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Algèbre linéaire et géométrie vectorielle

Juan Carlos Bustamante, Sylvain Bérubé

Section 2.2 Indépendance linéaire

Sous-section Quelques rappels et un nouveau point de vue

Remarque 2.2.1.

  • Étant donnés des vecteurs \(\vu_1, \ldots, \vu_n\) dans \(\R^m\text{,}\) une combinaison linéaire de ces vecteurs est tout vecteur \(\vv\) qui peut s’écrire sous la forme
    \begin{equation*} \sum_{i=1}^n c_i \vu_i \quad \text{avec } c_i \in \R. \end{equation*}
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  • On a déjà observé que résoudre un système d’équations est équivalent à déterminer si un vecteur peut être écrit comme combinaison linéaire de certains vecteurs. En effet, résoudre le système
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    \begin{equation*} \left\{ \begin{alignedat}{3} 2x \amp {} + {} \amp y \amp {} = {} \amp 8\\ x \amp {} - {} \amp 3y \amp {} = {} \amp -3 \end{alignedat} \right. \end{equation*}
    revient à écrire le vecteur \(\rvd{8}{-3}\) comme combinaison linéaire des vecteurs \(\rvd{2}{1}\) et \(\rvd{1}{-3}\text{.}\)
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On peut maintenant formuler une version générale de cette observation.
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Démonstration.

Soient \(\va_1, \va_2, \ldots, \va_n\) les colonnes de la matrice \(A\) et soit \(\vb \in \R^m\text{.}\) On écrit
\begin{equation*} \va_i = \Rvt{a_{1i}}{\vdots\hfill}{a_{mi}} \quad \text{pour } i=1,2,\ldots,n, \qquad \vb = \Rvt{b_1}{\vdots\hfill}{b_m}. \end{equation*}
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\begin{align*} \amp \vb \text{ est une combinaison linéaire des colonnes de } A\\ \iff \amp \text{il existe } c_1,\ldots,c_n \in \R \text{ tels que } \sum_{i=1}^n c_i \va_i = \vb\\ \iff \amp \text{l'équation vectorielle } \sum_{i=1}^n x_i \va_i = \vb \text{ admet au moins une solution}\\ \amp x_1 = c_1,\ldots,x_n = c_n\\ \iff \amp \text{le système d'équations}\\ \amp \left\{ \begin{array}{ccl} a_{1,1} x_1 + a_{1,2} x_2 + \cdots + a_{1,n} x_n \amp = \amp b_1\\ a_{2,1} x_1 + a_{2,2} x_2 + \cdots + a_{2,n} x_n \amp = \amp b_2\\ \vdots \amp \amp \vdots\\ a_{m,1} x_1 + a_{m,2} x_2 + \cdots + a_{m,n} x_n \amp = \amp b_m \end{array} \right.\\ \amp \text{est compatible.} \end{align*}
Or, la matrice augmentée de ce système est précisément \(\acm{A}{b}\text{,}\) ce qui complète la démonstration.
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À vous de jouer 2.2.3.

Soient les vecteurs
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\(\mathbf{a} = \displaystyle\left[\begin{array}{r} -2 \cr 1 \cr -5 \cr \end{array}\right]\) et \(\mathbf{b} = \displaystyle\left[\begin{array}{r} -1 \cr -1 \cr -2 \cr \end{array}\right]\text{.}\)
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Montrer qu’il existe deux scalaires \(s\) et \(t\) tels que
\begin{equation*} s \mathbf{a} + t \mathbf{b} = \displaystyle\left[\begin{array}{r} 0 \cr -3 \cr 1 \cr \end{array}\right] . \end{equation*}
Réponse :
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\(s =\) , \(\quad t =\)
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Réponse 1.
\(-1\)
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Réponse 2.
\(2\)
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Sous-section Espace engendré par une famille de vecteurs

À la lumière du problème 2.1.12, on peut maintenant se demander dans quelles situations un système d’équations linéaires admet une solution. Le théorème 2.2.2 montre que c’est le cas si et seulement si le vecteur des termes constants peut être écrit comme combinaison linéaire des colonnes de la matrice des coefficients. Il est donc naturel de s’intéresser à l’ensemble de tous les vecteurs qui peuvent être exprimés comme combinaison linéaire d’une famille donnée de vecteurs.
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On commence par deux exemples concrets.
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Exemple 2.2.4.

Soient \(\vu = \rvd{u_1}{u_2}\) et \(\vv = \rvd{v_1}{v_2}\) deux vecteurs non colinéaires dans \(\R^2\text{.}\) Montrer que tout vecteur \(\vz = \rvd{z_1}{z_2} \in \R^2\) peut s’écrire comme combinaison linéaire de \(\vu\) et \(\vv\text{.}\)
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Solution.
Soit \(\vz\) un vecteur quelconque de \(\R^2\text{.}\) Puisque \(\vu\) et \(\vv\) sont supposés non colinéaires, on cherche des scalaires \(a\) et \(b\) tels que \(a\vu + b\vv = \vz\text{.}\) Cela revient à résoudre le système linéaire
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\begin{align*} \left\{ \begin{array}{lcr} a u_1 + b v_1 \amp = \amp z_1 \\ a u_2 + b v_2 \amp = \amp z_2 \end{array}\right. \end{align*}
La matrice augmentée associée à ce système, ainsi que sa réduction, s’obtiennent comme suit:
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\begin{align*} \left[\begin{array}{cc|c} u_1 \amp v_1 \amp z_1\\ u_2 \amp v_2 \amp z_2 \end{array}\right] \amp \xrightarrow[u_1 R_2]{u_2 R_1} \left[\begin{array}{cc|c} u_2u_1 \amp u_2v_1 \amp u_2z_1\\ u_1u_2 \amp u_1v_2 \amp u_1z_2 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \amp \xrightarrow{\;R_2 - R_1\;} \left[\begin{array}{cc|c} u_2u_1 \amp u_2v_1 \amp u_2z_1\\ 0 \amp v_2 u_1 - u_2 v_1 \amp u_1 z_2 - u_2 z_1 \end{array}\right] \\[-0.6em] \end{align*}
La non-colinéarité de \(\vu\) et \(\vv\) implique, par la proposition 1.1.15, que \(v_2 u_1 - u_2 v_1 \neq 0\text{.}\) Le système est donc compatible pour tout choix de \(\vz\text{,}\) ce qui montre que chaque vecteur de \(\R^2\) est combinaison linéaire de \(\vu\) et \(\vv\text{.}\)
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Exemple 2.2.5.

Rustfree Products Inc. fabrique des éviers à partir d’un alliage composé de 76% de fer, 16% de nickel et 8% de chrome. Elle produit également des comptoirs faits d’un alliage contenant 70% de fer, 20% de nickel et 10% de chrome. Deux fournisseurs offrent des mélanges recyclés: le premier vend un alliage à 80% de fer, 15% de nickel et 5% de chrome, tandis que le second offre un mélange à 60% de fer, 20% de nickel et 20% de chrome.
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  1. Déterminer s’il est possible pour la compagnie de produire ses éviers et ses comptoirs à partir de ces mélanges, et préciser les proportions lorsque c’est le cas.
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  2. En supposant ces fournisseurs fiables à long terme, caractériser les alliages qui pourraient être fabriqués uniquement à partir de leurs mélanges.
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Solution.
  1. Afin d’aborder ce problème à travers la lentille des combinaisons linéaires, introduisons les vecteurs pertinents. D’une part, on considère les vecteurs donnant la composition des mélanges offerts par les fournisseurs (que l’on multiplie par \(100\) afin d’obtenir des entiers), soit \(\va_1\) pour le fournisseur 1 et \(\va_2\) pour le fournisseur 2:
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    \begin{align*} \va_1 = \Rvt{80}{15}{5} \qquad \amp \text{ et } \qquad \va_2 = \Rvt{60}{20}{20} \end{align*}
    D’autre part, on a les vecteurs correspondant aux compositions des produits finis (\(\vb_1\) pour les éviers et \(\vb_2\) pour les comptoirs):
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    \begin{align*} \vb_1 = \Rvt{76}{16}{8} \qquad \amp \text{ et } \qquad \vb_2 = \Rvt{70}{20}{10} \end{align*}
    Se demander si Rustfree peut s’approvisionner auprès des deux fournisseurs pour fabriquer des éviers revient à se demander s’il existe des scalaires \(x_1\) et \(x_2\) tels que
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    \begin{gather*} x_1 \va_1 + x_2 \va_2 = \vb_1. \end{gather*}
    On doit donc déterminer si \(\vb_1\) est une combinaison linéaire des vecteurs \(\va_1\) et \(\va_2\text{.}\) Cela mène à un système d’équations linéaires, dont la matrice augmentée (et sa réduction) s’obtient comme suit:
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    \begin{align*} \hphantom{\;R_1 - R_2} \amp \left[\begin{array}{rr|r} 80 \amp 60 \amp 76\\ 15 \amp 20 \amp 16\\ 5 \amp 20 \amp 8 \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\;R_1 \leftrightarrow R_3\;} \amp \left[\begin{array}{rr|r} 5 \amp 20 \amp 8\\ 15 \amp 20 \amp 16\\ 80 \amp 60 \amp 76 \end{array}\right]\\ \xrightarrow{\;\begin{array}{c} R_2-3R_1\\[-0.25em] R_3-16R_1 \end{array}\;} \amp \left[\begin{array}{rr|r} 5 \amp 20 \amp 8\\ 0 \amp -40 \amp -8\\ 0 \amp -260 \amp -52 \end{array}\right] \amp \xrightarrow[\;-\tfrac1{52}R_3\;]{\;-\tfrac18 R_2\;} \amp \left[\begin{array}{rr|r} 5 \amp 20 \amp 8\\ 0 \amp 5 \amp 1\\ 0 \amp 5 \amp 1 \end{array}\right]\\ \xrightarrow[\;R_3 - R_2\;]{\;R_1 - 4R_2\;} \amp \left[\begin{array}{rr|r} 5 \amp 0 \amp 4\\ 0 \amp 5 \amp 1\\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{array}\right] \amp \xrightarrow[\;\tfrac15 R_2\;]{\;\tfrac15 R_1\;} \amp \left[\begin{array}{rr|r} 1 \amp 0 \amp \tfrac45\\ 0 \amp 1 \amp \tfrac15\\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{array}\right] \end{align*}
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    On lit alors la solution: \(x_1 = \tfrac{4}{5}\) et \(x_2 = \tfrac{1}{5}\text{.}\) Ainsi, pour fabriquer des éviers, Rustfree doit acheter 80% de son alliage chez le fournisseur 1 et 20% chez le fournisseur 2.
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    Pour fabriquer les comptoirs, on procède de la même façon, en cherchant des scalaires \(y_1\) et \(y_2\) tels que \(y_1 \va_1 + y_2 \va_2 = \vb_2\text{.}\) La matrice augmentée du système est alors
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    \begin{equation*} \left[\begin{array}{rr|r} 80 \amp 60 \amp 70\\ 15 \amp 20 \amp 20\\ 5 \amp 20 \amp 10 \end{array}\right] \end{equation*}
    Les opérations élémentaires nécessaires pour obtenir la forme échelonnée réduite sont les mêmes que celles utilisées précédemment, puisque ces opérations dépendent seulement de la partie située à gauche de la colonne d’augmentation. On obtient alors
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    \begin{align*} \left[\begin{array}{rr|r} 1 \amp 0 \amp \tfrac45\\ 0 \amp 1 \amp \tfrac15\\ 0 \amp 0 \amp \tfrac{121}{130} \end{array}\right] \end{align*}
    Cette fois, le système est incompatible. Rustfree ne peut donc pas fabriquer des comptoirs en utilisant uniquement les deux mélanges offerts par les fournisseurs.
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  2. On veut maintenant caractériser les produits qui peuvent être fabriqués à partir des mélanges des deux fournisseurs. Cela revient à déterminer tous les vecteurs \(\vb = \rvt{\alpha}{\beta}{\gamma}\) qui peuvent s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs \(\va_1\) et \(\va_2\text{.}\) Autrement dit, on cherche les conditions sur \(\alpha\text{,}\) \(\beta\) et \(\gamma\) pour lesquelles il existe des scalaires \(z_1\) et \(z_2\) tels que
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    \begin{equation*} z_1 \va_1 + z_2 \va_2 = \vb \end{equation*}
    On procède comme ci-dessus. La matrice augmentée s’obtient en remplaçant la colonne d’augmentation par le vecteur \(\vb\text{,}\) et la même suite d’opérations élémentaires fournit une forme échelonnée (on n’a pas besoin de la forme réduite ici):
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    \begin{align*} \hphantom{\;R_1 - R_2 \;} \left[\begin{array}{rr|r} 80 \amp 60 \amp \alpha\\ 15 \amp 20 \amp \beta\\ 5 \amp 20 \amp \gamma \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\;R_1 \leftrightarrow R_3\;} \left[\begin{array}{rr|r} 5 \amp 20 \amp \gamma\\ 15 \amp 20 \amp \beta\\ 80 \amp 60 \amp \alpha \end{array}\right]\\ \xrightarrow[\;R_3-16R_1\;]{\;R_2-3R_1\;} \left[\begin{array}{rr|r} 5 \amp 20 \amp \gamma\\ 0 \amp -40 \amp \beta-3\gamma\\ 0 \amp -260 \amp \alpha-16\gamma \end{array}\right] \amp \xrightarrow{\;-\tfrac1{40}R_2\;} \left[\begin{array}{rr|r} 5 \amp 20 \amp \gamma\\ 0 \amp 1 \amp \tfrac{3\gamma-\beta}{40}\\ 0 \amp -260 \amp \alpha-16\gamma \end{array}\right]\\ \xrightarrow{\;R_3+260R_2\;} \left[\begin{array}{rr|c} 5 \amp 20 \amp \gamma\\ 0 \amp 1 \amp \tfrac{3\gamma-\beta}{40}\\ 0 \amp 0 \amp \alpha-\tfrac{13}{2}\beta + \tfrac{7}{2}\gamma \end{array}\right]\amp \end{align*}
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    Le système est compatible si et seulement si
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    \begin{equation*} \alpha - \tfrac{13}{2}\beta + \tfrac{7}{2}\gamma = 0. \end{equation*}
    Enfin, puisque \(\alpha\text{,}\) \(\beta\) et \(\gamma\) représentent des proportions, on doit avoir \(\alpha,\beta,\gamma \ge 0\) et \(\alpha + \beta + \gamma = 100\text{.}\)
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L’exemple précédent montre qu’il peut être pertinent de se demander quels sont tous les vecteurs qui peuvent s’écrire comme combinaison linéaire d’une famille donnée de vecteurs. Cela mène naturellement à la définition suivante.
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Définition 2.2.6.

Étant donnée une famille de vecteurs \(\plan{F} = \{\vu_1,\ldots,\vu_n\}\) dans \(\R^m\text{,}\) on appelle espace engendré par \(\plan{F}\) l’ensemble
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\begin{gather*} \gen{\plan{F}} = \left\{ \sum_{i=1}^{n} c_i \vu_i \mid c_i \in \R \right\}\\ = \left\{\text{toutes les combinaisons linéaires des vecteurs de } \plan{F}\right\}. \end{gather*}
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Il est important de noter que le vecteur nul \(\vZero\) appartient toujours à \(\gen{\plan{F}}\text{,}\) quelle que soit la famille \(\plan{F}\text{.}\)
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Exemple 2.2.7.

Interpréter \(\gen{\plan{F}}\) dans les cas suivants:
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  1. \(\plan{F} = \{\vu\} \subseteq \R^3\) (un seul vecteur, supposé non nul).
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  2. \(\plan{F} = \{\vu,\vv\} \subseteq \R^2\) (deux vecteurs non nuls du plan).
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  3. \(\plan{F} = \{\vu,\vv\} \subseteq \R^3\) (deux vecteurs non nuls de l’espace).
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Solution.
  1. Si \(\plan{F} = \{\vu\} \subseteq \R^3\text{,}\) alors \(\gen{\plan{F}} = \gen{\vu} = \{ c\vu \mid c \in \R \}\text{.}\) Autrement dit, \(\gen{\vu}\) est la droite passant par l’origine et dirigée par le vecteur \(\vu\text{.}\)
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  2. Si \(\plan{F} = \{\vu,\vv\} \subseteq \R^2\text{,}\) on doit distinguer deux cas.
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    On suppose d’abord que \(\vu\) et \(\vv\) sont colinéaires, c’est-à-dire qu’il existe un scalaire \(\lambda\) tel que \(\vu = \lambda \vv\text{.}\) Dans ce cas, tout vecteur \(\vx \in \gen{\vu,\vv}\) s’écrit
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    \begin{equation*} \vx = c_1 \vu + c_2 \vv = c_1 (\lambda \vv) + c_2 \vv = (c_1 \lambda + c_2)\vv, \end{equation*}
    ce qui montre que \(\gen{\vu,\vv} \subseteq \gen{\vv}\text{.}\) Comme l’inclusion inverse est évidente, on obtient \(\gen{\vu,\vv} = \gen{\vv}\text{.}\) Il s’agit donc d’une droite passant par l’origine et dirigée par \(\vv\) (ou par \(\vu\text{,}\) puisqu’ils sont colinéaires).
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    Si \(\vu\) et \(\vv\) ne sont pas colinéaires, alors \(\gen{\vu, \vv} = \R^2\text{,}\) comme cela a été établi dans l’exemple 2.2.4 précédent.
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  3. Si \(\plan{F} = \{\vu,\vv\} \subseteq \R^3\text{,}\) on distingue encore deux cas. Si \(\vu\) et \(\vv\) sont colinéaires, alors \(\gen{\vu,\vv}\) est une droite passant par l’origine et dirigée par l’un ou l’autre des vecteurs, comme dans le cas précédent.
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    Si \(\vu\) et \(\vv\) ne sont pas colinéaires, tout vecteur \(\vx \in \gen{\vu,\vv}\) peut s’écrire
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    \begin{equation*} \vx = s\vu + t\vv \qquad \text{avec } s,t \in \R. \end{equation*}
    On reconnait l’équation vectorielle d’un plan de \(\R^3\) passant par l’origine et engendré par les vecteurs \(\vu\) et \(\vv\text{.}\)
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Remarque 2.2.8. Droites et espaces engendrés, plans et espaces engendrés.

  • L’équation vectorielle d’une droite dans \(\R^2\) ou \(\R^3\) est \(\vx = \vp_0 + t\vd\text{.}\) Une droite peut donc être vue comme l’espace engendré par son vecteur directeur \(\vd\text{,}\) mais décalé de façon à passer par le point \(\vp_0\text{.}\)
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  • L’équation vectorielle d’un plan dans \(\R^3\) est \(\vx = \vp_0 + s\vu + t\vv\text{.}\) Un plan correspond donc à l’espace engendré par deux vecteurs non colinéaires qui s’y trouvent, également décalé afin de passer par le point \(\vp_0\text{.}\)
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Figure 2.2.9.
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Figure 2.2.10.
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Exemple 2.2.11.

Soient les vecteurs \(\va_1 = \rvt{1}{-1}{-2}\text{,}\) \(\va_2 = \rvt{-2}{3}{11}\) et \(\va_3 = \rvt{4}{-2}{6}\text{.}\)
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  1. Sous quelles conditions un vecteur \(\vx = \rvt{x_1}{x_2}{x_3}\) appartient-il à \(\gen{\va_1,\va_2,\va_3}\text{?}\)
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  2. Donner une description géométrique de \(\gen{\va_1,\va_2,\va_3}\text{.}\)
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Solution.
  1. On cherche pour quels vecteurs \(\vx\) il existe des scalaires \(c_1,c_2,c_3 \in \R\) tels que l’équation vectorielle
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    \begin{equation*} c_1 \va_1 + c_2 \va_2 + c_3 \va_3 = \vx \end{equation*}
    admette une solution. Cela revient à résoudre un système linéaire dont la matrice augmentée et sa réduction sont
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    \begin{align*} \left[\begin{array}{rrr|r} 1 \amp -2 \amp 4 \amp x_1\\ -1 \amp 3 \amp -2 \amp x_2\\ -2 \amp 11 \amp 6 \amp x_3 \end{array}\right] \amp \xrightarrow[R_3 + 2R_1]{R_2 + R_1} \left[\begin{array}{rrr|r} 1 \amp -2 \amp 4 \amp x_1\\ 0 \amp 1 \amp 2 \amp x_1 + x_2\\ 0 \amp 7 \amp 14 \amp x_3 + 2x_1 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \amp \xrightarrow{\;R_3 - 7R_2\;} \left[\begin{array}{rrr|c} 1 \amp -2 \amp 4 \amp x_1\\ 0 \amp 1 \amp 2 \amp x_1 + x_2\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp x_3 - 5x_1 - 7x_2 \end{array}\right] \\[-0.6em] \end{align*}
    Le système est compatible si et seulement si
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    \begin{equation*} x_3 - 5x_1 - 7x_2 = 0. \end{equation*}
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  2. On en déduit que \(\gen{\va_1,\va_2,\va_3}\) est l’ensemble des vecteurs \(\vx = \rvt{x_1}{x_2}{x_3}\) tels que \(x_3 = 5x_1 + 7x_2\text{.}\) Géométriquement, il s’agit d’un plan de \(\R^3\) passant par l’origine.
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Sous-section Dépendance et indépendance linéaire

À ce stade-ci, on suggère de consulter la feuille d’activités B.4 intitulée Vers la notion d’indépendance linéaire. Elle prépare le terrain pour l’une des notions les plus importantes de l’algèbre linéaire.
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Définition 2.2.12.

Soit \(\plan{F} = \{\vu_1, \ldots, \vu_n\}\) une famille de vecteurs dans \(\R^m\text{.}\)
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  • La famille \(\plan{F}\) est linéairement dépendante (on dit aussi une famille liée) s’il existe des scalaires \(c_1, \ldots, c_n\text{,}\) non tous nuls, tels que \(\sum_{i=1}^n c_i \vu_i = \vZero\text{.}\) Une telle égalité est appelée une relation de dépendance linéaire.
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  • Si \(\sum_{i=1}^n c_i \vu_i = \vZero\) entraîne \(c_i = 0\) pour tout \(i\text{,}\) alors la famille est linéairement indépendante (on dit aussi une famille libre).
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Exemple 2.2.13.

  1. Considérons les vecteurs \(\vu = \rvd{1}{1}\text{,}\) \(\vv = \rvd{1}{-1}\) et \(\vw = \rvd{3}{1}\text{.}\) Alors \(\{\vu, \vv\}\) est linéairement indépendante, tandis que \(\{\vu, \vv, \vw\}\) est linéairement dépendante (voir la feuille d’activités B.4 au besoin).
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  2. Si \(\vx \in \R^n\) est non nul, alors la famille \(\{\vx\}\) est linéairement indépendante.
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  3. Si une famille contient le vecteur nul, alors elle est linéairement dépendante.
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Exemple 2.2.14.

Considérons les vecteurs \(\va_1 = \rvt{1}{-1}{-2}\text{,}\) \(\va_2 = \rvt{-2}{3}{11}\) et \(\va_3 = \rvt{4}{-2}{6}\) de l’exemple 2.2.11. Montrer qu’ils sont linéairement dépendants et donner une relation de dépendance linéaire.
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Solution.
On veut montrer qu’il existe des solutions non nulles à l’équation vectorielle
\begin{equation*} c_1 \va_1 + c_2 \va_2 + c_3 \va_3 = \vZero. \end{equation*}
Cela revient à résoudre le système homogène dont la matrice des coefficients est \(A = \begin{bmatrix} \va_1 \amp \va_2 \amp \va_3 \end{bmatrix}\text{.}\) Les opérations effectuées dans l’exemple 2.2.11 s’appliquent encore ici (la colonne d’augmentation est simplement nulle). On obtient:
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\begin{equation*} A \xrightarrow[R_3 + 2R_1]{R_2 + R_1} \left[\begin{array}{rrr} 1 \amp -2 \amp 4\\ 0 \amp 1 \amp 2\\ 0 \amp 7 \amp 14 \end{array}\right] \xrightarrow{\;R_3 - 7R_2\;} \left[\begin{array}{rrr} 1 \amp -2 \amp 4\\ 0 \amp 1 \amp 2\\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{array}\right]. \end{equation*}
Le rang de la matrice est donc \(2\text{.}\) Comme il y a \(3\) inconnues, le système admet une infinité de solutions. En particulier, il admet des solutions non triviales, ce qui montre que les vecteurs \(\va_1, \va_2, \va_3\) sont linéairement dépendants.
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Pour obtenir une relation de dépendance linéaire, déterminons une solution explicite. Poursuivons la réduction:
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\begin{equation*} \left[\begin{array}{rrr} 1 \amp -2 \amp 4\\ 0 \amp 1 \amp 2\\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{array}\right] \xrightarrow{\;R_1 + 2R_2\;} \left[\begin{array}{rrr} 1 \amp 0 \amp 8\\ 0 \amp 1 \amp 2\\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{array}\right]. \end{equation*}
La variable \(c_3\) est libre. On obtient donc l’ensemble solution:
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\begin{gather*} \Rvt{c_1}{c_2}{c_3} = c_3 \Rvt{-8}{-2}{1} \qquad \text{avec } c_3 \in \R. \end{gather*}
En particulier, en prenant \(c_3=1\text{,}\) on obtient \(c_1 = -8\) et \(c_2 = -2\text{,}\) d’où la relation de dépendance linéaire
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\begin{equation*} -8 \va_1 - 2 \va_2 + \va_3 = \vZero. \end{equation*}
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À vous de jouer 2.2.15.

Soient
\begin{equation*} \mathbf{v}_1 = \displaystyle\left[\begin{array}{r} -1 \cr -1 \cr \end{array}\right],\quad \mathbf{v}_2 = \displaystyle\left[\begin{array}{r} -3 \cr -4 \cr \end{array}\right],\quad \mathbf{v}_3 = \displaystyle\left[\begin{array}{r} -8 \cr -11 \cr \end{array}\right]. \end{equation*}
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Les vecteurs \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\) et \(\mathbf{v}_3\) sont-ils linéairement indépendants?
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Si les vecteurs sont indépendants, entrez un zéro dans chaque case, puisque ce sont les seules valeurs qui rendent l’égalité vraie.
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S’ils sont dépendants, trouvez des coefficients, pas tous nuls, qui font en sorte que l’égalité est vérifiée.
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\(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} =\) \(\displaystyle\left[\begin{array}{r} -1 \cr -1 \cr \end{array}\right] +\) \(\displaystyle\left[\begin{array}{r} -3 \cr -4 \cr \end{array}\right] +\) \(\displaystyle\left[\begin{array}{r} -8 \cr -11 \cr \end{array}\right].\)
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Réponse 1.
\({\text{linéairement dépendants}}\)
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Réponse 2.
\(-1;\,3;\,-1\)
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Exemple 2.2.16.

On considère les vecteurs \(\rvt{1}{1}{k}\text{,}\) \(\rvt{1}{k}{1}\) et \(\rvt{k}{1}{1}\text{.}\) Discuter, selon les valeurs de \(k\text{,}\) si ces trois vecteurs sont linéairement dépendants ou indépendants.
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Solution.
On étudie le nombre de solutions de l’équation vectorielle
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\begin{equation*} c_1 \Rvt{1}{1}{k} + c_2 \Rvt{1}{k}{1} + c_3 \Rvt{k}{1}{1} = \vZero. \end{equation*}
Cela revient à résoudre le système homogène dont la matrice des coefficients, et une réduction, s’obtiennent comme suit:
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\begin{align*} \left[\begin{array}{ccc} 1 \amp 1 \amp k\\ 1 \amp k \amp 1\\ k \amp 1 \amp 1 \end{array}\right] \xrightarrow[R_3 - kR_1]{R_2 - R_1} \left[\begin{array}{ccc} 1 \amp 1 \amp k\\ 0 \amp k-1 \amp 1-k\\ 0 \amp 1-k \amp 1-k^2 \end{array}\right] \xrightarrow{\;R_3 + R_2\;} \left[\begin{array}{ccc} 1 \amp 1 \amp k\\ 0 \amp k-1 \amp 1-k\\ 0 \amp 0 \amp -k^2 - k + 2 \end{array}\right] \end{align*}
On note que \(-k^2 - k + 2 = -(k + 2) (k - 1)\text{.}\) Ainsi, si \(k = 1\) ou \(k = -2\text{,}\) la dernière entrée pivot est nulle et le rang de la matrice est \(2\text{.}\) Le système admet alors une infinité de solutions (non triviales), et les vecteurs sont linéairement dépendants.
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Si \(k \neq 1\) et \(k \neq -2\text{,}\) alors le rang de la matrice est \(3\text{:}\) la seule solution est la solution triviale, et les vecteurs sont linéairement indépendants.
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À vous de jouer 2.2.17.

Les vecteurs
\begin{equation*} \mathbf{u} = \left[\begin{array}{c} 4\cr -6\cr -6 \end{array}\right], \ \ \ \ \mathbf{v} = \left[\begin{array}{c} 3\cr -3\cr -14+k\cr \end{array}\right], \ \ \ \ \mathbf{w} = \left[\begin{array}{c} 3\cr -7\cr -2 \end{array}\right] \end{equation*}
sont linéairement indépendants si et seulement si \(k \ne\) .
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Réponse.
\(8\)
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Exemple 2.2.18.

Soient \(\vu\text{,}\) \(\vv\) et \(\vw\) trois vecteurs linéairement indépendants de \(\R^{2022}\text{.}\)
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  1. Montrer que les vecteurs \(\vu - \vv\text{,}\) \(\vv - \vw\) et \(\vw - \vu\) sont linéairement dépendants, et donner une relation de dépendance linéaire.
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  2. Les vecteurs \(\vu + \vv\text{,}\) \(\vv + \vw\) et \(\vw + \vu\) sont-ils linéairement dépendants ou indépendants? Justifier.
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Solution.
  1. On étudie les solutions de l’équation vectorielle
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    \begin{equation*} c_1 (\vu - \vv) + c_2 (\vv - \vw) + c_3 (\vw - \vu) = \vZero. \end{equation*}
    Cette équation est équivalente à
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    \begin{equation*} (c_1 - c_3) \vu + (c_2 - c_1) \vv + (c_3 - c_2) \vw = \vZero. \end{equation*}
    Comme \(\vu\text{,}\) \(\vv\) et \(\vw\) sont linéairement indépendants, on obtient le système
    🔗
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcrccr} c_1 \amp \amp - c_3 \amp = \amp 0\\ -c_1 \amp + c_2 \amp \amp = \amp 0\\ \amp -c_2 \amp +c_3 \amp = \amp 0 \end{array} \right. \end{equation*}
    Une réduction (ou une lecture directe) montre que \(c_1=c_2=c_3\text{.}\) En choisissant par exemple \(c_1=c_2=c_3=1\text{,}\) on obtient la relation de dépendance linéaire
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    \begin{equation*} (\vu - \vv) + (\vv - \vw) + (\vw - \vu) = \vZero. \end{equation*}
    🔗
  2. On étudie maintenant les solutions de
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    \begin{equation*} c_1 (\vu + \vv) + c_2 (\vv + \vw) + c_3 (\vw + \vu) = \vZero, \end{equation*}
    ce qui équivaut à
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    \begin{equation*} (c_1 + c_3) \vu + (c_1 + c_2) \vv + (c_2 + c_3) \vw = \vZero. \end{equation*}
    Par indépendance de \(\vu\text{,}\) \(\vv\) et \(\vw\text{,}\) on obtient
    🔗
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcrccr} c_1 \amp \amp + c_3 \amp = \amp 0\\ c_1 \amp + c_2 \amp \amp = \amp 0\\ \amp c_2 \amp +c_3 \amp = \amp 0 \end{array} \right. \end{equation*}
    En additionnant les deux premières équations, on trouve \(2c_1 + (c_2 + c_3)=0\text{.}\) Or la troisième équation donne \(c_2+c_3=0\text{,}\) donc \(2c_1=0\) et \(c_1=0\text{.}\) Il suit que \(c_2=0\) et \(c_3=0\text{.}\) La seule solution est donc la solution triviale, et les vecteurs \(\vu + \vv\text{,}\) \(\vv + \vw\) et \(\vw + \vu\) sont linéairement indépendants.
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La notion de colinéarité (voir la définition 1.1.13 au besoin) se généralise naturellement: deux vecteurs non nuls \(\vu\) et \(\vv\) de \(\R^n\) sont colinéaires si et seulement s’il existe un scalaire \(\lambda\) tel que \(\vu = \lambda\vv\text{.}\)
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Démonstration.

  • On suppose que \(\vu\) et \(\vv\) sont colinéaires. Il existe donc \(\lambda\) tel que \(\vu = \lambda\vv\text{,}\) d’où \(\vu - \lambda \vv = \vZero\text{,}\) une relation non triviale.
    🔗
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  • Réciproquement, on suppose que \(c_1 \vu + c_2 \vv = \vZero\) avec au moins un des coefficients non nul. Si \(c_1 \neq 0\text{,}\) alors \(\vu = -\tfrac{c_2}{c_1} \vv\text{.}\) Si \(c_2 \neq 0\text{,}\) alors \(\vv = -\tfrac{c_1}{c_2} \vu\text{.}\) Dans les deux cas, les vecteurs sont colinéaires.
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On pourrait être tenté de croire qu’une famille \(\plan{F} = \{\vu_1, \ldots, \vu_n\}\) est liée si et seulement si l’un des vecteurs est colinéaire à un autre. Il n’en est rien. Le résultat correct est le suivant.
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Démonstration.

  • On suppose que \(\plan{F}\) est linéairement dépendante. Il existe donc des scalaires \(c_1, \ldots, c_n\text{,}\) non tous nuls, tels que \(\sum_{i=1}^n c_i \vu_i = \vZero\text{.}\) Quitte à renuméroter, on suppose \(c_1 \neq 0\text{.}\) Alors
    🔗
    \begin{equation*} \vu_1 = -\frac{c_2}{c_1}\vu_2 - \frac{c_3}{c_1}\vu_3 - \cdots - \frac{c_n}{c_1}\vu_n, \end{equation*}
    c’est-à-dire que \(\vu_1\) est une combinaison linéaire des autres vecteurs.
    🔗
    🔗
  • Réciproquement, on suppose que \(\vu_1\) est une combinaison linéaire des autres vecteurs. Il existe donc des scalaires \(c_2, \ldots, c_n\) tels que
    🔗
    \begin{equation*} \vu_1 = \sum_{i=2}^n c_i \vu_i. \end{equation*}
    Cela donne immédiatement
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    \begin{equation*} \vu_1 - \sum_{i=2}^n c_i \vu_i = \vZero, \end{equation*}
    une relation non triviale: la famille est donc linéairement dépendante.
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Exemple 2.2.21.

On considère les vecteurs de l’exemple 2.2.11, à savoir \(\va_1 = \rvt{1}{-1}{-2}\text{,}\) \(\va_2 = \rvt{-2}{3}{11}\) et \(\va_3 = \rvt{4}{-2}{6}\text{.}\) Il a déjà été montré qu’ils sont linéairement dépendants. Exprimer chacun des vecteurs comme combinaison linéaire des deux autres.
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Réponse.
\begin{gather*} \va_3 = 8\va_1 + 2\va_2, \qquad \va_1 = \tfrac{1}{8}\va_3 - \tfrac{1}{4}\va_2, \qquad \va_2 = -4\va_1 + \tfrac{1}{2}\va_3. \end{gather*}
🔗
Solution.
On a déjà obtenu la relation de dépendance linéaire
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\begin{equation*} -8 \va_1 - 2 \va_2 + \va_3 = \vZero. \end{equation*}
En isolant \(\va_3\text{,}\) on obtient
🔗
\begin{equation*} \va_3 = 8 \va_1 + 2 \va_2. \end{equation*}
En isolant \(\va_1\text{,}\) puis \(\va_2\text{,}\) on obtient également
🔗
\begin{gather*} \va_1 = \tfrac{1}{8} \va_3 - \tfrac{1}{4} \va_2 \qquad \text{et} \qquad \va_2 = -4 \va_1 + \tfrac{1}{2} \va_3. \end{gather*}
Ainsi, chacun des vecteurs est combinaison linéaire des deux autres.
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Exemple 2.2.22.

La compagnie de chaussures Zéphir fabrique des chaussures à crampons, des chaussures d’entraînement intérieur et des chaussures de course. Elle possède quatre usines. La production journalière (en centaines de paires) de chaque usine est donnée dans le tableau suivant.
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Produit Usine 1 Usine 2 Usine 3 Usine 4
Crampons 1 2 2 1
Entraînement 3 7 5 0
Course 5 8 11 10
La compagnie a obtenu un contrat hebdomadaire de \(1800\) paires de chaussures à crampons, \(5100\) paires de chaussures d’entraînement et \(9300\) paires de chaussures de course pour une chaîne de marchands.
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  1. Donner un plan de production hebdomadaire qui utilise exactement une journée de production à l’usine 3.
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  2. Déterminer s’il est possible de fermer une des usines. Si oui, décrire les plans de production possibles et expliquer comment la fermeture est compensée par les autres usines.
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Solution.
  1. On note \(\vu_1, \vu_2, \vu_3, \vu_4\) les vecteurs de production journalière (en centaines de paires) des usines 1, 2, 3 et 4, respectivement:
    🔗
    \begin{equation*} \vu_1 = \rvt{1}{3}{5}, \quad \vu_2 = \rvt{2}{7}{8}, \quad \vu_3 = \rvt{2}{5}{11}, \quad \vu_4 = \rvt{1}{0}{10}. \end{equation*}
    Le vecteur de demande hebdomadaire (en centaines de paires) est \(\vb = \rvt{18}{51}{93}\text{.}\) Un plan de production hebdomadaire correspond à une solution de l’équation vectorielle
    🔗
    \begin{equation*} c_1 \vu_1 + c_2 \vu_2 + c_3 \vu_3 + c_4 \vu_4 = \vb, \end{equation*}
    où \(c_i\) représente le nombre de jours de production à l’usine \(i\text{.}\) La nature du problème impose que \(c_i\) soit un entier entre \(0\) et \(7\text{.}\) Cela revient à résoudre le système linéaire dont la matrice augmentée et une réduction sont:
    🔗
    \begin{align*} \hphantom{\;R_2 - 3R_1\;} \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 \amp 2 \amp 2 \amp 1 \amp 18\\ 3 \amp 7 \amp 5 \amp 0 \amp 51\\ 5 \amp 8 \amp 11 \amp 10 \amp 93 \end{array}\right] \amp \xrightarrow[R_3 - 5R_1]{R_2 - 3R_1} \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 \amp 2 \amp 2 \amp 1 \amp 18\\ 0 \amp 1 \amp -1 \amp -3 \amp -3\\ 0 \amp -2 \amp 1 \amp 5 \amp 3 \end{array}\right]\\ \xrightarrow[R_3 + 2R_2]{} \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 \amp 2 \amp 2 \amp 1 \amp 18\\ 0 \amp 1 \amp -1 \amp -3 \amp -3\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp -1 \amp -3 \end{array}\right] \amp \xrightarrow[-R_3]{\;\substack{R_1 + 2R_3\\ R_2 - R_3}\;} \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 \amp 2 \amp 0 \amp -1 \amp 12\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -2 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 3 \end{array}\right]\\ \amp \xrightarrow{\;R_1 - 2R_2\;} \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 3 \amp 12\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -2 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 3 \end{array}\right] \end{align*}
    La variable \(c_4\) est libre, donc l’ensemble des solutions est
    🔗
    \begin{equation*} \left[\begin{array}{r}c_1\\c_2\\c_3\\c_4\end{array}\right] = c_4 \left[\begin{array}{r}-3\\2\\-1\\1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{r}12\\0\\3\\0\end{array}\right], \qquad \text{avec } c_4 \in \R. \end{equation*}
    La condition «exactement une journée à l’usine 3» impose \(c_3 = 1\text{.}\) Or \(c_3 = 3 - c_4\text{,}\) donc \(c_4 = 2\text{.}\) En substituant, on obtient \(c_1 = 6\) et \(c_2 = 4\text{.}\)
    🔗
    Ainsi, la demande peut être satisfaite avec \(6\) jours à l’usine 1, \(4\) jours à l’usine 2, \(1\) jour à l’usine 3 et \(2\) jours à l’usine 4.
    🔗
    🔗
  2. On veut savoir s’il est possible de satisfaire la demande en fermant une usine. Autrement dit, on cherche une solution avec \(c_i = 0\) pour un certain \(i \in \{1, 2, 3, 4\}\text{.}\) À partir de la solution générale, écrivons \(t\) au lieu de \(c_4\text{:}\)
    🔗
    \begin{equation*} (12 - 3t) \vu_1 + 2t \vu_2 + (3-t) \vu_3 + t \vu_4 = \vb. \end{equation*}
    On examine alors les possibilités:
    🔗
    • Fermer l’usine 1 impose \(c_1 = 0\text{,}\) donc \(12 - 3t = 0\) et \(t = 4\text{.}\) Cela donne \(c_2 = 2t = 8\text{,}\) ce qui est impossible (plus de 7 jours). L’usine 1 ne peut donc pas être fermée.
      🔗
      🔗
    • Fermer l’usine 2 impose \(c_2 = 0\text{,}\) donc \(t = 0\text{,}\) ce qui donne \(c_1 = 12\text{,}\) impossible. L’usine 2 ne peut donc pas être fermée.
      🔗
      🔗
    • Fermer l’usine 3 impose \(c_3 = 0\text{,}\) donc \(3 - t = 0\) et \(t = 3\text{.}\) Cela donne \(c_1 = 12 - 3t = 3\text{,}\) \(c_2 = 2t = 6\) et \(c_4 = t = 3\text{,}\) ce qui est admissible. Ainsi, la demande peut être satisfaite en fermant l’usine 3, en travaillant \(3\) jours à l’usine 1, \(6\) jours à l’usine 2 et \(3\) jours à l’usine 4.
      🔗
      🔗
    • Fermer l’usine 4 impose \(c_4 = 0\text{,}\) donc \(t = 0\text{,}\) ce qui donne encore \(c_1 = 12\text{,}\) impossible. L’usine 4 ne peut donc pas être fermée.
      🔗
      🔗
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Remarque 2.2.23.

On a déjà remarqué que, quelle que soit la famille \(\plan{F}\text{,}\) le vecteur nul appartient à \(\gen{\plan{F}}\text{.}\) Se demander si \(\plan{F}\) est linéairement dépendante revient donc à se demander si l’on peut exprimer \(\vZero\) comme combinaison linéaire des vecteurs de \(\plan{F}\) de façon non triviale.
🔗
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Démonstration.

C’est une reformulation directe de la définition: une solution non triviale du système en question correspond exactement à une relation de dépendance linéaire non triviale entre les colonnes de \(A\text{.}\)
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SageMath en action 2.2.25. Tester l’indépendance linéaire.

On reprend les vecteurs de l’exemple 2.2.13. On les définit individuellement, puis on construit la matrice dont ils sont les colonnes avec column_matrix([...]). On compare ensuite le rang au nombre de vecteurs.
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On a vu à l’exemple 2.2.13 que, dans le plan, la famille formée par \(\vu = \rvd{1}{1}\text{,}\) \(\vv = \rvd{1}{-1}\) et \(\vw = \rvd{3}{1}\) est linéairement dépendante. Le résultat précédent, ainsi que la caractérisation des solutions des systèmes homogènes (voir le théorème 2.1.38), amènent à poser une question plus générale:
🔗
Est-il possible d’avoir \(3\) vecteurs linéairement indépendants dans le plan?
🔗
La même idée permet d’établir le résultat suivant.
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Démonstration.

Soient \(\vu_1, \ldots, \vu_n \in \R^m\) avec \(n > m\text{.}\) On cherche des scalaires \(c_1, \ldots, c_n\text{,}\) non tous nuls, tels que \(\sum_{i=1}^n c_i \vu_i = \vZero\text{.}\) Cela équivaut à résoudre le système homogène \(A \vc = \vZero\text{,}\) où \(A= \begin{bmatrix} \vu_1 \amp \vu_2 \amp \cdots \amp \vu_n \end{bmatrix}\) est une matrice \(m \times n\text{.}\)
🔗
Comme \(n > m\text{,}\) le rang de \(A\) est au plus \(m\text{,}\) donc strictement inférieur à \(n\text{.}\) Par le théorème 2.1.38, le système homogène admet alors une solution non triviale. La famille est donc linéairement dépendante.
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Pour terminer, on voit quelques exercices.
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Exemple 2.2.27.

Soient \(\vu_1, \vu_2, \vu_3, \vu_4\) des vecteurs linéairement indépendants (donc de même taille).
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  1. Que peut-on dire au sujet du nombre de coordonnées des vecteurs \(\vu_i\text{?}\)
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    🔗
  2. Soient \(\vw_1 = \vu_1\text{,}\) \(\vw_2 = \vu_1 + \vu_2\text{,}\) \(\vw_3 = \vu_1 + \vu_2 + \vu_3\) et \(\vw_4 = \vu_1 + \vu_2 + \vu_3 + \vu_4\text{.}\) Déterminer si les vecteurs \(\vw_1, \vw_2, \vw_3, \vw_4\) sont linéairement dépendants.
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    🔗
Solution.
  1. Ces vecteurs doivent avoir au moins \(4\) coordonnées. En effet, s’ils appartenaient à \(\R^m\) avec \(m \leqslant 3\text{,}\) alors, par la proposition 2.2.26, une famille de \(4\) vecteurs serait nécessairement dépendante, ce qui contredirait l’hypothèse.
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    🔗
  2. On étudie les solutions de l’équation
    🔗
    \begin{gather*} \vZero = c_1 \vw_1 + c_2 \vw_2 + c_3 \vw_3 + c_4 \vw_4\\ = c_1 \vu_1 + c_2 (\vu_1 + \vu_2) + c_3 (\vu_1 + \vu_2 + \vu_3) + c_4 (\vu_1 + \vu_2 + \vu_3 + \vu_4)\\ = (c_1 + c_2 + c_3 + c_4) \vu_1 + (c_2 + c_3 + c_4) \vu_2 + (c_3 + c_4) \vu_3 + c_4 \vu_4. \end{gather*}
    Comme \(\vu_1, \vu_2, \vu_3, \vu_4\) sont linéairement indépendants, tous les coefficients doivent être nuls:
    🔗
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcrccr} c_1 + c_2 + c_3 + c_4 \amp = \amp 0\\ c_2 + c_3 + c_4 \amp = \amp 0\\ c_3 + c_4 \amp = \amp 0\\ c_4 \amp = \amp 0 \end{array} \right. \end{equation*}
    En remontant, on obtient successivement \(c_4 = 0\text{,}\) puis \(c_3 = 0\text{,}\) puis \(c_2 = 0\text{,}\) puis \(c_1 = 0\text{.}\) La seule solution est donc la solution triviale, et les vecteurs \(\vw_1, \vw_2, \vw_3, \vw_4\) sont linéairement indépendants.
    🔗
    🔗
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🔗

Exemple 2.2.28.

Soient \(\vv_1, \vv_2 \in \R^m\) des vecteurs donnés et définissons \(\vw_1 = a_1 \vv_1 + a_2 \vv_2\text{,}\) \(\vw_2 = b_1 \vv_1 + b_2 \vv_2\) et \(\vw_3 = c_1 \vv_1 + c_2 \vv_2\text{.}\) Montrer que \(\vw_1, \vw_2, \vw_3\) sont linéairement dépendants.
🔗
Solution.
Si \(\vv_1\) et \(\vv_2\) sont linéairement dépendants, alors tous les vecteurs \(\vw_1, \vw_2, \vw_3\) appartiennent à la droite engendrée par \(\vv_1\) (ou par \(\vv_2\)), donc ils sont linéairement dépendants.
🔗
On suppose maintenant que \(\vv_1\) et \(\vv_2\) sont linéairement indépendants. Étudions les solutions de
🔗
\begin{equation*} \vZero = d_1 \vw_1 + d_2 \vw_2 + d_3 \vw_3. \end{equation*}
Cela équivaut à
🔗
\begin{equation*} \vZero = (d_1 a_1 + d_2 b_1 + d_3 c_1) \vv_1 + (d_1 a_2 + d_2 b_2 + d_3 c_2) \vv_2. \end{equation*}
Par indépendance de \(\vv_1\) et \(\vv_2\text{,}\) on obtient le système
🔗
\begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcrccr} d_1 a_1 + d_2 b_1 + d_3 c_1 \amp = \amp 0\\ d_1 a_2 + d_2 b_2 + d_3 c_2 \amp = \amp 0 \end{array} \right. \end{equation*}
Sa matrice (augmentée par une colonne nulle) est
🔗
\begin{equation*} \left[\begin{array}{rrr|r} a_1 \amp b_1 \amp c_1 \amp 0\\ a_2 \amp b_2 \amp c_2 \amp 0 \end{array}\right]. \end{equation*}
Il y a \(3\) inconnues et seulement \(2\) équations, donc le rang est au plus \(2\text{.}\) Par le théorème 2.1.38, le système admet une solution non triviale. Par conséquent, \(\vw_1, \vw_2, \vw_3\) sont linéairement dépendants.
🔗
🔗
🔗

À vous de jouer 2.2.29.

Soit \(\mathcal{S}= \left\{ \mathbf{r}, \mathbf{u}, \mathbf{d}\right\}\) un ensemble de vecteurs linéairement indépendants.
🔗
Si \(\mathbf{x} = 4 \mathbf{r}+ 3 \mathbf{u}+ 2 \mathbf{d}\text{,}\) déterminer si l’ensemble \(\mathcal{T}= \left\{ \mathbf{r},\mathbf{u},\mathbf{x}\right\}\) est un ensemble linéairement dépendant ou indépendant.
  1. Est-ce que \(\mathcal{T}\) est linéairement dépendant ou indépendant?
    🔗
    🔗
🔗
Si \(\mathcal{T}\) est linéairement dépendant, entrez une relation de dépendance linéaire (non triviale). Si \(\mathcal{T}\) est linéairement indépendant, entrez \(0\) pour chacun des coefficients.
🔗
\(\mathbf{r} +\) \(\mathbf{u} +\) \(\mathbf{x} = 0\text{.}\)
🔗
Réponse.
Linéairement indépendant
🔗
🔗
🔗
🔗
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Préc.TopSuiv.