Exercices

Exercices 3.4 Exercices

Algèbre matricielle.

1.

Soit le système d’équations

\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{rcrcrcr} x & - & 2y & + & z & = & 0\\ -3x & + & 7y & - & 6z & = & 3\\ 2x & - & 3y & & & = & 2 \end{array}\right. \end{equation*}

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Écrire le système sous forme d’une équation matricielle.
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Utiliser l’algorithme de Gauss-Jordan pour trouver l’inverse de la matrice de coefficients.
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Avec la matrice trouvée en (b), résoudre le système donné.
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Réponse.

\begin{equation*} \left[\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 1\\ -3 & 7 & -6\\ 2 & -3 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{r} x\\y\\z \end{array}\right] = \left[\begin{array}{r} 0\\3\\2 \end{array}\right]. \end{equation*}

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\begin{equation*} A^{-1}= \left[\begin{array}{rrr} -18 & -3 & 5\\ -12 & -2 & 3\\ -5 & -1 & 1 \end{array}\right]. \end{equation*}

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\begin{equation*} \left[\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}1\\0\\-1\end{array}\right]. \end{equation*}

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2.

Considérer le système d’équations :

\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{rcrcrcr} 2x & - & 4y & + & 2z & = & 14\\ x & - & y & + & 2z & = & 10\\ -x & + & 4y & - & z & = & -9 \end{array}\right. \end{equation*}

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Écrire le système sous forme matricielle.
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Notons \(A\) la matrice \(3\times 3\) de la partie précédente.
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Utiliser la méthode de Gauss-Jordan pour trouver l’inverse de \(A\text{.}\)
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Réponse.

On pose

\begin{equation*} \vx = \left[\begin{array}{rrr}x\\y \\z \end{array}\right],\; A = \left[\begin{array}{rrr} 2&-4&2\\ 1&-1&2\\ -1& 4 &-1\end{array}\right] \text{ et }\; \bbm{b} = \left[\begin{array}{rrr} 14\\10\\-9\end{array}\right]. \end{equation*}

Le système donné est équivalent à \(A\vx = \bbm{b}\text{.}\)

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L’inverse de \(A\) est

\begin{equation*} A^{-1} = \left[\begin{array}{rrr} \frac{7}{4} & -1 & \frac{3}{2} \\[0.6em] \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{2} \\[0.6em] -\frac{3}{4} & 1 & -\frac{1}{2} \end{array}\right]. \end{equation*}

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La solution est

\begin{equation*} \vx = A^{-1}\bbm{b} = \left[\begin{array}{r} 1\\-1\\4\end{array}\right]. \end{equation*}

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3.

Soient \(A\) et \(B\) deux matrices telles que le produit \(AB\) est défini. Montrer que si les colonnes de \(B\) sont linéairement dépendantes, alors il en va de même pour les colonnes de \(AB\text{.}\)

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Réponse.

Supposons que les colonnes de \(B\) soient linéairement dépendantes. Il existe donc des scalaires \(c_1,\ldots,c_p\text{,}\) non tous nuls, tels que

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\begin{equation*} c_1\mathbf{b}_1+\cdots+c_p\mathbf{b}_p=\vZero, \end{equation*}

où \(\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_p\) sont les colonnes de \(B\text{.}\)

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En multipliant par \(A\text{,}\) on obtient

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\begin{equation*} A(c_1\mathbf{b}_1+\cdots+c_p\mathbf{b}_p) = c_1A\mathbf{b}_1+\cdots+c_pA\mathbf{b}_p = A\vZero = \vZero. \end{equation*}

Or \(A\mathbf{b}_j\) est précisément la \(j\)-ième colonne de \(AB\text{.}\)

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On obtient donc une combinaison linéaire non triviale des colonnes de \(AB\) égale au vecteur nul. Les colonnes de \(AB\) sont donc linéairement dépendantes.

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4.

Soit \(M = \left[\begin{array}{rr} -4&6\\ -3&5\end{array}\right]\text{.}\)

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Pour quelles valeurs de \(c\in \R\) il existe des solutions non nulles à \(M\vx = c \vx\text{?}\) Pour chacune de ces valeurs, trouver une solution avec des coefficients entiers.
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Soient \(c_1, c_2\) les valeurs trouvées dans la partie précédente, avec \(c_1 < c_2\text{.}\) Soit par ailleurs \(\bbm{p}_i\) une solution à \(M\vx = c_i \vx\text{.}\) Est-ce que \(\bbm{p}_1\) et \(\bbm{p}_2\) sont linéairement dépendants ou indépendants? Soit \(P= \left[\bbm{p}_1 \,\, \bbm{p}_2 \right]\text{,}\) c’est-à-dire la matrice ayant pour colonnes \(\bbm{p}_1\) et \(\bbm{p}_2\text{.}\) Montrer que \(P\) est inversible et trouver \(P^{-1}\text{.}\)
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Calculer \(MP\) et montrer qu’il existe une matrice diagonale \(D\text{,}\) qu’on trouvera, telle que \(MP = PD\text{.}\)
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Réponse.

Les valeurs de \(c\) sont \(-1\) et \(2\text{.}\)
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\begin{equation*} c=-1:\; \bbm{p}_1=\left[\begin{array}{r}2\\1\end{array}\right], \qquad c=2:\; \bbm{p}_2=\left[\begin{array}{r}1\\1\end{array}\right]. \end{equation*}

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\(\bbm{p}_1\) et \(\bbm{p}_2\) sont linéairement indépendants.
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\begin{equation*} P=\left[\begin{array}{rr}2 & 1\\1 & 1\end{array}\right], \qquad P^{-1}=\left[\begin{array}{rr}1 & -1\\-1 & 2\end{array}\right]. \end{equation*}

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\begin{equation*} MP= \left[\begin{array}{rr} -2 & 2\\ -1 & 2 \end{array}\right], \qquad D=\left[\begin{array}{rr}-1 & 0\\0 & 2\end{array}\right], \qquad MP=PD. \end{equation*}

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5.

Soit \(t\in \R\text{,}\) et posons \(M_t = \left[\begin{array}{rr} \cos t & -\sin t\\ \sin t & \cos t\end{array}\right]\text{.}\)

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Montrer que \(M_t^2 = M_{2t}\) (vous pouvez utiliser les identités trigonométriques pour \(\sin (a+b)\) et \(\cos(a+b)\)).
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Prouver par récurrence que pour tout \(n\geqslant 0\) on a \(M_t^n = M_{nt}\text{.}\)
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Soit \(A= M_{\pi/4}\text{.}\) Calculer \(A^{2022}\text{.}\)
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Réponse.

En multipliant les matrices et en utilisant
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\begin{equation*} \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b \end{equation*}

\begin{equation*} \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b \end{equation*}

on obtient
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\begin{equation*} M_sM_t = \left[\begin{array}{rr} \cos s & -\sin s\\ \sin s & \cos s \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr} \cos t & -\sin t\\ \sin t & \cos t \end{array}\right] \end{equation*}

\begin{equation*} = \left[\begin{array}{rr} \cos s\cos t-\sin s\sin t & -(\cos s\sin t+\sin s\cos t)\\ \sin s\cos t+\cos s\sin t & \cos s\cos t-\sin s\sin t \end{array}\right] \end{equation*}

\begin{equation*} = \left[\begin{array}{rr} \cos(s+t) & -\sin(s+t)\\ \sin(s+t) & \cos(s+t) \end{array}\right] = M_{s+t}. \end{equation*}

En particulier,
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\begin{equation*} M_t^2=M_{t+t}=M_{2t}. \end{equation*}

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Par récurrence. Cas de base : \(M_t^0=I=M_0\text{.}\)
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Hypothèse : \(M_t^n=M_{nt}\text{.}\)
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Alors
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\begin{equation*} M_t^{n+1} = M_t^n M_t = M_{nt}M_t = M_{nt+t} = M_{(n+1)t}. \end{equation*}

Donc \(M_t^n=M_{nt}\) pour tout \(n\ge 0\text{.}\)
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\(A=M_{\pi/4}\text{,}\) donc
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\begin{equation*} A^{2022} = M_{2022\pi/4} = M_{1011\pi/2}. \end{equation*}

Or \(1011\pi/2 \equiv 3\pi/2 \pmod{2\pi}\text{,}\) donc
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\begin{equation*} A^{2022} = M_{3\pi/2} = \left[\begin{array}{rr} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{array}\right]. \end{equation*}

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6.

Démontrer par récurrence que

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\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i^2 = \tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
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Si \(A,M\) sont des matrices carrées de même taille avec \(A\) inversible, alors pour tout \(n\in \mathbb{N}\) on a \(\left(AMA^{-1}\right)^n = AM^n A^{-1}\text{.}\)
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Solution.

Cas de base : pour \(n=1\text{,}\)
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\begin{equation*} 1^2=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}. \end{equation*}

Hypothèse :
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\begin{equation*} \sum_{i=1}^{n} i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \end{equation*}

Alors
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\begin{equation*} \sum_{i=1}^{n+1} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}. \end{equation*}

La formule est donc vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}\text{.}\)
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Cas de base : pour \(n=1\text{,}\)
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\begin{equation*} (AMA^{-1})^1=AMA^{-1}. \end{equation*}

Hypothèse :
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\begin{equation*} (AMA^{-1})^n=AM^nA^{-1}. \end{equation*}

Alors
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\begin{align*} (AMA^{-1})^{n+1}\amp = (AMA^{-1})^n(AMA^{-1}) = AM^nA^{-1}AMA^{-1}\\ \amp = AM^{n+1}A^{-1}. \end{align*}

Donc \((AMA^{-1})^n=AM^nA^{-1}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\text{.}\)
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7.

Montrer que si \(M\) est une matrice telle que \(M^4 = 0\text{,}\) alors \(I-M\) est inversible et trouver une expression pour \((I-M)^{-1}\) en termes de \(I\) et \(M\text{.}\)

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Indice.

Considérer les puissances de \(M\text{,}\) puis utiliser des identités algébriques « usuelles ».

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Solution.

Si \(M^4=0\text{,}\) considérons

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\begin{equation*} S = I+M+M^2+M^3. \end{equation*}

Alors

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\begin{equation*} (I-M)S = I - M^4 = I, \end{equation*}

et aussi

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\begin{equation*} S(I-M)=I. \end{equation*}

Donc \(I-M\) est inversible et

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\begin{equation*} (I-M)^{-1}=I+M+M^2+M^3. \end{equation*}

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Matrice inverse.

8.

À l’aide de l’algorithme de Gauss-Jordan, pour chacune des matrices suivantes, déterminez si elle est inversible ou non. Si elle l’est, trouver son inverse.

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\(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 1\amp 1\amp 0\\ 0\amp 1\amp 1\\ 1\amp 0\amp 1 \end{array}\right]\)
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\(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 1\amp 2\amp 0\\ 0\amp 1\amp 1\\ 1\amp 0\amp 1 \end{array}\right]\)
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\(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 2\amp 1\amp 0\\ 1\amp 2\amp 1\\ 0\amp 1\amp 1 \end{array}\right]\)
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\(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 2\amp -1\amp 3\\ -4\amp 2\amp -6\\ 1\amp 1\amp 0 \end{array}\right]\)
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\(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 2\amp 0\amp 1\\ 1\amp 1\amp 0\\ 0\amp 1\amp 1 \end{array}\right]\)
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\(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 1\amp -1\amp 1\\ 2\amp 1\amp 0\\ 0\amp 1\amp 1 \end{array}\right]\)
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\(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 1\amp 3\amp 11\\ 0\amp 1\amp 3\\ 2\amp -1\amp 1 \end{array}\right]\)
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\(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 1\amp 0\amp 1\\ 0\amp 2\amp 1\\ 1\amp 1\amp 0 \end{array}\right]\)
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Réponse.

\(\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{2}\Mtt{1}{-1}{1}{1}{1}{-1}{-1}{1}{1}\)
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\(\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{3}\Mtt{1}{-2}{2}{1}{1}{-1}{-1}{2}{1}\)
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\(\displaystyle A^{-1}=\Mtt{1}{-1}{1}{-1}{2}{-2}{1}{-2}{3}\)
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Non inversible.
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\(\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{3}\Mtt{1}{1}{-1}{-1}{2}{1}{1}{-2}{2}\)
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\(\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{5}\Mtt{1}{2}{-1}{-2}{1}{2}{2}{-1}{3}\)
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🔗
Non inversible.
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\(\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{3}\Mtt{1}{-1}{2}{-1}{1}{1}{2}{1}{-2}\)
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9.

À l’aide de l’algorithme de Gauss-Jordan, pour chacune des matrices suivantes, déterminez si elle est inversible ou non. Si elle l’est, trouver son inverse.

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\(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrrr} 1\amp 1\amp 4\amp -4\\ -1\amp 0\amp -3\amp 0\\ 0\amp 0\amp 1\amp -1\\ -1\amp -1\amp -3\amp 4 \end{array}\right]\)
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\(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrrr} 1\amp 2\amp -1\amp 3\\ 0\amp 1\amp 2\amp -1\\ -2\amp -4\amp 2\amp -6\\ 1\amp 0\amp 1\amp 2 \end{array}\right]\)
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\(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrrr} -1\amp 0\amp -3\amp 2\\ 1\amp 0\amp 4\amp -4\\ -2\amp 1\amp -4\amp 3\\ -1\amp 1\amp 1\amp -2 \end{array}\right]\)
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\(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrrr} 1\amp 2\amp 0\amp 2\\ 0\amp 1\amp 1\amp 1\\ 1\amp 0\amp 2\amp 4\\ -1\amp 1\amp -1\amp -3 \end{array}\right]\)
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Réponse.

\(\displaystyle A^{-1}=\left[\begin{array}{rrrr} -3\amp -1\amp 0\amp -3\\ 4\amp 1\amp -4\amp 3\\ 1\amp 0\amp 0\amp 1\\ 1\amp 0\amp -1\amp 1 \end{array}\right]\)
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Non inversible (rangées 1 et 3 proportionnelles).
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\(\displaystyle A^{-1}=\left[\begin{array}{rrrr} 0\amp 5\amp 4\amp -4\\ -1\amp 4\amp 4\amp -3\\ -1\amp -3\amp -2\amp 2\\ -1\amp -2\amp -1\amp 1 \end{array}\right]\)
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Non inversible (colonne 4 = \(2\) fois colonne 1 plus colonne 3).
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10.

Résoudre les équations matricielles suivantes, puis trouver \(X\text{,}\) étant donné que \(A=\left[\begin{array}{rr} 1&2\\3&4\end{array}\right]\) et \(B=\left[\begin{array}{rr} -1&0\\1&1\end{array}\right]\text{.}\)

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\(X-2A + 3B = 0\text{.}\)
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\(2X = A-B\text{.}\)
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\(2(A+2B) = 3X\text{.}\)
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\(2(A-B+X) = 3(X-A)\text{.}\)
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\(AX = B\text{.}\)
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Réponse.

\begin{equation*} X=2A-3B = \left[\begin{array}{rr} 5 & 4\\ 3 & 5 \end{array}\right]. \end{equation*}

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\begin{equation*} X=\frac12(A-B) = \left[\begin{array}{rr} 1 & 1\\ 1 & \frac32 \end{array}\right]. \end{equation*}

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\begin{equation*} X=\frac23(A+2B) = \left[\begin{array}{rr} -\frac23 & \frac43\\ \frac{10}{3} & 4 \end{array}\right]. \end{equation*}

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\begin{equation*} X = 5A - 2B = \left[\begin{array}{rr} 7 & 10\\ 13 & 18 \end{array}\right]. \end{equation*}

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\begin{equation*} X = A^{-1}B = \left[\begin{array}{rr} 3 & 1\\ -2 & -\frac12 \end{array}\right]. \end{equation*}

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11.

Résoudre chacune des équations matricielles suivantes. Isoler d’abord \(X\text{,}\) puis effectuer les calculs.

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\(AXB+C = D\text{,}\) avec

\begin{align*} \amp A= \begin{bmatrix}2&1\\ -1 & 4 \end{bmatrix}, \amp \amp B = \begin{bmatrix} 1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{bmatrix},\\ \amp C = \begin{bmatrix}1&-1&1\\ -1&1&-1 \end{bmatrix}, \amp \amp D= \begin{bmatrix}8&4&8\\0&3&-3 \end{bmatrix} \end{align*}

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\(AX+B = X\text{,}\) avec

\begin{align*} \amp A = \begin{bmatrix}-1&1\\1&1 \end{bmatrix}\amp \text{ et } \amp \amp B= \begin{bmatrix} -2&1\\3&1\end{bmatrix} \end{align*}

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🔗
\(XA+B = X\text{,}\) avec

\begin{align*} \amp A = \begin{bmatrix}-1&1\\1&1 \end{bmatrix}\amp \text{ et } \amp \amp B= \begin{bmatrix} -2&1\\3&1\end{bmatrix} \end{align*}

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Réponse.

\(X = A^{-1}(D-C)B^{-1}\text{.}\)
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\begin{equation*} X= \left[\begin{array}{rrr} 1 & -\frac13 & \frac73\\ 0 & \frac23 & \frac13 \end{array}\right]. \end{equation*}

🔗
\(AX+B=X \Rightarrow (A-I)X=-B\text{.}\)
🔗

\begin{equation*} X= \left[\begin{array}{rr} -3 & -1\\ -4 & -3 \end{array}\right]. \end{equation*}

🔗
\(XA+B=X \Rightarrow X(A-I)=-B\text{.}\)
🔗

\begin{equation*} X= \left[\begin{array}{rr} -1 & 0\\ -1 & -5 \end{array}\right]. \end{equation*}

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12.

Résoudre chaque équation pour \(X\text{,}\) en supposant que tout ce qui doit être inversé est inversible. Simplifier autant que possible.

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\(XA^2 = A\text{.}\)
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\(AXB = (BA)^2\text{.}\)
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\(\left(A^{-1}X\right)^{-1} = A\left(B^{-2}A\right)^{-1}\text{.}\)
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\(ABXA^{-1}B^{-1} = I+A\text{.}\)
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Réponse.

\begin{equation*} XA^2=A \;\Rightarrow\; X=A(A^2)^{-1} = A A^{-2} = A^{-1}. \end{equation*}

🔗
\begin{equation*} AXB=(BA)^2 \;\Rightarrow\; X=A^{-1}(BA)^2B^{-1}. \end{equation*}

🔗
\begin{equation*} (A^{-1}X)^{-1}=A(B^{-2}A)^{-1} \;\Rightarrow\; A^{-1}X = \big(A(B^{-2}A)^{-1}\big)^{-1} = B^{-2}. \end{equation*}

\begin{equation*} X=AB^{-2}. \end{equation*}

🔗
\begin{equation*} ABXA^{-1}B^{-1}=I+A \;\Rightarrow\; X = B^{-1}A^{-1}(I+A)BA. \end{equation*}

🔗

🔗

13.

Soient \(A,B,C \in \mmn{2015}{2015}\) et \(X\) telle que \((XA-B)^{-1} = C- I\) (\(I\) est la matrice identité). Isoler \(X\) en termes de \(A,B,C\) et \(I\text{.}\)

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Réponse.

\begin{equation*} X=\big((C-I)^{-1}+B\big)A^{-1}. \end{equation*}

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14.

Montrer que si \(M\) est une matrice telle que \((M-3I)(M+I) = 0\text{,}\) alors \(M\) est inversible, et trouver \(M^{-1}\) en fonction de \(M\text{.}\)

🔗

Réponse.

\begin{equation*} M^{-1}=\tfrac13(M-2I). \end{equation*}

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15.

Montrer que si \(X\) est une matrice telle que \((I-X)^3=0\text{,}\) alors \(X\) est inversible, et donner son inverse en termes de \(X\text{.}\)

🔗

Réponse.

\begin{equation*} X^{-1}=3I-3X+X^2. \end{equation*}

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