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Algèbre linéaire et géométrie vectorielle

Juan Carlos Bustamante, Sylvain Bérubé

Section 1.2 Produit scalaire, angles et distances

Dans cette section, on aborde une opération vectorielle dont le résultat est un scalaire. Ses propriétés permettront de parler de distances, d’angles et de projections.
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Sous-section Le produit scalaire : premiers résultats

Définition 1.2.1.

Étant donné les vecteurs \(\vx = \rvt{x_1}{\vdots\hfill }{x_n},\ \vy = \rvt{y_1}{\vdots\hfill}{y_n} \in \R^n\text{,}\) leur produit scalaire est le nombre réel
\begin{equation*} \vx \cdot \vy = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n = \sum_{i=1}^n x_i y_i. \end{equation*}
La notation pour représenter le produit scalaire est le point médian « \(\cdot\) ».
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Exemple 1.2.2.

Soient \(\vu = \rvt{1}{0}{2}, \vv = \rvt{0}{1}{4}\) et \(\vw = \rvt{4}{5}{2}\text{.}\) Calculer \(\vu \cdot \vv\) et \(\vu \cdot \vw\text{.}\)
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Solution.
On calcule directement.
  • \(\displaystyle \vu \cdot \vv = 1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 2\cdot 4 = 8\)
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  • \(\displaystyle \vu \cdot \vw = 1\cdot 4 + 0\cdot 5 + 2\cdot 2 = 8\)
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À vous de jouer 1.2.3.

Pour cette question, si votre réponse est un vecteur, veuillez la saisir avec la syntaxe \(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}\text{,}\) où \(a\) et \(b\) sont les composantes de votre vecteur réponse.
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Soient \(\mathbf a\text{,}\) \(\mathbf b\text{,}\) \(\mathbf c\) et \(\mathbf y\) des vecteurs dans l’espace :
\begin{equation*} \mathbf a = 2\,\mathit{\mathbf j}+\,\mathit{\mathbf k},\quad \mathbf b = -5\,\mathit{\mathbf i}+3\,\mathit{\mathbf j}+7\,\mathit{\mathbf k},\quad \mathbf c = 2\,\mathit{\mathbf i}+3\,\mathit{\mathbf j},\quad \mathbf y = 3\,\mathit{\mathbf i}+5\,\mathit{\mathbf j} \end{equation*}
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Effectuer les opérations suivantes sur les vecteurs.
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a) \(\mathbf c\cdot\mathbf a + \mathbf a\cdot\mathbf y =\)
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b) \((\mathbf a\cdot\mathbf b)\,\mathbf a =\)
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c) \(( (\mathbf c\cdot\mathbf c)\,\mathbf a )\cdot\mathbf a =\)
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Réponse 1.
\(16\)
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Réponse 2.
\(26\,\mathit{\mathbf j}+13\,\mathit{\mathbf k}\)
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Réponse 3.
\(65\)
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Solution.
a)
\begin{equation*} \begin{aligned} \mathbf c\cdot\mathbf a + \mathbf a\cdot\mathbf y \amp = ( 2\,\mathit{\mathbf i}+3\,\mathit{\mathbf j} )\cdot( 2\,\mathit{\mathbf j}+\,\mathit{\mathbf k} ) + ( 2\,\mathit{\mathbf j}+\,\mathit{\mathbf k} )\cdot( 3\,\mathit{\mathbf i}+5\,\mathit{\mathbf j} ) \\ \amp = 6 + 10 \\ \amp = 16. \end{aligned} \end{equation*}
b)
\begin{equation*} \begin{aligned} (\mathbf a\cdot\mathbf b)\,\mathbf a \amp = \bigl( ( 2\,\mathit{\mathbf j}+\,\mathit{\mathbf k} )\cdot( -5\,\mathit{\mathbf i}+3\,\mathit{\mathbf j}+7\,\mathit{\mathbf k} ) \bigr)\,( 2\,\mathit{\mathbf j}+\,\mathit{\mathbf k} ) \\ \amp = ( 13 )\,( 2\,\mathit{\mathbf j}+\,\mathit{\mathbf k} ) \\ \amp = 26\,\mathit{\mathbf j}+13\,\mathit{\mathbf k}. \end{aligned} \end{equation*}
c)
\begin{equation*} \begin{aligned} \bigl( (\mathbf c\cdot\mathbf c)\,\mathbf a \bigr)\cdot\mathbf a \amp = \bigl( ( 2\,\mathit{\mathbf i}+3\,\mathit{\mathbf j} )\cdot( 2\,\mathit{\mathbf i}+3\,\mathit{\mathbf j} ) \bigr)\,( 2\,\mathit{\mathbf j}+\,\mathit{\mathbf k} )\cdot( 2\,\mathit{\mathbf j}+\,\mathit{\mathbf k} ) \\ \amp = ( 13 )\,( 5 ) \\ \amp = 65. \end{aligned} \end{equation*}
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Remarque 1.2.4.

L’exemple précédent montre que la loi de simplification ne tient pas pour le produit scalaire. En effet, on a \(\vu \cdot \vv = \vu \cdot \vw\) mais \(\vv \ne \vw\text{.}\)
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À la lumière de ce qui précède, on peut se demander quelles sont les lois algébriques satisfaites par le produit scalaire. Le résultat suivant apporte une réponse.
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Démonstration.

Soient \(\vu = \rvt{u_1}{\vdots\hfill }{u_n},\ \vv = \rvt{v_1}{\vdots\hfill }{v_n},\ \vw = \rvt{w_1}{\vdots\hfill }{w_n}\in \R^n\) et \(c\in \R\text{.}\)
  1. On a \(\vu \cdot \vv = \sum_{i=1}^n u_i v_i = \sum_{i=1}^n v_i u_i = \vv \cdot \vu\text{.}\)
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  2. On calcule directement
    \begin{align*} \vu \cdot (\vv + \vw) \amp = \sum_{i=1}^n u_i (v_i + w_i) = \sum_{i=1}^n (u_i v_i + u_i w_i)\\ \amp = \sum_{i=1}^n u_i v_i + \sum_{i=1}^n u_i w_i = \vu \cdot \vv + \vu \cdot \vw \end{align*}
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  3. Un calcul direct donne \((c\vu )\cdot \vv = \sum_{i=1}^n (cu_i )v_i = c\sum_{i=1}^n u_i v_i = c(\vu \cdot \vv)\text{.}\) L’égalité restante s’obtient de la même façon, ou, mieux encore, en remarquant que grâce à la première propriété, on peut échanger les rôles de \(\vu\) et \(\vv\text{.}\)
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  4. En effet, \(\vu \cdot \vu = \sum_{i=1}^n u_i^2\) ce qui établit l’inégalité. Si \(\vu = \vZero\) c’est clair que \(\vu \cdot \vu = 0\text{.}\) Réciproquement, si le produit scalaire est nul, alors chaque terme de la somme (de termes non négatifs) \(\sum_{i=1}^n u_i^2\) doit être nul, donc chaque \(u_i\) est nul, ce qui est la conclusion voulue.
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Sous-section Angles et distances

Définition 1.2.6.

Étant donné un vecteur \(\vu \in \R^n\text{,}\) sa norme est le nombre réel \(\nrm{\vu} = \sqrt{\vu\cdot\vu}\text{.}\) Un vecteur est dit unitaire si sa norme est 1.
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Exemple 1.2.7.

Calculer les normes des vecteurs suivants et dites s’ils sont unitaires.
  1. \(\displaystyle \vu = 2\vi + 3 \vj + 4\vk\)
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  2. \(\displaystyle \vv = \left[ \begin{smallmatrix}\hfill 1\\ \hfill 0\\ \hfill -2\\ \hfill 7\end{smallmatrix}\right]\)
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  3. \(\displaystyle \vw = 3\vi - 4\vj\)
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  4. \(\displaystyle \vz =\tfrac{3}{5}\vi - \tfrac{4}{5}\vj\)
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Solution.
Il est souvent plus simple de calculer le carré de la norme puis d’en extraire la racine carrée par la suite.
  1. \(\nrm{\vu}^2 = \vu \cdot \vu = 2^2 + 3^2 + 4^2 = 29\text{,}\) d’où \(\nrm{\vu} = \sqrt{29}\) et \(\vu\) n’est pas unitaire.
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  2. \(\nrm{\vv}^2 = \vv \cdot \vv = 1^2 + 0^2 + (-2)^2 + 7^2 = 54\text{,}\) d’où \(\nrm{\vv} = \sqrt{54} = \sqrt{9\cdot 6} = 3\sqrt{6}\) et \(\vv\) n’est pas unitaire.
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  3. \(\nrm{\vw}^2 = \vw \cdot \vw = 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25\text{,}\) d’où \(\nrm{\vw} = \sqrt{25} = 5\) et \(\vw\) n’est pas unitaire.
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  4. \(\nrm{\vz}^2 = \vz \cdot \vz = \left(\tfrac{3}{5}\right)^2 + \left(-\tfrac{4}{5}\right)^2 = \tfrac{9}{25} + \tfrac{16}{25} = 1\text{,}\) d’où \(\nrm{\vz} = \sqrt{1} = 1\) et \(\vz\) est unitaire.
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À vous de jouer 1.2.8.

Soient les vecteurs \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ -1 \end{bmatrix}\) et \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -9 \\ 7 \\ 8 \end{bmatrix}\text{.}\)
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Calculer \(\| \mathbf u \|\) = .
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Calculer \(\| \mathbf v \|\) = .
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Calculer \(\mathbf u \cdot \mathbf v\) = .
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Réponse 1.
\(5.19615\)
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Réponse 2.
\(13.9284\)
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Réponse 3.
\(36\)
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Remarque 1.2.9.

Soit \(A(x_A, y_A)\) un point dans le plan cartésien usuel.
  • La distance de \(O\) au point \(A\) est donnée, en vertu du Théorème de Pythagore, par \(d(O,A) = \sqrt{x_A^2 + y_A^2}\text{.}\)
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  • Il se trouve que cette quantité est exactement \(\nrm{\va}\text{.}\)
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  • La même chose tient dans l’espace de trois dimensions.
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  • Si \(\vu\) et \(\vv\) sont donnés, alors \(\nrm{\vu - \vv} \) donne la distance entre les buts des deux vecteurs lorsqu’ils sont représentés avec une source commune.
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Figure 1.2.10. Le vecteur \(\va = \overrightarrow{OA}\text{.}\)
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Démonstration.

  1. Ceci n’est qu’une conséquence directe de la partie (d) du théorème 1.2.5.
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  2. On calcule le carré de la norme de \(c\vu\text{.}\) Grâce aux propriétés du produit scalaire (voir théorème 1.2.5), on a
    \begin{equation*} \nrm{c\vu}^2 = (c\vu)\cdot (c\vu) = c^2 (\vu \cdot \vu) = c^2 \nrm{\vu}^2 \end{equation*}
    et le résultat suit.
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Exemple 1.2.12.

Soit \(\vu = \rvd{5}{12}\text{.}\) Trouver un vecteur unitaire \(\vv\) étant colinéaire à \(\vu\text{.}\)
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Solution.
On cherche un scalaire \(\l \in \R\) tel que \(\vv = \l \vu\) et \(\nrm{\vv} = 1\text{.}\) Directement,
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\begin{align*} \amp \amp \nrm{\vv} \amp = 1\\ \iff \amp \amp \nrm{\l \vu} \amp = 1\\ \iff \amp \amp |\l|\! \cdot\! \nrm{\vu} \amp = 1 \amp (\knowl{./knowl/xref/prop-Pro-norme.html}{\text{Proposition 1.2.11}})\\ \iff \amp \amp |\l| \amp = \tfrac{1}{\nrm{\vu}}\\ \iff \amp \amp \l \amp = \pm \tfrac{ 1}{\sqrt{5^2 + 12^2}}\\ \iff \amp \amp \l \amp = \pm \tfrac{1}{13} \end{align*}
Ainsi, il y a deux vecteurs unitaires colinéaires à \(\vu\text{:}\) les vecteurs \(\Rvd{\tfrac{5}{13}}{\tfrac{12}{13}}\) et \(\Rvd{-\tfrac{5}{13}}{-\tfrac{12}{13}}\text{.}\)
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Remarque 1.2.13.

Si \(\vv\) est un vecteur non nul, alors le vecteur \(\hat{\vv} = \tfrac{\vv}{\nrm{\vv}}\) est unitaire et pointe dans le même sens que \(\vv\text{.}\) On dit alors que \(\vv\) a été normalisé.
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À vous de jouer 1.2.14.

Pour cette question, vous devez entrer votre réponse avec la syntaxe \(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}\text{,}\) où \(a\) et \(b\) sont les composantes de votre vecteur réponse.
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Déterminer un vecteur unitaire ayant la même direction que \(\mathbf{a} = \left[\begin{array}{c}1\\-2\\6\\\end{array}\right]\text{.}\)
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\(\mathbf u =\) .
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Réponse.
\(0.156174\mathbf{i}-0.312348\mathbf{j}+0.937043\mathbf{k}\)
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À vous de jouer 1.2.15.

Soient \(\mathbf{u} = 2\,\mathbf{i}-5\,\mathbf{j}-3\,\mathbf{k}\text{,}\) \(\mathbf{v} = 4\,\mathbf{j}+4\,\mathbf{k}\) et \(\mathbf{w} = 5\,\mathbf{i}+5\,\mathbf{j}+2\,\mathbf{k}\text{.}\)
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Calculer les valeurs suivantes :
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\(\left|\mathbf{u}\right|+\left|\mathbf{v}\right|\) \(=\)
\(\left|-8\mathbf{u}\right|+4\mathopen{}\left|\mathbf{v}\right|\) \(=\)
\(\left|2\mathbf{u}-6\mathbf{v}+\mathbf{w}\right|\) \(=\)
\(\frac{1}{\left|\mathbf{w}\right|}\mathbf{w}\) \(=\)
\(\left|\frac{1}{\left|\mathbf{w}\right|}\mathbf{w}\right|\) \(=\)
Réponse 1.
\(11.8213\)
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Réponse 2.
\(71.9427\)
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Réponse 3.
\(41.3038\)
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Réponse 4.
\(0.680414\boldsymbol{i}+0.680414\boldsymbol{j}+0.272166\boldsymbol{k}\)
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Réponse 5.
\(1\)
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Grâce aux propriétés de la norme, on peut établir une inégalité fondamentale. Elle permet de définir les angles entre deux vecteurs. On présente deux preuves différentes de cette inégalité cruciale.
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Démonstration.

Soient \(\vu \) et \(\vv\) deux vecteurs fixés. Si \(\vv = \vZero\) le résultat est évident. On suppose donc que \(\vv \ne \vZero\text{.}\) On considère la fonction quadratique \(f(t) = \nrm{\vu + t\vv}^2\text{.}\) On a en particulier que \(f(t) \geqslant 0\) pour tout \(t\in \R\text{.}\) Or, \(f(t)\) est, comme fonction de la variable \(t\text{,}\) un polynôme de degré 2. En effet,
\begin{align*} f(t) \amp = \nrm{\vu + t\vv}^2 = (\vu + t\vv)\cdot(\vu + t\vv)\\ \amp = \vu\cdot \vu + 2(\vu\cdot \vv)t + (\vv\cdot \vv)t^2\\ \amp = \nrm{\vu}^2 + 2(\vu\cdot \vv)t + \nrm{\vv}^2 t^2 \end{align*}
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Comme \(f(t) \geqslant 0\) pour tout \(t\in \R\text{,}\) le discriminant de cette fonction quadratique
 1 
Le discriminant de \(at^2 + bt + c\) est la quantité \(b^2 - 4ac\text{.}\)
doit être négatif ou nul, c’est-à-dire
\begin{equation*} (2\vu\cdot \vv)^2 - 4 \nrm{\vu}^2\nrm{\vv}^2 \leqslant 0. \end{equation*}
Et l’inégalité voulue suit.
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Finalement, le discriminant est nul si et seulement si l’équation \(f(t) = 0\) admet une unique solution. Ceci revient à dire qu’il existe \(t_0\in \R\) tel que \(\vu + t_0\vv = \vZero\text{,}\) c’est-à-dire que \(\vu\) et \(\vv\) sont colinéaires.
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Démonstration.

On présente une autre preuve plus directe et calculatoire pour les vecteurs de \(\R^2\text{.}\) Soient \(\vu = \rvd{u_1}{u_2}\) et \(\vv = \rvd{v_1}{v_2}\) donnés. Alors
\begin{align*} \nrm{\vu}^2 \nrm{\vv}^2 - (\vu\cdot \vv)^2 \amp = (u_1^2 + u_2^2)(v_1^2 + v_2^2) - (u_1v_1 + u_2v_2)^2\\ \amp = (u_1^2 v_1^2 + u_1^2 v_2^2 + u_2^2 v_1^2 + u_2^2v_2^2)\\ \amp \quad - (u_1^2 v_1^2 + 2 u_1 v_1 u_2 v_2 + u_2^2 v_2^2)\\ \amp = u_2^2 v_1^2 -2 u_1 v_1 u_2 v_2 + u_1^2 v_2^2 = (u_2 v_1 - u_1 v_2)^2 \end{align*}
ce qui établit l’inégalité voulue.
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De plus, \(\vu\) et \(\vv\) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant \(u_2 v_1 - u_1 v_2 \) est nul, c’est-à-dire si et seulement si \(\nrm{\vu}^2 \nrm{\vv}^2 - (\vu\cdot \vv)^2 = 0\text{,}\) en vertu du calcul ci-haut.
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Comme on l’a mentionné, l’inégalité de Cauchy-Schwarz a plusieurs conséquences importantes. Par exemple, elle permet de définir les angles formés par deux vecteurs.
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Définition 1.2.17. Angle formé par deux vecteurs.

Il suit de l’inégalité de Cauchy-Schwarz que pour toute paire de vecteurs \(\vu\) et \(\vv\text{,}\) on a \(-1\leqslant \tfrac{\vu\cdot \vv}{\nrm{\vu} \, \nrm{\vv} } \leqslant 1\text{.}\)
  1. Ainsi, il existe un unique réel \(\j\in [0,\pi]\) tel que \(\cos\j = \tfrac{\vu\cdot \vv}{\nrm{\vu} \, \nrm{\vv}}\text{.}\) On dit alors que \(\j\) est l’angle formé par \(\vu\) et \(\vv\).
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  2. Deux vecteurs \(\vu\) et \(\vv\) sont orthogonaux si \(\vu \cdot \vv = 0\text{.}\)
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Exemple 1.2.18.

Trouver l’angle entre les vecteurs \(\vu = \rvd{1}{3}\) et \(\vv = \rvd{-2}{4}\text{.}\)
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Réponse.
L’angle vaut \(\tfrac{\pi}{4}\text{.}\)
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Solution.
On a d’abord besoin de calculer le produit scalaire et les normes des deux vecteurs:
  • \(\displaystyle \vu \cdot \vv = 1\cdot (-2) + 3\cdot 4 = 10\)
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  • \(\displaystyle \nrm{\vu} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}\)
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  • \(\displaystyle \nrm{\vv} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
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Ainsi,
\begin{align*} \cos \j \amp = \tfrac{\vu \cdot \vv}{\nrm{\vu} \, \nrm{\vv}} = \tfrac{10}{\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5}} = \tfrac{10}{2\sqrt{50}} \\ \amp = \tfrac{10}{10\sqrt{2}} = \tfrac{1}{\sqrt{2}} \end{align*}
D’où \(\j = \arccos(\tfrac{1}{\sqrt{2}}) = \tfrac{\pi}{4}\) radians, ou encore \(45^\circ\text{.}\)
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À vous de jouer 1.2.19.

Déterminer \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) sachant que \(\Vert \mathbf{a} \Vert = 8\text{,}\) \(\Vert\mathbf{ b} \Vert = 7\text{,}\) et que l’angle entre \(\mathbf{a}\) et \(\mathbf{b}\) est égal à \(\frac{\pi}{4}\) radians.
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\(\mathbf{ a} \cdot \mathbf{b } =\)
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Réponse.
\(39.598\)
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À vous de jouer 1.2.20.

Quel est l’angle (en radians) formé par les vecteurs \(\mathbf{a} = \left[\begin{array}{c}8\\-4\\-8\\\end{array}\right]\) et \(\mathbf{b} = \left[\begin{array}{c}10\\6\\8\\\end{array}\right]\text{?}\)
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Angle : radians
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Réponse.
\(1.61795\)
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Il est souvent utile de savoir comment trouver un vecteur orthogonal à un autre vecteur donné. Le résultat suivant donne une méthode simple pour y parvenir, elle découle directement de la définition du produit scalaire.
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Démonstration.

En effet,
\begin{align*} \| \overrightarrow{CB}\|^2 \amp = \| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\|^2 = (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})\\ \amp = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC}\\ \amp = \| \overrightarrow{AB}\|^2 - 2 \| \overrightarrow{AB}\|\, \| \overrightarrow{AC}\| \cos \a + \| \overrightarrow{AC}\|^2\\ \amp = c^2 + b^2 -2bc\cos \a. \end{align*}
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Démonstration.

Soient \(\vu\) et \(\vv\) les vecteurs correspondant à deux des côtés du triangle, de sorte que \(\vu + \vv\) correspond au troisième côté (voir figure ci-contre). On a alors
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\begin{align*} \nrm{\vu + \vv}^2 \amp = (\vu + \vv)\cdot (\vu + \vv) = \vu \cdot \vu + 2\vu \cdot \vv + \vv\cdot \vv\\ \amp = \nrm{\vu}^2 + 2\vu \cdot \vv + \nrm{\vv}^2\\ \amp \leqslant \nrm{\vu}^2 + 2| \vu \cdot \vv | + \nrm{\vv}^2\\ \amp \leqslant \nrm{\vu}^2 + 2\nrm{\vu} \, \nrm{\vv} + \nrm{\vv}^2\\ \amp =\left( \nrm{\vu} + \nrm{\vv}\right)^2 \end{align*}
où la deuxième inégalité suit de l’inégalité de Cauchy-Schwarz (voir théorème 1.2.16). Le résultat suit.
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Remarque 1.2.26.

Afin de déterminer si un angle \(\j\) est aigu ou obtus, on a simplement besoin de savoir si son cosinus est positif ou négatif, sans avoir à connaître la valeur exacte de l’angle. Qui plus est, le signe du cosinus de l’angle \(\j\) formé par deux vecteurs \(\vu\) et \(\vv\) est le même que celui du produit scalaire \(\vu \cdot \vv\text{.}\) En somme, on a:
\begin{align*} \j \text{ aigu } \amp \iff \vu \cdot \vv \gt 0,\\ \j \text{ droit } \amp \iff \vu \cdot \vv = 0,\\ \j \text{ obtus } \amp \iff \vu \cdot \vv \lt 0, \end{align*}
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Exemple 1.2.27.

Soit \(k \in \R\) et soient \(\vu = \rvt{k}{-k}{2}\) et \(\vv = \rvt{2k}{k-1}{-1}\text{.}\) Déterminer selon les valeurs de \(k\) si l’angle formé par \(\vu\) et \(\vv\) est aigu ou obtus.
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Indice.
Utilisez une fonction quadratique convenablement adaptée à ce problème.
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Solution.
On calcule \(\vu \cdot \vv = k(2k)+(-k)(k-1) + 2(-1) = k^2 + k -2 = (k+2)(k-1)\text{.}\) Ainsi
  • Si \(k \in\ ]-2,1[\) alors \(\vu \cdot \vv \lt 0\) et l’angle est obtus.
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    🔗
  • Si \(k \in \{-2,1\}\) alors \(\vu \cdot \vv = 0\) et l’angle est droit.
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  • Si \(k \in ]-\infty,-2[\ \cup\ ]1,\infty[\) alors \(\vu \cdot \vv \gt 0\) et l’angle est aigu.
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À vous de jouer 1.2.28.

Soient \(A \left(5,5,0\right)\text{,}\) \(B \left(2,3,-1\right)\) et \(P (k,k,k)\text{.}\) Le vecteur allant de \(A\) à \(B\) est orthogonal au vecteur allant de \(A\) à \(P\) si \(k\) = .
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Réponse.
\(4.16667\)
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À vous de jouer 1.2.29.

Soit \(\mathbf{u} = \left[\begin{array}{c}1\\1\\5\\\end{array}\right]\text{.}\) Alors
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\(\left[\begin{array}{c}-1\\4\\-5\\\end{array}\right]\) forme
  • un angle aigu
    🔗
  • un angle droit
    🔗
  • un angle obtus
    🔗
 avec \(\mathbf{u}\)
\(\left[\begin{array}{c}4\\-5\\-5\\\end{array}\right]\) forme
  • un angle droit
    🔗
  • un angle aigu
    🔗
  • un angle obtus
    🔗
 avec \(\mathbf{u}\)
\(\left[\begin{array}{c}-2\\3\\5\\\end{array}\right]\) forme
  • un angle obtus
    🔗
  • un angle droit
    🔗
  • un angle aigu
    🔗
 avec \(\mathbf{u}\)
\(\left[\begin{array}{c}-10\\0\\2\\\end{array}\right]\) forme
  • un angle aigu
    🔗
  • un angle droit
    🔗
  • un angle obtus
    🔗
 avec \(\mathbf{u}\)
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Exemple 1.2.30.

Considérez le parallélogramme de l’exemple 1.1.26. S’agit-il d’un rectangle? D’un losange? Justifier.
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Solution.
Les sommets du parallélogramme sont les points \(P(1,-3,2),\ Q(2,0,-4),\ R(6,-2,-5)\) et \(S(5,-5,1)\text{.}\)
  • Le parallélogramme est un rectangle si et seulement si deux côtés consécutifs sont orthogonaux.
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  • Le parallélogramme est un losange si et seulement si deux côtés consécutifs ont la même longueur.
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On calcule alors les vecteurs d’intérêt:
\begin{equation*} \overrightarrow{PQ} = \vq - \vp = \Rvt{1}{3}{-6}, \qquad \overrightarrow{PS} = \vs - \vp = \Rvt{4}{-2}{-1}. \end{equation*}
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Ainsi,
  • \((\vq - \vp)\cdot (\vs - \vp) = 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-6) \cdot (-1) = 4 \ne 0\text{,}\) de sorte que le parallélogramme n’est pas un rectangle.
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  • \(\nrm{\vq - \vp} = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{46}\text{,}\) tandis que \(\nrm{\vs - \vp} = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{21}\text{.}\) Ainsi, \(\nrm{\vq - \vp} \ne \nrm{\vs - \vp}\) et le parallélogramme n’est pas un losange.
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Exemple 1.2.31.

  1. Montrez que pour deux vecteurs quelconques \(\vu\) et \(\vv\text{,}\) on a \(\nrm{\vu +\vv} = \nrm{\vu -\vv } \) si et seulement si \(\vu\) et \(\vv\) sont orthogonaux.
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  2. Faites un diagramme montrant \(\vu, \vv, \vu + \vv\text{,}\) et \(\vu - \vv\) dans \(\R^2\text{,}\) puis utilisez (a) pour déduire un résultat sur les parallélogrammes.
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Solution.
  1. On a
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    \begin{align*} \amp \amp \nrm{\vu + \vv} \amp = \nrm{\vu - \vv}\\ \iff \amp \amp \nrm{\vu + \vv}^2 \amp = \nrm{\vu - \vv}^2 \\ \iff \amp \amp (\vu + \vv)\cdot(\vu + \vv) \amp = (\vu - \vv)\cdot(\vu - \vv) \\ \iff \amp \amp \vu\cdot \vu + 2\vu \cdot \vv + \vv \cdot \vv \amp = \vu\cdot \vu - 2\vu \cdot \vv + \vv \cdot \vv \\ \iff \amp \amp 4\vu \cdot \vv \amp = 0 \\ \iff \amp \amp \vu \cdot \vv \amp = 0 \end{align*}
    et cette condition équivaut au fait que \(\vu\) et \(\vv\) sont orthogonaux.
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  2. Le résultat cherché s’énonce comme suit. Étant donnés deux vecteurs \(\vu\) et \(\vv\text{,}\) ils déterminent un parallélogramme dont les diagonales sont \(\vu + \vv\) et \(\vu - \vv\text{.}\) Ces diagonales ont la même longueur si et seulement si le parallélogramme est un rectangle.
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Sous-section Projections

La projection est un problème de décomposition, qu’on peut formuler de deux façons.
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  • Point de vue géométrique. Étant donné un point \(P\) et une droite \(\plan{D}\text{,}\) trouver le point sur \(\plan{D}\) qui est le plus près de \(P\text{,}\) puis calculer la distance séparant \(P\) de \(\plan{D}\text{.}\)
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  • Point de vue vectoriel. Étant donnés \(\vu\) et \(\vv\) trouver une décomposition
    \begin{align*} \vv \amp = \left( {\text{vect. colin. à } \vu}\right)\\ \amp + \left({\text{vect. orthog. à }\vu}\right) \end{align*}
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Plus précisément, soient \(\vu=\vect{XR}\) et \(\vv = \vect{XP}\) deux vecteurs. On désigne par \(H\) le projeté orthogonal de \(P\) sur la droite \(XR\text{.}\) Le vecteur \(\vect{XH}\) est la projection de \(\vect{XP}\) sur \(\vect{XR}\text{,}\) ou encore celle de \(\vv\) sur \(\vu\text{,}\) et on le note \({\rm proj}_{\vu} \vv\text{.}\)
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Figure 1.2.32. La projection d’un vecteur \(\vv\) sur un vecteur \(\vu\text{.}\) On décompose \(\vv\) en somme d’un vecteur colinéaire à \(\vu\) et un autre orthogonal. Vous pouvez faire bouger les points \(X, P\) ainsi que le vecteur \(\vu\text{.}\) Par construction \(\vect{XR} = \vu\text{.}\)
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Démonstration.

Soient \(\vu, \vv\in \R^n \text{,}\) avec \(\vu \ne \vZero\text{.}\) On cherche à établir l’existence d’un vecteur \(\proj{\vv}{\vu}\) colinéaire à \(\vu\text{.}\) S’il existe, il est de la forme \(c\vu\text{,}\) où \(c\) reste à déterminer. On écrit donc \(\vv\) comme la somme de deux vecteurs, l’un colinéaire à \(\vu\) et l’autre orthogonal à \(\vu\text{,}\) c’est-à-dire \(\vv = c \vu + \vw\) avec \(\vw\) orthogonal à \(\vu\text{.}\) On a donc
\begin{equation*} \vu \cdot \vv = \vu \cdot (c\vu + \vw) = c(\vu \cdot \vu) + \vu \cdot \vw = c(\vu \cdot \vu) \end{equation*}
Comme \(\vu\) est non nul, \(\vu \cdot \vu \ne 0\) et on en déduit que \(c = \tfrac{\vu\cdot \vv}{\vu\cdot \vu}\text{.}\) On pose donc
\begin{equation*} \proj{\vv}{\vu} = c\vu = \left(\tfrac{\vu\cdot \vv}{\vu\cdot \vu}\right)\vu\text{.} \end{equation*}
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Finalement, pour vérifier que \(\vv - \proj{\vv}{\vu}\) est orthogonal à \(\vu\text{,}\) il suffit de calculer
\begin{equation*} \vu \cdot \left(\vv - \proj{\vv}{\vu}\right) = \vu \cdot \vv - \vu \cdot \left(\tfrac{\vu\cdot \vv}{\vu\cdot \vu}\right)\vu = \vu \cdot \vv - (\vu\cdot \vv) = 0. \end{equation*}
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Exemple 1.2.34.

Trouver la projection de \(\vv = \rvd{3}{4}\) sur \(\vu = \rvd{1}{2}\text{.}\)
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Solution.
On a
\begin{equation*} \proj{\vv}{\vu} = \left(\tfrac{\vu\cdot \vv}{\vu\cdot \vu}\right)\vu = \left(\tfrac{1\cdot 3 + 2\cdot 4}{1^2 + 2^2}\right)\!\Rvd{1}{2} = \tfrac{11}{5}\Rvd{1}{2} = \Rvd{\tfrac{11}{5}}{\tfrac{22}{5}}. \end{equation*}
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À vous de jouer 1.2.35.

Pour cette question, vous devez entrer votre réponse avec la syntaxe \(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}\text{,}\) où \(a\) et \(b\) sont les composantes de votre vecteur réponse.
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Déterminer deux vecteurs \(\mathbf v_1\) et \(\mathbf v_2\) dont la somme est \(\left[\begin{array}{c}-3\\-2\\\end{array}\right]\text{,}\) sachant que \(\mathbf v_1\) est parallèle à \(\left[\begin{array}{c}-2\\-4\\\end{array}\right]\) et que \(\mathbf v_2\) est perpendiculaire à \(-2\mathbf{i}-4\mathbf{j}\text{.}\)
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\(\mathbf v_1\) =
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\(\mathbf v_2\) =
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Réponse 1.
\(-1.4\mathbf{i}-2.8\mathbf{j}\)
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Réponse 2.
\(-1.6\mathbf{i}+0.8\mathbf{j}\)
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Étant donné que les projections permettent de trouver la longueur d’une perpendiculaire à une droite, elles sont très utiles pour calculer des aires de triangles. On considère le triangle de sommets \(A, B\) et \(C\text{.}\) Pour calculer son aire, on peut utiliser la formule classique \(\mathcal{A} = \tfrac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{hauteur}\text{.}\) Si on choisit le segment \(AB\) comme base, on doit alors trouver la hauteur issue de \(C\text{,}\) c’est-à-dire la distance entre le point \(C\) et la droite passant par \(A\) et \(B\text{.}\) Cette distance est précisément la norme du vecteur orthogonal à \(\overrightarrow{AB}\) que l’on obtient en soustrayant la projection de \(\overrightarrow{AC}\) sur \(\overrightarrow{AB}\) à \(\overrightarrow{AC}\text{.}\) L’exemple suivant illustre cette méthode.
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Exemple 1.2.36.

Trouver l’aire du triangle de sommets \(A(1,-1), B(2,2)\) et \(C(4,0)\text{.}\)
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Solution.
On pose \(\vv = \overrightarrow{AC} = \vc - \va = \rvd{3}{1} \) et \(\vu = \overrightarrow{AB}= \vb - \va = \rvd{1}{3}\text{.}\)
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Soit par ailleurs \(H\) le pied de la hauteur issue de \(C\) c’est-à-dire que \(H\) est le point tel que
\begin{align*} \overrightarrow{AH} \amp = \proj{\vv}{\vu} = \left(\tfrac{\vu\cdot \vv}{\vu\cdot \vu}\right)\vu \\ \amp \\ \amp = \tfrac{6}{10}\Rvd{1}{3} = \Rvd{\tfrac{3}{5}}{\tfrac{9}{5}}. \end{align*}
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Figure 1.2.37. Le triangle de sommets \(A(1,-1), B(2,2)\) et \(C(4,0)\text{.}\)
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La hauteur du triangle est donc donnée par le vecteur
\begin{equation*} \vw = \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AH} = \Rvd{3}{1} - \Rvd{\tfrac{3}{5}}{\tfrac{9}{5}} = \tfrac{1}{5}\Rvd{12}{-4} \end{equation*}
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On calcule donc l’aire du triangle comme étant la moitié du produit de la base par la hauteur, c’est-à-dire
\begin{equation*} \text{Aire} = \tfrac{1}{2} \nrm{\vu}\nrm{\vw} = \tfrac{1}{2} \sqrt{10} \sqrt{\left(\tfrac{12}{5}\right)^2 + \left(\tfrac{-4}{5}\right)^2} = \tfrac{1}{2} \sqrt{10} \sqrt{\tfrac{160}{25}} = 4 \end{equation*}
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Exemple 1.2.38.

Soient \(\vu\) et \(\vv\) deux vecteurs non nuls. Est-ce possible d’avoir \(\proj{\vv}{\vu} = \proj{\vu}{\vv}\text{?}\) Quand?
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Solution.
En général,
\begin{equation*} \proj{\vv}{\vu} = \proj{\vu}{\vv} \iff \left(\tfrac{\vu\cdot \vv}{\vu\cdot \vu}\right)\vu = \left(\tfrac{\vu\cdot \vv}{\vv\cdot \vv}\right)\vv. \end{equation*}
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Si \(\vu \cdot \vv = 0\text{,}\) alors on aura l’égalité voulue. Ceci correspond au cas où \(\vu\) et \(\vv\) sont orthogonaux.
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Si les vecteurs ne sont pas orthogonaux, on peut diviser par \(\vu \cdot \vv\) et il suit
\begin{equation*} \tfrac{1}{\nrm{\vu}^2} \vu = \tfrac{1}{\nrm{\vv}^2} \vv, \end{equation*}
de sorte que \(\vu\) et \(\vv\) sont colinéaires. En fait, ils pointent dans la même direction.
 2 
Car les deux scalaires \(\tfrac{1}{\nrm{\vu}^2}\) et \(\tfrac{1}{\nrm{\vv}^2}\) sont positifs.
En passant aux normes, on obtient aussi que \(\nrm{\vu} = \nrm{\vv}\text{,}\) de sorte que les vecteurs sont en fait égaux.
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En somme, \(\proj{\vv}{\vu} = \proj{\vu}{\vv}\) si et seulement si \(\vu\) et \(\vv\) sont orthogonaux ou égaux.
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À vous de jouer 1.2.39.

Pour cette question, si votre réponse est un vecteur, veuillez la saisir avec la syntaxe \(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}\text{,}\) où \(a\) et \(b\) sont les composantes de votre vecteur réponse.
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Soient \(\mathbf a = \left[\begin{array}{c}-2\\5\\3\\\end{array}\right]\) et \(\mathbf b = \left[\begin{array}{c}4\\3\\4\\\end{array}\right]\text{.}\)
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Effectuer les opérations suivantes :
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\(\mathbf{a}-\mathbf{a}_{\mathbf{b}} =\)
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\(\mathbf{b} \cdot ( \mathbf{a}-\mathbf{a}_{\mathbf{b}}) =\)
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Réponse 1.
\(-3.85366\mathbf{i}+3.60976\mathbf{j}+1.14634\mathbf{k}\)
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Réponse 2.
\(0\)
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À vous de jouer 1.2.40.

La distance \(d\) entre un point \(P\) et la droite qui passe par \(A\) et \(B\) est la longueur de la composante de \(\overrightarrow{AP}\) qui est orthogonale à \(\overrightarrow{AB}\text{,}\) tel qu’illustré sur le diagramme ci-dessous.
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Alors, la distance de \(P = \left(3,-2\right)\) à la droite passant par \(A = \left(-1,1\right)\) et \(B = \left(-3,1\right)\) est .
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Réponse.
\(3\)
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