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Algèbre linéaire et géométrie vectorielle

Juan Carlos Bustamante, Sylvain Bérubé

Exercices 5.3 Exercices

Propriétés élémentaires.

1.

Calculer chacun des déterminants suivants.
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  1. \(\displaystyle \left| \begin{array}{rrr} 2 \amp 0 \amp 1\\ 1 \amp 5 \amp -3\\ 1 \amp -2 \amp 4 \end{array} \right|.\)
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    🔗
  2. \(\displaystyle \left| \begin{array}{rrr} -2 \amp 6 \amp 4\\ -1 \amp -3 \amp 1\\ 4 \amp -2 \amp 2 \end{array} \right|.\)
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  3. \(\displaystyle \left| \begin{array}{rrr} 2 \amp 1 \amp 2\\ 0 \amp 3 \amp -1\\ 4 \amp 1 \amp 1 \end{array} \right|.\)
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    🔗
  4. \(\displaystyle \left| \begin{array}{rrr} 2 \amp 4 \amp 3\\ -1 \amp 3 \amp 0\\ 0 \amp 2 \amp 1 \end{array} \right|.\)
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Réponse.
  1. \(\displaystyle 21\)
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  2. \(\displaystyle 100\)
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  3. \(\displaystyle -20\)
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  4. \(\displaystyle 4\)
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2.

Calculer chacun des déterminants suivants.
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  1. \(\displaystyle \left| \begin{array}{rrrr} 1 \amp 1 \amp 3 \amp 4\\ 2 \amp 0 \amp -1 \amp -3\\ 2 \amp -2 \amp 1 \amp 0\\ 3 \amp 0 \amp -2 \amp 2 \end{array} \right|.\)
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  2. \(\displaystyle \left| \begin{array}{rrrr} 1 \amp 0 \amp 0 \amp -1\\ 2 \amp 3 \amp 4 \amp 7\\ -3 \amp 4 \amp 5 \amp 9\\ -4 \amp -5 \amp 6 \amp 1 \end{array} \right|.\)
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    🔗
  3. \(\displaystyle \left| \begin{array}{rrrr} 3 \amp 1 \amp 1 \amp 1\\ 2 \amp 1 \amp 1 \amp 1\\ -8 \amp 5 \amp 9 \amp 5\\ -11 \amp 7 \amp 7 \amp 4 \end{array} \right|.\)
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    🔗
  4. \(\displaystyle \left| \begin{array}{rrrr} 1 \amp 1 \amp 1 \amp 1\\ 1 \amp 2 \amp 1 \amp 2\\ 1 \amp 1 \amp 3 \amp 1\\ 1 \amp 2 \amp 1 \amp 4 \end{array} \right|.\)
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Réponse.
  1. \(\displaystyle -131\)
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  2. \(\displaystyle 216\)
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  3. \(\displaystyle -12\)
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  4. \(\displaystyle 4\)
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3.

  1. Vérifier que \(169\text{,}\) \(247\) et \(728\) sont des multiples de \(13\text{,}\) et montrer que le déterminant \(\left| \begin{smallmatrix} 1 \amp 6 \amp 9\\ 2 \amp 4 \amp 7\\ 7 \amp 2 \amp 8 \end{smallmatrix} \right|\) l’est également.
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  2. Vérifier que \(1014\text{,}\) \(1560\text{,}\) \(2600\) et \(7280\) sont des multiples de \(13\text{,}\) et montrer que le déterminant \(\left| \begin{smallmatrix} 1 \amp 0 \amp 1 \amp 4\\ 1 \amp 5 \amp 6 \amp 0\\ 2 \amp 6 \amp 0 \amp 0\\ 7 \amp 2 \amp 8 \amp 0 \end{smallmatrix} \right|\) l’est également.
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  3. Vérifier que \(1313\text{,}\) \(2730\text{,}\) \(5083\) et \(9100\) sont des multiples de \(13\text{,}\) et montrer que le déterminant \(\left| \begin{smallmatrix} 1 \amp 2 \amp 5 \amp 9\\ 3 \amp 7 \amp 0 \amp 1\\ 1 \amp 3 \amp 8 \amp 0\\ 3 \amp 0 \amp 3 \amp 0 \end{smallmatrix} \right|\) l’est également.
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Réponse.
  1. \(169 = 13\times 13\text{,}\) \(247 = 13\times 19\text{,}\) \(728 = 13\times 56\text{.}\) Opération \(C_1\to 100C_1+10C_2+C_3\) : la première colonne devient \(13\cdot[13,19,56]^T\text{,}\) d’où un facteur \(13\text{.}\)
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  2. \(1014 = 13\times 78\text{,}\) \(1560 = 13\times 120\text{,}\) \(2600 = 13\times 200\text{,}\) \(7280 = 13\times 560\text{.}\) Opération \(C_1\to 1000C_1+100C_2+10C_3+C_4\) : la première colonne devient \(13\cdot[78,120,200,560]^T\text{,}\) d’où un facteur \(13\text{.}\)
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  3. \(1313 = 13\times 101\text{,}\) \(2730 = 13\times 210\text{,}\) \(5083 = 13\times 391\text{,}\) \(9100 = 13\times 700\text{.}\) Opération \(C_1\to 1000C_1+100C_2+10C_3+C_4\) : la première colonne devient \(13\cdot[101,210,391,700]^T\text{,}\) d’où un facteur \(13\text{.}\)
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4.

Rappel : un entier est divisible par \(11\) si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est divisible par \(11\text{.}\) Montrer que les déterminants suivants sont divisibles par \(11\) ( ce qui inclut \(0\)).
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  1. \(\displaystyle \left| \begin{array}{rrr} 3 \amp 5 \amp 2\\ 4 \amp 9 \amp 5\\ 1 \amp 8 \amp 7 \end{array} \right|\)
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  2. \(\displaystyle \left| \begin{array}{rrrr} 2 \amp 6 \amp 9 \amp 5\\ 7 \amp 0 \amp 4 \amp 0\\ 5 \amp 2 \amp 8 \amp 0\\ 9 \amp 1 \amp 3 \amp 0 \end{array} \right|\)
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  3. \(\left| \begin{array}{rrrr} 1 \amp 1 \amp 8 \amp 8\\ 4 \amp 4 \amp 0 \amp 0\\ 2 \amp 0 \amp 9 \amp 0\\ 6 \amp 7 \amp 1 \amp 0 \end{array} \right| \text{.}\)
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  4. \(\displaystyle \left| \begin{array}{rrrrr} 3 \amp 5 \amp 2 \amp 0 \amp 0\\ 4 \amp 9 \amp 5 \amp 1 \amp 1\\ 1 \amp 8 \amp 7 \amp 2 \amp 2\\ 6 \amp 7 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 2 \amp 0 \amp 9 \amp 0 \amp 0 \end{array} \right|\)
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Réponse.
  1. Sommes alternées des rangées : \(3-5+2=0\text{,}\) \(4-9+5=0\text{,}\) \(1-8+7=0\text{.}\) Opération \(C_1\to C_1-C_2+C_3\) : la première colonne devient \([0,0,0]^T\text{,}\) donc le déterminant est \(0\text{.}\)
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  2. Sommes alternées des rangées : \(2-6+9-5=0\text{,}\) \(7-0+4-0=11\text{,}\) \(5-2+8-0=11\text{,}\) \(9-1+3-0=11\text{.}\) Opération \(C_1\to C_1-C_2+C_3-C_4\) : la première colonne devient \(11\cdot[0,1,1,1]^T\text{,}\) d’où un facteur \(11\text{.}\)
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  3. Sommes alternées des rangées : \(1-1+8-8=0\text{,}\) \(4-4+0-0=0\text{,}\) \(2-0+9-0=11\text{,}\) \(6-7+1-0=0\text{.}\) Opération \(C_1\to C_1-C_2+C_3-C_4\) : la première colonne devient \(11\cdot[0,0,1,0]^T\text{,}\) d’où un facteur \(11\text{.}\)
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  4. Les colonnes 4 et 5 sont identiques, donc le déterminant est \(0\text{.}\)
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5.

Une matrice \(A\) est dite antisymétrique si \(A^T = -A\text{.}\) Par exemple
\begin{equation*} M = \left[\begin{array}{rr} 0&3\\-3&0\end{array}\right] \text{ et } N= \begin{bmatrix}0&\a&\be\\-\a&0&\g\\-\be&-\g&0\end{bmatrix} \end{equation*}
sont toutes les deux des matrices antisymétriques.
  1. À l’aide des propriétés des déterminants, montrer qu’une matrice antisymétrique avec un nombre impair de rangées ne peut pas être inversible.
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  2. On a trois vecteurs \(\vu_1,\vu_2,\vu_3\) dans \(\R^6\text{,}\) et on sait qu’ils sont linéairement indépendants. De plus on a trois nombres réels \(a,b,c\) non nuls et on définit \(\vw_1 = -a\vu_2 + b\vu_3,\ \vw_2 = a\vu_1 - c\vu_3\) et \(\vw_3=-b\vu_1 +c\vu_2\text{.}\) Est-ce que les vecteurs \(\vw_1,\vw_2,\vw_3\) sont linéairement dépendants ou indépendants? Vous pouvez utiliser la partie (a).
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Réponse.
  1. Démonstration.
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  2. Les vecteurs \(\vw_1,\vw_2,\vw_3\) sont linéairement dépendants.
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6.

Sachant que \(\displaystyle \begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\ g&h&i\end{vmatrix} = 4\text{,}\) trouver les valeurs de :
  1. \(\displaystyle \begin{vmatrix}2a&b&c\\2d&e&f\\2g&h&i\end{vmatrix}\text{.}\)
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  2. \(\displaystyle \begin{vmatrix}2a&b/3&c\\2d&e/3&f\\ 2g&h/3&i\end{vmatrix}\text{.}\)
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  3. \(\displaystyle \begin{vmatrix}d&e&f\\ a&b&c\\ g&h&i\end{vmatrix}\text{.}\)
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  4. \(\displaystyle \begin{vmatrix}a-c&b&c\\ d-f&e&f\\ g-i&h&i\end{vmatrix}\text{.}\)
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  5. \(\displaystyle \begin{vmatrix}2c&b&a\\ 2f&e&d\\ 2i&h&g\end{vmatrix}\text{.}\)
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  6. \(\displaystyle \begin{vmatrix}a+2g&b+2h&c+2i\\ 3d+2g&3e+2h&3f+2i\\ g&h&i\end{vmatrix}\text{.}\)
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Réponse.
  1. \(8\text{.}\)
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  2. \(\tfrac{8}{3}\text{.}\)
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  3. \(-4\text{.}\)
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  4. \(4\text{.}\)
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  5. \(-8\text{.}\)
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  6. \(12\text{.}\)
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7.

Résoudre chacune des équations suivantes en \(t\text{.}\)
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  1. \(\displaystyle \left| \begin{array}{rrrr} t \amp 1 \amp 0 \amp t\\ 0 \amp t \amp t\amp 1\\ 1 \amp t \amp t \amp 0\\ t \amp 0 \amp 1 \amp t \end{array} \right| =0.\)
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  2. \(\displaystyle \left| \begin{array}{rrrr} 1 \amp 1 \amp 1 \amp 1\\ t \amp a \amp 0 \amp 0\\ t \amp 0 \amp b \amp 0\\ t \amp 0 \amp 0 \amp c \end{array} \right| =0, \qquad abc\neq 0.\)
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Réponse.
  1. \(t = \pm\tfrac{1}{2}\text{.}\)
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  2. \(t = \dfrac{abc}{ab+ac+bc}\text{.}\)
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8.

Considérer les matrices suivantes :
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\begin{equation*} A_2=\left[\begin{array}{rr} 0 \amp 1\\ 1 \amp 0 \end{array}\right], \qquad A_3=\left[\begin{array}{rrr} 0 \amp 1 \amp 0\\ 1 \amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 1 \amp 0 \end{array}\right], \end{equation*}
\begin{equation*} A_4=\left[\begin{array}{rrrr} 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 1 \amp 0 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \end{array}\right], \qquad A_5=\left[\begin{array}{rrrrr} 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ 1 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \end{array}\right]. \end{equation*}
  1. Utiliser des opérations élémentaires sur les lignes (et/ou les colonnes) pour calculer les déterminants de ces matrices.
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  2. Écrire les matrices \(A_6 \in \mn{6}\) et \(A_7 \in \mn{7}\) qui suivent ce même modèle, puis donner leurs déterminants d’après ce que vous observez.
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Réponse.
  1. \(\det{A_2}=-1\text{,}\) \(\det{A_3}=0\text{,}\) \(\det{A_4}=1\text{,}\) \(\det{A_5}=0\text{.}\)
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  2. \(\det{A_6}=-1\text{,}\) \(\det{A_7}=0\text{.}\)
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9.

Pour tout entier naturel \(n\geqslant 2\) on définit la \(n\times n\)-matrice \(M_n\) par
\begin{equation*} M_n=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & \cdots &\cdots & 0 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 0 & \dots & \cdots& 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & \cdots& 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & \vdots &\vdots & \vdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & 2 &1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 1& 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \cdots &0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \end{equation*}
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  1. Calculer \(\det{M_2} = \begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}\text{,}\)
    \begin{equation*} \det{M_3} = \begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{vmatrix} \text{ et } \det{M_4} = \begin{vmatrix}2&1&0&0\\1&2&1&0\\0&1&2&1\\0&0&1&2\end{vmatrix} \end{equation*}
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  2. Donner une formule générale pour \(\det{M_n}\) et montrer par récurrence qu’elle est valable (il peut être utile de calculer \(\det{M_5}\) en termes de \(\det{M_4}\) et \(\det{M_3}\) afin de voir apparaitre une régularité).
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Réponse.
  1. \(\det{M_2}=3\text{,}\) \(\det{M_3}=4\text{,}\) \(\det{M_4}=5\text{.}\)
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  2. \(\det{M_n}=n+1\text{.}\)
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Propriété multiplicative et règle de Cramer.

10.

Pour chacun des énoncés suivants, dites s’il est Vrai V ou Faux F
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  1. Si \(A\) est une matrice carrée, on a \(\det{-A} = -\det{A}\)
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  2. Si \(A\) et \(B\) sont des matrices carrées \(n\times n\) alors on a \(\det{AB} = \det{BA}\text{.}\)
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  3. Si \(A\) et \(B\) sont des matrices dont les colonnes sont les mêmes, mais dans un ordre différent, alors \(\det{A} = -\det{B}\text{.}\)
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  4. Si \(A\) est inversible, alors \(\det{A^{-1}} = \det{A^T}\)
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Réponse.
  1. F : \(\det{-A} = (-1)^n \det{A}\text{,}\) donc vrai seulement si \(n\) est impair.
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  2. V : \(\det{AB} = \det{A}\det{B} = \det{B}\det{A} = \det{BA}\text{.}\)
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  3. F : si la permutation des colonnes requiert \(k\) transpositions, \(\det{A} = (-1)^k\det{B}\text{,}\) qui peut valoir \(+\det{B}\text{.}\)
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  4. F : \(\det{A^{-1}} = \tfrac{1}{\det{A}}\) et \(\det{A^T} = \det{A}\text{;}\) ces valeurs coïncident seulement si \(\det{A} = \pm 1\text{.}\)
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11.

On sait que \(A\) et \(B\) sont des matrices \(3\times 3\) telles que \(\det{A} = 5\) et \(\det{B} = -\frac{1}{4}\text{.}\) Par ailleurs, \(C\) est telle que \(ACB = A^2 B^2 (3A^T)\text{.}\) Quelle est la valeur du déterminant de \(C\text{?}\)
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Réponse.
\(\det{C} = -\tfrac{675}{4}\text{.}\)
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12.

Soient \(A, B\in \mn{3}\) telles que \(\det{A}=-3\) et \(\det{B}=2\text{.}\) Trouver les valeurs de :
  1. \(\displaystyle \det{2A}\)
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  2. \(\displaystyle \det{3B}\)
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  3. \(\displaystyle \det{AB}\)
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  4. \(\displaystyle \det{-5A}\)
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  5. \(\displaystyle \det{A^2B^T}\)
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  6. \(\displaystyle \det{(A^{-1}B)^3}\)
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Réponse.
  1. \(-24\text{.}\)
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  2. \(54\text{.}\)
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  3. \(-6\text{.}\)
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  4. \(375\text{.}\)
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  5. \(18\text{.}\)
    🔗
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  6. \(-\tfrac{8}{27}\text{.}\)
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13.

Une matrice carrée \(A\) est dit être nilpotente s’il existe un naturel \(k\) tel que \(A^k=0\text{.}\) Montrer que si \(A\) est nilpotente, alors \(\det{A}=0\) et qu’en conséquence \(A\) n’est pas inversible.
🔗
Réponse.
Puisque \(A^k = 0\text{,}\) on a \(\det{A^k} = \det{0} = 0\text{.}\) Or \(\det{A^k} = \det{A}^k\text{,}\) donc \(\det{A}^k = 0\text{,}\) ce qui implique \(\det{A}=0\text{.}\) En conséquence, \(A\) n’est pas inversible.
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14.

Une matrice carrée est dite orthogonale si elle vérifie \(A^T = A^{-1}\text{.}\) Pour les parties qui suivent, soit \(A\) une matrice orthogonale.
🔗
  1. Quelles sont les valeurs possibles du déterminant de \(A\text{?}\)
    🔗
    🔗
  2. Montrer que \((I-A)^T (I+A)\) est une matrice antisymétrique.
    🔗
    🔗
  3. Montrer que chaque colonne de \(A\) est un vecteur unitaire qui est orthogonal à toutes les autres colonnes de \(A\text{.}\)
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Réponse.
  1. \(\det{A} = \pm 1\text{.}\)
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  2. Démonstration.
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  3. Démonstration.
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15.

  1. Complétez les calculs de la remarque 5.2.16 pour trouver une équation de la droite qui passe par les points \(A=(1,2)\) et \(B=(3,-1)\text{.}\)
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    🔗
  2. Avec cette même approche, trouvez une équation du plan passant par les points de l’ exercice 1.4.26, à savoir \(P(2,1,5), Q(-1,3,4), R(3,0,6)\)
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Réponse.
  1. \(3x + 2y = 7\text{.}\)
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  2. \(x + 2y + z = 9\text{.}\)
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16.

Il existe une unique parabole d’équation \(y=ax^2 + bx+c\) passant par trois points non alignés \(A(x_A, y_A),\ B(x_B,y_B),\ C(x_C,y_C)\text{.}\) Montrer que l’équation de la parabole est donnée par :
\begin{equation*} \left| \begin{array}{cccc} y\amp x^2 \amp x \amp 1 \\ y_A\amp x_A^2 \amp x_A \amp 1\\ y_B\amp x_B^2 \amp x_B \amp 1\\ y_C\amp x_C^2 \amp x_C \amp 1 \end{array} \right|=0. \end{equation*}
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17.

Dans chaque cas, résoudre l’équation \(A\vx=\vb\) à l’aide de la méthode de Cramer.
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  1. \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rr} 2 \amp 1\\ 3 \amp 2 \end{array}\right], \qquad \vb=\left[\begin{array}{r} 5\\ 8 \end{array}\right].\)
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    🔗
  2. \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rr} 1 \amp 2\\ 3 \amp 4 \end{array}\right], \qquad \vb=\left[\begin{array}{r} 5\\ 6 \end{array}\right].\)
    🔗
    🔗
  3. \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rr} 2 \amp 1\\ 1 \amp 2 \end{array}\right], \qquad \vb=\left[\begin{array}{r} 1\\ 4 \end{array}\right].\)
    🔗
    🔗
  4. \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rr} 1 \amp -1\\ 2 \amp 1 \end{array}\right], \qquad \vb=\left[\begin{array}{r} 0\\ 3 \end{array}\right].\)
    🔗
    🔗
  5. \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rr} 2 \amp 0\\ 1 \amp 2 \end{array}\right], \qquad \vb=\left[\begin{array}{r} 1\\ -1 \end{array}\right].\)
    🔗
    🔗
  6. \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rr} 1 \amp 2\\ 2 \amp 1 \end{array}\right], \qquad \vb=\left[\begin{array}{r} 0\\ 1 \end{array}\right].\)
    🔗
    🔗
Réponse.
  1. \(\displaystyle \vx=\left[\begin{array}{r}2\\1\end{array}\right]\)
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  2. \(\displaystyle \vx=\left[\begin{array}{r}-4\\\tfrac{9}{2}\end{array}\right]\)
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  3. \(\displaystyle \vx=\left[\begin{array}{r}-\tfrac{2}{3}\\\tfrac{7}{3}\end{array}\right]\)
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  4. \(\displaystyle \vx=\left[\begin{array}{r}1\\1\end{array}\right]\)
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  5. \(\displaystyle \vx=\left[\begin{array}{r}\tfrac{1}{2}\\-\tfrac{3}{4}\end{array}\right]\)
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  6. \(\displaystyle \vx=\left[\begin{array}{r}\tfrac{2}{3}\\-\tfrac{1}{3}\end{array}\right]\)
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18.

Dans chaque cas, résoudre l’équation \(A\vx=\vb\) à l’aide de la méthode de Cramer.
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  1. \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 1 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 1\\ 1 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right], \quad \vb=\left[\begin{array}{r} 2\\2\\2 \end{array}\right].\)
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  2. \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 1 \amp 2 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 1\\ 1 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right], \quad \vb=\left[\begin{array}{r} 3\\2\\1 \end{array}\right].\)
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  3. \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 2 \amp 1 \amp 0\\ 1 \amp 2 \amp 1\\ 0 \amp 1 \amp 1 \end{array}\right], \quad \vb=\left[\begin{array}{r} 1\\3\\2 \end{array}\right].\)
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  4. \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 2 \amp 0 \amp 1\\ 1 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 1 \end{array}\right], \quad \vb=\left[\begin{array}{r} 1\\-1\\2 \end{array}\right].\)
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  5. \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 1 \amp -1 \amp 1\\ 2 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 1 \end{array}\right], \quad \vb=\left[\begin{array}{r} 0\\3\\1 \end{array}\right].\)
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  6. \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 1 \amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 2 \amp 1\\ 1 \amp 1 \amp 0 \end{array}\right], \quad \vb=\left[\begin{array}{r} 1\\0\\2 \end{array}\right].\)
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Réponse.
  1. \(\displaystyle \vx=\left[\begin{smallmatrix} \hfill \phantom{-}1\\ \hfill \phantom{-}1\\ \hfill \phantom{-}1 \end{smallmatrix}\right].\)
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  2. \(\displaystyle \vx=\tfrac{1}{3}\left[\begin{smallmatrix} \hfill \phantom{-}1\\ \hfill \phantom{-}4\\ \hfill \phantom{-}2 \end{smallmatrix}\right].\)
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  3. \(\displaystyle \vx=\left[\begin{smallmatrix} \hfill \phantom{-}0\\ \hfill \phantom{-}1\\ \hfill \phantom{-}1 \end{smallmatrix}\right].\)
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  4. \(\displaystyle \vx=\tfrac{1}{3}\left[\begin{smallmatrix} \hfill -2\\ \hfill -1\\ \hfill \phantom{-}7 \end{smallmatrix}\right].\)
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  5. \(\displaystyle \vx=\left[\begin{smallmatrix} \hfill \phantom{-}1\\ \hfill \phantom{-}1\\ \hfill \phantom{-}0 \end{smallmatrix}\right].\)
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  6. \(\displaystyle \vx=\tfrac{1}{3}\left[\begin{smallmatrix} \hfill \phantom{-}5\\ \hfill \phantom{-}1\\ \hfill -2 \end{smallmatrix}\right].\)
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19.

Considérer le système d’équations
\begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcrcrcc} kx_1 & - & kx_2 & - & 9x_3 & = & k+1\\ & & (k+2)x_2 & + & x_3 & = & 0\\ kx_1 & - & 8x_2 & + & (k-1)x_3 & = & k+1 \end{array}\right. \end{equation*}
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  1. Écrire le système sous forme matricielle \(A\vx = \bbm{b}\text{.}\) Calculer le déterminant de \(A\) et trouver pour quelles valeurs de \(k\) le système admet une solution unique.
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  2. Utiliser la règle de Cramer pour résoudre le système lorsque celui-ci admet une solution unique (cette solution doit être exprimée en fonction de \(k\)).
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Réponse.
Solution unique pour \(k \neq 0\) : \(\vx = \rvt{\tfrac{k+1}{k}}{0}{0}\text{.}\)
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20.

Dans chaque cas, on considère l’équation matricielle \(A\vx=\vb\text{,}\) où \(A\) dépend d’un paramètre réel \(k\text{.}\) Déterminer pour quelles valeurs de \(k\) l’équation admet une solution unique. Dans ce cas, donner la solution \(\vx\) en fonction de \(k\) (par la règle de Cramer).
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  1. \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} k \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 2\\ 1 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right], \quad \vb=\left[\begin{array}{r} 1\\0\\2 \end{array}\right].\)
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  2. \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 1 \amp k \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 1\\ 1 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right], \quad \vb=\left[\begin{array}{r} 2\\1\\0 \end{array}\right].\)
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  3. \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc} k-1 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp k+2 \amp 0\\ 2 \amp 3 \amp 1 \end{array}\right], \quad \vb=\left[\begin{array}{r} 1\\-1\\2 \end{array}\right].\)
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  4. \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc} k-2 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp k+1 \amp 0\\ 4 \amp 5 \amp 1 \end{array}\right], \quad \vb=\left[\begin{array}{r} 0\\1\\3 \end{array}\right].\)
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Réponse.
  1. \(k\neq -2\text{,}\) \(\vx=\tfrac{1}{k+2}\,\rvt{5\hfill}{2-4k}{2k-1}.\)
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  2. \(k\neq -1\text{,}\) \(\vx=\tfrac{1}{k+1}\,\rvt{2-k}{3\hfill}{k-2}.\)
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  3. \(k\neq 1,-2\text{,}\) \(\vx=\tfrac{1}{(k-1)(k+2)}\,\rvt{k+3\hfill}{-(k-1)\hfill}{2k^2+3k-13}.\)
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  4. \(k\neq 2,-1\text{,}\) \(\vx=\tfrac{1}{(k-2)(k+1)}\,\rvt{-1\hfill}{k-2\hfill}{3k^2-8k+8}.\)
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21.

Big Jack’s Pancake House gagne chaque mois \(40\%\) des clients de Satisfied Sadie, tandis que Sadie prend \(50\%\) de ceux de Jack’s. En ce moment, Sadie a \(20\%\) des clients totaux.
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  1. Trouver la matrice de transition \(T\text{.}\)
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  2. Trouver la distribution des clients après 1 mois.
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  3. Trouver la distribution stable. Donner des valeurs exactes.
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22.

Des robots ont été programmés pour circuler dans le circuit illustré ci-bas. À chaque intersection, un robot choisit au hasard (avec même probabilité) la direction dans laquelle il repart.
  1. Trouver la matrice de transition pour ce processus de Markov.
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  2. Utiliser la règle de Cramer pour trouver l’état stationnaire de ce processus.
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Réponse.
  1. \begin{equation*} T = \Mtt{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{4}}{0}{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{2}}{1}{0}{\tfrac{1}{4}}{0} \end{equation*}
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  2. \(\vx_\infty = \rvt{\tfrac{3}{8}}{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{8}}\text{.}\)
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23. La loi des cosinus par les déterminants.

Soit un triangle dont les côtés ont des longueurs \(a\text{,}\) \(b\) et \(c\text{,}\) et dont les angles opposés sont respectivement \(\alpha\text{,}\) \(\beta\) et \(\gamma\text{.}\)
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  1. En utilisant seulement la trigonométrie des triangles rectangles, montrer que
    \begin{equation*} \begin{cases} b\cos\gamma + c\cos\beta = a,\\ c\cos\alpha + a\cos\gamma = b,\\ a\cos\beta + b\cos\alpha = c. \end{cases} \end{equation*}
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  2. Résoudre le système précédent pour \(\cos\alpha\) en fonction de \(a\text{,}\) \(b\) et \(c\) à l’aide de la règle de Cramer, et en déduire la loi des cosinus.
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Solution.
  1. On abaisse la hauteur depuis le sommet \(A\) sur le côté \(BC\) et on appelle \(A'\) le pied de cette hauteur. On a \(a = BC = BA' + A'C\text{.}\) Le triangle rectangle \(BA'A\) donne \(BA' = c\cos\beta\text{,}\) et le triangle rectangle \(A'AC\) donne \(A'C = b\cos\gamma\text{,}\) d’où la première équation. Les deux autres s’obtiennent de façon analogue.
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  2. On réécrit le système sous forme matricielle \(A\vx = \vb\) :
    \begin{equation*} \Mtt{0}{c}{b}{c}{0}{a}{b}{a}{0} \Rvt{\cos\alpha}{\cos\beta}{\cos\gamma} = \Rvt{a}{b}{c}. \end{equation*}
    On calcule le déterminant de \(A\) en développant selon la première rangée:
    \begin{align*} \det{A} \amp = \begin{vmatrix} 0 \amp c \amp b\\ c \amp 0 \amp a\\ b \amp a \amp 0\end{vmatrix} \\ \amp = -c\,\Ddd{c}{a}{b}{0} + b\,\Ddd{c}{0}{b}{a} = -c(0-ab) + b(ac-0) = 2abc. \end{align*}
    Par la règle de Cramer :
    \begin{align*} \cos\alpha = \frac{1}{2abc} \begin{vmatrix} a \amp c \amp b\\ b \amp 0 \amp a\\ c \amp a \amp 0\end{vmatrix} \amp= \frac{1}{2abc}\left( a\,\Ddd{0}{a}{a}{0} - c\,\Ddd{b}{a}{c}{0} + b\,\Ddd{b}{0}{c}{a} \right)\\ \amp= \frac{1}{2abc}\bigl(a(0-a^2) - c(0-ac) + b(ab-0)\bigr)\\ \amp= \frac{-a^3+ac^2+ab^2}{2abc} = \frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}. \end{align*}
    On obtient ainsi la loi des cosinus : \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\text{.}\)
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