Applications

Section 3.3 Applications

Sous-section Processus de Markov

Plusieurs situations pratiques peuvent être modélisées par un système qui passe d’un état à un autre avec des probabilités données. En mathématiques, ces systèmes sont appelés processus de Markov. Sans entrer dans tous les détails, on présente ici les rudiments du sujet, en guise d’application de l’algèbre matricielle.

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Exemple 3.3.1.

Une résidence collégiale comporte 200 locataires. À l’accueil, on vend deux marques de dentifrice, disons $A$ et $B\text{.}$ Un sondage visant à comprendre les préférences des locataires est mené pendant quelques mois, à intervalles réguliers.

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Lors du dernier mois du sondage, 120 usagers préfèrent la marque $A$ tandis que 80 préfèrent la marque $B\text{.}$ D’après les données recueillies, on estime que, parmi les utilisateurs de la marque $A$ à un mois donné, 70\% continueront de l’utiliser le mois suivant, tandis que 30\% changeront vers la marque $B\text{.}$ De même, 80\% des utilisateurs de la marque $B$ continueront avec celle-ci, et 20\% changeront vers la marque $A\text{.}$

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Quel sera le nombre d’utilisateurs de chaque marque 1 et 2 mois après le dernier sondage?
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Existe-t-il une distribution stable des consommateurs par marque?
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Solution.

On note $a_0$ et $b_0$ les nombres d’utilisateurs des marques $A$ et $B$ à la fin du sondage, puis $a_1$ et $b_1$ après un mois, $a_2$ et $b_2$ après deux mois, et ainsi de suite. Le diagramme suivant illustre les transitions possibles entre les deux états et leurs probabilités.

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On a initialement $a_0=120$ et $b_0=80\text{.}$ Après un mois,
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\begin{align*} a_1 \amp= 0.7a_0 + 0.2b_0 = 0.7\cdot 120 + 0.2\cdot 80 = 100\\ b_1 \amp= 0.3a_0 + 0.8b_0 = 0.3\cdot 120 + 0.8\cdot 80 = 100 \end{align*}

On peut écrire ceci matriciellement:
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\begin{equation*} \Rvd{a_1}{b_1} = \Mdd{0.7}{0.2}{0.3}{0.8}\,\Rvd{a_0}{b_0}, \qquad \text{on pose } P=\Mdd{0.7}{0.2}{0.3}{0.8}. \end{equation*}

Ainsi,
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\begin{equation*} \Rvd{a_1}{b_1}=P\Rvd{120}{80}=\Rvd{100}{100}, \qquad \Rvd{a_2}{b_2}=P\Rvd{100}{100}=\Rvd{90}{110}. \end{equation*}

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On cherche une distribution stable, c’est-à-dire un vecteur $\vx=\rvd{\a}{\be}$ tel que $P\vx=\vx\text{.}$ Cela revient à résoudre $(P-I)\vx=\vZero\text{.}$
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On calcule
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\begin{align*} P-I \amp= \Mdd{0.7}{0.2}{0.3}{0.8}-\Mdd{1}{0}{0}{1} =\Mdd{-0.3}{0.2}{0.3}{-0.2}\\ \amp\xrightarrow[\;R_2+R_1\;]{-\tfrac{10}{3}R_1} \Mdd{1}{-\tfrac{2}{3}}{0}{0}. \end{align*}

La variable $\be$ est libre et on obtient $\a=\tfrac{2}{3}\be\text{.}$ Le contexte impose aussi $\a+\be=200\text{.}$ En combinant, on trouve $\be=120$ et $\a=80\text{.}$ Donc, à long terme, la distribution stable est 80 utilisateurs de la marque $A$ et 120 utilisateurs de la marque $B\text{.}$
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On peut aussi faire l’analyse en considérant les proportions des usagers plutôt que les nombres absolus. On travaille alors avec des vecteurs dont les composantes sont non négatives et dont la somme vaut 1. Ces vecteurs portent un nom.

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Définition 3.3.2.

Un vecteur $\vx\in\R^n$ est un vecteur de probabilité si ses composantes sont non négatives et si leur somme est égale à $1\text{,}$ c’est-à-dire si

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\begin{align*} \vx=\rvt{x_1}{\vdots\hfill}{x_n}, \amp \text{avec }\ x_i\geqslant 0 \text{ pour } i\in\{1,2,\ldots,n\}\\ \amp \text{et } x_1+x_2+\cdots+x_n=1. \end{align*}

Une matrice carrée dont les colonnes sont des vecteurs de probabilité est dite une matrice stochastique.

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À vous de jouer 3.3.3.

Trouver les valeurs manquantes de sorte à ce que la matrice soit stochastique

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	$0.61$	$0.1$
$0.87$		$0.65$
$0.08$	$0.39$

Réponse 1.

$1-0.87-0.08$

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Réponse 2.

$1-0.61-0.39$

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Réponse 3.

$1-0.1-0.65$

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Solution.

SOLUTION: Puisque les sommes des entrées des colonnes doivent être 1, on obtient:

\begin{equation*} \left[\begin{array}{ccc} 0.05 \amp 0.61 \amp 0.1 \\ 0.87 \amp 0 \amp 0.65 \\ 0.08 \amp 0.39 \amp 0.25 \end{array}\right] \end{equation*}

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L’exemple précédent amène naturellement la notion de matrice de transition d’un processus (ou système). Voici une définition un peu plus formelle.

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Définition 3.3.4.

Si un système admet $n$ états, numérotés de $1$ à $n\text{,}$ alors sa matrice de transition est une matrice $P$ de taille $n\times n$ telle que:

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Le coefficient $p_{ij}$ (rangée $i\text{,}$ colonne $j$) représente la probabilité de passer de l’état $j$ à l’état $i\text{.}$
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La somme des coefficients de chaque colonne est égale à $1$ (autrement dit, les colonnes de $P$ sont des vecteurs de probabilité).
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Étant donnée une matrice stochastique $P\text{,}$ un vecteur $\vv$ est un vecteur stable si $P\vv=\vv\text{.}$

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À vous de jouer 3.3.5.

Trouver le vecteur de probabiité stable associé à la matrice stochastique suivante :

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$A = \left[\begin{array}{rr} 0.91 \amp 0.02 \\ 0.09 \amp 0.98 \end{array}\right]\text{.}$

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Réponse : $x =$ (2 × 1 Tableau).

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Solution.

SOLUTION: Résoudre $(A-I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ en réduisant la matrice augmentée

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\begin{equation*} \begin{array}{ccc} \left[\begin{array}{rrr} -0.09 \amp 0.02 \amp 0 \\ 0.09 \amp -0.02 \amp 0 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{R_2+R_1} \amp \left[\begin{array}{rrr} 0.91 \amp 0.02 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{array}\right] \end{array} \end{equation*}

et on obtient

\begin{equation*} \mathbf{x} = s \left[\begin{array}{c} \frac{0.02}{0.09} \\ 1 \end{array}\right] = s \left[\begin{array}{c} 0.222222 \\ 1 \end{array}\right]. \end{equation*}

Puisque la somme des composantes de $\mathbf{x}$ doit être un, on doit avoir

\begin{equation*} s = \frac{1}{1.22222} \end{equation*}

de sorte que

\begin{equation*} \mathbf{x} = \tfrac{1}{1.22222} \left[\begin{array}{c} 0.222222 \\ 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{r} 0.181818 \\ 0.818182 \end{array}\right]. \end{equation*}

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Remarque 3.3.6.

Pour obtenir la somme des composantes d’un vecteur $\vv=\rvt{v_1}{\vdots\hfill}{v_n}\text{,}$ il suffit de calculer le produit scalaire avec le vecteur $\rvt{1}{\vdots\hfill}{1}\text{.}$ De façon équivalente, on peut calculer $S\vv\text{,}$ où $S$ est la matrice rangée $S=\left[\begin{array}{ccc}1 \amp \cdots \amp 1\end{array}\right]\text{.}$ Un vecteur $\vv$ à composantes non négatives est un vecteur de probabilité si et seulement si $S\vv=1\text{.}$

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De même, une matrice $P=\left[\begin{array}{ccc}\vp_1\amp\cdots\amp\vp_n\end{array}\right]$ est stochastique si et seulement si $S\vp_i=1$ pour tout $i\text{,}$ ce qui équivaut à $SP=S\text{.}$

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\begin{align*} SP \amp= S\left[\begin{array}{ccc}\vp_1\amp\cdots\amp\vp_n\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}S\vp_1\amp\cdots\amp S\vp_n\end{array}\right]\\ \amp= \left[\begin{array}{ccc}1\amp\cdots\amp 1\end{array}\right] =S. \end{align*}

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On a considéré des puissances de matrices de transition. Dans les exemples vus jusqu’ici, ces puissances sont des matrices stochastiques et permettent de calculer la distribution après plusieurs périodes. C’est un fait général.

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Proposition 3.3.7.

Soit $P$ une matrice stochastique et $\vv_0$ un vecteur de probabilité représentant la distribution initiale d’un processus de Markov. Alors:

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$P\vv_0$ est un vecteur de probabilité.
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Les puissances de $P$ sont des matrices stochastiques.
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L’entrée $(i,j)$ de $P^k$ donne la probabilité de passer de l’état $j$ à l’état $i$ en $k$ étapes.
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Démonstration.

En effet,
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\begin{equation*} S(P\vv_0)=(SP)\vv_0=S\vv_0=1. \end{equation*}

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On donne une preuve par récurrence.
- Par définition, l’énoncé est vrai pour $k=0\text{.}$
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- On suppose que $P^k$ est une matrice stochastique pour un certain entier $k$ et on vérifie que $P^{k+1}$ est aussi une matrice stochastique. En effet,
  
  \begin{gather*} SP^{k+1} = SP^k P = SP = S \end{gather*}
  
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Encore une fois, on donne une preuve par récurrence.
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- L’énoncé est vrai pour $k=1$
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- On suppose que l’énoncé soit vrai pour un entier $k\text{,}$ et désignons par $p_{ij}^{(k)}$ le coefficient en position $(i,j)$ de $P^k$ (ne pas confondre avec $\left(p_{ij}\right)^k\text{,}$ la puissance $k$ de $p_{ij}$)
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  Si le processus a $n$ états, on peut se rendre de l’état $j$ à l’état $i$ en $k+1$ étapes de l’une des façons suivantes:
  - passer de $j$ à $1$ en $k$ étapes (probabilité $p_{1j}^{(k)}$) puis passer de $1$ à $i$ en une étape (probabilité $p_{i1}$)
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  - passer de $j$ à $2$ en $k$ étapes (probabilité $p_{2j}^{(k)}$) puis passer de $2$ à $i$ en une étape (probabilité $p_{i2}$)
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  - $\displaystyle \cdots$
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  - passer de $j$ à $n$ en $k$ étapes (probabilité $p_{nj}^{(k)}$) puis passer de $n$ à $i$ en une étape (probabilité $p_{in}$)
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  En sommant toutes ces probabilités, on trouve que la probabilité de passer de l’état $j$ à l’état $i$ en $k+1$ étapes est
  
  \begin{equation*} p_{i1}p_{1j}^{(k)} + p_{i2}p_{2j}^{(k)} + \cdots p_{in}p_{nj}^{(k)} \end{equation*}
  
  qui est précisément le coefficient en position $(i,j)$ du produit $PP^{k}\text{.}$
  
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Exemple 3.3.8.

Des scientifiques placent une souris dans une cage comportant trois compartiments, tel qu’illustré dans la figure ci-dessous.

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Les cercles désignent les compartiments et les lignes représentent les portes. Notamment, il y a deux portes entre les compartiments $2$ et $3\text{.}$ La souris est entrainée de sorte qu’à chaque coup de cloche, elle choisit au hasard (uniformément) une des portes accessibles et l’emprunte.

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Si la souris est initialement au compartiment $1\text{,}$ quelle est la probabilité qu’elle se trouve au compartiment $2$ après deux coups de cloche?
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À la longue, quelle proportion de temps la souris passera-t-elle dans chaque compartiment?
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Solution.

On commence par enrichir le diagramme avec les probabilités implicites dans l’énoncé. Cela permet de déterminer la matrice de transition.

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\begin{equation*} P = \Mtt{0}{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{2}}{0}{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{2}{3}}{0} \end{equation*}

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On remarque que les boucles associées à des probabilités nulles auraient pu être omises, mais elles restent utiles pour construire la matrice de transition. On note $\vx_n$ le vecteur de probabilité représentant la distribution de la souris après $n$ coups de cloche. Comme la souris commence au compartiment $1\text{,}$ on a $\vx_0=\rvt{1}{0}{0}\text{.}$

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Après un coup de cloche, $\vx_1=P\vx_0\text{.}$ Après deux coups, $\vx_2=P\vx_1\text{.}$ On obtient
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\begin{equation*} \vx_1=P\vx_0=\Rvt{0}{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}} \qquad\text{et}\qquad \vx_2=P\vx_1=\Rvt{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{3}}. \end{equation*}

Donc, après deux coups de cloche, la probabilité d’être au compartiment $2$ est $\tfrac{1}{3}\text{.}$
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On cherche une distribution stable $\vv=\rvt{a}{b}{c}$ telle que $P\vv=\vv\text{.}$ Cela revient à résoudre le système homogène $(I-P)\vv=\vZero\text{.}$ On calcule
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\begin{align*} I-P = \amp \left[\begin{array}{ccc} 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1\end{array} \right] - \left[ \begin{array}{ccc}0 \amp \tfrac{1}{3} \amp \tfrac{1}{3}\\ \tfrac{1}{2} \amp 0 \amp \tfrac{2}{3} \\ \tfrac{1}{2} \amp \tfrac{2}{3} \amp 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} 1 \amp -\tfrac{1}{3} \amp -\tfrac{1}{3}\\ -\tfrac{1}{2} \amp 1 \amp -\tfrac{2}{3}\\ -\tfrac{1}{2} \amp -\tfrac{2}{3} \amp 1 \end{array}\right]\\ \xrightarrow[R_3 + \tfrac{1}{2}R_1]{R_2 + \tfrac{1}{2}R_1} \amp \left[\begin{array}{rrr} 1 \amp -\tfrac{1}{3} \amp -\tfrac{1}{3}\\ 0 \amp \tfrac{5}{6} \amp -\tfrac{5}{6}\\ 0 \amp -\tfrac{5}{6} \amp \tfrac{5}{6} \end{array}\right] \xrightarrow[\tfrac{6}{5}R_2]{\;\substack{R_3 + R_2\\ R_1 + \tfrac{2}{5}R_2}\;} \left[\begin{array}{rrr} 1 \amp 0 \amp -\tfrac{2}{3}\\ 0 \amp 1 \amp -1\\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{array}\right] \\[-0.6em] \end{align*}

La variable $c$ est libre et on obtient $b=c$ et $a=\tfrac{2}{3}c\text{.}$ En imposant la condition $a+b+c=1\text{,}$ on trouve $c=\tfrac{3}{8}\text{,}$ d’où $b=\tfrac{3}{8}$ et $a=\tfrac{1}{4}\text{.}$
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Ainsi, à long terme, la souris passe $25\%$ de son temps dans le compartiment $1\text{,}$ et $37.5\%$ de son temps dans chacun des compartiments $2$ et $3\text{.}$
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SageMath en action 3.3.9. Modèle de Markov.

Le graphe de transition peut être tracé directement à partir de la matrice $P\text{.}$

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Pour trouver le vecteur stable, on remplace la dernière équation (redondante) de $(I-P)\vv=\vZero$ par la contrainte de normalisation $a+b+c=1\text{,}$ puis on résout le système augmenté avec rref().

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Remarque 3.3.10.

On peut calculer à l’aide d’un ordinateur (voir ci-bas)les puissances successives de la matrice de transition de l’exemple précédent. En arrondissant à quatre décimales, on trouve:

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\begin{align*} P^2= \left[\begin{array}{rrr} 0.3333 \amp 0.2222 \amp 0.2222\\ 0.3333 \amp 0.6111 \amp 0.1667\\ 0.3333 \amp 0.1667 \amp 0.6111 \end{array}\right], \amp\quad\amp P^3= \left[\begin{array}{rrr} 0.2222 \amp 0.2593 \amp 0.2593\\ 0.3889 \amp 0.2222 \amp 0.5185\\ 0.3889 \amp 0.5185 \amp 0.2222 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ P^5= \left[\begin{array}{rrr} 0.2469 \amp 0.2510 \amp 0.2510\\ 0.3765 \amp 0.3086 \amp 0.4403\\ 0.3765 \amp 0.4403 \amp 0.3086 \end{array}\right], \amp\quad\amp P^{10}= \left[\begin{array}{rrr} 0.2500 \amp 0.2500 \amp 0.2500\\ 0.3750 \amp 0.3837 \amp 0.3663\\ 0.3750 \amp 0.3663 \amp 0.3837 \end{array}\right] \\[-0.6em] \end{align*}

On constate que les colonnes de ces matrices s’approchent de plus en plus du vecteur stable $\vv=\rvt{0.25}{0.375}{0.375}\text{.}$

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SageMath en action 3.3.11. Puissances de la matrice de transition.

On peut calculer $P^n$ pour différentes valeurs de $n$ à l’aide du curseur et observer la convergence vers le vecteur stable.

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Notez que .n(digits=5) est utilisée afin d’avoir des valeurs décimales. Sans ça, on aura des fractions (valeurs exactes), un peu difficiles à interpréter. Essayez pour voir!

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À vous de jouer 3.3.12.

Les consommateurs de Sherbyville ont le choix entre deux restaurants de nourriture rapide : Louise et CooKing. Les deux ont du mal à garder leurs clients. Parmi ceux dont la dernière sortie était chez Louise, 55% iront chez CooKing la prochaine fois, et parmi ceux qui ont fait leur plus récente sortie chez CooKing, 84% iront chez Louise la prochaine fois.

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(a) Donnez la matrice de transition adaptée à cette situation. Pour ceci utilisez l’ordre des composantes du vecteur d’état [Louise, CooKing]).

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(b) Une personne sort à un de ces deux restaurants chaque dimanche. Sa dernière sortie a été chez Louise.

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i. Avec quelle probabilité ira-t-elle chez CooKing, dans deux dimanches?

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ii. Avec quelle probabilité cette ira-t-elle chez CooKing dans trois dimanches?

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(c) Supposons qu’une personne vient à peine de déménager à Sherbyville, et qu’il y a 37% de chance qu’elle aille chez Louise pour sa première sortie. Avec quelle probabilité sa troisième sortie aura lieu chez Louise?

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(d) Trouvez le vecteur stable.

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Réponse 1.

$0.3355$

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Réponse 2.

$0.419155$

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Réponse 3.

$0.568677$

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Solution.

SOLUTION:

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(a) $A = \left[\begin{array}{cc} 0.45 \amp 0.84\cr 0.55 \amp 0.16 \end{array}\right]$

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(b) (i) $A^2 \left[\begin{array}{c} 1\cr 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0.45 \amp 0.84\cr 0.55 \amp 0.16 \end{array}\right]^2 \left[\begin{array}{c} 1\cr 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0.6645\cr 0.3355 \end{array}\right]\text{,}$ de sorte que la probabilité d’aller chez CooKing dans deux dimanches est $0.3355\text{.}$

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(ii) $A^2 \left[\begin{array}{c} 1\cr 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0.45 \amp 0.84\cr 0.55 \amp 0.16 \end{array}\right]^3 \left[\begin{array}{c} 1\cr 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0.580845\cr 0.419155 \end{array}\right]\text{,}$ de sorte que la probabilité d’aller chez CooKing dans trois dimanches est $0.419155\text{.}$

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(c) $A^2 \left[\begin{array}{c} 0.37\cr 0.63 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0.45 \amp 0.84\cr 0.55 \amp 0.16 \end{array}\right]^2 \left[\begin{array}{c} 0.37\cr 0.63 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0.568677\cr 0.431323 \end{array}\right]\text{,}$ de sorte que la probabilité que la troisième sortie soit chez Louise est $0.568677\text{.}$

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(d) $\mathbf{x} = \left[\begin{array}{c} 0.604317\cr 0.395683 \end{array}\right]$

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Dans les exemples rencontrés jusqu’à présent, on a observé que les colonnes des puissances de la matrice de transition $P$ s’approchent du vecteur stable, que l’on notera $\vv_\infty\text{.}$ Même si une matrice stochastique admet toujours au moins un vecteur stable, il n’est pas toujours vrai que les colonnes de $P^n$ convergent vers un tel vecteur, comme le montre l’exemple suivant.

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Exemple 3.3.13.

Soit $P=\mdd{0}{1}{1}{0}$ et $\vv_0=\rvd{1/10}{9/10}\text{.}$

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Calculer les vecteurs de distribution $\vv_1,\vv_2,\vv_3,\ldots$
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Calculer un vecteur stable associé, noté $\vv_\infty\text{.}$
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Solution.

On peut effectuer les calculs directement, mais il est plus avisé de remarquer que $P$ est une matrice élémentaire: elle correspond à l’opération $R_1\leftrightarrow R_2\text{.}$ On en déduit que $P$ échange les deux composantes d’un vecteur.
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\begin{align*} \vv_1=P\vv_0=\Rvd{9/10}{1/10} \amp \vv_2=P\vv_1=\Rvd{1/10}{9/10} \\ \vv_3=P\vv_2=\Rvd{9/10}{1/10} \amp \vv_4=P\vv_3=\Rvd{1/10}{9/10} \end{align*}

et ainsi de suite. Les vecteurs de distribution oscillent entre $\tfrac{1}{10}\rvd{1}{9}$ et $\tfrac{1}{10}\rvd{9}{1}\text{.}$
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On cherche un vecteur $\vv=\rvd{a}{b}$ tel que $P\vv=\vv\text{.}$ Cela revient à résoudre $(I-P)\vv=\vZero\text{.}$ On calcule
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\begin{equation*} I-P=\Mdd{1}{0}{0}{1}-\Mdd{0}{1}{1}{0} =\Mdd{1}{-1}{-1}{1} \xrightarrow{R_2+R_1} \Mdd{1}{-1}{0}{0}. \end{equation*}

La variable $b$ est libre et on obtient $a=b\text{.}$ En imposant la condition $a+b=1\text{,}$ on trouve $a=\tfrac{1}{2}$ et $b=\tfrac{1}{2}\text{.}$ Donc $\vv_\infty=\rvd{1/2}{1/2}\text{.}$ Cependant, les vecteurs de distribution ne s’approchent pas de $\vv_\infty\text{:}$ ils oscillent entre deux valeurs.
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Une matrice stochastique $P$ est dite régulière s’il existe une puissance $r$ telle que $P^r$ n’ait aucune composante nulle. Les matrices stochastiques rencontrées dans cette section (à l’exception de celle de l’exemple précédent) sont régulières. On peut démontrer que si $P$ est une matrice stochastique régulière, alors il existe un unique vecteur stable et ce vecteur est la limite des colonnes de $P^n\text{.}$ La matrice de l’exemple précédent n’est pas régulière, car toutes ses puissances $P^n$ contiennent des zéros.

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Sous-section Application: modèle économique de Leontief

Dans ce qui suit, on étudie une application de l’algèbre matricielle à la science économique: le « modèle entrée-sortie », attribué à Leontief.

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Dans les applications réelles, les matrices considérées sont souvent très grandes. Ici, on se contente de versions simplifiées, de façon à rendre les calculs faisables à la main.

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Une « économie » est un ensemble de secteurs d’activité qui interagissent entre eux par l’achat de biens et de services. Le modèle entrée-sortie postule que l’économie est en équilibre lorsque chaque secteur l’est, c’est-à-dire lorsque la production couvre exactement la demande.

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On commence par une situation réduite à l’extrême: une « économie » formée d’un seul secteur. Si le cout de production de $x$ dollars de marchandise (ou de services) est $cx$ dollars, l’activité est dite profitable lorsque $0\leqslant c<1\text{,}$ c’est-à-dire lorsque le cout de production est inférieur à la valeur produite. Dans ce cas, un excédent peut servir à satisfaire une demande externe.

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Si la demande externe est $d$ dollars, la production totale se décompose ainsi:

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\begin{align*} \text{production totale} \amp= \text{demande interne} \amp + \amp \text{ demande externe}\\ x \amp =\qquad cx \amp + \amp \quad d. \end{align*}

On obtient donc $x=(1-c)^{-1}d\text{.}$

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On présente maintenant ces idées dans un contexte moins simpliste, avec une économie formée de deux secteurs.

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Exemple 3.3.14.

On considère une économie composée de deux industries: la compagnie d’électricité $E$ et la compagnie des eaux $W\text{.}$ La production des deux entreprises est mesurée en dollars.

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La compagnie d’électricité utilise à la fois de l’électricité et de l’eau (intrants) pour produire de l’électricité, et la compagnie des eaux utilise à la fois de l’électricité et de l’eau (intrants) pour produire de l’eau.

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On suppose que produire $1$ dollar d’électricité nécessite $0.30$ dollar d’électricité et $0.10$ dollar d’eau, et que produire $1$ dollar d’eau nécessite $0.20$ dollar d’électricité et $0.40$ dollar d’eau. La demande finale est:

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$d_1=12$ millions de dollars d’électricité;
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$d_2=8$ millions de dollars d’eau.
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Quelle quantité d’électricité et d’eau doit-on produire pour répondre à cette demande finale?

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Solution.

On désigne par $x_1$ et $x_2$ les productions (totales) des compagnies d’électricité et des eaux, et on pose $\vx=\rvd{x_1}{x_2}\text{.}$ On note aussi $\vd=\rvd{d_1}{d_2}=\rvd{12}{8}\text{.}$

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La production totale de chaque secteur se décompose en demande interne (intrants requis par l’économie) et en demande externe. D’après l’énoncé:

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\begin{align*} x_1 \amp= 0.30x_1 + 0.20x_2 + d_1\\ x_2 \amp= 0.10x_1 + 0.40x_2 + d_2 \end{align*}

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\begin{equation*} \Rvd{x_1}{x_2} = \Mdd{0.30}{0.20}{0.10}{0.40}\Rvd{x_1}{x_2} +\Rvd{d_1}{d_2}. \end{equation*}

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On pose $C=\Mdd{0.30}{0.20}{0.10}{0.40}\text{.}$ Le système s’écrit alors $\vx=C\vx+\vd\text{,}$ ce qui équivaut à $(I-C)\vx=\vd\text{.}$

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Ici,

\begin{equation*} I-C=\Mdd{1}{0}{0}{1}-\Mdd{0.30}{0.20}{0.10}{0.40} =\Mdd{0.70}{-0.20}{-0.10}{0.60}. \end{equation*}

On calcule $\det{I-C}=0.70\cdot 0.60-(-0.10)(-0.20)=0.42-0.02=0.40=\tfrac{2}{5}\neq 0\text{.}$ Donc $I-C$ est inversible (voir le théorème 3.2.12) et

\begin{equation*} (I-C)^{-1} =\frac{1}{0.40}\Mdd{0.60}{0.20}{0.10}{0.70} =\tfrac{5}{2}\Mdd{0.60}{0.20}{0.10}{0.70} =\Mdd{1.50}{0.50}{0.25}{1.75}. \end{equation*}

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Ainsi,

\begin{equation*} \vx=(I-C)^{-1}\vd = \Mdd{1.50}{0.50}{0.25}{1.75}\Rvd{12}{8} = \Rvd{22}{17}. \end{equation*}

On doit donc produire $22$ millions de dollars d’électricité et $17$ millions de dollars d’eau.

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Dans l’exemple précédent, on a utilisé la matrice $C=\mdd{0.30}{0.20}{0.10}{0.40}\text{.}$ On l’appelle la matrice entrée-sortie (ou matrice des coefficients de l’économie).

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En général, si une économie est formée de $n$ secteurs, on associe une matrice $C\in\mmn{n}{n}$ et un vecteur de demande externe $\vd\in\R^n\text{,}$ et le modèle s’écrit

\begin{equation*} \vx=C\vx+\vd \qquad\text{ou encore}\qquad (I-C)\vx=\vd. \end{equation*}

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Dans cette convention, le coefficient $c_{ij}$ représente la quantité (en dollars) du secteur $i$ requise pour produire $1$ dollar du secteur $j\text{.}$ Autrement dit, la colonne $j$ décrit les intrants nécessaires à la production du secteur $j\text{.}$

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À vous de jouer 3.3.15.

Dans un certain système économique ouvert, il existe deux secteurs d’activité : le secteur agricole et le secteur industriel. Chaque dollar produit en agriculture nécessite 20 cents du secteur agricole et 40 cents du secteur industriel. Chaque dollar produit dans le secteur industriel nécessite 20 cents de ce secteur et 50 cents du secteur agricole.

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Dans la réponse ci-dessous, respecter l’ordre alphabétique dans les lignes et les colonnes (agriculture, puis industriel).

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Table 3.3.15.16.

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Résoudre l’équation de Leontief $(I-C)X =D$ pour déterminer un niveau de production dans chaque secteur qui réponde à une demande ouverte de 200000 dollars en produits agricoles et de 150000 en produits industriels.

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Table 3.3.15.17.

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Réponse 1.

$0.2$

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Réponse 2.

$0.5$

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Réponse 3.

$0.4$

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Réponse 4.

$0.2$

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Réponse 5.

$534090.909090909$

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Réponse 6.

$454545.454545454$

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Exemple 3.3.18.

On considère une économie formée par les secteurs des services, de l’électricité et du pétrole. Dans cette économie, la production d’une valeur de $1$ dollar du secteur des services requiert $\tfrac{1}{5}$ dollars de sa propre produciton, $\tfrac{1}{2}$ dollar du secteur de l’électricité, et $\tfrac{1}{10}$ dlollar du secteur du pétrole. Les autres coefficients d’interaction sont donnés par le tableau ci-dessous.

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		$1\$$ produit par (sortie)
		Service	Électricité	Pétrole
Requiert	Service	$\tfrac{1}{5}$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{1}{10}$
(entrée)	Électricité	$\tfrac{2}{5}$	$\tfrac{1}{5}$	$\tfrac{1}{5}$
	Pétrole	$\tfrac{1}{10}$	$\tfrac{3}{10}$	$\tfrac{3}{10}$

On suppose que la demande externe annuelle (en millions de dollars) dans les trois secteurs est $\vd=\rvt{10}{10}{30}\text{,}$ c’est-à-dire 10 millions en service, 10 millions en électricité et 30 millions en pétrole. Trouver les quantités qui doivent être produites pour satisfaire cette demande.

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Solution 1.

On note $\vx=\rvt{x_1}{x_2}{x_3}$ le vecteur de production totale (services, électricité, pétrole). Le système à résoudre est $(I-C)\vx=\vd\text{.}$

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Ici,

\begin{equation*} I-C= \left[\begin{array}{rrr} \tfrac{4}{5} \amp -\tfrac{1}{2} \amp -\tfrac{1}{10}\\ -\tfrac{2}{5} \amp \tfrac{4}{5} \amp -\tfrac{1}{5}\\ -\tfrac{1}{10}\amp -\tfrac{3}{10}\amp \tfrac{7}{10} \end{array}\right]. \end{equation*}

En appliquant l’algorithme de Gauss–Jordan à $\acn{I-C}{I_3}\text{,}$ on obtient:

\begin{equation*} (I-C)^{-1}= \frac{1}{23} \left[\begin{array}{rrr} 50 \amp 38 \amp 18\\ 30 \amp 55 \amp 20\\ 20 \amp 29 \amp 44 \end{array}\right] \approx \left[\begin{array}{rrr} 2.174 \amp 1.652 \amp 0.783\\ 1.304 \amp 2.391 \amp 0.870\\ 0.870 \amp 1.261 \amp 1.913 \end{array}\right]. \end{equation*}

🔗

Le vecteur de production est alors

\begin{equation*} \vx=(I-C)^{-1}\vd = \frac{1}{23} \left[\begin{array}{rrr} 50 \amp 38 \amp 18\\ 30 \amp 55 \amp 20\\ 20 \amp 29 \amp 44 \end{array}\right]\Rvt{10}{10}{30} = \tfrac{1}{23}\Rvt{1420}{1450}{1810} \approx \Rvt{61.74}{63.04}{78.70}. \end{equation*}

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Solution 2.

Quelques commentaires s’imposent avant de faire les calculs.

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On remarque que la somme de la colonne correspondant aux Services est $\frac{7}{10}$ qui est strictement inférieur à $1\text{.}$ Seulement $70\%$ de ce qui est produit par ce secteur (en valeur) est consommé par l’économie. Le surplus peut donc être destiné à combler une demande externe. Dans cette situation, on dit que le secteur des Services est productif. Quelque chose de semblable arrive pour le secteur du Pétrole: $\tfrac{1}{2} +\tfrac{1}{5} +\tfrac{3}{10} =\tfrac{3}{5}\text{.}$ Le secteur de l’électricité pour sa part n’est pas productif, puisque le cout de production de $1\$$ par ce secteur est de $\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{5} +\tfrac{3}{10} =1\text{.}$

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De la même façon, les couts de production de chaque secteur s’obtiennent en regardant la colonne correspondante: pour produire $1\$\text{,}$ le secteur des services requiert $\tfrac{1}{5} + \tfrac{2}{5} + \tfrac{1}{10} = \tfrac{7}{10}$

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Le principe de base est que l’équilibre est atteint lorsque les couts égalent la production. Ce principe appliqué à chaque secteur donnera une équation et on obtient ainsi trois équations en trois inconnues. Désignons par $x_1, x_2$ et $x_3$ les productions de chaque secteur. Le système sera alors

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\begin{align*} x_1 \amp = \tfrac{1}{5}x_1 + \tfrac{1}{2}x_2 + \tfrac{1}{10}x_3 + 10\\ x_2 \amp = \tfrac{2}{5}x_1 + \tfrac{1}{5}x_2 + \tfrac{1}{5}x_3 + 10 \\ x_3 \amp = \tfrac{1}{10}x_1 + \tfrac{3}{10} x_2 + \tfrac{3}{10}x_3 + 30 \end{align*}

Comme avant, considérons le vecteur de production $\vx$ et celui de demande $\vd = \rvt{d_1}{d_2}{d_3}\text{.}$ Le système à résoudre s’écrit sous forme matricielle comme $\vx = C\vx + \vd$ ou encore $(I-C)\vx = \vd\text{.}$

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Cette fois, afin de déterminer si $I-C$ est inversible on doit procéder avec l’algorithme de Gauss-Jordan.

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\begin{align*} \hphantom{\;\times 10\;} \amp \left[\begin{array}{rrr|rrr} \tfrac{4}{5} \amp -\tfrac{1}{2} \amp -\tfrac{1}{10} \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ -\tfrac{2}{5} \amp \tfrac{4}{5} \amp -\tfrac{1}{5} \amp 0 \amp 1 \amp 0\\ -\tfrac{1}{10}\amp -\tfrac{3}{10}\amp \tfrac{7}{10} \amp 0 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right]\\[-0.6em]\\ \xrightarrow[-10R_3]{\;\substack{10R_1\\-5R_2}\;} \amp \left[\begin{array}{rrr|rrr} 8 \amp -5 \amp -1 \amp 10 \amp 0 \amp 0\\ 2 \amp -4 \amp 1 \amp 0 \amp -5 \amp 0\\ 1 \amp 3 \amp -7 \amp 0 \amp 0 \amp -10 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \xrightarrow{\;R_1 \leftrightarrow R_3\;} \amp \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp 3 \amp -7 \amp 0 \amp 0 \amp -10\\ 2 \amp -4 \amp 1 \amp 0 \amp -5 \amp 0\\ 8 \amp -5 \amp -1 \amp 10 \amp 0 \amp 0 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \xrightarrow[R_3 - 8R_1]{R_2 - 2R_1} \amp \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp 3 \amp -7 \amp 0 \amp 0 \amp -10\\ 0 \amp -10 \amp 15 \amp 0 \amp -5 \amp 20\\ 0 \amp -29 \amp 55 \amp 10 \amp 0 \amp 80 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \xrightarrow{\;R_3 - 3R_2\;} \amp \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp 3 \amp -7 \amp 0 \amp 0 \amp -10\\ 0 \amp -10 \amp 15 \amp 0 \amp -5 \amp 20\\ 0 \amp 1 \amp 10 \amp 10 \amp 15 \amp 20 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \xrightarrow{\;R_2 \leftrightarrow R_3\;} \amp \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp 3 \amp -7 \amp 0 \amp 0 \amp -10\\ 0 \amp 1 \amp 10 \amp 10 \amp 15 \amp 20\\ 0 \amp -10 \amp 15 \amp 0 \amp -5 \amp 20 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \xrightarrow[R_3 + 10R_2]{R_1 - 3R_2} \amp \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp 0 \amp -37 \amp -30 \amp -45 \amp -70\\ 0 \amp 1 \amp 10 \amp 10 \amp 15 \amp 20\\ 0 \amp 0 \amp 115 \amp 100 \amp 145 \amp 220 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \xrightarrow[\;\substack{R_2 - \tfrac{2}{23}R_3\\ \tfrac{1}{115}R_3 }\;]{\;R_1 + \tfrac{37}{115}R_3\;} \amp \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp 0 \amp 0 \amp \tfrac{50}{23} \amp \tfrac{38}{23} \amp \tfrac{18}{23}\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp \tfrac{30}{23} \amp \tfrac{55}{23} \amp \tfrac{20}{23}\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp \tfrac{20}{23} \amp \tfrac{29}{23} \amp \tfrac{44}{23} \end{array}\right]\\ \amp \end{align*}

Ainsi, la matrice $I-C$ est inversible, et en fait

\begin{equation*} (I-C)^{-1} = \frac{1}{23} \left[\begin{array}{rrr} 50 \amp 38 \amp 18\\ 30 \amp 55 \amp 20\\ 20 \amp 29 \amp 44 \end{array}\right] \approx \left[\begin{array}{rrr} 2.174 \amp 1.652 \amp 0.783\\ 1.304 \amp 2.391 \amp 0.870\\ 0.870 \amp 1.261 \amp 1.913 \end{array}\right] \end{equation*}

et le vecteur de production est

\begin{equation*} \vx = (I-C)^{-1} \vd = \frac{1}{23} \left[\begin{array}{rrr} 50 \amp 38 \amp 18\\ 30 \amp 55 \amp 20\\ 20 \amp 29 \amp 44 \end{array}\right] \Rvt{10}{10}{30} = \tfrac{1}{23} \Rvt{1420}{1450}{1810} \approx \Rvt{61.74}{63.04}{78.70} \end{equation*}

🔗

À vous de jouer 3.3.19.

Supposons que dans un système économique ouvert, il existe trois principaux secteurs d’activité : le secteur agricole, la meunerie (fabrication de la farine) et la transformation du bois. Chaque dollar de production en agriculture nécessite 30 cents du secteur agricole, 40 des meuneries et 20 du secteur de la transformation du bois. Chaque dollar de production en meunerie nécessite 20 cents de son propre secteur, 20 cents du secteur agricole et 20 du secteur de la transformation du bois. Enfin, chaque dollar de production dans le secteur de la transformation du bois nécessite 40 cents de son propre secteur, 30 du secteur agricole et 20 du secteur des meuneries.

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Dans la réponse ci-dessous, respecter l’ordre alphabétique dans les lignes et les colonnes : agriculture, meunerie, puis transformation du bois.

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Table 3.3.19.20.

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Résoudre l’équation de Leontief $(I-C)X =D$ afin de déterminer le niveau de production dans chaque secteur qui réponde à une demande de 60000 dollars de produits agricoles, 10000 dollars de produits de meuneries et 40000 dollars de produits de la transformation du bois.

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Table 3.3.19.21.

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Réponse 1.

$0.3$

🔗

Réponse 2.

$0.2$

🔗

Réponse 3.

$0.3$

🔗

Réponse 4.

$0.4$

🔗

Réponse 5.

$0.2$

🔗

Réponse 6.

$0.2$

🔗

Réponse 7.

$0.2$

🔗

Réponse 8.

$0.2$

🔗

Réponse 9.

$0.4$

🔗

Réponse 10.

$218888.888888889$

🔗

Réponse 11.

$171111.111111111$

🔗

Réponse 12.

$196666.666666667$

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On rappelle deux notations utiles:

🔗

Un vecteur de production $\vx$ doit avoir des composantes non négatives: $x_i\geqslant 0$ pour $i\in\{1,2,\ldots,n\}\text{.}$ On écrit alors $\vx\geqslant 0\text{.}$
🔗

🔗
Si une matrice $A=[a_{ij}]$ vérifie $a_{ij}\geqslant 0$ pour tout $i,j\text{,}$ on écrit $A\geqslant 0\text{.}$
🔗

🔗

Si $\vd\geqslant 0$ est un vecteur de demande et si $(I-C)^{-1}$ existe et vérifie $(I-C)^{-1}\geqslant 0\text{,}$ alors le vecteur de production associé

\begin{equation*} \vx=(I-C)^{-1}\vd \end{equation*}

est aussi non négatif. Dans ce cas, on dit que $C$ (ou l’économie associée) est productive.

🔗

Remarque 3.3.22.

Si la demande varie de $\vd$ à $\vd+\Delta\vd\text{,}$ alors la production varie de $(I-C)^{-1}\vd$ à $(I-C)^{-1}(\vd+\Delta\vd)\text{.}$ La variation de production est donc

\begin{equation*} \Delta\vx=(I-C)^{-1}(\vd+\Delta\vd)-(I-C)^{-1}\vd=(I-C)^{-1}\Delta\vd. \end{equation*}

🔗

En particulier, si $\Delta\vd=\ve_1\text{,}$ alors $\Delta\vx=(I-C)^{-1}\ve_1\text{,}$ c’est-à-dire la première colonne de $(I-C)^{-1}\text{.}$ Cette colonne donne l’ajustement de la production de chaque secteur lorsque la demande du secteur $1$ augmente d’une unité (et de même pour les autres colonnes).

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Exemple 3.3.23.

Dans le contexte de l’exemple précédent 3.3.18:

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Quel est l’ajustement de la production si la demande devient $\rvt{20}{20}{40}\text{?}$
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Donner l’interprétation de la deuxième colonne de $(I-C)^{-1}\text{.}$
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Solution.

La demande originale était $\rvt{10}{10}{30}\text{.}$ La variation se calcule donc directement $\Delta\vd=\rvt{20}{20}{40}-\rvt{10}{10}{30}=\rvt{10}{10}{10}\text{.}$ Ainsi,
🔗

\begin{align*} \Delta\vx\amp =(I-C)^{-1}\Delta\vd = \frac{1}{23} \left[\begin{array}{rrr} 50 \amp 38 \amp 18\\ 30 \amp 55 \amp 20\\ 20 \amp 29 \amp 44 \end{array}\right]\Rvt{10}{10}{10}\\ \amp= \frac{1}{23}\Rvt{1060}{1050}{930} \approx \Rvt{46.09}{45.65}{40.43}. \end{align*}

🔗
La deuxième colonne de $(I-C)^{-1}$ décrit l’ajustement de la production lorsque la demande externe du secteur électricité augmente d’une unité. Ici, si la demande d’électricité augmente de $1$ million de dollars, alors:
🔗
- les services augmentent leur production de $\tfrac{38}{23}\approx 1,652$ million de dollars;
  🔗
  
  🔗
- l’électricité augmente sa production de $\tfrac{55}{23}\approx 2,391$ millions de dollars;
  🔗
  
  🔗
- le pétrole augmente sa production de $\tfrac{29}{23}\approx 1,261$ million de dollars.
  🔗
  
  🔗
🔗

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Pour conclure, on peut se demander s’il existe des conditions simples garantissant qu’une économie est productive. C’est le cas, par exemple, dans les situations suivantes:

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Si la somme des coefficients de chaque colonne est strictement inférieure à $1$ (chaque secteur est profitable), on peut montrer que $(I-C)^{-1}\geqslant 0\text{.}$
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🔗
Si la somme des coefficients de chaque rangée est strictement inférieure à $1\text{,}$ on peut aussi montrer que cela garantit $(I-C)^{-1}\geqslant 0\text{.}$
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L’exemple suivant montre toutefois qu’aucune de ces deux conditions n’est nécessaire.

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Exemple 3.3.24.

On considère une économie formée de trois secteurs: agriculture, manufacture et travail. Les coefficients sont donnés par le tableau ci-dessous.

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		$1\$$ produit par (sortie)
		Agriculture	Manufacture	Travail
Requiert	Agriculture	$0.5$	$0$	$0.25$
(entrée)	Manufacture	$0.2$	$0.8$	$0.1$
	Travail	$1$	$0.4$	$0$

Montrer que l’économie est productive et trouver le vecteur de production si la demande est $\vd=\rvt{100}{500}{700}\text{,}$ c’est-à-dire $100\$$ pour le secteur de l’agriculture, $500\$$ pour le secteur manufacturier et $700\$$ pour le secteur de la main-d’oeuvre (travail).

🔗

Solution.

Solution 1

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On lit la matrice entrée-sortie $C$ dans le tableau, puis on calcule $(I-C)^{-1}$ par Gauss–Jordan. On obtient:

🔗

\begin{equation*} (I-C)^{-1} = \left[\begin{array}{rrr} 16 \amp 10 \amp 5\\ 30 \amp 25 \amp 10\\ 28 \amp 20 \amp 10 \end{array}\right] \geqslant 0. \end{equation*}

Comme $(I-C)^{-1}\geqslant 0\text{,}$ l’économie est productive. Le vecteur de production est

🔗

\begin{equation*} \vx=(I-C)^{-1}\vd = \left[\begin{array}{rrr} 16 \amp 10 \amp 5\\ 30 \amp 25 \amp 10\\ 28 \amp 20 \amp 10 \end{array}\right]\Rvt{100}{500}{700} = \Rvt{10\,100}{22\,500}{19\,800}. \end{equation*}

Solution 2

🔗

La matrice d’entrée-sortie $C$ est lue dans l’énoncé. On calcule l’inverse de $I-C$ avec l’algorithme de Gauss-Jordan.

🔗

\begin{align*} \hphantom{\;2R_1\;} \amp \left[\begin{array}{rrr|rrr} \tfrac{1}{2} \amp 0 \amp -\tfrac{1}{4} \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ -\tfrac{1}{5} \amp \tfrac{1}{5} \amp -\tfrac{1}{10} \amp 0 \amp 1 \amp 0\\ -1 \amp -\tfrac{2}{5} \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \xrightarrow[5R_3]{\;\substack{2R_1\\ 10R_2}\;} \amp \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp 0 \amp -\tfrac{1}{2} \amp 2 \amp 0 \amp 0\\ -2 \amp 2 \amp -1 \amp 0 \amp 10 \amp 0\\ -5 \amp -2 \amp 5 \amp 0 \amp 0 \amp 5 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \xrightarrow[R_3 + 5R_1]{R_2 + 2R_1} \amp \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp 0 \amp -\tfrac{1}{2} \amp 2 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 2 \amp -2 \amp 4 \amp 10 \amp 0\\ 0 \amp -2 \amp \tfrac{5}{2} \amp 10 \amp 0 \amp 5 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \xrightarrow[R_3 + R_2]{\;\tfrac{1}{2}R_2\;} \amp \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp 0 \amp -\tfrac{1}{2} \amp 2 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp -1 \amp 2 \amp 5 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp \tfrac{1}{2} \amp 14 \amp 10 \amp 5 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \xrightarrow[\,2R_3\,]{\;\substack{R_1 + R_3\\ R_2 + 2R_3}\;} \amp \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 16 \amp 10 \amp 5\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 30 \amp 25 \amp 10\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 28 \amp 20 \amp 10 \end{array}\right] \\[-0.6em] \end{align*}

Ainsi, on a $(I-C)^{-1} = \mtt{16}{10}{5}{30}{25}{10}{28}{20}{10} \geqslant 0\text{,}$ de sorte que l’économie est productive.

🔗

La production dans ce cas est

🔗

\begin{equation*} \vx = (I-C)^{-1} \vd = \Mtt{16}{10}{5}{30}{25}{10}{28}{20}{10}\Rvt{100}{500}{700} = \Rvt{10\,100}{22\,500}{19\, 800} \end{equation*}

🔗

Préc.Top Suiv.

	\(0.61\)	\(0.1\)
\(0.87\)		\(0.65\)
\(0.08\)	\(0.39\)

		\(1\$\) produit par (sortie)
		Service	Électricité	Pétrole
Requiert	Service	\(\tfrac{1}{5}\)	\(\tfrac{1}{2}\)	\(\tfrac{1}{10}\)
(entrée)	Électricité	\(\tfrac{2}{5}\)	\(\tfrac{1}{5}\)	\(\tfrac{1}{5}\)
	Pétrole	\(\tfrac{1}{10}\)	\(\tfrac{3}{10}\)	\(\tfrac{3}{10}\)

		\(1\$\) produit par (sortie)
		Agriculture	Manufacture	Travail
Requiert	Agriculture	\(0.5\)	\(0\)	\(0.25\)
(entrée)	Manufacture	\(0.2\)	\(0.8\)	\(0.1\)
	Travail	\(1\)	\(0.4\)	\(0\)