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Algèbre linéaire et géométrie vectorielle

Juan Carlos Bustamante, Sylvain Bérubé

Section 1.1 Algèbre et géométrie vectorielle

La course de vecteurs est un jeu de papier et crayon qui simule une course de vélos soumise à des contraintes de mouvement. Il se joue sur du papier quadrillé, où chaque joueur contrôle un pion représentant un vélo se déplaçant sur une piste. Les règles sont expliquées dans la Feuille d'activités B.1. Ce jeu est aujourd’hui utilisé comme activité d’introduction intuitive aux vecteurs et aux déplacements en géométrie vectorielle.
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Figure 1.1.1. Le jeu de course des vecteurs.
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Sous-section Vecteurs dans le plan : algèbre et géométrie

Pour débuter, on considère un plan \(\plan{P}\text{,}\) que l’on suppose pour l’instant dépourvu de toute structure supplémentaire.
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  • Étant donnés deux points \(A\) et \(B\text{,}\) on définit le vecteur \(\vect{AB}\text{.}\) On le représente par une flèche orientée allant de \(A\) à \(B\text{,}\) mais il faut le comprendre comme étant le déplacement nécessaire pour aller de \(A\) à \(B\text{.}\) Il décrit ainsi la position relative du point \(B\) par rapport au point \(A\text{.}\)
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    Le point \(A\) est appelé la source, l’origine ou le point initial du vecteur \(\vect{AB}\text{,}\) tandis que \(B\) en est le but, l’extrémité ou le point final.
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  • Des vecteurs sont égaux s’ils correspondent au même déplacement.
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    Il est important de noter que deux vecteurs peuvent être égaux sans que les segments correspondants coïncident comme ensembles de points. En effet, il peut arriver que \(\vect{AB} = \vect{CD}\text{,}\) même si les segments \([AB]\) et \([CD]\) sont distincts. Cela signifie que le déplacement nécessaire pour aller de \(A\) à \(B\) est exactement le même que celui permettant d’aller de \(C\) à \(D\text{.}\) Les flèches \(\vect{AB}\) et \(\vect{CD}\) sont alors deux représentants du même vecteur.
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    Dans cette situation, le quadrilatère \(ABDC\) est un parallélogramme (en respectant l’ordre des points).
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  • Si l’on choisit un point arbitraire \(O \in \plan{P}\) comme origine du plan, alors à tout point \(A \in \plan{P}\) correspond son vecteur position, noté \(\vect{OA}\text{.}\) On écrira simplement \(\va\) pour désigner ce vecteur \(\vect{OA}\text{.}\)
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    Par convention, les lettres minuscules en caractères gras désignent des vecteurs, tandis que les lettres majuscules en caractères italiques désignent des points.
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Il est à noter que toutes ces notions ont un sens géométrique intrinsèque et ne nécessitent pas encore l’introduction de coordonnées.
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Figure 1.1.2. Les deux flèches dessinées représentent le même vecteur.
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Figure 1.1.3. Une convention d’écriture utile: \(\vect{AB} = \vb - \va\text{,}\) peu importe où l’origine se trouve.
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On suppose maintenant que l’on munit le plan \(\plan{P}\) de deux droites perpendiculaires passant par l’origine: l’axe des abscisses \(Ox\) et l’axe des ordonnées \(Oy\text{.}\) Chaque point \(A\) du plan est alors déterminé par ses coordonnées \((x_A, y_A)\text{,}\) et on écrira \(A(x_A, y_A)\text{.}\)
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Étant donnés deux points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\text{,}\) le déplacement nécessaire pour aller de \(A\) à \(B\) est de \(x_B - x_A\) unités selon l’axe des \(x\) et de \(y_B - y_A\) unités selon l’axe des \(y\text{.}\) On écrit alors \(\vect{AB} = \rvd{x_B - x_A}{y_B - y_A}\text{.}\)
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Les nombres \(x_B - x_A\) et \(y_B - y_A\) sont appelés les composantes du vecteur \(\vect{AB}\text{.}\) En particulier, le vecteur position du point \(A\) est \(\va = \rvd{x_A}{y_A}\text{.}\) À noter que deux vecteurs égaux ont les mêmes composantes.
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Lorsqu’un vecteur est représenté par une flèche dont la source est l’origine, on dit qu’il est dessiné en position standard. Dans ce cas, l’extrémité du vecteur étant dessinée en position standard est nommée le point associé à ce vecteur.
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Figure 1.1.4. Le vecteur \(\vect{AB} =\rvd{x_B - x_A}{y_B - y_A}\text{,}\) ainsi que plusieurs représentants dont celui en rouge en position standard.
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Exemple 1.1.5.

Soit \(A(-2,1)\) et \(B(4,3)\text{.}\)
  1. Trouver les composantes de \(\vect{AB}\text{.}\)
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  2. Dessiner le vecteur \(\vect{AB}\) en position standard.
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  3. Soit \(P(2,-1)\text{.}\) Trouver le point \(Q\) tel que \(ABPQ\) soit un parallélogramme.
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Solution.
  1. On calcule directement \(\vect{AB} = \rvd{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \rvd{4 - (-2)}{3 - 1} = \rvd{6}{2}\text{.}\)
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  2. Le vecteur en position standard est dessiné en rouge. On trouve également le point \(Q\) de la partie (c).
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    Figure 1.1.6.
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  3. Dire que \(ABPQ\) est un parallélogramme revient à dire que \(\vect{AB} = \vect{QP}\text{.}\) On a donc
    \begin{equation*} \vect{QP} = \rvd{x_P - x_Q}{y_P - y_Q} = \rvd{6}{2} \Leftrightarrow \rvd{2-x_Q}{-1-y_Q} = \rvd{6}{2}\text{,} \end{equation*}
    ce qui donne directement \(x_Q = -4\) et \(y_Q = -3\text{.}\) Par conséquent, \(Q(-4,-3)\text{.}\)
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SageMath en action 1.1.7. Vecteur directeur et point d’un parallélogramme.

Reprendre les calculs de l’exemple 1.1.5 avec SageMath. Modifier les coordonnées des points \(A\text{,}\) \(B\) et \(P\) pour explorer d’autres cas.
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Avant de poursuivre, on note que plusieurs autres notations sont usuelles pour les vecteurs. Parmi les plus fréquentes, on trouve l’utilisation des symboles \(\langle\) et \(\rangle\) pour délimiter les composantes d’un vecteur. Avec cette notation, on écrirait \(\vect{AB} =\langle x_B - x_A, y_B - y_A\rangle\text{.}\)
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Sous-section Opérations avec les vecteurs du plan

Comme on l’a vu dans le jeu de la course de vecteurs, on pense naturellement à l’addition de déplacements comme l’effet cumulé de deux déplacements.
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Plus précisément, en faisant appel aux coordonnées, si les vecteurs \(\vu = \rvd{u_1}{u_2}\) et \(\vv = \rvd{v_1}{v_2}\) sont donnés, alors on définit leur addition par la formule naturelle
\begin{equation*} \vu + \vv = \Rvd{u_1}{u_2} + \Rvd{v_1}{v_2} = \Rvd{u_1 + v_1}{u_2 + v_2}. \end{equation*}
L’addition des vecteurs se fait donc composante à composante. En particulier, on a le vecteur nul, à savoir \(\vZero = \rvd{0}{0}\text{.}\)
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Preuve de la relation de Chasles (proposition 1.1.8).

Soient \(A(x_A,y_A),\ B(x_B,y_B)\) et \(C(x_C,y_C)\) donnés. Alors on a
\begin{align*} \vect{AB} + \vect{BC} \amp = \Rvd{x_B - x_A}{y_B - y_A} + \Rvd{x_C - x_B}{y_C - y_B}\\ \amp = \Rvd{(x_B - x_A) + (x_C - x_B)}{(y_B - y_A) + (y_C - y_B)} = \Rvd{x_C - x_A}{y_C - y_A} = \vect{AC} \end{align*}
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On note que si des vecteurs \(\vu\) et \(\vv\) sont donnés, alors pour dessiner un représentant de \(\vu + \vv\text{,}\) il suffit de représenter \(\vu\text{,}\) puis de dessiner un représentant de \(\vv\) ayant comme source le but du représentant de \(\vu\text{.}\) Le vecteur \(\vu + \vv\) est alors représenté par le segment partant de la source de \(\vu\) et se rendant au but de \(\vv\text{.}\)
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Une autre interprétation importante de l’addition de vecteurs est la suivante. Les vecteurs \(\vu\) et \(\vv\) étant donnés, on se donne une source commune que l’on note \(O\text{.}\) Soient alors les points \(U\) et \(V\) tels que \(\vect{OU} = \vu\) et \(\vect{OV} = \vv\text{.}\) La somme \(\vw = \vu + \vv\) correspond au point \(W\text{,}\) qui complète le parallélogramme \(OVWU\text{.}\)
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En particulier, le vecteur \(\vw\) correspond à l’une des diagonales du parallélogramme.
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Figure 1.1.10. À gauche, la loi du triangle: on déplace \(\vv\) (son représentant bleu) jusqu’au but de \(\vu\) (le représentant gris de \(\vv\)). À droite, la loi du parallélogramme: cette fois, les deux vecteurs ont la même source.
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L’autre opération de base avec les vecteurs est la multiplication par un scalaire. Si on convient que \(2 \vu\) doit signifier la même chose que \(\vu + \vu\text{,}\) alors il devient naturel de définir, pour un scalaire \(c\in \R\) et un vecteur \(\vu = \rvd{u_1}{u_2}\text{,}\) la multiplication de \(\vu\) par \(c\) comme
\begin{equation*} c\vu = c \Rvd{u_1}{u_2} = \Rvd{cu_1}{cu_2} \end{equation*}
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Dans la fenêtre ci-dessous, faites varier la valeur de \(c\) avec le curseur afin de visualiser la multiplication d’un vecteur par un scalaire. Vous pouvez aussi faire bouger les points pour modifier le vecteur. En particulier, si on fait \(c=-1\text{,}\) on obtient le vecteur \(-\vu\) qui est représenté par la flèche correspondant à \(\vu\text{,}\) mais dans le sens opposé.
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Figure 1.1.11. La multiplication d’un vecteur \(\vu\) par un scalaire \(c\text{.}\) Vous pouvez faire varier \(c\) avec le curseur et déplacer les points pour modifier le vecteur \(\vu\text{.}\)
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En somme, multiplier un vecteur \(\vu\) par un scalaire \(c\) fait en sorte que le vecteur est:
  • étiré d’un facteur \(c\) lorsque \(1 \leqslant c\)
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  • raccourci d’un facteur \(c\) lorsque \(0 \leqslant c \leqslant 1\)
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  • renversé et raccourci d’un facteur \(|c|\) lorsque \(-1 \leqslant c \leqslant 0\)
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  • renversé et étiré d’un facteur \(|c|\) lorsque \(c \leqslant -1\text{.}\)
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Remarque 1.1.12.

On verra plus loin que les propriétés usuelles des opérations avec les vecteurs sont valables. Mais ceci sera fait dans un cadre plus général. Pour l’instant, on se contente de dire que l’arithmétique usuelle fonctionne bien.
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Définition 1.1.13.

Deux vecteurs non nuls \(\vu, \vv\) de \(\R^2\) sont colinéaires (ou parallèles) s’il existe un scalaire \(\l\) tel que \(\vu = \l \vv\text{.}\) Dans ce cas, on dit que \(\vu\) et \(\vv\) ont la même direction. Par ailleurs, leur sens est le même si \(\l \gt 0\) et il est opposé si \(\l \lt 0\text{.}\)
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À noter que, par définition, le vecteur nul \(\vZero\) est colinéaire à tout vecteur. Pour le vecteur nul, la notion de direction n’a pas de sens.
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Exemple 1.1.14.

Soient les vecteurs \(\vu = \rvd{10}{15},\ \vv = \rvd{2}{3}, \vw = \rvd{1}{5}\text{.}\)
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  1. Montrer que les vecteurs \(\vu\) et \(\vv\) sont colinéaires.
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  2. Montrer que les vecteurs \(\vu\) et \(\vw\) ne sont pas colinéaires.
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Solution.
  1. Par définition, deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple scalaire de l’autre. Or, \(\vu = \rvd{10}{15} = \rvd{5 \cdot 2}{5 \cdot 3} = 5 \rvd{2}{3} = 5 \vv\text{.}\) Ainsi, \(\vu\) est un multiple scalaire de \(\vv\text{,}\) ce qui montre que \(\vu\) est colinéaire à \(\vv\text{.}\)
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  2. Les vecteurs \(\vu\) et \(\vw\) seraient colinéaires s’il existait un scalaire \(\l\) tel que \(\vu = \l \vw\text{.}\) L’égalité \(\rvd{10}{15} = \l \rvd{1}{5}\) implique alors \(10 = \l\) et \(15 = 5\l\text{.}\) Or, la première équation donne \(\l = 10\text{,}\) tandis que la seconde donne \(\l = 3\text{,}\) ce qui est impossible.
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    Il n’existe donc aucun scalaire \(\l\) tel que \(\vu = \l \vw\text{,}\) et par conséquent, \(\vu\) n’est pas colinéaire à \(\vw\text{.}\)
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Démonstration.

On suppose d’abord que \(\vu\) et \(\vv\) sont colinéaires. Alors il existe un scalaire \(\l\) tel que \(\vu = \l \vv\text{,}\) c’est-à-dire \(u_1 = \l v_1\) et \(u_2 = \l v_2\text{.}\) Il vient \(u_1 v_2 = \l v_1 v_2 = \l v_2 v_1 = u_2 v_1\text{.}\)
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Réciproquement, on suppose que \(u_1 v_2 = u_2 v_1\text{.}\) On note que, par définition, \(\vZero\) est colinéaire à tout vecteur. Il suffit donc de considérer le cas où aucun des vecteurs est nul. Si \(v_1 \neq 0\text{,}\) alors on peut poser \(\l = \tfrac{u_1}{v_1}\text{.}\) Ceci implique à la fois \(u_1 = \l v_1\) et aussi \(u_2 = u_1 \tfrac{v_2}{v_1} = \l v_2\text{,}\) donc \(\vu = \l \vv\text{.}\) Si \(v_1 = 0\text{,}\) alors comme \(\vv \neq \vZero\text{,}\) on a nécessairement \(v_2 \neq 0\text{.}\) On peut alors poser \(\l = \tfrac{u_2}{v_2}\) et on trouve de la même façon que \(\vu = \l \vv\text{.}\)
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Définition 1.1.16.

Étant donnés deux vecteurs \(\vu = \rvd{u_1}{u_2},\ \vv = \rvd{v_1}{v_2}\text{,}\) leur déterminant est le nombre
\begin{equation*} \det{\vu,\vv} = \Ddet{u_1}{v_1}{u_2}{v_2} = u_1 v_2 - u_2 v_1. \end{equation*}
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Remarque 1.1.17.

  • À la lumière de la définition 1.1.16, la colinéarité de deux vecteurs est caractérisée par le fait que leur déterminant est nul. En effet, c’est simplement ce que la proposition 1.1.15 dit.
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  • Les déterminants sont un outil très puissant, on y reviendra dans un chapitre subséquent.
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Exemple 1.1.18.

  1. Pour quelle valeur de \(k\) les vecteurs \(\rvd{2}{5}\) et \(\rvd{k+1}{k-1}\) sont-ils colinéaires?
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  2. Pour quelle valeur de \(a\) les vecteurs \(\rvd{1}{a}\) et \(\rvd{-a}{1}\) sont-ils colinéaires?
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Réponse.
  1. Pour \(k=-\tfrac{7}{3}\text{.}\)
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  2. Jamais.
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Solution.
Deux vecteurs \(\vu\) et \(\vv\) sont colinéaires si et seulement si \(\det{\vu,\vv} = 0\text{.}\)
  1. On calcule directement:
    \begin{equation*} \Ddet{2}{k+1}{5}{k-1} = 2(k-1) - 5(k+1) = -3k - 7 \end{equation*}
    de sorte que les vecteurs sont colinéaires lorsque \(-3k - 7 = 0\text{,}\) c’est-à-dire lorsque \(k = -\tfrac{7}{3}\text{.}\)
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  2. Cette fois, on a
    \begin{equation*} \Ddet{1}{-a}{a}{1} = 1 + a^2 \end{equation*}
    qui est strictement positive pour tout \(a\in \R\text{.}\) Autrement dit, l’équation \(1 + a^2 = 0\) n’a pas de solution. Les vecteurs ne sont donc jamais colinéaires.
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La proposition suivante peut être démontrée directement en travaillant avec les coordonnées. On va plutôt donner une preuve qui met l’accent sur l’idée géométrique qui consiste à penser les vecteurs comme des déplacements.
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Démonstration.

  1. Dire que le déplacement nécessaire pour aller de \(A\) à \(B\) est nul revient à dire que \(A\) et \(B\) sont le même point.
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  2. Aller de \(A\) à \(B\) puis de \(B\) à \(A\) revient à ne pas bouger. Plus précisément
    \begin{equation*} \vZero = \vect{AA} = \vect{AB} + \vect{BA} \implies \vect{BA} = -\vect{AB}. \end{equation*}
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  3. On suppose que \(\vect{AB} = \vect{CD}\text{.}\) Alors, par la relation de Chasles, on a
    \begin{equation*} \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BC} = \vect{CD} + \vect{BC} = \vect{BD}. \end{equation*}
    La réciproque se fait de la même façon.
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Sous-section Vecteurs dans l’espace à \(3\) dimensions

Les définitions et propriétés introduites dans le plan se transposent exactement dans l’espace à trois dimensions.
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L’espace est muni d’un point distingué, l’origine, et de trois axes deux à deux orthogonaux. Une subtilité mérite toutefois d’être soulignée. Dans le plan, on adopte une convention d’orientation, laquelle stipule que l’on passe du demi-axe positif \(Ox\) au demi-axe positif \(Oy\) dans le sens antihoraire. Dans l’espace, il est aussi nécessaire de fixer une convention d’orientation.
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Les trois axes \(Ox, Oy, Oz\) sont donc orientés de manière à satisfaire la loi de la main droite: si l’index de la main droite pointe dans la direction de l’axe \(Ox\) et le majeur dans celle de l’axe \(Oy\text{,}\) alors le pouce pointe dans la direction de l’axe \(Oz\text{.}\)
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Figure 1.1.20. L’espace tridimensionnel muni d’un repère obéissant à la loi de la main droite. La colonne de gauche présente les vecteurs et les points. Vous pouvez faire bouger les points pour voir comment les coordonnées varient. Vous pouvez aussi faire tourner le repère pour changer le point de vue.
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Remarque 1.1.21. Les vecteurs de la base canonique.

Les vecteurs suivants jouent un rôle crucial.
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  • En deux dimensions: \(\vi = \rvd{1}{0}, \, \vj = \rvd{0}{1}\text{.}\)
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  • En trois dimensions: \(\vi = \rvt{1}{0}{0}, \, \vj =\rvt{0}{1}{0}, \, \vk =\rvt{0}{0}{1}\text{.}\)
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On les appelle les vecteurs de la base canonique.
 1 
On reviendra sur la notion de base ultérieurement.
Il est aussi commun d’écrire \(\ve_1\text{,}\) \(\ve_2\) et \(\ve_3\) à la place de \(\vi\text{,}\) \(\vj\) et \(\vk\text{,}\) respectivement.
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Grâce aux propriétés des opérations avec les vecteurs, on peut notamment écrire:
\begin{equation*} \rvd{a_1}{a_2} =a_1\,\vi+a_2\,\vj,\qquad\qquad \rvt{a_1}{a_2}{a_3} =a_1\,\vi+a_2\,\vj+a_3\,\vk. \end{equation*}
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À vous de jouer 1.1.22.

Donner un représentant du vecteur \(\overrightarrow{AB} = \left\lt 1,3\right>\) dans \(\mathbb{R}^2\) en donnant des points \(A\) et \(B\) de sorte qu’aucun d’eux ne soit l’origine.
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\(A =\)
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\(B =\)
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Réponse.
\(\left(-7,5\right);\,\left(-6,8\right)\)
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Sous-section Opérations avec les vecteurs dans le cas général

On voit maintenant comment les opérations avec les vecteurs sont définies dans le cas général, c’est-à-dire sans se restreindre aux vecteurs dans le plan.
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Définition 1.1.23. Vecteurs de \(\R^n\).

Par \(\R^n\text{,}\) on dénote l’ensemble de tous les \(n-\)uplets de nombres réels qu’on écrit sous forme de vecteurs colonne, c’est-à-dire
\begin{equation*} \R^n = \left\{ \vx = \begin{bmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix} \text{ où } x_i\in \R \right\} \end{equation*}
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Pour \(\vx = \rvt{x_1}{\vdots\hfill }{x_n},\ \vy = \rvt{y_1}{\vdots\hfill}{y_n} \in \R^n\text{,}\) et \(c\in \R\text{,}\) on définit
\begin{equation*} \vx + \vy = \left[\begin{array}{c}x_1 +y_1\\\vdots \\x_n +y_n \end{array} \right] \qquad \text{ et } \qquad c\vx = \left[ \begin{array}{c} cx_1\\ \vdots \\ cx_n\end{array}\right]\text{.} \end{equation*}
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Tel qu’on l’a mentionné plus tôt, ces opérations vérifient un certain nombre de propriétés.
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Démonstration.

Soient \(\vu = \rvt{u_1}{\vdots}{u_n},\ \vv = \rvt{v_1}{\vdots}{v_n}, \vw = \rvt{w_1}{\vdots}{w_n}\) des vecteurs arbitraires de \(\R^n\text{,}\) et soient \(c, d \in \R\text{.}\)
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  1. Par définition de l’addition des vecteurs, on a
    \begin{equation*} \vu + \vv = \left[\begin{array}{c} u_1 + v_1\\ \vdots\\ u_n + v_n \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} v_1 + u_1\\ \vdots\\ v_n + u_n \end{array}\right] = \vv + \vu. \end{equation*}
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  2. À nouveau, par définition de l’addition des vecteurs, on a
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    \begin{align*} (\vu + \vv) + \vw \amp = \left(\left[\begin{array}{c} u_1\\ \vdots\\ u_n \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} v_1\\ \vdots\\ v_n \end{array}\right]\right) + \left[\begin{array}{c} w_1\\ \vdots\\ w_n \end{array}\right]\\ \amp = \left[\begin{array}{c} u_1 + v_1\\ \vdots\\ u_n + v_n \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} w_1\\ \vdots\\ w_n \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} (u_1 + v_1)+ w_1\\ \vdots\\ (u_n + v_n)+w_n \end{array}\right]\\ \amp = \left[\begin{array}{c} u_1 +(v_1+ w_1)\\ \vdots\\ u_n+(v_n+w_n) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} u_1\\ \vdots\\ u_n \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} v_1 + w_1\\ \vdots\\ v_n + w_n \end{array}\right]\\ \amp = \left[\begin{array}{c} u_1\\ \vdots\\ u_n \end{array}\right] + \left( \left[\begin{array}{c} v_1\\ \vdots\\ v_n \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} w_1\\ \vdots\\ w_n \end{array}\right] \right) = \vu +(\vv + \vw) \end{align*}
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  3. C’est une conséquence directe de la définition de l’addition des vecteurs et du fait que \(\vZero = \rvt{0}{\vdots}{0}\text{.}\)
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  4. C’est une conséquence directe du fait que \(-\vu = \rvt{-u_1}{\vdots}{-u_n}\) et de la définition de l’addition des vecteurs.
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  5. Par définition de la multiplication par un scalaire, on a
    \begin{equation*} c(\vu + \vv) = c \left[\begin{array}{c} u_1 + v_1\\ \vdots\\ u_n + v_n \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} c(u_1 + v_1)\\ \vdots\\ c(u_n + v_n) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} cu_1 + cv_1\\ \vdots\\ cu_n + cv_n \end{array}\right] = c\vu + c\vv. \end{equation*}
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  6. Il suit de la définition de la multiplication par un scalaire que
    \begin{align*} (c+d)\vu \amp = (c+d) \left[\begin{array}{c} u_1\\ \vdots\\ u_n \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} (c+d)u_1\\ \vdots\\ (c+d)u_n \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} cu_1 +du_1\\ \vdots\\ cu_n + du_n \end{array}\right]\\ \amp = \left[\begin{array}{c} cu_1\\ \vdots\\ cu_n \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} du_1\\ \vdots\\ du_n \end{array}\right] = c\vu + d\vu \end{align*}
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  7. Par définition de la multiplication par un scalaire, on a
    \begin{equation*} c(d\vu) = c \left[\begin{array}{c} du_1\\ \vdots\\ du_n \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} c(du_1)\\ \vdots\\ c(du_n) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} (cd)u_1\\ \vdots\\ (cd)u_n \end{array}\right] = (cd)\vu. \end{equation*}
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  8. C’est une conséquence directe de la définition de la multiplication par un scalaire.
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Comme précédemment, on peut définir la colinéarité des vecteurs dans \(\R^n\text{.}\)
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Définition 1.1.25.

Deux vecteurs non nuls \(\vu,\vv \in \R^n\) sont colinéaires (ou parallèles) s’il existe un scalaire \(\l \in \R\) tel que \(\vu = \l \vv\text{.}\) Dans ce cas, on dit que \(\vu\) et \(\vv\) ont la même direction. Par ailleurs, leur sens est le même si \(\l \gt 0\) et il est opposé si \(\l \lt 0\text{.}\)
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À noter que, par définition, le vecteur nul \(\vZero\) est colinéaire à tout vecteur. Pour le vecteur nul, la notion de direction n’a pas de sens.
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Exemple 1.1.26.

Soient \(\vu = \rvt{1}{2}{1}\) et \(\vv = \rvt{0}{4}{7}\text{.}\) Calculer \(\vu + \vv\text{,}\) \(2\vu\) et \(-3\vu\text{.}\)
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Solution.
On calcule directement:
  • \(\vu + \vv = \rvt{1}{2}{1} + \rvt{0}{4}{7} = \rvt{1+0}{2+4}{1+7} = \rvt{1}{6}{8}\text{.}\)
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  • \(2\vu = 2 \rvt{1}{2}{1} = \rvt{2}{4}{2}\text{.}\)
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  • \(-3\vv = -3 \rvt{0}{4}{7} = \rvt{0}{-12}{-21}\text{.}\)
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Exemple 1.1.27.

Soit \(P(1, -3, 2),\, Q(2, 0, -4)\) et \(R(6, -2, -5)\) trois points. Trouver les coordonnées \(S\) de sorte que \(PQRS\) soit un parallélogramme.
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Réponse.
\(S(5,-5,1)\)
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Solution.
Le quadrilatère \(PQRS\) est un parallélogramme si et seulement si \(\vect{QP} = \vect{RS}\text{,}\) c’est-à-dire si et seulement si \(\vp - \vq = \vs - \vr\text{.}\) Mais ceci équivaut à \(\vs = \vr + (\vp - \vq)\text{.}\) On a donc
\begin{equation*} \vs = \Rvt{6}{-2}{-5} + \left(\Rvt{1}{-3}{2} - \Rvt{2}{0}{-4}\right) = \Rvt{6}{-2}{-5} + \Rvt{-1}{-3}{6} = \Rvt{5}{-5}{1} = \vect{OS} \end{equation*}
et donc \(S(5,-5,1)\text{.}\)
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SageMath en action 1.1.28. Opérations vectorielles dans l’espace.

On reprend les calculs des exemples précédents à l’aide de SageMath. Vous pouvez modifier les vecteurs et les points pour vérifier les calculs.
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  1. Opérations sur les vecteurs.
    Les calculs de l’exemple 1.1.26.
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  2. Parallélogramme dans l’espace.
    Reprendre les calculs de l’exemple 1.1.27.
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Exemple 1.1.29.

Exprimer \(\vx\) en termes de \(\va\) et \(\vb\) lorsque \(\vx + 2\va - \vb = 3(\vx + \va) - 2 (2\va-\vb)\text{.}\) Trouver ensuite \(\vx\) lorsque \(\va= \rvd{1}{2}\) et \(\vb = \rvd{-2}{3}\text{.}\)
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Réponse.
\(\vx = \Rvd{\tfrac{9}{2}}{-\tfrac{3}{2}}\)
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Solution.
On utilise les propriétés des opérations avec les vecteurs.
\begin{align*} && \vx + 2\va - \vb &= 3(\vx + \va) - 2(2\va - \vb)\\ \iff && \vx + 2\va - \vb &= 3\vx + 3\va - 4\va + 2\vb\\ \iff && \vx + 2\va - \vb &= 3\vx - \va + 2\vb\\ \iff&& -2\vx &= - 3\va + 3\vb\\ \iff&& 2\vx &= 3(\va - \vb)\\ \iff&& \vx &= \tfrac{3}{2}(\va - \vb)\\ \iff&& \vx &= \tfrac{3}{2}\left( \Rvd{1}{2} - \Rvd{-2}{3} \right) = \tfrac{3}{2} \Rvd{3}{-1} = \Rvd{\tfrac{9}{2}}{-\tfrac{3}{2}} \end{align*}
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À vous de jouer 1.1.30.

Pour cette question, vous devez entrer votre réponse avec la syntaxe \(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}\text{,}\) où \(a\) et \(b\) sont les composantes de votre vecteur réponse.
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Soit \(\mathbf u = -3\,\mathit{\mathbf i}-\,\mathit{\mathbf j}\text{,}\) \(\mathbf v= \,\mathit{\mathbf i}+\,\mathit{\mathbf j}\) et \(\mathbf w = 4\,\mathit{\mathbf i}+4\,\mathit{\mathbf j}\text{.}\) Déterminer le vecteur \(\mathbf x\) tel que
\begin{equation*} 7 \mathbf u - \mathbf v + \mathbf x = 4 \mathbf x + \mathbf w. \end{equation*}
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Dans ce cas, \(\mathbf x =\) .
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Réponse.
\(-8.66667\,\mathit{\mathbf i}-4\,\mathit{\mathbf j}\)
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Définition 1.1.31.

Étant donnée une famille de vecteurs de \(\R^n\text{,}\) par exemple \(\{\vu_1,\ldots,\vu_k\}\text{,}\) on appelle combinaison linéaire de ces vecteurs tout vecteur qui peut s’écrire comme une somme de multiples scalaires des vecteurs de la famille.
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Plus formellement, un vecteur \(\vv\) est une combinaison linéaire de \(\{\vu_1,\ldots,\vu_k\}\) s’il existe des scalaires \(c_1,\ldots,c_k\) tels que
\begin{equation*} \vv = \sum_{i=1}^k c_i \vu_i \end{equation*}
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Exemple 1.1.32.

Soient les vecteurs \(\vu = \rvd{2}{1}, \vv = \rvd{1}{-3}\) et \(\vw = \rvd{8}{-3}\text{.}\)
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  1. Exprimez \(\vw\) comme combinaison linéaire des vecteurs \(\vu\) et \(\vv\text{.}\) Utilisez la grille ci-bas pour vous faire une idée et illustrer la situation.
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  2. Trouvez la solution au système d’équations
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{lcr} 2x+y \amp = \amp 8 \\ x-3y \amp = \amp-3 \end{array}\right. \end{equation*}
    Faites une figure pour illustrer votre solution.
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Figure 1.1.33. Une nouvelle grille associée aux vecteurs \(\vu\) et \(\vv\text{.}\)
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Solution.
  1. Dans la grille fournie, on dessine le vecteur \(\vw\) et on constate qu’on peut l’obtenir en partant de l’origine, en combinant trois fois le déplacement correspondant à \(\vu\) puis deux fois le déplacement correspondant à \(\vv\text{.}\) On a donc \(\vw = 3\vu + 2\vv\text{.}\) Voir la figure de gauche ci-après.
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    Si l’on veut procéder par les calculs, on cherche des constantes \(c_1, c_2\) telles que \(\vw = c_1 \vu + c_2 \vv\text{,}\) c’est-à-dire telles que
    \begin{align*} \Rvd{8}{-3} \amp = c_1 \Rvd{2}{1} + c_2 \Rvd{1}{-3} \end{align*}
    Cette égalité vectorielle, écrite composante à composante revient à résoudre le système d’équations
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{lcr} 2c_1+c_2 \amp= \amp 8 \\ c_1-3c_2 \amp = \amp-3. \end{array}\right. \end{equation*}
    On note qu’au nom des variables près, il s’agit du système à résoudre en (b).
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  2. De la première équation, on tire \(y = 8 - 2x\) qu’on remplace dans la deuxième équation pour obtenir
    \begin{equation*} x - 3(8 - 2x) = -3 \iff 7x = 21 \iff x = 3. \end{equation*}
    En remplaçant dans la première équation, on trouve \(y = 8 - 2 \cdot 3 = 2\text{.}\) La solution est donc \((x,y) = (3,2)\text{.}\) Voir la figure de droite ci-après.
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    On note qu’on peut aussi résoudre le système de la façon suivante:
    • Après multiplication de la deuxième équation par \(2\text{,}\) on trouve
      \begin{equation*} \left\{\begin{array}{lcr} 2x+y \amp = \amp 8 \\ 2x-6y \amp =\amp-6. \end{array}\right. \end{equation*}
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    • En soustrayant la première équation de la deuxième, on trouve \(-7y = -14\text{,}\) c’est-à-dire \(y= 2\text{,}\) ce qui dans la première équation donne \(x = 3\text{.}\)
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Figure 1.1.34. La grille originale avec le vecteur.
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Figure 1.1.35. Les deux droites et leur point commun.
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On retiendra de cet exemple que la résolution d’un système linéaire peut être interprétée non seulement en termes de recherche de points communs à deux droites.
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Sous-section Géométrie avec des vecteurs, sans coordonnées

S’il est vrai qu’on travaille souvent avec des coordonnées, on peut aussi étudier efficacement la géométrie en utilisant les vecteurs comme des déplacements, sans recourir aux coordonnées.
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Le choix de l’origine n’est pas important en soi, mais il peut être utile de penser qu’on a un point distingué \(O\text{.}\) Ainsi, pour un point donné \(A\text{,}\) on écrira \(\va = \vect{OA}\text{.}\) En particulier, on a toujours \(\vect{AB} = \vb - \va\text{.}\)
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Bien que l’on n’ait pas encore abordé la notion de distance, le langage vectoriel dont on dispose suffit à caractériser, par exemple, le milieu d’un segment. En effet, le milieu d’un segment est situé à mi-chemin entre les extrémités du segment. On a donc une égalité de déplacements, c’est-à-dire une égalité vectorielle.
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Définition 1.1.36.

Étant donnés deux points \(A\) et \(B\text{,}\) le milieu du segment \(AB\) est le point \(M\) tel que
\begin{equation*} \vect{AM} = \tfrac{1}{2} \cdot \vect{AB}. \end{equation*}
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Remarque 1.1.37.

Avec les conventions introduites plus tôt, l’égalité de la définition devient simplement \(\vm - \va = \tfrac{1}{2}(\vb - \va)\text{.}\) Grâce aux règles de calcul établies, ceci donne
\begin{equation*} \vm = \tfrac{1}{2}(\va + \vb). \end{equation*}
Cela permet d’interpréter le milieu comme la moyenne des positions des deux extrémités du segment.
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De façon équivalente, on a \(2\vm = \va + \vb\) ou encore \(\vm - \va = \vb - \vm\) ce qui se traduit par
\begin{equation*} \vect{AM} = \vect{MB} \qquad \text{ou encore} \qquad\vect{MA} + \vect{MB} = \vZero \end{equation*}
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Toutes ces égalités caractérisent le milieu \(M\) du segment \(AB\text{.}\)
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Voici quelques applications de cette idée.
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Démonstration.

Soit \(ABC\) un triangle, et soient \(Q\) et \(P\) les milieux des segments \(CA\) et \(CB\) respectivement (voir figure).
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\(\,\)
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En vertu de la remarque précédente, on a alors
\begin{equation*} \vq = \tfrac{1}{2}(\vc + \va) \quad \text{ et } \quad \vp = \tfrac{1}{2}(\vb + \vc). \end{equation*}
Ainsi, on a directement
\begin{align*} \vect{QP} \amp=\vp - \vq\\ \amp = \tfrac{1}{2}(\vb + \vc) - \tfrac{1}{2}(\vc + \va)\\ \amp = \tfrac{1}{2}(\vb - \va) = \tfrac{1}{2} \cdot \vect{AB} \end{align*}
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Ceci montre que les vecteurs \(\vp - \vq\) et \(\vb - \va\) sont colinéaires, donc que les segments \(QP\) et \(AB\) sont parallèles.
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Ce qui a été fait pour le milieu du segment peut se généraliser aisément.
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Exemple 1.1.39.

Donner une description vectorielle du point \(P\) qui se trouve à un tiers du chemin de \(A\) à \(B\text{.}\) Généralisez, pour une proportion quelconque \(t \in [0,1]\text{.}\)
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Indice.
Essayez de décrire le chemin qu’il faut pour se rendre de \(A\) à \(P\text{,}\) puis comparez-le à celui nécessaire pour se rendre de \(A\) à \(B\text{.}\)
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Solution.
Le point cherché \(P\) vérifie \(\vect{AP} = \tfrac{1}{3} \vect{AB}\text{,}\) ou, plus généralement \(\vect{AP} = t \vect{AB}\) pour un \(t\in[0,1]\text{.}\) En utilisant les règles de calcul sur les vecteurs, on trouve
\begin{equation*} \vp - \va = t(\vb - \va) \iff \vp = (1-t)\va + t\vb. \end{equation*}
Ainsi, le point situé à une proportion \(t\) du chemin entre \(A\) et \(B\) est donné par la combinaison linéaire \(\vp = (1-t)\va + t\vb\text{.}\)
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Remarque 1.1.40.

Le dernier exemple montre que les points situés sur le segment \(AB\) sont exactement ceux qui peuvent s’écrire comme des combinaisons linéaires de \(\va\) et \(\vb\) avec des coefficients positifs qui, sommés, donnent \(1\text{.}\) Un point \(P\) est sur le segment \(AB\) si et seulement si une des deux conditions équivalentes ci-après est vérifiée:
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  • Il existe \(t \in [0,1]\) tel que \(\vect{OP} = \vect{OA} + t \vect{AB}\text{,}\) c’est-à-dire tel que \(\vect{OP} = (1-t) \vect{OA} + t \vect{OB}\text{.}\)
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  • Il existe \(t\in[0,1]\) tel que \(\vp = (1-t)\va + t\vb\text{.}\)
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Voici maintenant comment utiliser ces techniques pour établir un résultat classique de la géométrie des triangles, à savoir que les trois médianes ont un point commun.
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On rappelle que dans un triangle, une médiane est un segment joignant un sommet au milieu du côté opposé.
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Exemple 1.1.41.

Démontrer que les trois médianes d’un triangle sont concourantes (c’est-à-dire qu’elles ont un point commun) en un point \(G\) qui se trouve à deux tiers du chemin entre un sommet et le milieu du côté opposé. Ce point est le centre de gravité du triangle.
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Solution.
Soit \(ABC\) un triangle, et soient \(Q\text{,}\) \(P\) et \(R\) les milieux des segments \(CA\text{,}\) \(CB\) et \(AB\) respectivement. On a alors, en vertu de la remarque précédente,
\begin{equation*} \vq = \tfrac{1}{2}(\vc + \va), \quad \vp = \tfrac{1}{2}(\vb + \vc), \quad \vr = \tfrac{1}{2}(\va + \vb). \end{equation*}
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On considère le point \(G\) situé à deux tiers du chemin entre le sommet \(A\) et le milieu \(P\) du côté opposé. On a donc
\begin{equation*} \vg = \tfrac{1}{3}( \va + 2\vp) = \tfrac{1}{3}\left( \va + 2 \cdot \tfrac{1}{2}(\vb + \vc)\right) = \tfrac{1}{3}(\va + \vb + \vc). \end{equation*}
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De la même façon, le point \(G'\text{,}\) qui se trouve à deux tiers du chemin entre \(B\) et \(Q\text{,}\) vérifie
\begin{equation*} \vg' = \tfrac{1}{3}(\vb + 2\vq) = \tfrac{1}{3}\left( \vb + 2 \cdot \tfrac{1}{2}(\vc + \va)\right) = \tfrac{1}{3}(\va + \vb + \vc). \end{equation*}
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Il faut donc que \(G\) coïncide avec \(G'\text{,}\) ce qui montre que les médianes issues de \(A\) et de \(B\) ont un point commun. Par un raisonnement similaire, on montre que la médiane issue de \(C\) passe aussi par ce point commun. On a donc montré que les trois médianes sont concourantes en un point \(G\) qui vérifie
\begin{equation*} \vg = \tfrac{1}{3}(\va + \vb + \vc). \end{equation*}
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