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Section 2.1 Systèmes linéaires

Sous-section Motivation

On a vu, à l’exemple 1.1.32, un système d’équations linéaires dont la solution pouvait être interprétée de deux façons.
Figure 2.1.1. Les deux droites ont un point commun.
Forts de ce qui a été fait à la section 1.3, on interprète le système
\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lcr} 2x+y \amp = \amp 8\\ x-3y \amp = \amp -3 \end{array}\right. \end{equation*}
comme la donnée de deux droites dans le plan, chaque équation représentant une droite. La solution du système correspond alors au point commun aux deux droites.
Dans le cas général, un système de deux équations linéaires à deux variables peut admettre une unique solution (les droites sont sécantes), aucune solution (les droites sont parallèles et distinctes) ou une infinité de solutions (les droites coïncident).
Pour l’exercice suivant, il vous sera utile de penser aux conditions de parallélisme entre droites dans le plan.

À vous de jouer 2.1.2.

Indiquer la représentation graphique de chaque système d’équations linéaires.
  1. \(\displaystyle \begin{cases} -9 x - 3 y = -3 \\ -6 x - 2 y = 1 \end{cases}\)
  2. \(\displaystyle \begin{cases} -9 x - 3 y = -3 \\ -6 x - 2 y = -2 \end{cases}\)
  3. \(\displaystyle \begin{cases} 3 x + 3 y = 0 \\ -2 x + 1 y = 5 \end{cases}\)
Les équations linéaires à trois variables représentent des plans dans l’espace. Un système de trois équations peut donc être compris comme la donnée de trois plans dans l’espace.
Dans l’applet ci-après, on observe plusieurs configurations possibles de trois plans dans l’espace. On peut donc interpréter chacune de ces configurations comme un système de trois équations linéaires (chaque équation représentant un plan) en trois variables \(x,y,z\text{.}\) Cette interprétation géométrique sert de point d’appui intuitif pour comprendre la nature des solutions des systèmes linéaires avant d’en développer une approche algébrique générale.
Figure 2.1.3. Avec le curseur à gauche, passez d’une configuration à une autre.
Voici quelques aspects qualitatifs.
  • Configuration 1. Les \(3\) plans ont un point commun: la solution du système est unique.
  • Configuration 2. Il n’y a pas de point commun aux trois plans. Deux d’entre eux sont parallèles, et le troisième leur est sécant.
  • Configuration 3. Les \(3\) plans partagent une droite entière de points communs. Le système admet donc une infinité de solutions.
  • Configuration 4. Il n’y a à nouveau aucune solution au système, mais cette fois les plans sont deux à deux sécants.
Les équations dont il est question sont dites linéaires. Le but de ce chapitre est de proposer une étude systématique des systèmes d’équations linéaires, en considérant davantage d’équations et davantage de variables. On verra également plusieurs applications, de nature moins géométriques, mais souvent plus concrètes.
On note que, dans les deux contextes considérés, le système étudié admet soit une infinité de solutions, soit une unique solution, soit aucune solution. Cette propriété est fondamentale: elle est valable pour les systèmes linéaires en général, et on en verra la justification plus loin.
Pour l’instant, en interprétant une équation à trois variables comme l’équation d’un plan dans l’espace, on peut démontrer de façon élémentaire le résultat partiel suivant.

Démonstration.
Chaque équation représente un plan de l’espace, que l’on note \(\plan{P}_1\text{,}\) \(\plan{P}_2\) et \(\plan{P}_3\text{.}\) On suppose que le système admette deux solutions distinctes, notées \(S_1\) et \(S_2\text{.}\) Les points \(S_1\) et \(S_2\) appartiennent alors aux trois plans. La droite passant par ces deux points est donc contenue dans chacun des trois plans, et tout point de cette droite est une solution du système. Le système admet donc une infinité de solutions.
À noter toutefois que cette interprétation géométrique devient rapidement difficile à exploiter lorsque le nombre de variables augmente, ce qui motive la recherche de méthodes algébriques systématiques.

Sous-section Systèmes linéaires et leurs solutions

Définition 2.1.5.

  • Une équation linéaire en \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) est une équation de la forme \(\sum_{i=1}^n a_i x_i = b\text{,}\) où \(a_i, b \in \R\text{.}\)
  • Si on pose \(\va = \rvt{a_1}{\vdots}{a_n \hfill}\) et \(\vx = \rvt{x_1}{\vdots \hfill}{x_n}\text{,}\) cette équation s’écrit aussi \(\va \cdot \vx = b\text{.}\)
  • Un système d’équations linéaires est un ensemble fini d’équations linéaires, par exemple
    \begin{align} \amp \left\{ \begin{array}{ccl} a_{1,1} x_1 + a_{1,2} x_2 + \cdots + a_{1,n} x_n \amp = \amp b_1 \\ a_{2,1} x_1 + a_{2,2} x_2 + \cdots + a_{2,n} x_n \amp = \amp b_2 \\ \vdots \amp \amp \vdots\\ a_{m,1} x_1 + a_{m,2} x_2 + \cdots + a_{m,n} x_n \amp = \amp b_m \end{array} \right.\tag{✶} \end{align}
    On appelle termes constants les valeurs \(b_1, \ldots, b_m\text{.}\) Le nombre \(a_{i,j}\) est le coefficient de \(x_j\) dans l’équation \(i\text{.}\)
  • Un système qui admet au moins une solution est dit compatible (ou consistant).

Exemple 2.1.6.

Dites si les systèmes d’équations sont linéaires ou non, et, le cas échéant, donnez leurs ensembles solution.
  1. \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} 3x - 4y \amp = \amp 12 \end{array}\right.\)
  2. \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} \amp = \amp 0 \\ \frac{3}{x} + \frac{4}{y} \amp = \amp 1 \end{array}\right.\)
Réponse.
  1. Oui.
  2. Non.
Solution.
  1. Oui, il s’agit d’un système linéaire: il est formé d’une seule équation. Son ensemble solution est la droite passant par \((0,-3)\) et ayant \(\vd = \rvd{4}{3}\) comme vecteur directeur, c’est-à-dire l’ensemble des \(\vx\) tels que
    \begin{equation*} \vx = \Rvd{0}{-3} + t \Rvd{4}{3}. \end{equation*}
    On note que cette écriture n’est pas unique: on a choisi d’exprimer la droite à l’aide du paramètre \(t\text{,}\) mais d’autres paramétrisations sont possibles.
  2. Non, il ne s’agit pas d’un système linéaire, car les variables apparaissent dans des dénominateurs.
Dans l’exemple précédent (a), on a décrit l’ensemble solution en utilisant une équation paramétrique. On va voir que c’est une façon très efficace de décrire les ensembles solution des systèmes linéaires.

Exemple 2.1.7.

  1. Trouver un système d’équations linéaires en \(x_1, x_2, x_3\) tel que son ensemble solution soit donné par les équations paramétriques \(x_1 = t\text{,}\) \(x_2 = 1 + t\) et \(x_3 = 2 - t\text{.}\)
  2. Trouver une autre paramétrisation de l’ensemble solution dans laquelle le paramètre est \(s\) et \(x_3 = s\text{.}\)
Solution.
  1. On procède à l’envers cette fois. L’ensemble solution est donné paramétriquement:
    \begin{equation*} \vx = \Rvt{x_1}{x_2}{x_3} = \Rvt{t}{1 + t}{2 - t} = \Rvt{0}{1}{2} + t\Rvt{1}{1}{-1}. \end{equation*}
    On fait l’élimination du paramètre, c’est-à-dire l’expression de \(t\) en fonction des variables:
    \begin{equation*} t = x_1, \quad t = x_2 - 1, \quad t = 2 - x_3. \end{equation*}
    En égalant les deux premières expressions, puis la première et la troisième, on obtient
    \begin{equation*} \left\{ \begin{alignedat}{3} x_1 \amp {} - {} \amp x_2 \amp {} = {} \amp -1 \\ x_1 \amp {} + {} \amp x_3 \amp {} = {} \amp 2 \end{alignedat} \right. \end{equation*}
  2. On commence avec le système obtenu ci-haut. Le paramètre étant \(s = x_3\text{,}\) on va exprimer toutes les quantités en fonction de \(s\text{.}\)
    • La deuxième équation donne \(x_1 = 2 - s\text{.}\)
    • On substitue cette valeur dans la première équation, ce qui donne \((2 - s) - x_2 = -1\text{,}\) ou encore \(x_2 = 3 - s\text{.}\)
    La solution s’exprime donc également comme
    \begin{equation*} \vx = \Rvt{x_1}{x_2}{x_3} = \Rvt{2 - s}{3 - s}{s} = \Rvt{2}{3}{0} + s \Rvt{-1}{-1}{1}. \end{equation*}

Remarque 2.1.8.

Dans les exemples ci-dessus, on a utilisé des lettres différentes pour les paramètres, mais ce n’est pas nécessaire. On constate aussi qu’il est possible d’exprimer les solutions d’un même système de plusieurs façons. En effet, le choix du paramètre mène à des expressions différentes (au-delà du nom du paramètre), mais équivalentes.
Ce n’est pas nouveau: on a déjà vu qu’une droite dans le plan ou dans l’espace admet plusieurs équations paramétriques. Il en va de même pour un plan dans l’espace.
Jusqu’à présent, on a des modèles géométriques: droites dans le plan (équations avec deux variables) ou plans dans l’espace (équations avec trois variables).
On verra dans les exemples ci-après que les systèmes avec plus de variables apparaissent aussi dans des contextes très terre à terre. L’interprétation sera différente.

Exemple 2.1.9.

La figure ci-après montre un réseau routier. Chaque flèche représente une rue, et le flux d’automobiles est mesuré en nombre d’automobiles par heure (en moyenne). Le principe fondamental est la conservation du flux: à chaque intersection, le nombre d’automobiles qui entre est égal au nombre d’automobiles qui en sort.
De plus, on suppose que le trafic suit le sens des flèches: une valeur négative signifie donc que, en moyenne, le flux réel se fait dans le sens opposé.
Écrire le système d’équations qui résulte de la loi de conservation du flux.
Solution.
On commence par définir les variables d’intérêt:
  • \(a\) : nombre d’automobiles par heure qui suivent la rue Avril
  • \(b\) : nombre d’automobiles par heure qui suivent la rue des Bardes
  • \(c\) : nombre d’automobiles par heure qui suivent la rue Canal
  • \(d\) : nombre d’automobiles par heure qui suivent la rue Damien
  • \(e\) : nombre d’automobiles par heure qui suivent la rue Espérance
Afin d’écrire les équations, on va examiner chaque intersection du réseau et compter le trafic entrant ainsi que le trafic sortant. Le principe de conservation du flux va permettre d’écrire les équations.
Intersection entrant sortant
Avril - Bardes \(300\) \(a+b\)
Avril - Canal - Damien \(a\) \(c+d\)
Bardes - Canal - Espérance \(b+c\) \(e\)
Damien - Espérance \(e+d\) \(300\)
En appliquant le principe de conservation du flux à chaque intersection, on obtient le système d’équations suivant:
\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lcr} 300 \amp = \amp a + b \\ a \amp = \amp c + d \\ b + c \amp = \amp e\\ e + d \amp = \amp 300 \end{array}\right. \end{equation*}
que l’on peut écrire en plaçant toutes les inconnues du côté gauche, sous la forme:
\begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcrcrcrrccl} a \amp + \amp b \amp \amp \amp \amp \amp \amp \amp = \amp 300 \\ a \amp \amp \amp - \amp c \amp - \amp d \amp \amp \amp = \amp 0 \\ \amp \amp b \amp + \amp c \amp \amp \amp - \amp e \amp = \amp 0 \\ \amp \amp \amp \amp \amp \amp d \amp + \amp e \amp = \amp 300 \\ \end{array}\right. \end{equation*}

Exemple 2.1.10.

Lorsqu’une réaction chimique a lieu, certaines molécules sont combinées. Une équation est balancée lorsque le nombre d’atomes de chaque côté est le même (pour chaque type d’atome). Par exemple, la réaction qui donne de l’eau, \(\mathrm{H_2 O}\) à partir du gaz hydrogène \(\mathrm{H_2}\) et d’oxygène \(\mathrm{O_2}\text{,}\) a pour équation balancée
\begin{equation*} 2 \mathrm{H_2} \ + \ \mathrm{O_2} \ \longrightarrow \ 2\mathrm{H_2O}. \end{equation*}
Cela indique que deux molécules d’hydrogène doivent être combinées avec une molécule d’oxygène pour former deux molécules d’eau. L’équation est balancée puisqu’il y a 4 atomes d’hydrogène à gauche, et 4 à droite, tandis que l’on a deux atomes d’oxygène de chaque côté. Il faut aussi noter qu’une équation chimique peut être balancée d’une infinité de façons: tout multiple d’une équation balancée en est une.
Écrire le système d’équations associé à la réaction:
\begin{equation*} \mathrm{C_5 H_{11}OH} \ +\ \mathrm{O_2} \ \longrightarrow \ \mathrm{H_2 O}\ + \ \mathrm{CO_2} \end{equation*}
Solution.
On commence par définir les variables d’intérêt:
  • \(x\) : nombre de molécules de \(\mathrm{C_5 H_{11}OH}\text{;}\)
  • \(y\) : nombre de molécules de \(\mathrm{O_2}\text{;}\)
  • \(z\) : nombre de molécules de \(\mathrm{H_2 O}\text{;}\)
  • \(w\) : nombre de molécules de \(\mathrm{CO_2}\text{;}\)
Cette fois on compte les différents types d’atomes présents dans l’équation, et on écrit une équation pour chacun d’eux, le nombre d’atomes de chaque type devant être le même des deux côtés de l’équation. On a:
  • Atomes de carbone (C) : \(5x = w\text{;}\)
  • Atomes d’hydrogène (H) : \(12x = 2z\text{;}\)
  • Atomes d’oxygène (O) : \(x + 2y = z + 2w\text{.}\)
On peut écrire le système d’équations sous la forme:
\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lcr} 5x - w \amp = \amp 0 \\ 12x - 2z \amp = \amp 0 \\ x + 2y - z - 2w \amp = \amp 0 \end{array}\right. \end{equation*}
Les systèmes d’équations qui apparaissent lors de l’étude de réactions chimiques ont une caractéristique importante: les termes de droite sont tous nuls, ainsi, il y a toujours au moins la solution nulle.

Définition 2.1.11.

Un système d’équations linéaires dont tous les termes de droite sont nuls est appelé un système homogène.
On s’intéresse aux solutions d’un système linéaire. On peut donc énoncer le problème suivant:

Remarque 2.1.12.

Étant donné un système d’équations linéaires, on veut savoir:
  1. s’il admet une solution unique, une infinité de solutions ou aucune solution;
  2. dans le cas où le système est compatible, décrire toutes ses solutions.
Une première réponse est donnée par le résultat suivant qui dit que ce qui a été noté à la proposition 2.1.4 reste vrai en général.

Démonstration.
On suppose le système de \(m\) équations à \(n\) variables. On écrit chaque équation sous la forme d’un produit scalaire (voir la définition 1.2.1). Il existe donc des vecteurs \(\va_i\) et des constantes \(b_i\) tels que
\begin{align*} \amp \left\{ \begin{array}{ccl} \va_1 \cdot \vx = b_1 \\ \va_2 \cdot \vx = b_2 \\ \vdots \amp \\ \va_m \cdot \vx = b_m \end{array}\right. \end{align*}
où \(\vx = \rvt{x_1}{\vdots \hfill}{x_n}\) est le vecteur des variables. On suppose que le système admette deux solutions, disons \(\vs_1\) et \(\vs_2\text{.}\) Alors pour toute valeur de \(t\text{,}\) on a
\begin{equation*} \va_1 \cdot ((1-t) \vs_1 + t \vs_2) = (1-t) \va_1 \cdot \vs_1 + t \va_1 \cdot \vs_2 = (1-t) b_1 + t b_1 = b_1 \end{equation*}
ce qui montre que \((1-t)\vs_1 + t\vs_2\) est aussi une solution de la première équation pour toute valeur de \(t\text{.}\) On montre de la même façon que c’est aussi une solution de chacune des autres équations. On a donc une infinité de solutions.
Notez que si \(S_1\) et \(S_2\) sont les points correspondant aux vecteurs \(\vs_1\) et \(\vs_2\text{,}\) alors l’ensemble des points correspondant aux solutions \((1-t) \vs_1 + t \vs_2\) est la droite passant par \(S_1\) et \(S_2\text{,}\) voir l’exercice 1.4.22. Cette preuve utilise donc la même idée que la preuve de la proposition 2.1.4 donnée en début de section.
Dans ce qui suit, on va développer une technique efficace pour déterminer si un système possède une solution, une infinité de solutions, ou aucune solution. De plus, lorsqu’il y aura des solutions, on va toutes les décrire.

Définition 2.1.14.

Deux systèmes d’équations linéaires sont dits être équivalents s’ils possèdent exactement les mêmes solutions.

Exemple 2.1.15.

Voici quelques systèmes d’équations équivalents.
  1. \(\displaystyle \left\{\begin{alignedat}{3} 2x \amp {} + {} \amp 3y \amp {} ={} \amp 1\\ -x\amp {} + {} \amp y \amp {} = {} \amp 4 \end{alignedat}\right. \qquad \text{ est équivalent à } \qquad \left\{\begin{alignedat}{3} -x\amp {} + {} \amp y \amp {} = {} \amp 4\\ 2x \amp {} + {} \amp 3y \amp {} ={} \amp 1 \end{alignedat} \right. \)
  2. \(\displaystyle \left\{ \begin{alignedat}{3} 2x \amp {} + {} \amp y \amp {} ={} \amp 1\\ -x\amp {} + {} \amp y \amp {} = {} \amp 4 \end{alignedat} \right. \qquad \text{ est équivalent à } \qquad \left\{ \begin{alignedat}{3} x \amp {} + {} \amp \tfrac{y}{2} \amp {} ={} \amp \tfrac{1}{2}\\ -x\amp {} + {} \amp y \amp {} = {} \amp 4 \end{alignedat} \right. \)
  3. \(\displaystyle \left\{ \begin{alignedat}{3} x \amp {} - {} \amp y \amp {} ={} \amp 1\\ x\amp {} + {} \amp y \amp {} = {} \amp 3 \end{alignedat} \right. \qquad \text{ est équivalent à } \qquad \left\{ \begin{alignedat}{3} x \amp {} - {} \amp y \amp {} ={} \amp 1\\ \amp {} {} \amp 2y \amp {} = {} \amp 2 \end{alignedat} \right. \)

Démonstration.
Le fait que l’échange de deux équations ou que la multiplication d’une équation par une constante non nulle laisse l’ensemble des solutions invariant est évident.
On va montrer que l’addition à une équation d’un multiple d’une autre équation laisse aussi l’ensemble des solutions invariant. Quitte à permuter les équations, on peut supposer que l’on ajoute à la deuxième équation un multiple \(c\) de la première équation. Ainsi, les systèmes obtenus sont identiques à l’exception de la deuxième équation. Pour le système original, la deuxième équation est
\begin{equation*} \va_2 \cdot \vx = b_2\text{,} \end{equation*}
tandis que pour le système modifié, la deuxième équation est
\begin{equation*} \va_2 \cdot \vx + c(\va_1 \cdot \vx) = b_2 + cb_1\text{,} \end{equation*}
c’est-à-dire
\begin{equation*} (\va_2 + c\va_1) \cdot \vx = b_2 + c b_1. \end{equation*}
On suppose que \(\vs\) est une solution du système original, de sorte que \(\vs\) vérifie toutes les équations, sauf peut-être la deuxième du nouveau système. Cependant,
\begin{equation*} \va_2 \cdot \vs + c (\va_1 \cdot \vs) = b_2 + cb_1, \end{equation*}
puisque \(\vs\) vérifie la première et la deuxième équation du système original. Donc \(\vs\) est aussi une solution du système modifié.
Réciproquement, on remarque que le système original peut être obtenu à partir du système modifié en soustrayant \(c\) fois la première équation à la deuxième. Par le même raisonnement, on montre que toute solution du système modifié est aussi une solution du système original.

Exemple 2.1.17.

Résoudre au moyen d’opérations élémentaires, le système d’équations linéaires
\begin{equation*} \left\{ \begin{alignedat}{4} x \amp {} - {} \amp y \amp {}-{} \amp z \amp {}={} \amp 2 \amp \qquad (E1) \\ 3x\amp {} - {} \amp 3y \amp {}+{} \amp 2z \amp {}={} \amp 16 \amp \qquad (E2) \\ 2x \amp {}-{} \amp y \amp {}+{} \amp z \amp {}={} \amp 9 \amp \qquad (E3) \end{alignedat} \right. \end{equation*}
Solution.
On va procéder par opérations élémentaires.
  • Afin d’éliminer la variable \(x\) dans la deuxième et la troisième équation, on remplace la deuxième équation par la deuxième moins trois fois la première, et la troisième par la troisième moins deux fois la première. Ces opérations peuvent être écrites sous la forme \((E2) - 3(E1)\) et \((E3) - 2(E1)\text{.}\) Par convention, c’est l’équation mentionnée en premier qui est modifiée. On obtient le système
    \begin{equation*} \left\{ \begin{alignedat}{4} x \amp {} - {} \amp y \amp {}-{} \amp z \amp {}={} \amp 2 \amp \qquad (E1) \\ \amp {} {} \amp \amp {} {} \amp 5z \amp {}={} \amp 10 \amp \ \qquad (E2) \\ \amp {} {} \amp y \amp {}+{} \amp 3z \amp {}={} \amp 5 \amp \qquad (E3) \end{alignedat} \right. \end{equation*}
  • Bien que la deuxième équation soit déjà résolue pour \(z\text{,}\) on va continuer le processus d’élimination. On échange la deuxième et troisième équation, ce qu’on écrit comme \((E2) \leftrightarrow (E3)\text{,}\) pour obtenir le système ci-après.
    \begin{equation*} \left\{ \begin{alignedat}{4} x \amp {} - {} \amp y \amp {}-{} \amp z \amp {}={} \amp 2 \amp \qquad (E1) \\ \amp {}{} \amp y \amp {}+{} \amp 3z \amp {}={} \amp 5 \amp \qquad (E2) \\ \amp {} {} \amp \amp {}{} \amp 5z \amp {}={} \amp 10 \amp \qquad (E3) \end{alignedat} \right. \end{equation*}
  • Cette fois on multiplie la troisième équation par \(\frac{1}{5}\text{,}\) ce qu’on écrit comme \(\frac{1}{5}(E3)\text{.}\) On obtient le système
    \begin{equation*} \left\{ \begin{alignedat}{4} x \amp {} - {} \amp y \amp {}-{} \amp z \amp {}={} \amp 2 \amp \qquad (E1) \\ \amp {}{} \amp y \amp {}+{} \amp 3z \amp {}={} \amp 5 \amp \qquad (E2) \\ \amp {} {} \amp \amp {}{} \amp z \amp {}={} \amp 2 \amp \qquad (E3) \end{alignedat} \right. \end{equation*}
  • On utilise la troisième équation pour éliminer \(z\) dans la deuxième équation et la première équation. On remplace la deuxième équation par la deuxième moins trois fois la troisième et la première par la première plus la troisième, c’est-à-dire on fait \((E2) - 3(E3)\) et \((E1) + (E3)\) On obtient le système
    \begin{equation*} \left\{ \begin{alignedat}{4} x \amp {} - {} \amp y \amp {} {} \amp \amp {}={} \amp 4 \amp \qquad (E1)\\ \amp {}{} \amp y \amp {}{} \amp \amp {}={} \amp -1 \amp \qquad (E2)\\ \amp {} {} \amp \amp {} {} \amp z \amp {}={} \amp 2\amp \qquad (E3) \end{alignedat} \right. \end{equation*}
  • Finalement, on ajoute la deuxième équation à la première pour éliminer \(y\) dans la première équation, c’est-à-dire faisons \((E1) + (E2)\text{.}\) On obtient le système
    \begin{equation*} \left\{ \begin{alignedat}{4} x \amp {} \amp \amp {} {} \amp \amp {}={} \amp 3 \amp \\ \amp {}{} \amp y \amp {}{} \amp \amp {}={} \amp -1\\ \amp {} {} \amp \amp {} {} \amp z \amp {}={} \amp 2 \end{alignedat} \right. \end{equation*}
    et la solution est donc \((x,y,z) = (3,-1,2)\text{.}\)

SageMath en action 2.1.18. Résolution d’un système.

On résout le système de l’exemple 2.1.17 avec SageMath. On déclare les variables symboliques, on exprime chaque équation, puis on appelle solve(). Noter que pour écrire une équation, on utilise == et non =. Par ailleurs, la fonction solve() prend en argument une liste d’équations et une liste de variables. Modifier les coefficients pour explorer d’autres systèmes.

À vous de jouer 2.1.19.

Résoudre le système d’équations par la méthode d’élimination
\begin{equation*} \left\lbrace \begin{array}{rlr} -2x-5y-5z \amp =\amp 38\\ -5x-6y+6z \amp =\amp 32 \\ -2x+5y-6z \amp =\amp 0 \end{array} \right. \end{equation*}
\(x =\)
\(y =\)
\(z =\)
Réponse 1.
\(-4\)
Réponse 2.
\(-4\)
Réponse 3.
\(-2\)

Sous-section Matrice des coefficients et réductions

On s’intéresse maintenant à une méthode systématique pour résoudre des systèmes d’équations linéaires.

Remarque 2.1.20.

Le nom des variables dans un système linéaire importe peu. L’essentiel est d’être cohérent dans leur usage et de bien garder trace des coefficients.

Définition 2.1.21.

Étant donné un système de \(m\) équations linéaires en \(n\) variables \(x_1, x_2, \ldots, x_n\text{,}\) on définit:
  • Sa matrice de coefficients est l’arrangement rectangulaire \(m \times n\) (\(m\) rangées, \(n\) colonnes) dont l’entrée en rangée \(i\) et colonne \(j\) est le coefficient de la variable \(x_j\) dans l’équation \(i\text{.}\) La matrice des coefficients du système (✶) est
    \begin{equation*} \begin{bmatrix} a_{1,1} \amp a_{1,2} \amp \cdots \amp a_{1,n} \\ a_{2,1} \amp a_{2,2} \amp \cdots \amp a_{2,n} \\ \vdots \amp \vdots \amp \amp \vdots \\ a_{i,1} \amp a_{i,2}\amp \cdots \amp a_{i,n}\\ \vdots \amp \vdots \amp \amp\vdots \\ a_{m,1} \amp a_{m,2} \amp \cdots \amp a_{m,n} \end{bmatrix} \end{equation*}
    On la note \(A = [a_{i,j}]_{1\leqslant i \leqslant m,\;1\leqslant j \leqslant n}\text{.}\)
  • Sa matrice augmentée est la matrice des coefficients à laquelle on ajoute, à droite, une colonne contenant les termes constants des équations. Pour le système (✶), sa matrice augmentée est
    \begin{equation*} \left[ \begin{array}{cccc|c} a_{1,1} \amp a_{1,2} \amp \cdots \amp a_{1,n} \amp b_1 \\ a_{2,1} \amp a_{2,2} \amp \cdots \amp a_{2,n} \amp b_2 \\ \vdots \amp \vdots \amp \amp \vdots \amp \vdots\\ a_{i,1} \amp a_{i,2}\amp \cdots \amp a_{i,n} \amp b_i\\ \vdots \amp \vdots \amp \amp\vdots \amp \vdots \\ a_{m,1} \amp a_{m,2} \amp \cdots \amp a_{m,n} \amp b_m \end{array}\right] \end{equation*}
    Si \(A\) désigne la matrice des coefficients, la matrice augmentée est notée \([A \mid \vb]\text{,}\) où \(\vb\) est le vecteur formé des termes constants.

Exemple 2.1.22.

Donner les matrices de coefficients et les matrices augmentées des systèmes suivants.
  1. \(\displaystyle \left\{ \begin{alignedat}{4} x \amp {} - {} \amp y \amp {}-{} \amp z \amp {}={} \amp 2\\ 3x\amp {} - {} \amp 3y \amp {}+{} \amp 2z \amp {}={} \amp 16\\ 2x \amp {}-{} \amp y \amp {}+{} \amp z \amp {}={} \amp 9 \end{alignedat} \right.\)
  2. \(\displaystyle \left\{ \begin{alignedat}{4} 2u \amp {} - {} \amp 3v \amp {}={} \amp 5 \\ 4u\amp {} + {} \amp v \amp {}={} \amp 2 \end{alignedat} \right.\)
  3. \(\displaystyle \left\{ \begin{alignedat}{4} 2u \amp {} - {} \amp 3v \amp {}={} \amp 2\\ \amp {} + {} \amp 7v \amp {}={} \amp -7 \end{alignedat} \right.\)
  4. \(\displaystyle \left\{ \begin{alignedat}{4} 3x_1 \amp {} + {} \amp 8x_2 \amp {}-{} \amp x_3 \amp {}={} \amp 2\\ 5x_1 \amp \amp \amp {}+{} \amp 2x_3 \amp {}={} \amp -1\\ 2x_1 \amp {}+{} \amp 6x_2 \amp \amp \amp {}={} \amp 5\\ x_1 \amp {} +{} \amp x_2 \amp {} + {} \amp 2x_3{} \amp {}={} \amp 2 \end{alignedat} \right.\)
Solution.
  1. Matrice des coefficients: \(\left[ \begin{array}{rrr} 1 \amp -1 \amp -1 \\ 3 \amp -3 \amp 2 \\ 2 \amp -1 \amp 1 \end{array}\right], \)
    Matrice augmentée: \(\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 \amp -1 \amp -1 \amp 2\\ 3 \amp -3 \amp 2 \amp 16\\ 2 \amp -1 \amp 1 \amp 9 \end{array} \right]\)
  2. Matrice des coefficients: \(\left[ \begin{array}{rr} 2 \amp -3 \\ 4 \amp 1 \end{array}\right], \)
    Matrice augmentée: \(\left[ \begin{array}{rr|r} 2 \amp -3 \amp 5\\ 4 \amp 1 \amp 2 \end{array} \right]\)
  3. Matrice des coefficients: \(\left[ \begin{array}{rr} 2 \amp -3 \\ 0 \amp 7 \end{array} \right], \)
    Matrice augmentée: \(\left[ \begin{array}{rr|r} 2 \amp -3 \amp 2\\ 0 \amp 7 \amp -7 \end{array} \right]\)
  4. Matrice des coefficients: \(\left[ \begin{array}{rrr} 3 \amp 8 \amp -1 \\ 5 \amp 0 \amp 2 \\ 2 \amp 6 \amp 0 \\ 1 \amp 1 \amp 2 \end{array} \right], \)
    Matrice augmentée: \(\left[ \begin{array}{rrr|r} 3 \amp 8 \amp -1 \amp 2\\ 5 \amp 0 \amp 2 \amp -1\\ 2 \amp 6 \amp 0 \amp 5\\ 1 \amp 1 \amp 2 \amp 2 \end{array} \right]\)

Définition 2.1.23.

Étant donnée une matrice \(A = [a_{ij}]\text{,}\) on définit:
  • Le pivot de la rangée \(i\) est le coefficient non nul le plus à gauche sur cette rangée.
  • La matrice \(A\) est sous forme échelonnée si:
    • toute rangée composée uniquement de zéros se trouve en bas;
    • dans chaque rangée non nulle, le pivot se trouve à gauche de tout pivot d’une rangée inférieure.
  • La matrice \(A\) est sous forme échelonnée et réduite si elle est échelonnée et, en plus:
    • le pivot de chaque rangée non nulle est égal à \(1\text{;}\)
    • dans toute colonne contenant un pivot, toutes les autres entrées sont nulles.

Exemple 2.1.24.

Dire lesquelles des matrices suivantes sont échelonnées, ou échelonnées et réduites.
  1. \(\displaystyle A = \left[\begin{smallmatrix} 1 \amp 7 \amp 1 \\ 0\amp 2 \amp 5 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{smallmatrix}\right],\)
  2. \(\displaystyle B = \left[\begin{smallmatrix} 1 \amp 7 \amp 1 \\ 0 \amp 1 \amp 5 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{smallmatrix}\right],\)
  3. \(\displaystyle C = \left[\begin{smallmatrix} 0 \amp 2 \amp 5 \\ 1 \amp 7 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{smallmatrix}\right],\)
Réponse.
  1. La matrice \(A\) est échelonnée, mais pas réduite, car le pivot de la deuxième rangée n’est pas égal à \(1\text{.}\)
  2. La matrice \(B\) est échelonnée, mais pas réduite, car la colonne du pivot de la deuxième rangée contient un \(7\text{.}\)
  3. La matrice \(C\) n’est pas échelonnée, car le pivot de la première rangée n’est pas à gauche du pivot de la deuxième rangée.

À vous de jouer 2.1.25.

Déterminer si chaque matrice est une matrice échelonnée, une matrice échelonnée et réduite ou s’il ne s’agit pas d’une matrice échelonnée.
1.
\begin{equation*} \left[\begin{array}{cccc} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 2\cr 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0\cr 0 \amp 1 \amp 0 \amp 4 \end{array}\right] \end{equation*}
2.
\begin{equation*} \left[\begin{array}{ccc} 1 \amp 0 \amp 0\cr 0 \amp 1 \amp 0\cr 0 \amp 0 \amp 0 \end{array}\right] \end{equation*}
3.
\begin{equation*} \left[\begin{array}{ccc} -8 \amp 0 \amp 1\cr 0 \amp -10 \amp 0 \end{array}\right] \end{equation*}
4.
\begin{equation*} \left[\begin{array}{ccc} 1 \amp 1 \amp 4\cr 1 \amp 0 \amp -7 \end{array}\right] \end{equation*}
On a vu que les opérations élémentaires sur les équations préservent les ensembles solution. On a des notions correspondantes pour les rangées d’une matrice.

Définition 2.1.26.

Étant donnée une matrice, on a trois types d’opérations élémentaires sur les rangées (ou sur les lignes), à savoir:
  1. Échange de deux rangées, disons les rangées \(i\) et \(j\text{.}\) On note cette opération \(R_i \leftrightarrow R_j\text{.}\)
  2. Multiplier une rangée, disons la rangée \(i\text{,}\) par une constante non nulle \(c\text{.}\) On peut écrire \(c R_i\text{.}\)
  3. Ajouter à une rangée, disons \(R_i\text{,}\) un multiple d’une autre rangée, disons \(R_j\text{.}\) On peut écrire \(R_i + c R_j\text{.}\)
Le processus consistant à appliquer des opérations élémentaires sur les rangées afin d’amener une matrice à une forme échelonnée est appelé réduction par rangées, ou réduction par lignes, ou encore réduction de Gauss.
On indique les opérations élémentaires à l’aide de flèches au-dessus (ou au-dessous) desqelles on note les opérations effectuées.

Mise en garde 2.1.27.

  • Il existe d’autres façons de décrire les opérations élémentaires sur les rangées d’une matrice. Il est important de remarquer que l’écriture présentée n’est pas la seule qu’on trouve, mais elle est très cohérente et synthétique. Quelques variations usuelles
    • \(R_i \leftrightarrow R_j\) est notée \(R_{i,j}\text{,}\) ou encore \(L_i \leftrightarrow L_j\) ou \(L_{i,j}\text{.}\)
       1 
      R pour rangées, ou L pour lignes d’une matrice.
    • \(cR_i\) est notée \(R_i \to cR_i\) ou \(L_i \to c L_i\text{,}\) \(R_i \leftarrow cR_i\) ou encore \(L_i \leftarrow c L_i\)
    • \(R_i + cR_j\) est notée \(R_i \to R_i + c R_j\) ou \(L_i \to L_i + c L_j\) ou \(R_i \leftarrow R_i + c R_j\) ou \(L_i \leftarrow L_i + c L_j\)
  • Aussi, quand on écrit \(R_i + cR_j\text{,}\) il faut comprendre qu’implicitement, on dit que c’est la rangée \(i\) qui est remplacée. Par exemple, \(R_1 + R_2\) et \(R_2 + R_1\) ne désignent pas la même opération élémentaire.
  • Il est fréquent d’effectuer plusieurs opérations élémentaires d’un seul coup (penser par exemple au quatrième point de la solution de l’exemple 2.1.17). Dans ce cas, il importe de garder à l’esprit que la numérotation des rangées se réfère toujours à la matrice précédente. Si on effectue une opération qui affecte une rangée, ce sera quand même la rangée de la matrice précédente qui est utilisée pour faire les autres opérations.

Exemple 2.1.28.

On considère les matrices suivantes
\begin{equation*} A = \left[\begin{array}{rrrr} 0 \amp 2 \amp 1 \amp -1 \\ 3 \amp 5 \amp -5 \amp 1 \\ 2 \amp 4 \amp -2 \amp 2 \end{array}\right] \qquad \text{ et } \qquad B = \left[\begin{array}{rrr}2\amp 0 \amp 4 \\ 0\amp 3 \amp 2\end{array}\right] \end{equation*}
  1. Sur la matrice \(A\text{,}\) effectuer l’une à la suite de l’autre les opérations \(R_1 \leftrightarrow R_3,\ \tfrac{1}{2} R_1\) et \(R_2 - 3 R_1\text{.}\)
  2. Sur la matrice \(B\) effectuer l’une à la suite de l’autre les opérations \(\tfrac{1}{2}R_1\) et \(R_2 - R_1\text{.}\)
  3. Sur la matrice \(B\) effectuer d’un seul coup les opérations \(\tfrac{1}{2}R_1\) et \(R_2 - R_1\text{.}\)
Solution.
  1. On calcule directement
    \begin{align*} A \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_3} \left[\begin{array}{rrrr} 2 \amp 4 \amp -2 \amp 2 \\ 3 \amp 5 \amp -5 \amp 1 \\ 0 \amp 2 \amp 1 \amp -1 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\;\hphantom{2}\tfrac{1}{2}R_1\hphantom{2}} \left[\begin{array}{rrrr} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 1 \\ 3 \amp 5 \amp -5 \amp 1 \\ 0 \amp 2 \amp 1 \amp -1 \end{array}\right] \\ \amp \xrightarrow{R_2 - 3R_1} \left[\begin{array}{rrrr} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 1 \\ 0 \amp -1 \amp -2 \amp -2 \\ 0 \amp 2 \amp 1 \amp -1 \end{array}\right]. \end{align*}
  2. On calcule directement
    \begin{equation*} B \xrightarrow{\tfrac{1}{2}R_1} \Mdt{1}{0}{2}{0}{3}{2} \xrightarrow{R_2 - R_1} \Mdt{1}{0}{2}{-1}{3}{0}. \end{equation*}
  3. On calcule directement
    \begin{equation*} B \xrightarrow[R_2 - R_1]{\tfrac{1}{2}R_1} \left[\begin{array}{rrr} 1\amp 0 \amp 2\\ -2 \amp 3 \amp -2\end{array}\right]. \end{equation*}

À vous de jouer 2.1.29.

Soit la matrice augmentée
\begin{equation*} A = \left\lbrack \begin{array}{rrr|r} 1 \amp 1 \amp -3 \amp -5 \\ 3 \amp 4 \amp -6 \amp -3 \\ -2 \amp -6 \amp -4 \amp -4 \end{array} \right\rbrack. \end{equation*}
Effectuer les opérations selon l’ordre indiqué et entrer le résultat final.
Première opération : \(R_2- 3 R_1\text{,}\)
Deuxième opération : \(R_3+2 R_1\text{,}\)
Troisième opération : \(R_3+ 4 R_2\text{.}\)

Remarque 2.1.30.

Il est important de retenir que:
  • une matrice peut avoir plusieurs formes échelonnées ;
  • la forme échelonnée et réduite d’une matrice donnée est unique.

À vous de jouer 2.1.31.

Trouver la forme échelonnée et réduite de la matrice
\begin{equation*} A = \left[\begin{array}{rrr} -1 \amp 2 \amp 10 \\ -2 \amp -1 \amp -5 \\ 2 \amp 2 \amp 10 \end{array}\right] \end{equation*}
Réponse :
(3 × 3 Tableau).

Exemple 2.1.32.

Considérer le système d’équations ci-après (c’est le système de l’exemple 2.1.17):
\begin{equation*} \left\{ \begin{alignedat}{4} x \amp {} - {} \amp y \amp {}-{} \amp z \amp {}={} \amp 2 \amp \qquad (E1) \\ 3x\amp {} - {} \amp 3y \amp {}+{} \amp 2z \amp {}={} \amp 16 \amp \qquad (E2) \\ 2x\amp {}-{} \amp y \amp {}+{} \amp z \amp {}={} \amp 9 \amp \qquad (E3) \end{alignedat} \right. \end{equation*}
Écrire sa matrice augmentée, obtenir une forme échelonnée et réduite, puis en déduire l’ensemble solution du système.
Solution.
On effectue des opérations élémentaires sur la matrice augmentée du système, à savoir
\begin{align*} \hphantom{\;R_2 - 3R_1\;} \left[\begin{array}{rrr|r} 1 \amp -1 \amp -1 \amp 2\\ 3 \amp -3 \amp 2 \amp 16\\ 2 \amp -1 \amp 1 \amp 9 \end{array}\right] \amp \xrightarrow[R_3 - 2R_1]{R_2 - 3R_1} \left[\begin{array}{rrr|r} 1 \amp -1 \amp -1 \amp 2\\ 0 \amp 0 \amp 5 \amp 10\\ 0 \amp 1 \amp 3 \amp 5 \end{array}\right]\\ \xrightarrow{\;R_2 \leftrightarrow R_3\;} \left[\begin{array}{rrr|r} 1 \amp -1 \amp -1 \amp 2\\ 0 \amp 1 \amp 3 \amp 5\\ 0 \amp 0 \amp 5 \amp 10 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\;\tfrac{1}{5}R_3\;} \left[\begin{array}{rrr|r} 1 \amp -1 \amp -1 \amp 2\\ 0 \amp 1 \amp 3 \amp 5\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 2 \end{array}\right]\\ \xrightarrow[R_1 + R_3]{R_2 - 3R_3} \left[\begin{array}{rrr|r} 1 \amp -1 \amp 0 \amp 4\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -1\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 2 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\;R_1 + R_2\;} \left[\begin{array}{rrr|r} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 3\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -1\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 2 \end{array}\right] \\[-0.6em] \end{align*}
On obtient directement la solution \(x=3, y=-1,z=2\text{.}\)

SageMath en action 2.1.33. Opérations élémentaires.

On reprend le système de l’exemple 2.1.32 avec SageMath. On construit d’abord la matrice augmentée du système, puis on effectue les opérations élémentaires.
  1. Matrice augmentée.
    On construit la matrice des coefficients A et le vecteur des constantes b, puis .augment() sert à créer la matrice augmentée. Ici QQ est utilisé pour spécifier que la matrice est à coefficients dans l’ensemble \(\Q\) des nombres rationnels. Noter que la matrice est créée en spécifiant une liste de ses rangées.
  2. Opérations élémentaires sur les rangées.
    Voici comment effectuer les trois types d’opérations élémentaires sur les rangées. Il faut toutefois faire attention au fait que les rangées sont numérotées à partir de \(0\text{.}\) Sur une matrice \(A\) créée, on obtient une autre matrice avec les opérations élémentaires appliquées, selon les méthodes suivantes:
    • Le résultat de l’opération \(R_i \leftrightarrow R_j\) s’obtient avec A.with_swapped_rows(i, j) ;
    • Le résultat de l’opération \(cR_i\) s’obtient A.with_rescaled_row(i, c) ;
    • Le résultat de l’opération \(R_i + c R_j\) s’obtient avec A.with_added_multiple_of_row(i, j, c) ;
    Il importe de noter que la matrice sur laquelle on effectue les opérations élémentaires est modifiée. Si on veut conserver la matrice d’origine, il faut d’abord faire une copie de celle-ci.
    Si on veut modifier la matrice elle-même, on peut aussi utiliser les méthodes .swap_rows(i, j), .rescale_row(i, c) et .add_multiple_of_row(i, j, c).
    On illustre les deux premières opérations de la solution de l’exemple.
  3. Forme échelonnée réduite.
    Il est possible d’obtenir la forme échelonnée et réduite d’une matrice avec une seule commande. La méthode .rref() calcule directement la forme échelonnée réduite.
Dans les exemples qui précèdent, on a résolu des systèmes linéaires à l’aide d’opérations élémentaires sur des matrices augmentées. On remarque que, dans la forme échelonnée et réduite obtenue, il y a exactement un pivot dans chaque colonne correspondant à une variable. C’est ce qui force le système à admettre une solution unique.
On a vu, à l’exemple 2.1.6, un « système » (il n’y a qu’une équation) admettant une infinité de solutions. Le voici de nouveau, avec la méthode des matrices augmentées.

Exemple 2.1.34.

Considérer le système d’équations
\begin{equation*} \left\{\begin{array}{lcr} 3x - 4y \amp = \amp 12 \end{array}\right. \end{equation*}
Donner sa matrice augmentée, ainsi que sa forme échelonnée et réduite, puis en déduire l’ensemble solution.
Solution.
La matrice augmentée du système est:
\begin{equation*} \left[\begin{array}{rr|r} 3 \amp -4 \amp 12 \end{array}\right]. \end{equation*}
Elle est échelonnée. Pour l’amener sous forme échelonnée et réduite, on divise la rangée par \(3\text{,}\) c’est-à-dire on effectue l’opération \(\tfrac{1}{3} R_1\text{:}\)
\begin{equation*} \left[\begin{array}{rr|r} 1 \amp -\tfrac{4}{3} \amp 4 \end{array}\right]. \end{equation*}
On voit qu’il y a un seul pivot (dans la colonne de \(x\)) et aucun pivot dans la colonne de \(y\text{.}\) La variable \(y\) est donc une variable libre. L’équation correspondante donne \(x\) en fonction de \(y\text{:}\) \(x = 4 + \tfrac{4}{3}y\text{.}\) Ainsi, l’ensemble solution s’écrit:
\begin{equation*} \Rvd{x}{y} = \Rvd{4}{0} + y \Rvd{\tfrac{4}{3}}{1}, \quad y \in \R. \end{equation*}

Exemple 2.1.35.

On considère le système d’équations ci-après:
\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lcr} x + 2y \amp = \amp 7 \\ 2x - y \amp = \amp 4 \\ 3x + y \amp = \amp k \end{array}\right. \end{equation*}
où \(k\) est un nombre réel. Le système représente trois droites dans le plan. L’applet illustre la situation: le système peut admettre une solution unique, ou ne pas avoir de solution selon la valeur de \(k\text{.}\)
Figure 2.1.36.
Écrire sa matrice augmentée, obtenir une forme échelonnée et réduite, puis déterminer pour quelles valeurs de \(k\) le système admet une solution unique ou n’a pas de solution.
Réponse.
Le système admet une solution unique pour \(k = 11\text{,}\) et il n’a aucune solution pour toute autre valeur de \(k\text{.}\)
Solution.
La matrice augmentée du système, et sa réduction s’obtiennent comme suit:
\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rr|r} 1 \amp 2 \amp 7\\ 2 \amp -1 \amp 4\\ 3 \amp 1 \amp k \end{array} \right]\xrightarrow[R_3-3R_1]{R_2-R_1} \left[ \begin{array}{rr|r} 1 \amp 2 \amp 7\\ 0 \amp -5 \amp -10\\ 0 \amp -5 \amp k-21 \end{array} \right]\xrightarrow{R_3-R_2}\left[ \begin{array}{rr|r} 1 \amp 2 \amp 7\\ 0 \amp -5 \amp -10\\ 0 \amp 0 \amp k-11 \end{array} \right]. \end{equation*}
L’équation correspondant à la dernière rangée est \(0 x + 0 y = k - 11\text{.}\) Pour que le système soit compatible, il faut donc \(k - 11 = 0\text{,}\) c’est-à-dire \(k = 11\text{.}\) Si \(k \neq 11\text{,}\) la forme échelonnée contient un pivot dans la colonne des termes constants, ce qui force une contradiction et implique qu’il n’y a aucune solution.
Les exemples précédents suggèrent que le nombre de pivots dans la matrice des coefficients et dans la matrice augmentée joue un rôle central dans la caractérisation des ensembles solution des systèmes linéaires.

Définition 2.1.37.

On introduit d’abord quelques notions liées à la réduction de matrices.
  1. Deux matrices sont équivalentes par rangées si l’une d’elles peut être obtenue à partir de l’autre par une suite finie d’opérations élémentaires (sur les rangées).
  2. Le rang d’une matrice \(A\) est le nombre de pivots dans une forme échelonnée de \(A\text{.}\) Ce rang est noté \(\rg{A}\text{.}\) Même si la forme échelonnée n’est pas unique, le nombre de pivots est unique.
  3. Soit \(R\) une forme échelonnée de la matrice augmentée d’un système d’équations. Les variables correspondant aux colonnes pivots de \(R\) sont les variables pivots et les autres sont les variables libres.
Avec le vocabulaire introduit ci-haut, on peut écrire explicitement la caractérisation des ensembles solution des systèmes linéaires en termes des rangs de la matrice des coefficients et de sa matrice augmentée.

Démonstration.
  1. Si le rang de \(A\) est strictement inférieur à celui de \([A | \vb]\text{,}\) il y a au moins une position pivot dans \([A | \vb]\) qui ne correspond pas à une position pivot de \(A\text{.}\) On a donc une position pivot dans la colonne des termes constants. Cela signifie que, dans la forme échelonnée réduite de \([A | \vb]\text{,}\) il y a une rangée de la forme
    \begin{equation*} \begin{bmatrix} 0 \amp 0 \amp \cdots \amp 0 \amp | \amp 1 \end{bmatrix}. \end{equation*}
    L’équation correspondante est \(0=1\text{,}\) une absurdité. Il n’y a donc pas de solution.
  2. Si \(\rg{A} = \rg{A | \vb} = n\text{,}\) cela veut dire que chaque colonne de \(A\) contient une position pivot, et que tous les pivots de \([A | \vb]\) se trouvent dans les colonnes de \(A\text{.}\) Le nombre de rangées \(m\) est alors au moins égal à \(n\) (le nombre de colonnes) dans ce cas. La forme échelonnée réduite de \([A | \vb]\) est donc
    \begin{equation*} \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 \amp 0 \amp \cdots \amp 0 \amp s_1 \\ 0 \amp 1 \amp \cdots \amp 0 \amp s_2 \\ \vdots \amp \vdots \amp \amp \vdots \amp \vdots\\ 0 \amp 0\amp \cdots \amp 1 \amp s_n\\ 0 \amp 0\amp \cdots \amp 0 \amp 0\\ \vdots \amp \vdots \amp \amp\vdots \amp \vdots \\ 0\amp 0 \amp \cdots \amp 0 \amp 0 \end{array} \right] \end{equation*}
    et la solution est \(\rvt{x_1}{\vdots\hfill}{x_n} = \rvt{s_1}{\vdots \hfill}{s_n}\text{.}\)
  3. Si \(\rg{A} = \rg{A|\vb}\text{,}\) cela veut dire, comme avant, que tous les pivots se trouvent dans les colonnes de \(A\text{.}\) Si le nombre de pivots est strictement inférieur au nombre de colonnes de \(A\text{,}\) alors au moins une variable est libre, ce qui donne lieu à une infinité de solutions.

À vous de jouer 2.1.39.

Déterminer pour quelle valeur de \(h\) la matrice augmentée correspond à un système d’équations linéaires ayant une infinité de solutions.
\begin{equation*} \left[ \begin{array} {rr} 6 \amp -5 \cr 18 \amp h \end{array} \right| \left. \begin{array}{r} 2 \cr 6 \end{array} \right] \end{equation*}
\(h=\)
Réponse.
\(-15\)

Exemple 2.1.40.

Considérer le système d’équations ci-après:
\begin{equation*} \left\{ \begin{alignedat}{6} x \amp {} - {} \amp 2y \amp {}+{} \amp 2z \amp {}+{} \amp 4w \amp {}={} \amp 4 \\ -x \amp {}+{} \amp 2y \amp {}+{} \amp 3z \amp {}+{} \amp 6w \amp {}={} \amp 1 \\ 2x \amp {}-{} \amp 4y \amp {}-{} \amp z \amp {}-{} \amp 2w \amp {}={} \amp 3 \end{alignedat} \right. \end{equation*}
  1. Écrire sa matrice augmentée et obtenir une forme échelonnée réduite de celle-ci.
  2. Déduire l’ensemble solution du système.
Solution.
  1. On effectue les opérations élémentaires suivantes sur la matrice augmentée du système:
    \begin{align*} \hphantom{\;R_2 + R_1\;} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 \amp -2 \amp 2 \amp 4 \amp 4 \\ -1 \amp 2 \amp 3 \amp 6 \amp 1 \\ 2 \amp -4 \amp -1 \amp -2 \amp 3 \end{array} \right] \amp \xrightarrow[R_3 - 2R_1]{R_2 + R_1} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 \amp -2 \amp 2 \amp 4 \amp 4 \\ 0 \amp 0 \amp 5 \amp 10 \amp 5 \\ 0 \amp 0 \amp -5 \amp -10 \amp -5 \end{array} \right]\\ \xrightarrow[R_3 + R_2]{\frac{1}{5}R_2} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 \amp -2 \amp 2 \amp 4 \amp 4\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 2 \amp 1\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \end{array} \right] \amp \xrightarrow{R_1 - 2R_2} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 \amp -2 \amp 0 \amp 0 \amp 2 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 2 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \end{array} \right] \end{align*}
  2. Le rang de la matrice est \(2\text{,}\) ce qui est strictement inférieur au nombre de variables (\(4\)). Le système est donc compatible et admet une infinité de solutions. Les variables pivots sont \(x\) et \(z\text{,}\) tandis que \(y\) et \(w\) sont des variables libres.
    À partir de la forme échelonnée réduite, on obtient:
    • De la deuxième rangée: \(z + 2w = 1\text{,}\) donc \(z = 1 - 2w\text{.}\)
    • De la première rangée: \(x - 2y = 2\text{,}\) donc \(x = 2 + 2y\text{.}\)
    Ainsi,
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcl} x \amp = \amp 2 + 2y \\ y \amp = \amp y\\ z \amp = \amp 1 - 2w \\ w \amp = \amp w \end{array}\right. \end{equation*}
    et, sous forme vectorielle:
    \begin{equation*} \begin{bmatrix}x\\y\\z\\w\end{bmatrix} = \left[\begin{array}{r}2\\0\\1\\0\end{array}\right] + y\left[\begin{array}{r}2\\1\\0\\0\end{array}\right] + w\left[\begin{array}{r}0\\0\\-2\\1\end{array}\right], \quad y,w\in\R. \end{equation*}

SageMath en action 2.1.41. Résolution d’un système, 2 méthodes.

On reprend le système de l’exemple 2.1.40 avec SageMath. On le fait de deux façons différentes. D’une part avec la forme échelonnée réduite, puis avec la commande solve qui résoud un système d’équations.
  1. Forme échelonnée réduite.
    On construit la matrice augmentée et on appelle .rref().
  2. Solution paramétrique.
    La fonction solve() introduit automatiquement des paramètres libres (r1, r2, …) pour les variables libres.

À vous de jouer 2.1.42.

Voici les matrices augmentées, échelonnées et réduites, correspondant à quatre systèmes d’équations. Combien de solutions chaque système a-t-il?
1.
\begin{equation*} \left[\begin{array}{rrr|r} 1\amp 0\amp -11\amp 0\\0\amp 1\amp 0\amp 0\\0\amp 0\amp 0\amp 1\\0\amp 0\amp 0\amp 0\end{array}\right] \end{equation*}
2.
\begin{equation*} \left[\begin{array}{rr|r} 1\amp 0\amp 3\\0\amp 1\amp 2\\0\amp 0\amp 0\end{array}\right] \end{equation*}
3.
\begin{equation*} \left[\begin{array}{rrr|r} 0\amp 1\amp 0\amp -14\\0\amp 0\amp 1\amp 6\end{array}\right] \end{equation*}
4.
\begin{equation*} \left[\begin{array}{rrr|r} 1\amp 0\amp 0\amp 0\\0\amp 0\amp 1\amp -10\end{array}\right] \end{equation*}

Exemple 2.1.43.

Il y a longtemps, un professeur de mathématiques écrivait un examen pour ses étudiants. Pour ce faire, il a préparé une série de figures associées à quatre systèmes d’équations linéaires. Malheureusement, il a perdu la correspondance entre les figures et les systèmes. Les systèmes considérés étaient les suivants:
  1. \(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcrcrcr} 2x\amp - \amp 3y\amp +\amp z\amp = \amp 3\\ 4x\amp +\amp 3y\amp +\amp z\amp =\amp 8\\ \amp \amp 9y\amp -\amp z\amp = \amp 2 \end{array} \right.\)
  2. \(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcrcrcr} 2x\amp -\amp 3y\amp +\amp z\amp =\amp 3\\ -x\amp -\amp y\amp -\amp 2z\amp = \amp -1\\ 2x\amp +\amp y\amp -\amp z\amp =\amp -2 \end{array} \right.\)
  3. \(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcrcrcr} -4x\amp +\amp 6y\amp -\amp 2z\amp = \amp -4\\ 2x\amp -\amp 3y\amp +\amp z\amp =\amp 3\\ 4x\amp +\amp 3y\amp +\amp z\amp = \amp 8 \end{array} \right.\)
  4. \(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcrcrcr} 8x\amp +\amp 6y\amp +\amp 2z\amp = \amp 6\\ \amp \amp -9y\amp +\amp z\amp =\amp -15\\ 2x\amp -\amp 3y\amp +\amp z\amp = \amp 3 \end{array} \right.\)
Chacune des figures correspond à l’un des systèmes \((A),(B),(C)\) et \((D)\text{.}\) On vous demande d’associer les figures \((a)\) (aucune solution, deux plans parallèles), \((b)\) (aucune solution, les plans se coupent deux à deux), \((c)\) (une solution unique) et \((d)\) (une infinité de solutions: les plans se coupent le long d’une droite).
Figure 2.1.44. De gauche à droite: (a) deux plans parallèles; (b) trois plans sécants deux à deux; (c) trois plans concourants; (d) trois plans ayant une droite commune.
Réponse.
  1. Infinité de solutions, figure (d).
  2. Solution unique, figure (c).
  3. Aucune solution: deux plans parallèles, figure (a).
  4. Aucune solution: les plans se coupent deux à deux, figure (b).
Solution.
Pour chaque système, on donne sa matrice augmentée, sa forme échelonnée, ainsi qu’une suite d’opérations élémentaires permettant d’y parvenir.
  1. On effectue les opérations élémentaires suivantes sur la matrice augmentée du système:
    \begin{align*} \hphantom{\;R_3 - R_2\;} \left[\begin{array}{rrr|r} 2 \amp -3 \amp 1 \amp 3\\ 4 \amp 3 \amp 1 \amp 8\\ 0 \amp 9 \amp -1 \amp 2 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\;R_2 - 2R_1\;} \left[\begin{array}{rrr|r} 2 \amp -3 \amp 1 \amp 3\\ 0 \amp 9 \amp -1 \amp 2\\ 0 \amp 9 \amp -1 \amp 2 \end{array}\right]\\ \amp \xrightarrow{\hphantom{2}\;R_3 - R_2\;} \left[\begin{array}{rrr|r} 2 \amp -3 \amp 1 \amp 3\\ 0 \amp 9 \amp -1 \amp 2\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \end{array}\right] \end{align*}
    Le rang est \(2\text{,}\) strictement inférieur au nombre de variables (\(3\)). Le système est donc compatible et admet une infinité de solutions. Figure (d).
  2. On effectue les opérations élémentaires suivantes sur la matrice augmentée du système:
    \begin{align*} \hphantom{\;R_1 \leftrightarrow R_2\;} \left[\begin{array}{rrr|r} 2 \amp -3 \amp 1 \amp 3\\ -1 \amp -1 \amp -2 \amp -1\\ 2 \amp 1 \amp -1 \amp -2 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\;R_1 \leftrightarrow R_2\;} \left[\begin{array}{rrr|r} -1 \amp -1 \amp -2 \amp -1\\ 2 \amp -3 \amp 1 \amp 3\\ 2 \amp 1 \amp -1 \amp -2 \end{array}\right]\\ \xrightarrow{\substack{-R_1 \\ R_2 + 2R_1 \\ R_3 + 2R_1}} \left[\begin{array}{rrr|r} 1 \amp 1 \amp 2 \amp 1\\ 0 \amp -5 \amp -3 \amp 1\\ 0 \amp -1 \amp -5 \amp -4 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\;R_2 \leftrightarrow R_3\;} \left[\begin{array}{rrr|r} 1 \amp 1 \amp 2 \amp 1\\ 0 \amp -1 \amp -5 \amp -4\\ 0 \amp -5 \amp -3 \amp 1 \end{array}\right]\\ \xrightarrow{\substack{R_1 + R_2 \\ -R_2 \\ R_3 - 5R_2}} \left[\begin{array}{rrr|r} 1 \amp 0 \amp -3 \amp -3\\ 0 \amp 1 \amp 5 \amp 4\\ 0 \amp 0 \amp 22 \amp 21 \end{array}\right] \end{align*}
    Toutes les variables sont des variables pivot, donc le système admet une solution unique (voir figure (c)).
  3. On effectue les opérations élémentaires suivantes sur la matrice augmentée du système:
    \begin{align*} \hphantom{\xrightarrow{\substack{R_2 + 2R_1 \\ R_3 - 2R_1}}} \left[\begin{array}{rrr|r} -4 \amp 6 \amp -2 \amp -4\\ 2 \amp -3 \amp 1 \amp 3\\ 4 \amp 3 \amp 1 \amp 8 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\;R_1 \leftrightarrow R_2\;} \left[\begin{array}{rrr|r} 2 \amp -3 \amp 1 \amp 3\\ -4 \amp 6 \amp -2 \amp -4\\ 4 \amp 3 \amp 1 \amp 8 \end{array}\right]\\ \xrightarrow{\substack{R_2 + 2R_1 \\ R_3 - 2R_1}} \left[\begin{array}{rrr|r} 2 \amp -3 \amp 1 \amp 3\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 2\\ 0 \amp 9 \amp -1 \amp 2 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\;R_2 \leftrightarrow R_3\;} \left[\begin{array}{rrr|r} 2 \amp -3 \amp 1 \amp 3\\ 0 \amp 9 \amp -1 \amp 2\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 2 \end{array}\right] \end{align*}
    Il y a un pivot dans la colonne des termes constants (dernière ligne), donc le système n’a pas de solution. De plus, les vecteurs normaux des plans associés aux deux premières équations, \(\rvt{-4}{6}{-2}\) et \(\rvt{2}{-3}{1}\text{,}\) sont colinéaires: les deux plans sont donc parallèles et distincts. Figure (a).
  4. On effectue les opérations élémentaires suivantes sur la matrice augmentée du système:
    \begin{align*} \hphantom{\xrightarrow{\;R_3 + 2R_2\;}} \left[\begin{array}{rrr|r} 8 \amp 6 \amp 2 \amp 6\\ 0 \amp -9 \amp 1 \amp -15\\ 2 \amp -3 \amp 1 \amp 3 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\;\;R_1 \leftrightarrow R_3\;} \left[\begin{array}{rrr|r} 2 \amp -3 \amp 1 \amp 3\\ 0 \amp -9 \amp 1 \amp -15\\ 8 \amp 6 \amp 2 \amp 6 \end{array}\right]\\ \xrightarrow{\;R_3 - 4R_1\;} \left[\begin{array}{rrr|r} 2 \amp -3 \amp 1 \amp 3\\ 0 \amp -9 \amp 1 \amp -15\\ 0 \amp 18 \amp -2 \amp -6 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\;R_3 + 2R_2\;} \left[\begin{array}{rrr|r} 2 \amp -3 \amp 1 \amp 3\\ 0 \amp -9 \amp 1 \amp -15\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp -36 \end{array}\right] \end{align*}
    Le rang de la matrice des coefficients est \(2\text{,}\) tandis que le rang de la matrice augmentée est \(3\) (à cause de la ligne \(0 = -36\)). Le système n’a donc pas de solution. Figure (b).

À vous de jouer 2.1.45.

Résoudre le système d’équations
\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{r@{}r@{}r@{}r@{}r@{}r} x_1 \amp + x_2 \amp \amp \amp = \amp 4 \cr \amp x_2 \amp + x_3 \amp \amp = \amp -2 \cr \amp \amp x_3 \amp + x_4 \amp = \amp 5 \cr x_1 \amp \amp \amp + x_4 \amp = \amp 11 \end{array} \right. \end{equation*}
Si l’on pose \(x_4=s\text{,}\) alors:
Table 2.1.45.46.
\(x_1\)
\(x_2\)
\(x_3\)
\(x_4\)
\(=\) (4 × 1 Tableau)\(+\) (4 × 1 Tableau)\(s\text{.}\)
On voit maintenant deux exemples que l’on a utilisés pour motiver la théorie.

Exemple 2.1.47. L’exemple 2.1.9 revu.

Dans le contexte de l’exemple 2.1.9, on mesure que le trafic le long de l’avenue Canal se chiffre à \(100\) véhicules par heure, en moyenne.
  1. Donner les flux le long des autres rues.
  2. Quelles sont les valeurs minimale et maximale du flux le long de la rue Espérance, si le sens du trafic dans chaque rue doit être respecté?
Solution.
  1. On a déjà écrit le système linéaire modélisant la situation dans l’exemple 2.1.9. En y ajoutant l’information sur le flux le long de l’avenue Canal, c’est-à-dire en posant \(c = 100\text{,}\) on obtient le système suivant:
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcrcrcrrccl} a \amp + \amp b \amp \amp \amp \amp \amp \amp \amp = \amp 300\\ a \amp \amp \amp \amp \amp - \amp d \amp \amp \amp = \amp 100\\ \amp \amp b \amp + \amp \amp \amp \amp - \amp e \amp = \amp -100\\ \amp \amp \amp \amp \amp \amp d \amp + \amp e \amp = \amp 300 \end{array}\right. \end{equation*}
    On effectue les opérations élémentaires suivantes sur la matrice augmentée du système:
    \begin{align*} \hphantom{\xrightarrow{\;R_2 - R_3\;}} \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 300\\ 1 \amp 0 \amp -1 \amp 0 \amp 100\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -1 \amp -100\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 300 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\;R_2 - R_1\;} \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 300\\ 0 \amp -1 \amp -1 \amp 0 \amp -200\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -1 \amp -100\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 300 \end{array}\right]\\ \xrightarrow{\substack{-R_2 \\ R_3 + R_2}} \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 300\\ 0 \amp 1 \amp 1 \amp 0 \amp 200\\ 0 \amp 0 \amp -1 \amp -1 \amp -300\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 300 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\;\substack{-R_3 \\ R_4 + R_3}\;} \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 300\\ 0 \amp 1 \amp 1 \amp 0 \amp 200\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 300\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \end{array}\right]\\ \xrightarrow{R_2 - R_3} \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 300\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -1 \amp -100\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 300\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\; R_1 - R_2\; } \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 400\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -1 \amp -100\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 300\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \end{array}\right] \end{align*}
    On voit que la variable \(e\) est libre. On peut donc exprimer toutes les autres variables en fonction de celle-ci:
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcl} a \amp = \amp 400 - e\\ b \amp = \amp -100 + e\\ d \amp = \amp 300 - e\\ e \amp = \amp e \end{array}\right., \qquad e \in \R. \end{equation*}
    Ainsi, l’ensemble solution s’écrit
    \begin{equation*} \left[ \begin{array}{r}a\\b\\d\\e\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}400\\-100\\300\\0\end{array}\right] + e\left[\begin{array}{r}-1\\1\\-1\\1\end{array}\right], \quad e \in \R. \end{equation*}
  2. Afin de respecter le sens du trafic, tous les flux doivent être positifs ou nuls. On doit donc avoir
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcrcrcr} 400 - e \amp \geqslant \amp 0\\ -100 + e \amp \geqslant \amp 0\\ 300 - e \amp \geqslant \amp 0 \end{array}\right. \end{equation*}
    ce qui revient à
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcrcrcr} e \amp \geqslant \amp 100\\ e \amp \leqslant \amp 300 \end{array}\right. \end{equation*}
    La valeur minimale du flux le long de la rue Espérance est donc \(100\) véhicules par heure, tandis que la valeur maximale est \(300\) véhicules par heure.

Exemple 2.1.48. L’exemple 2.1.10 revu.

Balancer la réaction chimique suivante:
\begin{equation*} \mathrm{C}_5 \mathrm{H}_{11}\mathrm{OH} \ +\ \mathrm{O}_2 \ \longrightarrow \ \mathrm{H}_2 \mathrm{O} \ +\ \mathrm{CO}_2 \end{equation*}
Solution.
On a déjà établi le système linéaire associé à cette réaction. La deuxième équation peut être divisée par \(2\text{.}\) Par ailleurs, on remarque que tous les termes de droite sont nuls: la partie d’augmentation est donc une colonne de zéros, qui reste inchangée par les opérations élémentaires. Il est courant d’omettre cette colonne dans les calculs. La matrice des coefficients est donc
\begin{align*} \hphantom{\xrightarrow{\substack{R_2-6R_1 \\ R_3-5R_1}}} \left[\begin{array}{rrrr} 5 \amp 0 \amp 0 \amp -1\\ 12 \amp 0 \amp -2 \amp 0\\ 1 \amp 2 \amp -1 \amp -2 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\;\,\substack{R_1\leftrightarrow R_3 \\ \tfrac12 R_2}\;\,} \left[\begin{array}{rrrr} 1 \amp 2 \amp -1 \amp -2\\ 6 \amp 0 \amp -1 \amp 0\\ 5 \amp 0 \amp 0 \amp -1 \end{array}\right]\\ \xrightarrow{\substack{R_2-6R_1 \\ R_3-5R_1}} \left[\begin{array}{rrrr} 1 \amp 2 \amp -1 \amp -2\\ 0 \amp -12 \amp 5 \amp 12\\ 0 \amp -10 \amp 5 \amp 9 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\, R_3-\tfrac{5}{6}R_2\, } \left[\begin{array}{rrrr} 1 \amp 2 \amp -1 \amp -2\\ 0 \amp -12 \amp 5 \amp 12\\ 0 \amp 0 \amp \tfrac{5}{6} \amp -1 \end{array}\right]\\ \xrightarrow[R_2-5R_3]{\substack{\tfrac{6}{5}R_3 \\ R_1+R_3}} \left[\begin{array}{rrrr} 1 \amp 2 \amp 0 \amp -\tfrac{16}{5}\\ 0 \amp -12 \amp 0 \amp 18\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp -\tfrac{6}{5} \end{array}\right] \amp \xrightarrow[-\tfrac{1}{12}R_2]{R_1+\tfrac{1}{6}R_2} \left[\begin{array}{rrrr} 1 \amp 0 \amp 0 \amp -\tfrac{1}{5}\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -\tfrac{3}{2}\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp -\tfrac{6}{5} \end{array}\right] \end{align*}
Cette matrice est déjà sous forme échelonnée réduite.
On voit que la quatrième variable est libre. Dans le système original, il s’agissait de \(w\text{.}\) On exprime alors les autres variables en fonction de celle-ci: \(x = \tfrac15 w\text{,}\) \(y = \tfrac32 w\) et \(z = \tfrac65 w\text{.}\) Sous forme vectorielle, l’ensemble solution est donc
\begin{equation*} \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\w\end{array}\right] = w\left[\begin{array}{c} \tfrac15\\ \tfrac32\\ \tfrac65\\ 1 \end{array}\right], \qquad w \in \R. \end{equation*}
Finalement, le contexte impose une solution composée de nombres entiers positifs. Afin d’en obtenir une, il suffit de donner à la variable libre la valeur \(w = 10\text{.}\) On obtient ainsi la solution entière positive minimale \(x=2, y=15, z=12, w=10\text{,}\) et la réaction balancée:
\begin{equation*} 2\mathrm{C}_5 \mathrm{H}_{11}\mathrm{OH} \ +\ 15 \mathrm{O}_2 \ \longrightarrow \ 12 \mathrm{H}_2 \mathrm{O} \ +\ 10 \mathrm{CO}_2 \end{equation*}

À vous de jouer 2.1.49.

Balancez la réaction chimique
\begin{equation*} \mathrm{Na} + {\mathrm{H}_{4}}{\mathrm{O}} \longrightarrow {\mathrm{Na}}{\mathrm{O}_3}{\mathrm{H}_2} + \mathrm{H}_5 \end{equation*}
et donnez votre réponse avec les plus petits entiers possibles (les coefficients ne devraient pas avoir de facteur commun)
\(\mathrm{Na}+\)\(\mathrm{H}_{4} \mathrm{O} \longrightarrow\)\(\mathrm{Na} \mathrm{O}_3 \mathrm{H}_2 +\)\(\mathrm{H}_5\)
Réponse 1.
\(1\)
Réponse 2.
\(3\)
Réponse 3.
\(1\)
Réponse 4.
\(2\)
Solution.
SOLUTION: On considère \(x_1 \mathrm{Na} + x_2 \mathrm{H}_{4} \mathrm{O} \longrightarrow x_3 \mathrm{Na} \mathrm{O}_3 \mathrm{H}_2 + x_4 \mathrm{H}_5\text{,}\) ce qui donne le système
\begin{equation*} \begin{array}{rcrcrcrcr} x_1 \amp \amp \amp - \amp x_{3} \amp \amp \amp = \amp 0 \\ \amp \amp 4 x_{2} \amp - \amp 2 x_{3} \amp - \amp 5 x_{4} \amp = \amp 0 \\ \amp \amp x_{2} \amp - \amp 3 x_{3} \amp \amp \amp = \amp 0\end{array} \end{equation*}
La réduction de la matrice donne
\begin{equation*} \begin{array}{ccc} \left[\begin{array}{rrrrr} 1 \amp 0 \amp -1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 4 \amp -2 \amp -5 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp -3 \amp 0 \amp 0\end{array}\right] \amp \xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_3} \amp \left[\begin{array}{rrrrr} 1 \amp 0 \amp -1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp -3 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 4 \amp -2 \amp -5 \amp 0\end{array}\right] \\ \amp \xrightarrow{} \amp \left[\begin{array}{rrrrr} 1 \amp 0 \amp -1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp -3 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 10 \amp -5 \amp 0\end{array}\right] \end{array} \end{equation*}
On définit \(x_4 = s_1\) comme variable libre, de sorte que \(x_3 = {\frac{1}{2}} s_1\text{,}\) \(x_2 = 3 x_3={\frac{3}{2}} s_1\text{,}\) et \(x_1 = x_3={\frac{1}{2}} s_1\text{.}\) On pose \(s_1 = 2\text{,}\) de sorte que \(x_1 = 1\text{,}\) \(x_2 = 3\text{,}\) et \(x_3 = 1\text{,}\) et l’équation est balancée :
\begin{equation*} \mathrm{Na}+ 3 \mathrm{H}_{4} \mathrm{O}\,\longrightarrow\, \mathrm{Na} \mathrm{O}_3 \mathrm{H}_2+ 2 \mathrm{H}_5. \end{equation*}
On voit maintenant un exemple où on étudie un système dépendant d’un paramètre, c’est-à-dire un système pour lequel certains coefficients de la matrice des coefficients sont des expressions faisant intervenir un paramètre. Comme on peut s’y attendre, le nombre de solutions dépendra de la valeur de ce paramètre.

Exemple 2.1.50.

Soit \(a\) un nombre réel. On considère le système d’équations
\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{rlrlrcr} x \amp + \amp a y \amp - \amp z \amp = \amp 1 \\ -x \amp + \amp (a-2)y \amp + \amp z \amp = \amp -1 \\ 2x \amp + \amp 2y \amp + \amp (a-2)z \amp = \amp 1 \end{array} \right. \end{equation*}
  1. Déterminer, selon la valeur de \(a\text{,}\) si le système admet une infinité de solutions, une solution unique ou aucune solution.
  2. Dans le cas où le système admet au moins une solution, donner l’ensemble complet des solutions.
Solution.
On écrit et réduit la matrice augmentée du système:
\begin{align*} \hphantom{\xrightarrow{R_3 + R_2}} \left[\begin{array}{rcc|r} 1 \amp a \amp -1 \amp 1 \\ -1 \amp a-2 \amp 1 \amp -1 \\ 2 \amp 2 \amp a-2 \amp 1 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\,\substack{R_2 + R_1 \\ R_3 - 2R_1}} \left[\begin{array}{rcr|r} 1 \amp a \amp -1 \amp 1 \\ 0 \amp 2a-2 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp -2a+2 \amp a \amp -1 \end{array}\right]\\ \amp\xrightarrow{\; R_3 + R_2\; } \left[\begin{array}{rcr|r} 1 \amp a \amp -1 \amp 1\\ 0 \amp 2a-2 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp a \amp -1 \end{array}\right] \end{align*}
  1. À ce stade, grâce au théorème du rang (théorème 2.1.38), On peut déterminer le nombre de solutions en fonction de la valeur de \(a\text{.}\) Trois cas sont à considérer:
    • Si \(a \neq 1\) et \(a \neq 0\text{,}\) alors le rang de la matrice des coefficients est \(3\) (il y a un pivot dans chaque colonne). Le système admet donc une solution unique.
    • Si \(a = 1\text{,}\) alors le rang de la matrice des coefficients est \(2\) (il n’y a pas de pivot dans la deuxième colonne), et le rang de la matrice augmentée est également \(2\text{.}\) Le système admet donc une infinité de solutions.
    • Si \(a = 0\text{,}\) alors le rang de la matrice des coefficients est \(2\) (il n’y a pas de pivot dans la troisième colonne), mais le rang de la matrice augmentée est \(3\text{.}\) Le système n’admet donc aucune solution.
  2. Afin de déterminer les ensembles solution, on poursuit la réduction dans les deux cas où le système admet au moins une solution.
    • On suppose d’abord que \(a \neq 1\) et \(a \neq 0\text{.}\) On poursuit alors la réduction de la matrice augmentée:
      \begin{align*} \left[\begin{array}{rcc|r} 1 \amp a \amp -1 \amp 1\\ 0 \amp 2a-2 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp a \amp -1 \end{array}\right] \amp \xrightarrow[\tfrac{1}{a}R_3]{\tfrac{1}{2a-2}R_2} \left[\begin{array}{rcc|r} 1 \amp a \amp -1 \amp 1\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp \tfrac{1}{a} \end{array}\right]\\ \amp \xrightarrow{\,\;R_1 + R_3\;} \left[\begin{array}{rcc|r} 1 \amp a \amp 0 \amp 1 - \tfrac{1}{a}\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp \tfrac{1}{a} \end{array}\right]\\ \amp \xrightarrow{\,R_1 - aR_2\;} \left[\begin{array}{rcc|r} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 1 - \tfrac{1}{a}\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp -\tfrac{1}{a} \end{array}\right] \end{align*}
      La solution est donc \(x = 1 - \tfrac{1}{a}\text{,}\) \(y = 0\) et \(z = -\tfrac{1}{a}\text{.}\)
    • On suppose maintenant que \(a = 1\text{.}\) La matrice augmentée et sa forme échelonnée réduite s’obtiennent comme suit:
      \begin{align*} \left[\begin{array}{rcc|r} 1 \amp 1 \amp -1 \amp 1\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp -1 \end{array}\right] \amp \xrightarrow[R_2 \leftrightarrow R_3]{R_1 + R_3} \left[\begin{array}{rcc|r} 1 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp -1\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \end{array}\right] \end{align*}
      La variable \(y\) est libre. On exprime donc les autres variables en fonction de celle-ci: \(x = -y\) et \(z = -1\text{.}\) L’ensemble solution s’écrit alors sous forme vectorielle:
      \begin{equation*} \left[ \begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}0\\0\\-1\end{array}\right] + y \left[\begin{array}{r}-1\\1\\0\end{array}\right], \quad y \in \R. \end{equation*}

SageMath en action 2.1.51. Système avec paramètre.

On reprend le système paramétrique de l’exemple 2.1.50. La matrice est construite comme ayant des coefficients dans l’anneau symbolique SR, ce qui permet de faire des calculs algébriques avec le paramètre \(a\text{.}\)
  1. Forme échelonnée par opérations élémentaires.
    Plutôt que d’appeler .rref() — qui diviserait symboliquement par \(a\) et \(a-1\) — on effectue les trois opérations élémentaires de l’exemple pour obtenir la forme échelonnée sans aucune division. Après les calculs on affiche la matrice originale, la matrice intermédiaire, et la forme échelonnée finale.
  2. Cas particuliers.
    On substitue les deux valeurs problématiques \(a=0\) et \(a=1\) dans la forme échelonnée A2, puis on réduit.
Voici maintenant un dernier exemple, un peu plus consistant, dans lequel apparaissent deux variables libres.

Exemple 2.1.52.

Dans l’applet ci-dessous, on illustre un réseau d’irrigation dans lequel les flux d’eau sont mesurés en milliers de litres par jour. Tous les flux doivent être positifs ou nuls.
Le principe est le même que pour le trafic routier: à chaque jonction, le flux entrant doit être égal au flux sortant. Certaines valeurs sont fixées, soit les entrées aux nœuds \(A\) et \(D\text{,}\) ainsi que les sorties aux nœuds \(B\) et \(C\text{.}\) À l’aide des curseurs, on peut faire varier les flux \(f_3\) (tronçon \(AD\)) et \(f_5\) (tronçon \(DC\)). On constate notamment que les valeurs de \(f_3\) et \(f_5\) ne peuvent pas être arbitraires. On propose d’explorer quelles sont les valeurs possibles.
Figure 2.1.53. À l’aide des curseurs, faites varier les flux. Notez que seules certaines valeurs sont permises.
  1. Mettre en place un système linéaire permettant de modéliser la situation. Utiliser la réduction de matrices pour donner l’ensemble solution sous forme vectorielle.
  2. Si le tronçon \(DC\) est fermé, quelles sont les valeurs possibles du flux le long du tronçon \(DB\text{?}\)
  3. À l’aide de l’applet, expliquer pourquoi le tronçon \(DB\) ne peut pas être fermé. Retrouver ce résultat en utilisant l’ensemble solution obtenu à la partie (a).
  4. En utilisant l’ensemble solution de la partie (a), déterminer les valeurs minimale et maximale du flux le long du tronçon \(DB\text{.}\)
Solution.
  1. En écrivant les équations de conservation du flux aux jonctions \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) \(C\) et \(D\text{,}\) on obtient le système linéaire suivant:
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcrcrcrcrcr} f_1 \amp + \amp f_2 \amp \amp \amp \amp \amp \amp \amp = \amp 100\\ \amp \amp f_2 \amp + \amp f_3 \amp - \amp f_4 \amp \amp \amp = \amp 150\\ \amp \amp \amp \amp \amp \amp f_4 \amp + \amp f_5 \amp = \amp 150\\ f_1 \amp \amp \amp - \amp f_3 \amp \amp \amp - \amp f_5 \amp = \amp -200 \end{array}\right. \end{equation*}
    La matrice augmentée associée est alors
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{rrrrr|r} 1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 100\\ 0 \amp 1 \amp 1 \amp -1 \amp 0 \amp 150\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 150\\ 1 \amp 0 \amp -1 \amp 0 \amp -1 \amp -200 \end{array}\right]. \end{equation*}
    La forme échelonnée réduite de cette matrice est
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{rrrrr|r} 1 \amp 0 \amp -1 \amp 0 \amp -1 \amp -200\\ 0 \amp 1 \amp 1 \amp 0 \amp 1 \amp 300\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 150\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \end{array}\right]. \end{equation*}
    Les variables \(f_3\) et \(f_5\) sont libres. On pose \(f_3 = s\) et \(f_5 = t\text{.}\) On peut alors exprimer les autres variables en fonction de \(s\) et \(t\text{:}\)
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{r} f_1\\ f_2\\ f_3\\ f_4\\ f_5 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{r} -200\\ 300\\ 0\\ 150\\ 0 \end{array}\right] + s\left[\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right] + t\left[\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 0\\ -1\\ 1 \end{array}\right], \qquad s,t \in \R. \end{equation*}
  2. La fermeture du tronçon \(DC\) revient à imposer \(f_5 = t = 0\text{.}\) L’ensemble solution devient alors
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{r} f_1\\ f_2\\ f_3\\ f_4\\ f_5 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{r} -200\\ 300\\ 0\\ 150\\ 0 \end{array}\right] + s\left[\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right], \qquad s \in \R. \end{equation*}
    En imposant que tous les flux soient positifs ou nuls, on obtient les contraintes suivantes sur \(s\text{:}\)
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcrcrcr} -200 + s \amp \geqslant \amp 0\\ 300 - s \amp \geqslant \amp 0\\ s \amp \geqslant \amp 0 \end{array}\right., \end{equation*}
    ce qui équivaut à
    \begin{equation*} 200 \leqslant s \leqslant 300. \end{equation*}
    Le flux le long du tronçon \(DB\) peut donc prendre des valeurs comprises entre \(200\) et \(300\) milliers de litres par jour.
  3. L’exploration de l’applet montre que le tronçon \(DB\) ne peut pas être fermé. En effet, si on impose \(f_4 = 0\text{,}\) les autres flux ne peuvent plus tous être positifs ou nuls.
  4. La condition \(f_4 \geqslant 0\) équivaut à \(150 - t \geqslant 0\text{,}\) soit \(t \leqslant 150\text{.}\) Comme on a également \(f_5 = t \geqslant 0\text{,}\) il s’ensuit que \(0 \leqslant t \leqslant 150\text{.}\)
    Lorsque \(t = 0\text{,}\) on a vu que \(s\) doit satisfaire \(200 \leqslant s \leqslant 300\text{.}\)
    En revanche, lorsque \(t = 150\text{,}\) les conditions sur \(f_1\) et \(f_2\) deviennent
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcrcrcr} -200 + s + 150 \amp \geqslant \amp 0\\ 300 - s - 150 \amp \geqslant \amp 0. \end{array}\right. \end{equation*}
    ce qui donne
    \begin{equation*} 50 \leqslant s \leqslant 150. \end{equation*}
    En fin de compte, \(s\) peut donc prendre des valeurs entre \(50\) et \(300\text{.}\) Pour chaque telle valeur, il existe une valeur de \(t\) qui donne desf lux valables sur le réseau.

À vous de jouer 2.1.54.

Soit
\begin{equation*} A = \left[\begin{array}{cccccc} 1 \amp -4 \amp -3 \amp -3 \amp 5 \amp -1\cr 0 \amp 0 \amp 1 \amp -2 \amp 0 \amp 2\cr 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp -4\cr 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \end{array}\right]. \end{equation*}
Résoudre le système d’équations homogène (les termes de droite sont nuls) dont la matrice de coefficients est \(A\text{.}\) Donner la solution sous forme vectorielle (les noms des paramètres son déjà choisis)
\(\mathbf{x} =\) (6 × 1 Tableau) \(s+\) (6 × 1 Tableau) \(t+\) (6 × 1 Tableau) \(u\text{.}\)
Pour terminer, un exemple d’un contexte un peu différent.

À vous de jouer 2.1.55.

Dans un réseau de fils entrecroisés, la température aux extrémités des fils est constante, comme l’indique le schéma ci-dessous. Lorsque le réseau est en équilibre, chaque point à l’intérieur a une température égale à la moyenne des températures aux quatre points adjacents. Par exemple,
\begin{equation*} T_1= \frac{T_2+T_3+0 - 130}{4}. \end{equation*}
Déterminer les températures \(T_1,\) \(T_2,\) \(T_3\) et \(T_4,\) lorsque le réseau est en équilibre thermique.
\(T_1=\)
\(T_2=\)
\(T_3=\)
\(T_4=\)
Réponse 1.
\(-10\)
Réponse 2.
\(40\)
Réponse 3.
\(50\)
Réponse 4.
\(30\)
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