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Algèbre linéaire et géométrie vectorielle

Juan Carlos Bustamante, Sylvain Bérubé

Section 3.2 Inverse matriciel

On a vu qu’un système linéaire dont la matrice augmentée est \(\acm{A}{b}\) peut s’écrire, à l’aide de la multiplication matrice–vecteur, sous la forme \(A \vx = \vb\text{.}\)
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Il est alors tentant d’écrire quelque chose comme \(\vx = \tfrac{\vb}{A}\text{,}\) dans l’esprit de ce que l’on fait avec les nombres réels. Toutefois, cette écriture n’a, pour l’instant, aucun sens en algèbre matricielle.
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En effet, dans \(\R\text{,}\) une équation de la forme \(ax=b\) admet une unique solution lorsque \(a\neq 0\text{.}\) Dans ce cas, on a
\begin{equation*} ax=b \;\Rightarrow\; a^{-1}ax=a^{-1}b \;\Rightarrow\; x=a^{-1}b, \end{equation*}
et on peut aussi écrire \(x=ba^{-1}\text{.}\)
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La propriété clé ici est que \(a\neq 0\text{,}\) de sorte que \(a\) est un nombre réel inversible: il existe un nombre \(a'\in\R\) tel que
\begin{equation*} aa' = a'a = 1. \end{equation*}
Bien entendu, on écrit habituellement \(a'=\tfrac{1}{a}\) ou \(a'=a^{-1}\text{.}\)
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On sait toutefois déjà que l’algèbre matricielle est plus subtile que l’algèbre des nombres réels. L’exemple suivant illustre ce que pourrait jouer le rôle d’un «inverse» dans le contexte matriciel.
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Exemple 3.2.1.

On considère le système d’équations linéaires
\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{rcr} 3x+4y \amp = \amp 3\\ 5x+6y \amp = \amp 7\end{array}\right. \end{equation*}
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  1. Écrire ce système sous forme matricielle \(A\rvd{x}{y}=\vb\text{.}\)
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  2. Vérifier que \(\mdd{-3}{2}{^5/_2}{^{-3}/_2}\left[ \begin{smallmatrix} 3 \amp\phantom{-} 4\\[0.6em] 5\amp \phantom{-}6\end{smallmatrix}\right] =I_2\) et utiliser ce résultat pour résoudre le système.
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Solution.
  1. Le système est équivalent à
    \begin{equation*} \Mdd{3}{4}{5}{6}\Rvd{x}{y}=\Rvd{3}{7}. \end{equation*}
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  2. Un calcul direct montre que
    \begin{equation*} \Mdd{-3}{2}{\tfrac{5}{2}}{-\tfrac{3}{2}} \Mdd{3}{4}{5}{6} = \Mdd{-9+10}{-12+12}{\tfrac{15}{2}-\tfrac{15}{2}}{10-9} = \Mdd{1}{0}{0}{1} = I_2. \end{equation*}
    Ainsi,
    \begin{align*} \Mdd{3}{4}{5}{6}\Rvd{x}{y}=\Rvd{3}{7} \amp\Rightarrow \Mdd{-3}{2}{\tfrac{5}{2}}{-\tfrac{3}{2}} \Mdd{3}{4}{5}{6}\Rvd{x}{y} = \Mdd{-3}{2}{\tfrac{5}{2}}{-\tfrac{3}{2}}\Rvd{3}{7}\\ \amp\Rightarrow \Rvd{x}{y}=\Rvd{5}{-3}. \end{align*}
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Sous-section Matrices inversibles

Définition 3.2.2.

Une matrice carrée \(A\in \mmn{n}{n}\) est dite inversible s’il existe une matrice \(B\in \mmn{n}{n}\) telle que
\begin{equation*} AB = I = BA. \end{equation*}
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On dit alors que \(B\) est l’inverse de \(A\text{.}\)
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Exemple 3.2.3.

On a vérifié que \(\mdd{-3}{2}{^5/_2}{^{-3}/_2}\left[ \begin{smallmatrix} 3 \amp\phantom{-} 4\\[0.6em] 5\amp \phantom{-}6\end{smallmatrix}\right] = I_2\text{.}\) On calcule également que \(\left[ \begin{smallmatrix} 3 \amp\phantom{-} 4\\[0.6em] 5\amp \phantom{-}6\end{smallmatrix}\right]\mdd{-3}{2}{^5/_2}{^{-3}/_2}=I_2\text{,}\) ce qui montre que les matrices données sont mutuellement inverses.
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Démonstration.

On suppose que \(B\in \mmn{n}{n}\) et \(B'\in \mmn{n}{n}\) sont deux inverses de \(A\text{.}\) Alors
\begin{equation*} B = BI = B(AB') = (BA)B' = IB' = B'. \end{equation*}
Ainsi, \(B=B'\text{,}\) ce qui prouve l’unicité de l’inverse et garantit que la notation \(A^{-1}\) n’est pas ambiguë.
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Voici quelques exemples. Dans chacun des cas, il s’agit de vérifier que les produits requis donnent l’identité.
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Exemple 3.2.5.

  1. Soient \(M=\mtt 0 0 1 1 0 0 0 1 0\) et \(M'=\mtt 0 1 0 0 0 1 1 0 0\text{.}\) Alors \(MM'=\mtt 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = M'M\text{,}\) de sorte que \(M\) et \(M'\) sont mutuellement inverses.
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  2. Soient \(R=\mdd 1 2 2 5\) et \(R'=\mdd 5 {-2}{-2}1\text{.}\) À nouveau, \(R\) et \(R'\) sont mutuellement inverses.
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  3. Soit \(A=\tfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix}\sqrt{3} \amp -1\\ 1\amp \sqrt{3}\end{smallmatrix}\right]\text{.}\) On a vu à lexemple 3.1.50 que \(A^{12}=I\text{,}\) de sorte que \(A\) et \(A^{11}\) sont mutuellement inverses.
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  4. Soient \(P=\mdt 1 0 0 0 1 0\) et \(J=\mtd 1 0 0 1 0 0\text{.}\) Alors \(PJ=I_2\) mais \(JP=\mtt 1 0 0 0 1 0 0 0 0\text{.}\)
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Remarque 3.2.6.

Si \(A\in \mmn{n}{n}\) et \(B\in \mmn{n}{n}\) sont telles que \(AB=I\text{,}\) il peut être démontré que \(BA=I\) (voir le corollaire 5.2.13). Ainsi, pour les matrices carrées, une seule des deux égalités de la définition suffit. On accepte ce fait sans preuve.
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Le dernier item dans l’exemple précédent montre que ce n’est pas le cas pour les matrices qui ne sont pas carrées.
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Exemple 3.2.7.

Montrer que \(\mdd{1}{3}{0}{2}\) est inversible et trouver son inverse.
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Solution.
On cherche une matrice \(B=\mdd{a}{b}{c}{d}\) telle que \(AB=I\text{.}\)
\begin{equation*} \Mdd{1}{3}{0}{2}\Mdd{a}{b}{c}{d}=\Mdd{1}{0}{0}{1} \iff \Mdd{a+3c}{b+3d}{2c}{2d}=\Mdd{1}{0}{0}{1}. \end{equation*}
Cette égalité de matrices se traduit par des égalités à chaque position.
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  • La position \((2,1)\) donne \(2c=0\text{,}\) donc \(c=0\text{.}\)
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  • La position \((2,2)\) donne \(2d=1\text{,}\) donc \(d=\tfrac12\text{.}\)
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  • La position \((1,1)\) donne \(a+3c=1\text{,}\) donc (puisque \(c=0\)) \(a=1\text{.}\)
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  • La position \((1,2)\) donne \(b+3d=0\text{,}\) donc (puisque \(d=\tfrac12\)) \(b=-\tfrac{3}{2}\text{.}\)
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On a donc
\begin{equation*} B= \Mdd{1}{-\tfrac{3}{2}}{0}{\tfrac{1}{2}}. \end{equation*}
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Par construction, \(AB=I\text{.}\) De plus,
\begin{equation*} BA=\Mdd{1}{-\tfrac{3}{2}}{0}{\tfrac{1}{2}}\Mdd{1}{3}{0}{2}=\Mdd{1}{0}{0}{1}. \end{equation*}
Ainsi, \(B\) est l’inverse de \(A\text{.}\)
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La méthode illustrée dans cet exemple n’est pas très efficace. On reviendra sur une méthode systématique plus tard. Pour l’instant, on continue avec quelques exemples.
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Exemple 3.2.8.

Montrer que si \(A\) est une matrice carrée telle que \(A^2-2A+I=0\text{,}\) alors \(A\) est inversible et \(A^{-1}=2I-A\text{.}\)
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Solution.
En effet, de l’égalité donnée, on déduit directement:
\begin{equation*} A(2I-A)=2A-A^2=I \end{equation*}
et de même
\begin{equation*} (2I-A)A=2A-A^2=I. \end{equation*}
Ainsi, \(2I-A\) est un inverse de \(A\text{,}\) ce qui montre que \(A\) est inversible et que \(A^{-1}=2I-A\text{.}\)
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Exemple 3.2.9.

Soit \(A=\mdd{2}{-1}{6}{-3}\text{.}\) Montrer que \(A\) n’est pas inversible.
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Solution.
On remarque que les colonnes de \(A\) sont linéairement dépendantes, puisque \(\va_1+2\va_2=\vZero\text{.}\) Ainsi, \(A\rvd{1}{2}=\vZero\text{.}\) S’il existait une matrice \(B\) telle que \(BA=I_2\text{,}\) alors, en prémultipliant l’égalité \(A\rvd{1}{2}=\vZero\) par \(B\text{,}\) on obtiendrait
\begin{equation*} \Rvd{1}{2}=I_2\Rvd{1}{2}=(BA)\Rvd{1}{2}=B\left(A\Rvd{1}{2}\right)=B\vZero=\vZero, \end{equation*}
ce qui est une absurdité. Ainsi, \(A\) n’est pas inversible.
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L’argument clé dans l’exemple précédent est l’observation suivante: une relation de dépendance linéaire entre les colonnes d’une matrice empêche cette matrice d’être inversible. Cet argument est général.
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Démonstration.

  1. Soit \(\vb\in\R^n\text{.}\) Comme \(A\) est inversible, on a
    \begin{equation*} A\vx=\vb \Rightarrow A^{-1}A\vx=A^{-1}\vb \Rightarrow \vx=A^{-1}\vb. \end{equation*}
    Ainsi, si une solution existe, elle est unique. Par ailleurs, en prenant \(\vx=A^{-1}\vb\text{,}\) on vérifie qu’il s’agit bien d’une solution, donc elle existe.
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  2. Soient \(\va_1,\ldots,\va_n\) les colonnes de \(A\text{.}\) Chercher une relation \(\sum_{i=1}^n c_i\va_i=\vZero\) revient à chercher une solution non nulle de \(A\vx=\vZero\text{.}\) Par la partie (a), l’unique solution de \(A\vx=\vZero\) est \(\vx=\vZero\text{.}\) Les colonnes de \(A\) sont donc linéairement indépendantes.
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On s’intéresse donc aux problèmes suivants:
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  • Étant donnée une matrice, trouver un moyen efficace de décider si elle est inversible.
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  • Sachant qu’une matrice \(A\) est inversible, trouver son inverse \(A^{-1}\text{.}\)
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On commence avec le cas des matrices \(2\times 2\text{,}\) où la réponse est plutôt simple.
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On rappelle que pour deux vecteurs de \(\R^2\text{,}\) disons \(\rvd{a}{c}\) et \(\rvd{b}{d}\text{,}\) le nombre \(ad-bc\) est leur déterminant. On étend cette notion en considérant la matrice ayant ces deux vecteurs comme colonnes.
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Définition 3.2.11.

Étant donnée une matrice \(A=\mdd a b c d\in\mmn{2}{2}\text{,}\) le déterminant de \(A\) est le nombre réel \(\det A = ad-bc\text{.}\)
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Démonstration.

  • On suppose d’abord que \(ad-bc\neq 0\text{.}\) On pose \(X=\tfrac{1}{ad-bc}\Mdd{d}{-b}{-c}{a}\text{.}\) On calcule alors
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    \begin{align*} AX \amp = \tfrac{1}{ad-bc}\Mdd{a}{b}{c}{d}\Mdd{d}{-b}{-c}{a} = \tfrac{1}{ad-bc}\Mdd{ad-bc}{0}{0}{ad-bc}\\ \amp = I_2. \end{align*}
    On montre de la même façon que
    \begin{equation*} XA=I_2\text{.} \end{equation*}
    Ainsi, \(X=A^{-1}\text{.}\)
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  • Si \(ad-bc=0\text{,}\) alors les colonnes de \(A\text{,}\) à savoir les vecteurs \(\rvd{a}{c}\) et \(\rvd{b}{d}\text{,}\) sont linéairement dépendantes. Par la proposition 3.2.10, \(A\) n’est pas inversible.
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Exemple 3.2.13.

Résoudre le système d’équations en utilisant la matrice inverse:
\begin{equation*} \left\{ \begin{alignedat}{3} 2x \amp {} + {} \amp y \amp {}={} \amp -1\\ 5x \amp {} + {} \amp 3y \amp ={} \amp 2 \end{alignedat} \right. \end{equation*}
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Solution.
La matrice des coefficients est \(A=\mdd{2}{1}{5}{3}\text{.}\) Son déterminant vaut \(2\cdot 3-5\cdot 1=1\text{,}\) de sorte que \(A\) est inversible et, en fait, \(A^{-1}=\mdd{3}{-1}{-5}{2}\text{.}\)
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On calcule alors la solution du système avec la formule du théorème:
\begin{equation*} \Rvd{x}{y}=A^{-1}\Rvd{-1}{2} = \Mdd{3}{-1}{-5}{2}\Rvd{-1}{2} = \Rvd{-5}{9}. \end{equation*}
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À vous de jouer 3.2.14.

Soit \(A\) la matrice \(\displaystyle\left[\begin{array}{rr} -8 \amp 9 \cr 4 \amp 8 \cr \end{array}\right]\text{.}\)
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a) Cette matrice est-elle inversible?
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Réponse:
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b) Si la réponse est oui, déterminer la matrice inverse, sinon, réécrire la matrice \(A\) :
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Réponse.
\(\text{Oui}\)
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Exemple 3.2.15.

Soient \(A=\mdd{-1}{1}{1}{1}\) et \(B=\mdd{-2}{1}{3}{1}\text{.}\) Trouver toutes les matrices \(X\) telles que \(AX+B=X\text{,}\) s’il en existe.
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Solution.
Selon les règles de l’algèbre des matrices, on a:
\begin{align*} \amp\amp AX+B \amp = X \\ \iff\amp\amp B \amp = X-AX \\ \iff\amp\amp B \amp = (I-A)X \end{align*}
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Si la matrice \(I-A\) est inversible, alors on obtient
\begin{equation*} X=(I-A)^{-1}B. \end{equation*}
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Or \(I-A=\mdd{1}{0}{0}{1}-\mdd{-1}{1}{1}{1}=\mdd{2}{-1}{-1}{0}\) et \(\det{I-A}=2\cdot 0-(-1)(-1)=-1\neq 0\text{,}\) de sorte que \(I-A\) est bien inversible. De plus, la formule du théorème 3.2.12 donne \((I-A)^{-1}=\mdd{0}{1}{1}{-2}\text{.}\)
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Il vient donc
\begin{gather*} X=(I-A)^{-1}B = \Mdd{0}{1}{1}{-2}\Mdd{-2}{1}{3}{1} = \Mdd{3}{1}{-8}{-1}. \end{gather*}
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Voici maintenant quelques propriétés et règles de calcul avec les matrices inverses.
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Démonstration.

  1. Comme \(AA^{-1}=I=A^{-1}A\text{,}\) la matrice \(A^{-1}\) est inversible et son inverse est \(A\text{.}\)
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  2. En effet,
    \begin{equation*} (\a A)\left(\tfrac{1}{\a}A^{-1}\right) =\tfrac{\a}{\a}AA^{-1} =I =\left(\tfrac{1}{\a}A^{-1}\right)(\a A), \end{equation*}
    ce qui montre le résultat.
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  3. En effet,
    \begin{equation*} (AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=I, \end{equation*}
    et de même
    \begin{equation*} (B^{-1}A^{-1})(AB)=I. \end{equation*}
    Ainsi, \(AB\) est inversible et son inverse est \(B^{-1}A^{-1}\text{.}\)
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  4. En utilisant les propriétés de la transposition (voir le théorème 3.1.40), on a
    \begin{equation*} A^T\left(A^{-1}\right)^T=\left(A^{-1}A\right)^T=I^T=I, \end{equation*}
    et de même
    \begin{equation*} \left(A^{-1}\right)^TA^T=I. \end{equation*}
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  5. On procède par récurrence.
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    • Pour \(n=1\text{,}\) le résultat est immédiat.
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    • On suppose le résultat vrai pour un certain \(k\ge 1\text{.}\) Alors
      \begin{equation*} A^{k+1}\left(A^{-1}\right)^{k+1} =A A^k\left(A^{-1}\right)^k A^{-1} =AIA^{-1} =I, \end{equation*}
      et de même
      \begin{equation*} \left(A^{-1}\right)^{k+1}A^{k+1}=I. \end{equation*}
      Ainsi, \(A^{k+1}\) est inversible et \(\left(A^{k+1}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{k+1}\text{.}\)
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À vous de jouer 3.2.17.

À partir de l’information fournie, déterminer la matrice \(A\text{.}\)
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a) Si \(A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 2 \amp 3\cr 7 \amp 11 \end{array}\right]\text{,}\) alors \(A =\) (2 × 2 Tableau).
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b) Si \((2 A)^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 2 \amp 3\cr 7 \amp 11 \end{array}\right]\text{,}\) alors \(A =\) (2 × 2 Tableau).
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c) Si \((7 A^T)^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 2 \amp 3\cr 7 \amp 11 \end{array}\right]\text{,}\) alors \(A =\) (2 × 2 Tableau).
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d) Si \((I + 3 A)^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 2 \amp 3\cr 7 \amp 11 \end{array}\right]\text{,}\) alors \(A =\) (2 × 2 Tableau).
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À vous de jouer 3.2.18.

Déterminer la matrice \(X\) telle que
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\begin{equation*} \displaystyle\left[\begin{array}{rr} -4 \amp -4 \cr -2 \amp -6 \cr \end{array}\right] X + \displaystyle\left[\begin{array}{rr} -9 \amp 1 \cr 9 \amp 9 \cr \end{array}\right] = \displaystyle\left[\begin{array}{rr} -5 \amp -1 \cr 3 \amp -6 \cr \end{array}\right] X. \end{equation*}
Réponse : \(X=\) (2 × 2 Tableau).
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Exemple 3.2.19.

En supposant que toutes les matrices à inverser sont inversibles, exprimer \(X\) en fonction des autres matrices.
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  1. \(ABXA^{-1}B^{-1}=I+A\text{.}\)
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  2. \(A^{-1}(BX)^{-1}=\left(A^{-1}B\right)^2\text{.}\)
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  3. \(AX(D+BX)^{-1}=C\text{.}\)
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Solution.
On utilise les règles de l’algèbre matricielle et les propriétés des matrices inverses.
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  1. \(\phantom{a}\)
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    \begin{align*} \amp \amp ABXA^{-1}B^{-1} \amp = I+A \\ \iff\amp \amp \textcolor{red}{A^{-1}}ABXA^{-1}B^{-1} \textcolor{blue}{B} \amp = \textcolor{red}{A^{-1}}(X - AX)\textcolor{blue}{B} \\ \iff \amp \amp BXA^{-1} = A^{1}(I+A)B\\ \iff \amp \amp \textcolor{red}{B^{-1}}BXA^{-1} \textcolor{blue}{A} \amp = \textcolor{red}{B^{-1}} A^{-1} (I+A) B \textcolor{blue}{A}\\ \iff \amp \amp X \amp = B^{-1}A^{-1}(I+A)BA \\ \iff \amp \amp X \amp = B^{-1}A^{-1}BA + A \end{align*}
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  2. \(\phantom{b}\)
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    \begin{align*} \amp \amp A^{-1}\left(BX\right)^{-1} \amp = \left(A^{-1}B\right)^2\\ \iff \amp \amp \left(BXA\right)^{-1} \amp = A^{-1}BA^{-1}B \\ \iff \amp \amp BXA \amp = B^{-1}A B^{-1}A \\ \iff \amp \amp \textcolor{red}{B^{-1}}BXA\textcolor{blue}{A^{-1}} \amp = \textcolor{red}{B^{-1}}B^{-1}A B^{-1}A\textcolor{blue}{A^{-1}} \\ \iff \amp \amp X \amp = B^{-2} AB^{-1} \end{align*}
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  3. \(\phantom{c}\)
    🔗
    \begin{align*} \amp \amp AX(D+BX)^{-1} \amp = C \\ \iff \amp \amp AX \amp = C(D+BX) \\ \iff \amp \amp AX \amp = CD + CBX \\ \iff \amp \amp AX - CBX \amp = CD \\ \iff \amp \amp (A - CB)X \amp = CD \\ \iff \amp \amp X \amp = (A - CB)^{-1} CD \end{align*}
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Il faut remarquer que les solutions obtenues dans l’exemple précédent n’ont pas de représentation unique. En multipliant à gauche ou à droite par des matrices inversibles appropriées, on peut obtenir plusieurs expressions algébriquement équivalentes pour \(X\text{.}\)
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Exemple 3.2.20.

Simplifier \(A^{-1}(A+B)B^{-1}\text{.}\) En supposant que \(A+B\) est inversible, montrer que \(A^{-1}+B^{-1}\) l’est aussi et trouver son inverse.
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Solution.
On a
\begin{equation*} A^{-1}(A+B)B^{-1} =A^{-1}AB^{-1}+A^{-1}BB^{-1} =B^{-1}+A^{-1}. \end{equation*}
Ainsi,
\begin{equation*} A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}. \end{equation*}
Comme le produit de matrices inversibles est inversible (voir le théorème 3.2.16), \(A^{-1}+B^{-1}\) est inversible et
\begin{equation*} \left(A^{-1}+B^{-1}\right)^{-1} =\left(A^{-1}(A+B)B^{-1}\right)^{-1} =B(A+B)^{-1}A. \end{equation*}
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À vous de jouer 3.2.21.

Indiquer quels énoncés sont vrais pour toutes matrices \(A\) et \(B\) inversibles de dimension \(n\times n\text{.}\)
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  • \(\displaystyle (ABA^{-1})^5 = AB^5 A^{-1}\)
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  • \(\displaystyle (A+B)(A-B) = A^2-B^2\)
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  • \(7 A\) est inversible
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    🔗
  • \(A+B\) est inversible
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    🔗
  • \(\displaystyle AB=BA\)
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  • \(\displaystyle (AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}\)
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Sous-section Calcul de l’inverse d’une matrice

Jusqu’à présent, on a vu une technique permettant d’inverser les matrices \(2\times 2\text{.}\) Le but de ce qui suit est de développer une méthode générale permettant de décider si une matrice carrée arbitraire est inversible ou non, et, le cas échéant, de trouver son inverse. À cette fin, on doit caractériser plus finement la notion de matrice inversible. La preuve du résultat suivant fournira, comme sous-produit, l’algorithme recherché.
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Démonstration.

Soit \(A\in \mmn{n}{n}\text{.}\) On établit une chaîne d’implications montrant l’équivalence de ces énoncés.
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  • (a)\(\Rightarrow\)(b). Ceci a déjà été établi: il s’agit de la partie (a) de la proposition 3.2.10.
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  • (b)\(\Rightarrow\)(c). Il suffit de prendre \(\vb=\vZero\) dans (b).
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    🔗
  • (c)\(\Rightarrow\)(d). Ceci a déjà été démontré: c’est la partie (b) du corollaire 3.1.27.
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  • (d)\(\Rightarrow\)(e). Si les colonnes de \(A\) sont linéairement indépendantes, alors le système homogène \(A\vx=\vZero\) admet une unique solution. Le théorème 2.1.38 implique alors que le rang de \(A\) est \(n\text{.}\) Comme \(A\) est une matrice carrée \(n\times n\text{,}\) sa forme échelonnée réduite est donc \(I_n\text{.}\)
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  • (e)\(\Rightarrow\)(b). Pour résoudre \(A\vx=\vb\text{,}\) on réduit la matrice augmentée \(\acm{A}{\vb}\text{.}\) Comme la forme échelonnée réduite de \(A\) est \(I_n\text{,}\) la réduction donne une matrice de la forme \(\acm{I_n}{\vy}\text{.}\) La réduction préservant l’ensemble des solutions, \(\vx=\vy\) est l’unique solution.
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  • (b)\(\Rightarrow\)(a). Pour tout \(i\in\{1,2,\ldots,n\}\text{,}\) l’équation \(A\vx=\ve_i\) admet une unique solution, notée \(\vz_i\text{.}\) On pose \(Z=\left[\begin{array}{ccc}\vz_1\amp\cdots\amp\vz_n\end{array}\right]\text{.}\)
    🔗
    \begin{align*} AZ \amp= A\left[\begin{array}{ccc}\vz_1\amp\cdots\amp\vz_n\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}A\vz_1\amp\cdots\amp A\vz_n\end{array}\right]\\ \amp= \left[\begin{array}{ccc}\ve_1\amp\cdots\amp\ve_n\end{array}\right] = I_n. \end{align*}
    La remarque 3.2.6 permet de conclure
     1 
    C’est le seul endroit où l’on « triche ».
    .
    🔗
    🔗
🔗

Remarque 3.2.23.

Le résultat précédent fournit une méthode permettant de décider si une matrice est inversible. Il fournit également une méthode explicite pour calculer l’inverse, lorsque celui-ci existe.
🔗
En effet, si \(X\) est l’inverse de \(A\text{,}\) alors \(AX=I_n\text{.}\) En écrivant \(X=\left[\begin{array}{cccc}\vx_1\amp\vx_2\amp\cdots\amp\vx_n\end{array}\right]\text{,}\) la représentation matrice-colonnes du produit donne
🔗
\begin{align*} AX \amp= A\left[\begin{array}{cccc}\vx_1\amp\vx_2\amp\cdots\amp\vx_n\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}A\vx_1\amp A\vx_2\amp\cdots\amp A\vx_n\end{array}\right]\\ \amp= I_n = \left[\begin{array}{cccc}\ve_1\amp\ve_2\amp\cdots\amp\ve_n\end{array}\right]. \end{align*}
Ainsi, la première colonne de \(X\) s’obtient en résolvant \(A\vx_1=\ve_1\text{,}\) la deuxième en résolvant \(A\vx_2=\ve_2\text{,}\) et ainsi de suite.
🔗
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Dans la pratique, au lieu de résoudre \(AX = I_n\) colonne par colonne, on effectue tous ces calculs simultanément en réduisant la matrice augmentée \(\acn{A}{I_n}\text{.}\)
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Exemple 3.2.24.

Sachant que \(A=\mtt{\phantom{-}1}{\phantom{-}2}{-1}{2}{2}{4}{1}{3}{-3}\) est inversible, calculer son inverse.
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Solution.
On augmente la matrice \(A\) par la matrice identité et on effectue la réduction:
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\begin{align*} \phantom{\;R_2-2R_1\;} \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 2 \amp 2 \amp 4 \amp 0 \amp 1 \amp 0\\ 1 \amp 3 \amp -3 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right] \amp \xrightarrow[R_3 - R_1]{R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp -2 \amp 6 \amp -2 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp -2 \amp -1 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \xrightarrow[R_3 + \tfrac12 R_2]{-\tfrac12 R_2} \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp -3 \amp 1 \amp -\tfrac12 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp -2 \amp \tfrac12 \amp 1 \end{array}\right] \amp \xrightarrow[R_2 + 3R_3]{R_1 + R_3} \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp 2 \amp 0 \amp -1 \amp \tfrac12 \amp 1\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -5 \amp 1 \amp 3\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp -2 \amp \tfrac12 \amp 1 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \amp \xrightarrow{\;R_1-2R_2\;} \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 9 \amp -\tfrac32 \amp -5\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -5 \amp 1 \amp 3\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp -2 \amp \tfrac12 \amp 1 \end{array}\right] \end{align*}
Ainsi,
🔗
\begin{equation*} A^{-1}=\mtt{9}{-\tfrac32}{-5}{-5}{1}{3}{-2}{\tfrac12}{1}. \end{equation*}
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🔗
La procédure décrite ci-dessus est tout à fait générale. Elle fournit un algorithme systématique pour le calcul de l’inverse d’une matrice, lorsque celui-ci existe. Cet algorithme est connu sous le nom d’algorithme de Gauss–Jordan.
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Exemple 3.2.26.

On considère les matrices suivantes. Utiliser l’algorithme de Gauss–Jordan pour déterminer si elles sont inversibles. Si c’est le cas, trouver l’inverse.
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  1. \(\displaystyle A=\mtt{1}{-2}{-1}{-1}{5}{6}{5}{-4}{5}\)
    🔗
    🔗
  2. \(\displaystyle A=\left[\begin{smallmatrix} 1\amp 0\amp 1\amp 1\\ 0\amp 0\amp 1\amp 0\\ 1\amp 1\amp 1\amp 0\\ 1\amp 0\amp 0\amp 2 \end{smallmatrix}\right]\)
    🔗
    🔗
Solution.
  1. On réduit la matrice augmentée \(\acn{A}{I_3}\text{.}\)
    🔗
    \begin{align*} \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp -2 \amp -1 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ -1 \amp 5 \amp 6 \amp 0 \amp 1 \amp 0\\ 5 \amp -4 \amp 5 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right] \amp \xrightarrow[R_3 - 5R_1]{R_2 + R_1} \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp -2 \amp -1 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 3 \amp 5 \amp 1 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 6 \amp 10 \amp -5 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \amp \xrightarrow[R_3 - 2R_2]{} \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 \amp -2 \amp -1 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 3 \amp 5 \amp 1 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp -7 \amp 2 \amp 1 \end{array}\right] \end{align*}
    La partie gauche de la dernière ligne est nulle, tandis que la partie droite ne l’est pas. Il est donc impossible d’obtenir une matrice de la forme \(\acn{I_3}{X}\text{.}\) Ainsi, \(A\) n’est pas inversible (son rang est \(2\)).
    🔗
    🔗
  2. On réduit la matrice augmentée \(\acn{A}{I_4}\text{.}\)
    🔗
    \begin{align*} \hphantom{\;R_3 - R_1\;} \amp \left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 1 \amp 1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0\\ 1 \amp 0 \amp 0 \amp 2 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \xrightarrow[R_4 - R_1]{R_3 - R_1} \amp \left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -1 \amp -1 \amp 0 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp -1 \amp 1 \amp -1 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \xrightarrow{\;R_2 \leftrightarrow R_3\;} \amp \left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -1 \amp -1 \amp 0 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp -1 \amp 1 \amp -1 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \xrightarrow[R_4 + R_3]{} \amp \left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -1 \amp -1 \amp 0 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp -1 \amp 1 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \xrightarrow[R_2 + R_4]{R_1 - R_4} \amp \left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 2 \amp -1 \amp 0 \amp -1\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp -2 \amp 1 \amp 1 \amp 1\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp -1 \amp 1 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right] \\[-0.6em]\\ \xrightarrow{\;R_1 - R_3\;} \amp \left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 2 \amp -2 \amp 0 \amp -1\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp -2 \amp 1 \amp 1 \amp 1\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp -1 \amp 1 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right] \\[-0.6em] \end{align*}
    La matrice obtenue est de la forme \(\acn{I_4}{X}\text{.}\) Ainsi, \(A\) est inversible et \(A^{-1}=X\text{,}\) c’est-à-dire
    🔗
    \begin{equation*} A^{-1}= \left[\begin{array}{rrrr} 2 \amp -2 \amp 0 \amp -1\\ -2 \amp 1 \amp 1 \amp 1\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ -1 \amp 1 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right]. \end{equation*}
    🔗
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SageMath en action 3.2.27. Inversion par Gauss-Jordan.

Méthode de Gauss-Jordan : on augmente la matrice avec l’identité de la bonne taille, puis on invoque rref(). Si la partie gauche du résultat est l’identité, la matrice est inversible et la partie droite est son inverse.
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La méthode directe A.inverse() retourne l’inverse lorsque la matrice est inversible, et produit une erreur dans le cas contraire.
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À vous de jouer 3.2.28.

Si
\begin{equation*} A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 \amp -3 \amp -4 \\ -2 \amp 5 \amp 8 \\ 1 \amp -3 \amp -5 \end{array} \right], \end{equation*}
🔗
alors
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\(A^{-1}=\) (3 × 3 Tableau).
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À vous de jouer 3.2.29.

Si
\begin{equation*} A = \left[ \begin{array}{rrrr} 2 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \\ -7 \amp -3 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp -4 \\ 0 \amp 0 \amp 2 \amp -7 \end{array} \right], \end{equation*}
alors
🔗
\(A^{-1} =\) (4 × 4 Tableau).
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Sous-section Matrices élémentaires

Jusqu’à présent, les opérations élémentaires sur les rangées d’une matrice ont été un outil central. Elles permettent de réduire les matrices, ce qui est utile dans plusieurs contextes. Outre l’échange de deux rangées, ces opérations élémentaires consistent à effectuer des combinaisons linéaires de rangées.
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Par ailleurs, on a vu que la multiplication matricielle peut s’interpréter en termes de combinaisons linéaires: le produit \(EA\) combine les rangées de \(A\) (selon \(E\)), tandis que le produit \(BE\) combine les colonnes de \(B\) (selon \(E\)).
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On étudie ici les matrices qui, par multiplication, correspondent aux opérations élémentaires sur les rangées (ou sur les colonnes).
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Définition 3.2.30.

Une matrice \(E\in \mmn{n}{n}\) est dite élémentaire si elle est obtenue à partir de la matrice identité \(I_n\) en effectuant une unique opération élémentaire sur ses rangées ou sur ses colonnes.
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On rappelle qu’il existe trois types d’opérations élémentaires sur les rangées: \(R_i \leftrightarrow R_j\text{,}\) \(R_i + kR_j\text{,}\) et \(cR_i\) avec \(c\ne 0\text{.}\) On a les opérations analogues sur les colonnes: \(C_i \leftrightarrow C_j\text{,}\) \(C_i + kC_j\text{,}\) et \(cC_i\) avec \(c\ne 0\text{.}\)
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Exemple 3.2.31.

Voici quelques exemples de matrices élémentaires.
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  1. \(\displaystyle E=\left[\begin{smallmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \end{smallmatrix}\right]\)
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  2. \(\displaystyle E=\left[\begin{smallmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 10 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \end{smallmatrix}\right]\)
    🔗
    🔗
  3. \(\displaystyle E= \mtt{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{-10}{\phantom{-}1}\)
    🔗
    🔗
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On précise maintenant précisément le lien entre les matrices élémentaires et les opérations élémentaires. La preuve découle directement de la remarque 3.1.43.
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Démonstration.

On démontre seulement (a). L’énoncé (b) s’obtient en appliquant (a) à la transposée, en utilisant les propriétés du produit et de la transposition.
🔗
On rappelle que les colonnes de \(I_n\) sont les vecteurs de la base canonique \(\ve_1,\ve_2,\ldots,\ve_n\text{.}\) Soient aussi \(\vb_1,\vb_2,\ldots,\vb_n\) les colonnes de \(B\text{.}\) On distingue les trois types d’opérations élémentaires sur les colonnes.
🔗
  • Si \(E\) correspond à l’opération \(kC_j\text{,}\) alors \(E\) s’obtient en remplaçant la \(j\)-ième colonne de \(I_n\) par \(k\ve_j\text{,}\) donc
    🔗
    \begin{equation*} E=\left[\begin{array}{cccccc} \ve_1 \amp \cdots \amp k\ve_j \amp \cdots \amp \ve_n \end{array}\right]. \end{equation*}
    Par conséquent,
    🔗
    \begin{align*} BE \amp= B\left[\begin{array}{cccccc} \ve_1 \amp \cdots \amp k\ve_j \amp \cdots \amp \ve_n \end{array}\right]\\ \amp= \left[\begin{array}{cccccc} B\ve_1 \amp \cdots \amp B(k\ve_j) \amp \cdots \amp B\ve_n \end{array}\right]\\ \amp= \left[\begin{array}{cccccc} \vb_1 \amp \cdots \amp k\vb_j \amp \cdots \amp \vb_n \end{array}\right]. \end{align*}
    Autrement dit, \(BE\) est obtenue de \(B\) en multipliant sa colonne \(j\) par \(k\text{.}\)
    🔗
    🔗
  • On suppose maintenant que \(E\) corresponde à l’opération \(C_i \leftrightarrow C_j\text{.}\) Alors \(E\) est obtenue en échangeant les colonnes \(\ve_i\) et \(\ve_j\) de \(I_n\text{,}\) c’est-à-dire
    🔗
    \begin{equation*} E = \left[\begin{array}{ccccccccccc} \ve_1 \amp \cdots \amp \ve_{i-1} \amp \ve_{\textcolor{red}{j}} \amp \ve_{i+1} \amp \cdots \amp \ve_{j-1} \amp \ve_{\textcolor{red}{i}} \amp \ve_{j+1} \amp \cdots \amp \ve_n \end{array}\right] \end{equation*}
    Le produit \(BE\) échange donc les colonnes \(i\) et \(j\) de \(B\text{,}\) comme on le voit directement par la représentation matrice-colonnes. En effet,
    🔗
    \begin{align*} BE \amp = B\left[\begin{array}{ccccccccccc} \ve_1 \amp \cdots \amp \ve_{i-1} \amp \ve_{\textcolor{red}{j}} \amp \ve_{i+1} \amp \cdots \amp \ve_{j-1} \amp \ve_{\textcolor{red}{i}} \amp \ve_{j+1} \amp \cdots \amp \ve_n \end{array}\right] \\ \amp = \left[\begin{array}{ccccccccccc} \vb_1 \amp \cdots \amp \vb_{i-1} \amp \vb_{\textcolor{red}{j}} \amp \vb_{i+1} \amp \cdots \amp \vb_{j-1} \amp \vb_{\textcolor{red}{i}} \amp \vb_{j+1} \amp \cdots \amp \vb_n \end{array}\right] \end{align*}
    qui est bien la matrice obtenue de \(B\) en échangeant les colonnes \(i\) et \(j\text{.}\)
    🔗
    🔗
  • Si \(E\) correspond à l’opération \(C_i + kC_j\text{,}\) alors \(E\) s’obtient en remplaçant la \(i\)-ième colonne de \(I_n\) par \(\ve_i+k\ve_j\text{,}\) donc
    🔗
    \begin{equation*} E=\left[\begin{array}{ccccccc} \ve_1 \amp \cdots \amp \ve_{i-1} \amp (\ve_i+k\ve_j) \amp \ve_{i+1} \amp \cdots \amp \ve_n \end{array}\right]. \end{equation*}
    Ainsi,
    🔗
    \begin{align*} BE \amp= B \left[\begin{array}{ccccccc} \ve_1 \amp \cdots \amp \ve_{i-1} \amp \ve_i + k\ve_j \amp \ve_{i+1} \amp \cdots \amp \ve_n \end{array}\right]\\ \amp = \left[\begin{array}{ccccccc} B\ve_1 \amp \cdots \amp B(\ve_i + k\ve_j) \amp \cdots \amp B\ve_n \end{array}\right] \\ \amp = \left[\begin{array}{ccccccc} \vb_1 \amp \cdots \amp \vb_i + k\vb_j \amp \cdots \amp \vb_n \end{array}\right] \end{align*}
    Donc \(BE\) est obtenue de \(B\) en remplaçant sa colonne \(i\) par \(C_i+kC_j\text{.}\)
    🔗
    🔗
🔗

Exemple 3.2.33.

Soit \(A=\mtt{0}{0}{-2}{3}{-5}{0}{0}{-6}{0}, \quad E_1=\left[\begin{smallmatrix} 1 \amp 0 \amp \hfill 0\\ 0 \amp 1 \amp \hfill 0\\ 0 \amp 0 \amp 10 \end{smallmatrix}\right], \quad E_2=\left[\begin{smallmatrix} 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 1 \amp 0 \end{smallmatrix}\right], \quad E_3=\left[\begin{smallmatrix} \hfill 1 \amp 0 \amp 0\\ \hfill 0 \amp 1 \amp 0\\ -10 \amp 0 \amp 1 \end{smallmatrix}\right].\)
🔗
  1. Calculer les produits \(E_1 A\text{,}\) \(A E_1\text{,}\) \(E_2 A\) et \(A E_3 \)
    🔗
    🔗
  2. Soit en plus \(B=\left[\begin{smallmatrix} \hfill 0 \amp -2 \amp -1 \amp \phantom{-}0\\ \hfill 0 \amp \hfill 0 \amp\hfill 3 \amp\hfill 0\\ -6 \amp \hfill 0 \amp\hfill 0 \amp\hfill 4 \end{smallmatrix}\right].\) Calculer \(E_1 B\) et \(E_3 B\text{.}\)
    🔗
    🔗
Réponse.
    • \(\displaystyle E_1A = \Mtt{0}{0}{-2}{3}{-5}{0}{0}{-60}{0}, \qquad AE_1=\Mtt{0}{0}{-20}{3}{-5}{0}{0}{-6}{0}\)
      🔗
      🔗
    • \(\displaystyle E_2 A = \Mtt{0}{0}{-2}{0}{-6}{0}{3}{-5}{0}, \qquad AE_2 = \Mtt{0}{-2}{0}{3}{0}{-5}{0}{0}{-6}\)
      🔗
      🔗
    • \(\displaystyle AE_3 = \Mtt{20}{0}{-2}{3}{-5}{0}{0}{-6}{0}\)
      🔗
      🔗
    🔗
  2. \(\displaystyle E_1B = \left[ \begin{array}{rrrr}0 \amp -2 \amp -1 \amp 0\\ 0\amp 0\amp3\amp 0\\ -60\amp 0 \amp 0\amp 40 \end{array}\right], \qquad E_3 B = \left[ \begin{array}{rrrr}0 \amp -2 \amp -1 \amp 0\\ 0\amp 0\amp3\amp 0\\ -6\amp 20 \amp 10\amp 4 \end{array}\right] \)
    🔗
    🔗
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SageMath en action 3.2.34. Opérations élémentaires et produits de matrices.

SageMath peut construire directement les matrices élémentaires avec la commande elementary_matrix(n, ...), où \(n\) est la taille. Les arguments optionnels précisent l’opération élémentaire (les rangées sont indexées à partir de \(0\)) :
🔗
  • row1=i, row2=j — échange les rangées \(i\) et \(j\)
    🔗
    🔗
  • row1=i, scale=c — multiplie la rangée \(i\) par \(c\)
    🔗
    🔗
  • row1=i, row2=j, scale=c — ajoute \(c\) fois la rangée \(j\) à la rangée \(i\)
    🔗
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🔗
On vérifie les produits de l’exemple 3.2.33.
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🔗
On sait que les opérations élémentaires peuvent être défaites. Plus précisément, si l’on effectue une opération élémentaire, on peut la défaire en effectuant une autre opération élémentaire, comme l’indique le tableau suivant.
🔗
Opération \(cR_i\) \(R_i \leftrightarrow R_j\) \(R_i + cR_j\)
Opération inverse \(\tfrac{1}{c}R_i\) \(R_i \leftrightarrow R_j\) \(R_i - cR_j\)
Pour les opérations sur les colonnes, le même principe tient. De plus, la correspondance entre opérations élémentaires et multiplications matricielles se comporte particulièrement bien vis-à-vis de l’inversion.
🔗

Exemple 3.2.35.

Dans l’exemple précédent, la matrice \(E_3= \mtt{1}{0}{0}{1}{1}{0}{-10}{0}{1}\) est obtenue en effectuant l’opération élémentaire sur les rangées \(R_3-10R_1\text{.}\)
🔗
Pour défaire cela, on effectue l’opération élémentaire inverse (sur les rangées), c’est-à-dire \(R_3+10R_1\text{.}\)
🔗
Ainsi, \(E_3^{-1}=\left[\begin{smallmatrix} 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0\\ 10 \amp 0 \amp 1 \end{smallmatrix}\right].\)
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🔗
Les observations précédentes fournissent ce qu’il manque pour compléter la caractérisation des matrices inversibles. On peut même faire un peu plus.
🔗

Démonstration.

On a déjà établi l’équivalence des cinq premières conditions dans le théorème 3.2.22. Il reste donc à relier la condition (f) aux autres.
🔗
On montre d’abord que (e) entraîne (f). Si la forme échelonnée réduite de \(A\) est \(I_n\text{,}\) alors il existe une suite d’opérations élémentaires sur les rangées transformant \(A\) en \(I_n\text{.}\) À chaque opération élémentaire correspond une matrice élémentaire \(E_i\) telle que la transformation s’écrive par multiplication à gauche. Ainsi, pour certaines matrices élémentaires \(E_1,E_2,\ldots,E_k\text{,}\) on a
🔗
\begin{equation*} E_kE_{k-1}\cdots E_1A=I_n. \end{equation*}
En multipliant à gauche par l’inverse, on obtient
🔗
\begin{equation*} A=(E_kE_{k-1}\cdots E_1)^{-1}=E_1^{-1}E_2^{-1}\cdots E_k^{-1}. \end{equation*}
Or l’inverse d’une matrice élémentaire est encore une matrice élémentaire. Donc \(A\) est un produit de matrices élémentaires.
🔗
Enfin, (f) entraîne (a) : si \(A=E_1E_2\cdots E_k\) et que chaque \(E_i\) est inversible, alors leur produit \(A\) est inversible. Cela conclut la preuve.
🔗
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À vous de jouer 3.2.37.

Soient
🔗
\(A = \left[ \begin{array}{rr} 3 \amp 4 \\ -3 \amp -5 \end{array} \right]\) \(\quad \text{et} \quad\) \(B = \left[ \begin{array}{rrr} -4 \amp -3 \amp 3 \\ -3 \amp -1 \amp 4 \\ -4 \amp 4 \amp 5 \end{array} \right]\text{.}\)
🔗
À partir de l’information fournie, déterminer chaque matrice élémentaire ainsi que son inverse.
🔗
a. Si \(E_1 A= \left[ \begin{array}{rr} 18 \amp 24 \\ -3 \amp -5 \end{array} \right]\text{,}\) alors
🔗
\(E_1 =\) (2 × 2 Tableau) \(\quad \text{et} \quad\) \(E_1^{-1} =\) (2 × 2 Tableau).
🔗
b. Si \(E_2 A= \left[ \begin{array}{rr} -3 \amp -5 \\ 3 \amp 4 \end{array} \right]\text{,}\) alors
🔗
\(E_2 =\) (2 × 2 Tableau) \(\quad \text{et} \quad\) \(E_2^{-1} =\) (2 × 2 Tableau).
🔗
c. Si \(E_3 A= \left[ \begin{array}{rr} -15 \amp -26 \\ -3 \amp -5 \end{array} \right]\text{,}\) alors
🔗
\(E_3 =\) (2 × 2 Tableau) \(\quad \text{et} \quad\) \(E_3^{-1} =\) (2 × 2 Tableau).
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d. Si \(E_4 B= \left[ \begin{array}{rrr} -4 \amp -3 \amp 3 \\ -6 \amp -2 \amp 8 \\ -4 \amp 4 \amp 5 \end{array} \right]\text{,}\) alors
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\(E_4 =\) (3 × 3 Tableau) \(\quad \text{et} \quad\) \(E_4^{-1} =\) (3 × 3 Tableau).
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e. Si \(E_5 B= \left[ \begin{array}{rrr} -4 \amp -3 \amp 3 \\ -4 \amp 4 \amp 5 \\ -3 \amp -1 \amp 4 \end{array} \right]\text{,}\) alors
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\(E_5 =\) (3 × 3 Tableau) \(\quad \text{et} \quad\) \(E_5^{-1} =\) (3 × 3 Tableau).
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f. Si \(E_6 B= \left[ \begin{array}{rrr} -4 \amp -3 \amp 3 \\ -3 \amp -1 \amp 4 \\ -32 \amp -17 \amp 26 \end{array} \right]\text{,}\) alors
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\(E_6 =\) (3 × 3 Tableau) \(\quad \text{et} \quad\) \(E_6^{-1} =\) (3 × 3 Tableau).
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