{EA} + \vect{AB} + \vect{BF} \end{equation*}
    \begin{equation*} \vect{EF} = \vect{ED} + \vect{DC} + \vect{CF} \end{equation*}
    En additionnant ces deux équations, on obtient
    \begin{align*} 2 \vect{EF} \amp = \vect{EA} + \vect{AB} + \vect{BF} + \vect{ED} + \vect{DC} + \vect{CF}\\ \amp = -\vect{ED} + \vect{AB} + \vect{FC} + \vect{ED} + \l \vect{AB} + \vect{CF}\\ \amp = (1 + \l) \vect{AB} \end{align*}
    Ainsi, \(\vect{EF} = \frac{1 + \l}{2} \vect{AB}\text{,}\) ce qui démontre que \(\vect{EF}\) est colinéaire à \(\vect{AB}\text{.}\)
  2. Directement,
    \begin{align*} \nrmc{\vect{EF}} \amp = \nrmc{\frac{1 + \l}{2} \vect{AB}}\\ \amp = \frac{1 + \l}{2}\nrmc{\vect{AB}}\\ \amp = \frac{ \nrmc{\vect{AB}} + \l \nrmc{\vect{AB}}}{2}\\ \amp = \frac{\nrmc{\vect{AB}} + \nrmc{\l \vect{AB}}}{2}\\ \amp = \frac{\nrmc{\vect{AB}} + \nrmc{\vect{DC}}}{2} \end{align*}

19.

Soit \(A(0,0,0), B(3,-2,4)\) et \(C(-3,2-1)\text{.}\) Utiliser le produit scalaire pour calculer les angles du triangle \(ABC\text{.}\)
Réponse.
\(\angle CAB \approx 2,575\text{,}\) \(\angle ABC \approx 0,231\) et \(\angle BCA \approx 0,336\text{.}\)

20.

Soit \(A=(1,0,0)\text{,}\) \(B=(0,2,0)\) et \(C=(0,0,c)\text{.}\) Trouver la valeur de \(c\) si l’angle \(\angle{C}\) du triangle \(ABC\) est \(\pi / 3\text{.}\)
Réponse.
\(c = \pm \sqrt{\frac{5 + \sqrt{73}}{6}}\text{.}\)

21.

Soit \(\vx,\vy\) et \(\vz\) des vecteurs unitaires de \(\R^3\) tels que \(\vx + \vy+\vz = \vZero\text{.}\) Trouver la valeur de \(\vx \cdot \vy + \vy \cdot \vz + \vz\cdot \vx \text{.}\)
Réponse.
\(\tfrac{3}{2}\)

Droites et plans.

22.

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts dans \(\R^3\text{.}\) Montrer qu’un point \(M\) se trouve sur la droite définie par \(A\) et \(B\) si et seulement s’il existe un réel \(\l\) tel que \(\vect{OM} = (1-\l) \vect{OA} + \l \vect{OB}\text{.}\)
À la lumière de l’exercice précédent, noter que ceci signifie que \(M\) est le barycentre de \(A\) et \(B\) avec des masses respectives \(1-\l\) et \(\l\text{.}\)
Solution.
(\(\Rightarrow\)) Supposons que \(M\) appartient à la droite définie par \(A\) et \(B\text{.}\) Alors il existe un réel \(\l\) tel que
\begin{equation*} \vect{OM} = \vect{OA} + \l \vect{AB} = \vect{OA} + \l (\vect{OB} - \vect{OA}). \end{equation*}
On obtient
\begin{equation*} \vect{OM} = (1 - \l)\vect{OA} + \l \vect{OB}. \end{equation*}
(\(\Leftarrow\)) Réciproquement, supposons qu’il existe \(\l \in \R\) tel que
\begin{equation*} \vect{OM} = (1-\l) \vect{OA} + \l \vect{OB}. \end{equation*}
Alors
\begin{equation*} \vect{AM} = \vect{OM} - \vect{OA} = (1 - \l) \vect{OA} + \l \vect{OB} - \vect{OA} = \l (\vect{OB} - \vect{OA}) = \l \vect{AB}. \end{equation*}
Ainsi, \(\vect{AM}\) est colinéaire à \(\vect{AB}\text{,}\) donc \(M\) appartient à la droite passant par \(A\) et \(B\text{.}\)

23.

Soient \(P(1,-3,2), Q(2,0,-4)\) et \(R(6,-2,-5)\text{.}\)
  1. Trouver le point \(S\) tel que \(PQRS\) soit un parallélogramme.
  2. Est-ce que \(PQRS\) est un rectangle? Un losange?
  3. Soit \(\plan{P}\) le plan déterminé par \(P, Q\) et \(R\text{.}\) Donner l’équation cartésienne de \(\plan{P}\text{.}\)
  4. Donner une équation vectorielle de \(\plan{P}\text{.}\)
Réponse.
  1. \(S(5, -5, 1)\text{.}\)
  2. Ni rectangle, ni losange.
  3. \(15x + 23y + 14z + 26 = 0\text{.}\)
  4. \(\rvt{x}{y}{z} = \rvt{1}{-3}{2} + s \rvt{1}{3}{-6} + t \rvt{5}{1}{-7}\text{.}\)

24.

La figure ci-après est formée par des cubes, tous ayant des côtés de longueur \(1\text{.}\)
Figure montrant des cubes
  1. Dessiner un vecteur \(\vu\) tel que \(\vu = \vect{PS}\times \vect{PR}\text{.}\) Expliquez sommairement votre construction.
  2. Que vaut \(\vect{PQ} \cdot \vect{PS}\text{?}\) Justifier.
  3. Dessiner un vecteur \(\vv\) différent de \(\vect{PR}\) tel que \(\vect{PR} \cdot \vect{PS} = \vv \cdot \vect{PS}\text{.}\) Justifier.
Réponse.
  1. (...)
  2. 0 car ces vecteurs sont orthogonaux.
  3. (...)

25.

Soient les points \(P(-2,-4), \ Q(-4,2)\) et \(V(3,-3)\text{.}\) Faire une figure montrant les éléments importants pour ce problème.
  1. Donner l’équation vectorielle et cartésienne de la droite qui passe par \(V\) et qui est perpendiculaire à la droite passant par \(P\) et \(Q\text{.}\)
  2. Trouver le point \(U\) tel que \(PQUV\) est un parallélogramme. Trouver l’aire de celui-ci.
  3. Est-ce que \(PQUV\) est un rectangle? Un losange? Justifier.
Réponse.
  1. Équation vectorielle: \(\vx = \rvd{3}{-3} + t \rvd{6}{2}\text{.}\)
    Équation cartésienne: \(x - 3y - 12 = 0\text{.}\)
  2. Le point est \(U(1, 3)\) et l’aire est \(32\text{.}\)
  3. Ni un rectangle, ni un losange.

26.

Soit \(\plan{D}_1\) la droite \(\vx = \rvt{-3}{5}{6} + t \rvt{3}{0}{-4}\) et \(R(-2,7,-12)\text{.}\)
  1. Trouver le point sur \(\plan{D}_1\) qui est le plus près de \(R\text{,}\) et calculer la distance de \(R\) à \(\plan{D}_1\text{.}\)
  2. Soit \(\plan{D}_2\) la droite passant par \(Q(4,3,-4)\) ayant pour vecteur directeur \(\vv = \rvt{-1}{2}{2}\text{.}\) Trouver le point d’intersection des deux droites.
  3. Trouver l’équation cartésienne et vectorielle du plan contenant les droites \(\plan{D}_1\) et \(\plan{D}_2\text{.}\)
Réponse.
  1. Le point est \((6, 5, -6)\) et la distance est \(2 \sqrt{26}\text{.}\)
  2. \((3, 5, -2)\text{.}\)
  3. Équation cartésienne: \(4x − y + 3z − 1 = 0\text{.}\)
    Équation vectorielle: \(\vx = \rvt{3}{5}{-2} + s \rvt{3}{0}{-4} + t \rvt{-1}{2}{2}\text{.}\)

27.

Soient \(P(2,1,5), Q(-1,3,4)\) et \(R(3,0,6)\text{.}\)
  1. Donner une équation vectorielle du plan \(\plan{P}\) passant par \(P,Q\) et \(R\text{.}\)
  2. Trouver l’équation cartésienne générale de \(\plan{P}\text{.}\)
  3. Trouver l’aire du triangle \(PQR\text{.}\)
  4. Soit \(S(1, 7, 6)\text{.}\) Calculer la distance de \(S\) au plan \(\plan{P}\text{,}\) et trouver le point de \(\plan{P}\) qui soit le plus près de \(S\text{.}\)
Réponse.
  1. \(\vx = \rvt{2}{1}{5} + s \rvt{-3}{2}{-1} + t \rvt{1}{-1}{1}, \quad s, t \in \R\text{.}\)
  2. \(x + 2y + z - 9 = 0\text{.}\)
  3. \(\frac{\sqrt{6}}{2}\text{.}\)
  4. La distance est \(2 \sqrt{6}\) et le point est \(Q(-1,3,4)\text{.}\)

28.

Soit \(\plan{P}\) le plan d’équation \(x + 2y + 2z = 0\text{.}\) Trouver les cosinus (ou les sinus) des angles que \(\plan{P}\) forme avec:
  1. Le plan \(\plan{P}_1\) d’équation \(x-y+z=3\text{.}\)
  2. Le plan \(\plan{P}_2\) d’équation \(\rvt{x}{y}{z} = \rvt{1}{0}{1} + s \rvt{-1}{0}{1} + t \rvt{0}{1}{1}\text{.}\)
  3. La droite \(\plan{D}\) d’équation \(\rvt{x}{y}{z} = \rvt{1}{-1}{1} + t \rvt{-1}{2}{2}\text{.}\)
Réponse.
  1. \(\j = \arccos \frac{\sqrt{3}}{9}\text{.}\)
  2. \(\j_1 = \arccos \frac{\sqrt{3}}{9}\text{.}\)
  3. \(\j_2 = \frac{\pi}{2} - \arccos \frac{7}{9}\text{.}\)

29.

Soit \(\plan{D}_1\) la droite \(\vx = \rvt{-7}{-4}{1} + s\rvt{-5}{-3}{0}\text{,}\) et \(\plan{D}_2\) la droite passant par \(Q(8,5,0)\) et dirigée par \(\vv = \rvt{-10}{-6}{1}\text{.}\)
  1. Trouver le point d’intersection des deux droites.
  2. Trouver l’angle formé par les deux droites. Trouver l’équation cartésienne du plan contenant \(\plan{D}_1\) et \(\plan{D}_2\text{.}\)
  3. Trouver l’équation cartésienne du plan contenant \(\plan{D}_1\) et \(\plan{D}_2\text{.}\)
Réponse.
  1. Point commun: \((-2,-1,1)\text{.}\)
  2. L’angle est \(\arccos \left( \frac{2 \sqrt{137 \times 34}}{137} \right)\text{.}\)
  3. \(-3x + 5y = 1\text{.}\)

30.

Soit \(\plan{P}\) le plan \(\rvt{x}{y}{z} = \rvt{-3}{-5}{2} + s \rvt{6}{5}{-2} + t \rvt{3}{10}{2}\text{.}\)
  1. Donner deux points différents de \(\plan{P}\text{.}\)
  2. Donner trois vecteurs non colinéaires deux à deux, mais tous les trois parallèles au plan \(\plan{P}\text{.}\)
  3. Trouver un vecteur normal à \(\plan{P}\text{.}\)
  4. Est-ce que le point \(A(-1,1,3)\) appartient à \(\plan{P}\text{?}\)
  5. Est-ce que \(\vv = \rvt{1}{1}{-1}\) est parallèle à \(\plan{P}\text{?}\)
  6. Trouver les points où \(\plan{P}\) coupe les axes de coordonnées.
  7. Trouver l’équation cartésienne de \(\plan{P}\text{.}\)
Solution.
  1. Deux points de \(\plan{P}\) sont, par exemple, \(P_0(-3,-5,2)\) et \(P_1(3,0,0)\text{.}\)
  2. Trois vecteurs non colinéaires deux à deux et parallèles à \(\plan{P}\) sont \(\rvt{6}{5}{-2}, \rvt{3}{10}{2}\) et \(\rvt{9}{15}{0}\text{.}\)
  3. Un vecteur normal à \(\plan{P}\) est, par exemple, \(\vn = \rvt{10}{-6}{15}\text{.}\)
  4. Le point \(A(-1,1,3)\) n’appartient pas à \(\plan{P}\text{.}\)
  5. Le vecteur \(\vv = \rvt{1}{1}{-1}\) n’est pas parallèle à \(\plan{P}\text{.}\)
  6. Les points d’intersection de \(\plan{P}\) avec les axes de coordonnées sont \((3,0,0)\) sur l’axe des \(x\text{,}\) \((0,-5,0)\) sur l’axe des \(y\) et \((0,0,2)\) sur l’axe des \(z\text{.}\)
  7. Une équation cartésienne de \(\plan{P}\) est \(10x - 6y + 15z - 30 = 0\text{.}\)

31.

Soit \(\plan{L}_1\) et \(\plan{L}_2\) les droites d’équations
\begin{equation*} \plan{L}_1 : \rvt{x}{y}{z} = \rvt{1}{4}{-2} + t \rvt{-1}{1}{3} \text{ et } \plan{L}_2 : \rvt{x}{y}{z} = \rvt{-1}{2}{4} + t \rvt{1}{2}{3}. \end{equation*}
Trouver une équation d’un plan qui est parallèle simultanément à \(\plan{L}_1\) et \(\plan{L}_2\text{.}\)
Réponse.
Tout plan d’équation de la forme \(x-2y+z = d\text{.}\)

32.

  1. Montrer que dans \(\R^2\) la distance entre deux droites parallèles d’équations \(\vn \cdot \vx = c_1\) et \(\vn \cdot \vx = c_2\) est donnée par \(\frac{|c_1 - c_2|}{\nrm{\vn}}\text{.}\)
  2. Montrer que dans \(\R^3\) la distance entre deux plans parallèles d’équations \(\vn \cdot \vx = d_1\) et \(\vn \cdot \vx = d_2\) est donnée par \(\frac{|d_1 - d_2|}{ \nrm{\vn}}\text{.}\)
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