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Table des matières Index Dark Mode Préc. Haut Suiv. \(\usepackage[french]{babel}
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\)
Exercices 4.3 Exercices
Sous-espaces de \(\R^n\) .
1. Dans cet exercice on considère des ensembles de vecteurs de la forme
\(\vx = \rvd{x_1}{x_2}\) dans
\(\R^2\text{.}\) Déterminez si les ensembles donnés sont des sous-espaces vectoriels de
\(\R^2\) ou pas. Justifiez votre réponse.
\(\plan{V}=\left\{\vx\in\R^2 \mid x_1-2x_2=1\right\}\text{.}\)
\(\plan{V}=\left\{\vx\in\R^2 \mid x_1x_2=0\right\}\text{.}\)
\(\plan{V}=\left\{\vx\in\R^2 \mid x_1\geqslant 0\right\}\text{.}\)
\(\plan{V}=\left\{\vx\in\R^2 \mid x_1=x_2^2\right\}\text{.}\)
\(\plan{V}=\left\{\vx\in\R^2 \mid x_1=x_2 \text{ ou } x_1=-x_2\right\}\text{.}\)
\(\plan{V}=\left\{\vx\in\R^2 \mid x_1+x_2=0 \text{ et } x_1-x_2=0\right\}\text{.}\)
Réponse .
Non : le vecteur zéro n’appartient pas à
\(\plan{V}\text{.}\)
Non :
\(\rvd{1}{0}\) et
\(\rvd{0}{1}\) appartiennent à
\(\plan{V}\text{,}\) mais leur somme
\(\rvd{1}{1}\) n’y est pas.
Non :
\(\rvd{1}{0}\in\plan{V}\text{,}\) mais
\((-1)\rvd{1}{0}=\rvd{-1}{0}\notin\plan{V}\text{.}\)
Non :
\(\rvd{1}{1}\) et
\(\rvd{1}{-1}\) appartiennent à
\(\plan{V}\text{,}\) mais leur somme
\(\rvd{2}{0}\) n’y est pas.
Non :
\(\rvd{1}{1}\) et
\(\rvd{1}{-1}\) appartiennent à
\(\plan{V}\text{,}\) mais
\(\rvd{1}{1}+\rvd{1}{-1}=\rvd{2}{0}\notin\plan{V}\text{.}\)
Oui : les conditions impliquent
\(x_1=x_2=0\text{,}\) donc
\(\plan{V}=\{\vZero\}\text{.}\)
2. Dans cet exercice on considère des ensembles de vecteurs de la forme
\(\vx=\rvt{x_1}{x_2}{x_3}\) dans
\(\R^3\text{.}\) Déterminez si les ensembles donnés sont des sous-espaces vectoriels de
\(\R^3\) ou pas. Justifiez votre réponse.
\(\plan{V}=\left\{\vx\in\R^3 \mid x_1+2x_2-x_3=0\right\}\text{.}\)
\(\plan{V}=\left\{\vx\in\R^3 \mid x_1+2x_2-x_3=1\right\}\text{.}\)
\(\plan{V}=\left\{\vx\in\R^3 \mid x_2=2x_1,\; x_3=-x_1\right\}\text{.}\)
\(\plan{V}=\left\{\vx\in\R^3 \mid x_1\geqslant 0\right\}\text{.}\)
\(\plan{V}=\left\{\vx\in\R^3 \mid x_1^2+x_2^2+x_3^2=0\right\}\text{.}\)
\(\plan{V}=\left\{\vx\in\R^3 \mid x_1=x_2=x_3\right\}\cup
\left\{\vx\in\R^3 \mid x_1=-x_2=-x_3\right\}\text{.}\)
Réponse .
Oui : équation linéaire homogène.
Non : le vecteur zéro n’appartient pas à
\(\plan{V}\text{.}\)
Oui : système d’équations linéaires homogènes.
Non :
\(\rvt{1}{0}{0}\in\plan{V}\text{,}\) mais
\((-1)\rvt{1}{0}{0}=\rvt{-1}{0}{0}\notin\plan{V}\text{.}\)
Oui :
\(x_1^2+x_2^2+x_3^2=0\) implique
\(x_1=x_2=x_3=0\text{,}\) donc
\(\plan{V}=\{\vZero\}\text{.}\)
Non :
\(\rvt{1}{1}{1}\) et
\(\rvt{1}{-1}{-1}\) appartiennent à
\(\plan{V}\text{,}\) mais leur somme
\(\rvt{2}{0}{0}\notin\plan{V}\text{.}\)
3.
On considère la matrice
\begin{equation*}
A= \left[ \begin{array}{rrrr} 2\amp 0 \amp -2\amp -4\\
-2\amp -1\amp 1\amp 2\\
0\amp -1\amp -1\amp -2\end{array}\right]
\end{equation*}
Est-ce que
\(\Rvt{0}{-1}{-1}\in \col{A}\text{?}\)
Est-ce que
\(\left[\begin{array}{r}2\\1\\0\\2\end{array}\right]\in \col{A}\text{?}\)
Est-ce que
\(\Rvt{2}{-2}{0}\in \ker{A}\text{?}\)
Est-ce que
\(\left[\begin{array}{r}1\\-1\\3\\-1\end{array}\right]\in \ker{A}\text{?}\)
4. Soit
\(M \in \R^{4\times 5}\) une matrice dont les première, deuxième et quatrième colonnes sont
\(\vm_1\text{,}\) \(\vm_2\) et
\(\vm_4\text{.}\) De plus, on connait deux vecteurs
\(\vc_1\) et
\(\vc_2\) tels que
\(M\vc_1=\vZero\) et
\(M\vc_2=\vZero\text{.}\)
On donne
\(\vm_1=\left[ \begin{array}{r} 1\\2\\-1\\1\end{array}\right],
\qquad
\vm_2=\left[ \begin{array}{r} -3\\2\\0\\1\end{array}\right],
\qquad
\vm_4=\left[ \begin{array}{r} -2\\4\\-2\\2\end{array}\right],
\vc_1=\left[ \begin{array}{r} 2\\-1\\-1\\0\\0\end{array}\right],
\qquad
\vc_2=\left[ \begin{array}{r} 1\\1\\2\\2\\1\end{array}\right].\)
Sachant que
\(M\vc_1=\vZero=M\vc_2\text{,}\) déterminer la matrice
\(M\text{.}\)
Donner la solution générale de l’équation
\(M\vx=\vZero\text{.}\)
Sous quelles conditions un vecteur
\(\vy\in\R^4\) appartient-il à l’espace colonne de
\(M\text{?}\)
5. Soit
\(A=\left[\begin{array}{rrr}
1 \amp 2 \amp 1\\
2 \amp -1 \amp k\\
-1 \amp 1 \amp -5
\end{array}\right],\) et notons
\(\va_1,\va_2,\va_3\) les colonnes de
\(A\text{.}\)
Donner les conditions sur
\(k\) pour que les vecteurs
\(\va_1,\va_2\) et
\(\va_3\) soient linéairement dépendants ou linéairement indépendants.
Dans le cas où les colonnes de
\(A\) sont linéairement dépendantes, donner une relation linéaire entre ces vecteurs. Montrer que l’espace colonne de
\(A\) est un plan, et fournir à la fois une équation cartésienne et une équation vectorielle de ce plan.
Montrer que, dans le cas où les vecteurs colonnes sont linéairement indépendants, l’espace colonne de
\(A\) est
\(\R^3\text{.}\)
Piste : montrer que tout vecteur
\(\vx\in\R^3\) peut s’obtenir comme combinaison linéaire des colonnes de
\(A\text{.}\)
6. Soit
\(A \in \mmn{m}{n}\text{.}\) Si les rangées de
\(A\) sont les vecteurs
\(\va_1, \ldots, \va_m\) de
\(\R^n\text{,}\) l’
espace ligne de \(A\) est l’ensemble
\(\lin{A} = \gen{\va_1,\ldots, \va_m}\text{.}\) Montrer qu’il s’agit d’un sous-espace vectoriel de
\(\R^n\text{.}\)
7. Soit
\(A\in \mmn{m}{n}\text{.}\) Montrer que tout vecteur de
\(\ker{A}\) est orthogonal à tout vecteur dans
\(\lin{A}\text{.}\)
8. Soit
\(\plan{F}\) le sous-espace de
\(\mathbb{R}^4\) engendré par les vecteurs suivants:
\(\left[\begin{array}{r}1\\1\\0\\1\end{array}\right], \;
\left[\begin{array}{r}2\\0\\1\\1\end{array}\right], \;
\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\0\\1\end{array}\right].\)
Déterminer si
\([1, 2, -1, 3]^T\) appartient à
\(\plan{F}\) ou non.
Pour quelle valeur réelle de
\(a\text{,}\) le vecteur
\([1, 1, a, 1]^T\text{,}\) appartient-il à
\(\plan{F}\text{?}\)
Réponse .
Non,
\(\left[\begin{smallmatrix}1\\2\\-1\\3\end{smallmatrix}\right]\notin\plan{F}\text{.}\)
Bases, dimension et coordonnées.
9.
Soit
\(A=\left[\begin{array}{rrr}
2 \amp 0 \amp -4\\
-3 \amp 2 \amp 4\\
1 \amp 0 \amp -2
\end{array}\right].\)
Donner la nullité (la dimension du noyau) et le rang de
\(A\text{.}\)
Soit
\(\vv=\left[\begin{smallmatrix}2\\1\\k\end{smallmatrix}\right]\text{.}\) Pour quelle(s) valeur(s) de
\(k\) (s’il y en a) a-t-on
\(\vv\in\ker{A}\text{?}\)
Donner une base
\(\mathcal{B}\) de
\(\col{A}\text{,}\) et montrer que le vecteur
\(\vu=\rvt{-8}{-4}{4}\) appartient aussi à
\(\col{A}\text{.}\) Donner les coordonnées de
\(\vu\) par rapport à la base
\(\plan{B}\) trouvée précédemment.
10. Ci-dessous, on donne des sous-espaces vectoriels
\(\plan{S}\) d’un certain
\(\R^n\text{,}\) ainsi qu’un vecteur
\(\vu\in\plan{S}\text{.}\) Dans chaque cas, donner une base
\(\plan{B}\) de
\(\plan{S}\text{,}\) ainsi que le vecteur de coordonnées de
\(\vu\) dans la base
\(\plan{B}\text{.}\)
Dans
\(\R^2\text{,}\) \(\plan{S}\) est la droite passant par l’origine et dirigée par le vecteur
\(\vd=\rvd{2}{-1}\text{,}\) et
\(\vu=\rvd{-4}{2}\text{.}\)
Dans
\(\R^2\text{,}\) \(\plan{S}\) est le sous-espace engendré par les vecteurs
\(\rvd{1}{-1}\) et
\(\rvd{1}{1}\text{,}\) et
\(\vu=\rvd{4}{-4}\text{.}\)
Dans
\(\R^2\text{,}\) \(\plan{S}\) est le sous-espace engendré par les vecteurs
\(\rvd{1}{-1}\text{,}\) \(\rvd{1}{1}\) et
\(\rvd{1}{0}\text{,}\) et
\(\vu=\rvd{2}{8}\text{.}\)
Dans
\(\R^3\text{,}\) \(\plan{S}\) est la droite passant par l’origine et dirigée par le vecteur
\(\vd=\rvt{2}{-1}{2}\text{,}\) et
\(\vu=\rvt{-4}{2}{-4}\text{.}\)
Dans
\(\R^3\text{,}\) \(\plan{S}\) est le plan engendré par les vecteurs
\(\vv_1=\rvt{1}{2}{1}\) et
\(\vv_2=\rvt{-1}{3}{3}\text{,}\) et
\(\vu=\rvt{1}{7}{5}\text{.}\)
Réponse .
Base :
\(\plan{B}=\left\{\rvd{2}{-1}\right\}\text{.}\) Coordonnées :
\([\vu]_{\plan{B}}=(-2)\text{.}\)
Base :
\(\plan{B}=\left\{\rvd{1}{-1},\rvd{1}{1}\right\}\text{.}\) Coordonnées :
\([\vu]_{\plan{B}}=\rvd{4}{0}\text{.}\)
Base :
\(\plan{B}=\left\{\rvd{1}{-1},\rvd{1}{1}\right\}\text{.}\) Coordonnées :
\([\vu]_{\plan{B}}=\rvd{-3}{5}\text{.}\)
Base :
\(\plan{B}=\left\{\rvt{2}{-1}{2}\right\}\text{.}\) Coordonnées :
\([\vu]_{\plan{B}}=(-2)\text{.}\)
Base :
\(\plan{B}=\left\{\rvt{1}{2}{1},\rvt{-1}{3}{3}\right\}\text{.}\) Coordonnées :
\([\vu]_{\plan{B}}=\rvd{2}{1}\text{.}\)
11. Dans chacune des parties suivantes, on donne une matrice
\(A\text{,}\) un vecteur
\(\vn \in \ker{A}\) et un vecteur
\(\vc \in \col{A}\text{.}\) Dans chaque cas :
donner une base
\(\mathcal N\) de
\(\ker{A}\text{,}\)
donner une base
\(\mathcal C\) de
\(\col{A}\text{,}\)
déterminer les vecteurs de coordonnées
\([\vc]_{\mathcal C}\) et
\([\vn]_{\mathcal N}\text{.}\)
\(\displaystyle A=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill -3 \amp \hfill -6\\
\hfill -2 \amp \hfill -4
\end{smallmatrix}\right],
\quad
\vn=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill -6\\
\hfill \phantom{-}3
\end{smallmatrix}\right],
\quad
\vc=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill \phantom{-}27\\
\hfill \phantom{-}18
\end{smallmatrix}\right]\)
\(\displaystyle A=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill \phantom{-}1 \amp \hfill -3 \amp \hfill \phantom{-}2\\
\hfill \phantom{-}0 \amp \hfill \phantom{-}0 \amp \hfill \phantom{-}0\\
\hfill \phantom{-}2 \amp \hfill -6 \amp \hfill \phantom{-}4
\end{smallmatrix}\right],
\quad
\vn=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill -7\\
\hfill -3\\
\hfill -1
\end{smallmatrix}\right],
\quad
\vc=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill -12\\
\hfill \phantom{-}0\\
\hfill -24
\end{smallmatrix}\right]\)
\(\displaystyle A=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill \phantom{-}4 \amp \hfill \phantom{-}4 \amp \hfill \phantom{-}0 \amp \hfill -8\\
\hfill -4 \amp \hfill \phantom{-}4 \amp \hfill \phantom{-}0 \amp \hfill -8\\
\hfill -1 \amp \hfill -1 \amp \hfill \phantom{-}0 \amp \hfill \phantom{-}2
\end{smallmatrix}\right],
\quad
\vn=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill \phantom{-}3\\
\hfill -1\\
\hfill \phantom{-}4\\
\hfill \phantom{-}1
\end{smallmatrix}\right],
\quad
\vc=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill \phantom{-}32\\
\hfill \phantom{-}32\\
\hfill -8
\end{smallmatrix}\right]\)
\(\displaystyle A=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill \phantom{-}3 \amp \hfill \phantom{-}5 \amp \hfill -1 \amp \hfill -7\\
\hfill -2 \amp \hfill -3 \amp \hfill \phantom{-}1 \amp \hfill \phantom{-}4\\
\hfill \phantom{-}4 \amp \hfill \phantom{-}6 \amp \hfill -2 \amp \hfill -8
\end{smallmatrix}\right],
\quad
\vn=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill \phantom{-}3\\
\hfill \phantom{-}3\\
\hfill -1\\
\hfill \phantom{-}1
\end{smallmatrix}\right],
\quad
\vc=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill \phantom{-}8\\
\hfill -7\\
\hfill \phantom{-}14
\end{smallmatrix}\right]\)
\(\displaystyle A=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill \phantom{-}1 \amp \hfill \phantom{-}3 \amp \hfill -3 \amp \hfill -5\\
\hfill \phantom{-}0 \amp \hfill \phantom{-}1 \amp \hfill -1 \amp \hfill -2\\
\hfill \phantom{-}2 \amp \hfill \phantom{-}5 \amp \hfill -4 \amp \hfill -6
\end{smallmatrix}\right],
\quad
\vn=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill \phantom{-}3\\
\hfill \phantom{-}0\\
\hfill \phantom{-}6\\
\hfill -3
\end{smallmatrix}\right],
\quad
\vc=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill -28\\
\hfill -11\\
\hfill -37
\end{smallmatrix}\right]\)
\(\displaystyle A=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill \phantom{-}2 \amp \hfill \phantom{-}8 \amp \hfill -8 \amp \hfill \phantom{-}3\\
\hfill -1 \amp \hfill -4 \amp \hfill \phantom{-}4 \amp \hfill -1\\
\hfill \phantom{-}1 \amp \hfill -4 \amp \hfill \phantom{-}4 \amp \hfill \phantom{-}1\\
\hfill \phantom{-}0 \amp \hfill \phantom{-}0 \amp \hfill \phantom{-}0 \amp \hfill -1
\end{smallmatrix}\right],
\quad
\vn=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill -8\\
\hfill -4\\
\hfill \phantom{-}3\\
\hfill \phantom{-}0
\end{smallmatrix}\right],
\quad
\vc=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill \phantom{-}9\\
\hfill -3\\
\hfill \phantom{-}3\\
\hfill -3
\end{smallmatrix}\right]\)
\(\displaystyle A=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill \phantom{-}0 \amp \hfill \phantom{-}0 \amp \hfill \phantom{-}0 \amp \hfill -3\\
\hfill -2 \amp \hfill \phantom{-}6 \amp \hfill \phantom{-}1 \amp \hfill -3\\
\hfill \phantom{-}1 \amp \hfill \phantom{-}3 \amp \hfill -1 \amp \hfill \phantom{-}7\\
\hfill -1 \amp \hfill -3 \amp \hfill \phantom{-}0 \amp \hfill \phantom{-}2
\end{smallmatrix}\right],
\quad
\vn=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill -9\\
\hfill -3\\
\hfill \phantom{-}0\\
\hfill \phantom{-}0
\end{smallmatrix}\right],
\quad
\vc=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill \phantom{-}3\\
\hfill \phantom{-}1\\
\hfill -11\\
\hfill \phantom{-}0
\end{smallmatrix}\right]\)
\(\displaystyle A=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill -1 \amp \hfill -3 \amp \hfill \phantom{-}1 \amp \hfill \phantom{-}0 \amp \hfill -2\\
\hfill \phantom{-}0 \amp \hfill \phantom{-}0 \amp \hfill \phantom{-}1 \amp \hfill \phantom{-}4 \amp \hfill \phantom{-}5\\
\hfill \phantom{-}2 \amp \hfill \phantom{-}6 \amp \hfill -1 \amp \hfill \phantom{-}3 \amp \hfill \phantom{-}7
\end{smallmatrix}\right],
\quad
\vn=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill -1\\
\hfill \phantom{-}0\\
\hfill -3\\
\hfill \phantom{-}2\\
\hfill -1
\end{smallmatrix}\right],
\quad
\vc=\left[\begin{smallmatrix}
\hfill \phantom{-}3\\
\hfill -5\\
\hfill -9
\end{smallmatrix}\right]\)
12. Ci-après on trouve une matrice
\(A\text{,}\) dont les colonnes sont
\(\va_1,\va_2,\va_3,\va_4\text{.}\) On trouve également
\(R\text{,}\) une forme échelonnée de
\(A\) :
\(A=\left[\begin{array}{rrrr}
1 \amp 0 \amp 2 \amp 1\\
0 \amp 1 \amp -1 \amp 1\\
1 \amp 1 \amp 1 \amp 2
\end{array}\right]
\text{ et }
R=\left[\begin{array}{rrrr}
1 \amp 0 \amp 2 \amp 1\\
0 \amp 1 \amp -1 \amp 1\\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 0
\end{array}\right].\)
Par simple inspection de la matrice
\(R\text{,}\) obtenir une relation de dépendance linéaire entre les colonnes
\(1,2\) et
\(4\text{.}\) Déduire de ceci une relation de dépendance linéaire entre
\(\va_1,\va_2\) et
\(\va_4\text{.}\) À partir de cette observation, sans aucun calcul supplémentaire, donnez une solution non triviale à l’équation
\(A\vx=\vZero\text{.}\)
Donner une base et la dimension de
\(\ker{A}\text{.}\)
Donner une base et la dimension de
\(\col{A}\text{.}\)
Soit
\(\vw=\left[\begin{smallmatrix}3\\-2\\1\end{smallmatrix}\right]\text{.}\) Déterminer si
\(\vw\) appartient à
\(\col{A}\text{.}\)
Réponse .
Le vecteur
\(\vx=\left[\begin{smallmatrix}\hfill 1\\ \hfill 1\\ \hfill 0\\-1\end{smallmatrix}\right]\) vérifie
\(A\vx=\vZero\text{.}\)
Les variables libres sont
\(x_3\) et
\(x_4\text{,}\) donc
\(\dim(\ker(A))=2\text{.}\) Une base de
\(\ker{A}\) est
\(\left\{\left[\begin{smallmatrix}-2\\\hfill 1\\ \hfill 1\\ \hfill 0\end{smallmatrix}\right],
\left[\begin{smallmatrix}-1\\-1\\ \hfill 0\\ \hfill 1\end{smallmatrix}\right]\right\}\text{.}\)
Les colonnes pivot sont
\(1\) et
\(2\text{,}\) donc
\(\dim \col{A}=2\) et une base est
\(\{\va_1,\va_2\}\text{.}\)
Oui,
\(\vw\in\col(A)\text{.}\)
13. Ci-après on trouve une matrice
\(A\text{,}\) dont les colonnes sont
\(\va_1,\va_2,\ldots,\va_5\text{.}\) On trouve également
\(R\text{,}\) une forme échelonnée de
\(A\) :
\(A=\left[\begin{array}{rrrrr}
-2 \amp 2 \amp -10 \amp -1 \amp 0\\
-1 \amp -1 \amp 1 \amp -1 \amp -2\\
0 \amp -1 \amp 3 \amp 0 \amp -1\\
1 \amp 1 \amp -1 \amp 1 \amp 2
\end{array}\right]
\text{ et }
R=\left[\begin{array}{rrrrr}
1 \amp 0 \amp 2 \amp 1 \amp 1\\
0 \amp 1 \amp -3 \amp 0 \amp 1\\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0\\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0
\end{array}\right].\)
Calculer
\(\va_1 + \va_2\text{,}\) puis déduire une relation de dépendance linéaire entre
\(\va_1,\va_2\) et
\(\va_5\text{.}\) À partir de cette observation, sans aucun calcul supplémentaire, donnez une solution non triviale à l’équation
\(A\vx=\vZero\text{.}\)
Donner une base et la dimension de
\(\ker{A}\text{.}\)
Donner une base et la dimension
\(\col{A}\text{.}\)
Soit
\(\vw=\left[\begin{smallmatrix}-9\\-2\\2 \hfill \\2 \hfill \end{smallmatrix}\right]\text{.}\) Déterminer si
\(\vw\) appartient à
\(\col{A}\text{.}\)
Réponse .
On a
\(\va_5=\va_1+\va_2\text{,}\) donc
\(\vx=\left[\begin{smallmatrix}1\\1\\0\\0\\-1\end{smallmatrix}\right]\) vérifie
\(A\vx=\vZero\text{.}\)
Les variables libres sont
\(x_3\) et
\(x_5\text{,}\) donc
\(\dim\ker{A}=2\text{.}\) Une base de
\(\ker{A}\) est
\(\left\{\left[\begin{smallmatrix}-2\\ \hfill 3\\ \hfill 1\\ \hfill 0\\ \hfill0\end{smallmatrix}\right],
\left[\begin{smallmatrix}-1\\-1\\ \hfill 0\\ \hfill 0\\ \hfill 1\end{smallmatrix}\right]\right\}\text{,}\) la dimension est
\(2\text{.}\)
Les colonnes pivot sont
\(1,2,4\text{,}\) donc
\(\dim \col{A}=3\) et une base est
\(\{\va_1,\va_2,\va_4\}\text{.}\)
Oui,
\(\vw\in\col{A}\text{.}\)
14.
Donner, si c’est possible, un exemple d’une matrice \(A\in \mn{2}\) vérifiant les conditions suivantes :
\(\dim \ker{A} = 0\text{,}\)
\(\dim \ker{A} = 1\text{,}\)
\(\dim \ker{A} = 2\text{,}\)
\(\dim \col{A} = 2\text{,}\)
15. Donner, si c’est possible, un exemple d’une matrice
\(A\in \mmn{2}{3}\) vérifiant les conditions suivantes :
\(\dim \ker{A}=0\text{,}\)
\(\dim \ker{A}=1\text{,}\)
\(\dim \ker{A}=2\text{,}\)
\(\dim \ker{A}=3\text{,}\)
\(\dim \col{A}=0\text{,}\)
\(\dim \col{A}=2\text{.}\)
16. Donner, si c’est possible, un exemple d’une matrice
\(A\in \mmn{3}{2}\) vérifiant les conditions suivantes :
\(\dim \ker{A}=0\text{,}\)
\(\dim \ker{A}=1\text{,}\)
\(\dim \ker{A}=2\text{,}\)
\(\dim \ker{A}=3\text{,}\)
\(\dim \col{A}=0\text{,}\)
\(\dim \col{A}=2\text{.}\)
17. Donner, si c’est possible, un exemple d’une matrice
\(A\in \mn{3}\) vérifiant les conditions suivantes :
\(\dim \ker{A}=2\text{,}\)
\(\dim \col{A}=2\text{,}\)
\(\dim \ker{A}=2\) et
\(\dim \col{A}=1\text{,}\)
\(\dim \ker{A}=2\) et
\(\dim \col{A}=2\text{,}\)
\(\dim \ker{A}=0\) et
\(\dim \col{A}=2\text{,}\)
\(\dim \ker{A}=1\) et
\(\dim \col{A}=2\text{.}\)
18. Soit
\(A = \mdd{0}{1}{0}{0}\text{.}\)
Montrer que
\(\ker{A} = \col{A}\text{.}\)
Est-il possible d’avoir une matrice
\(B\in \mn{3}\) ayant cette propriété? Justifier votre réponse.
Donnez une matrice
\(C \in \mn{4}\) avec la même propriété que
\(A\text{.}\)
19. Donnez un exemple d’une matrice
\(A\in \mmn{2}{2}\) telle que
\(\dim \ker{A} = \dim \col{A}\text{.}\) A-t-on
\(\ker{A} = \col{A}\text{?}\)
20. Dans chacun des cas suivants, montrer que
\(\dim\ker{A} \geqslant 1\) et trouver les valeurs de
\(a\) pour que
\(\dim \ker{A} = 1\text{.}\) Pour ces valeurs de
\(a\text{,}\) trouver une base de
\(\ker{A}\) et une base de
\(\col{A}\text{.}\)
\(\displaystyle A= \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 2 & 4 \\
3 & 4 & 3 & a
\end{bmatrix}\; ;\)
\(A= \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 1 \\
3 & 1 & 0 & a
\end{bmatrix}\; \text{.}\)
Réponse .
Le rang vaut 2 lorsque
\(a=5\text{,}\) et
\(3\) si
\(a\ne 5\text{.}\)
Le rang vaut
\(3\text{,}\) toujours.
