Section4.1Sous-espaces vectoriels de \(\R^n\text{.}\)
Le théorème 1.1.24 dit que les combinaisons linéaires de vecteurs de \(\R^n\) se « comportent bien » en ce sens que les règles usuelles de calcul tiennent. De ce fait, on dit que \(\R^n\) est un espace vectoriel. D’ailleurs, ces propriétés sont tellement fondamentales qu’elles servent pour faire la définition des espaces vectoriels un peu plus abstraits.
Dans les chapitres précédents, on a considéré des ensembles de vecteurs de la forme \(\gen{\vu_1, \ldots, \vu_k}\) et introduit la notion d’indépendance linéaire d’une famille de vecteurs.
On a notamment vu que des ensembles comme \(\gen{\vu}\) ou \(\gen{\vu, \vv}\) sont une droite ou un plan. Ces deux types d’ensembles, à saveur très géométrique, ont la caractéristique commune d’être stables par combinaisons linéaires. Dans cette section on étudie de façon systématique ces ensembles.
On dit qu’un ensemble \(\plan{V}\) de vecteurs est stable pour combinaison linéaire si toute combinaison linéaire d’éléments de \(\plan{V}\) est à son tour un élément de \(\plan{V}\text{.}\) Ceci revient à dire que si \(\vu,\vv\in \plan{V}\) et \(\a,\be \in \R\text{,}\) alors \(\a\vu + \be\vv \in \plan{V}\text{.}\)
Soit \(\plan{F} = \{\vv_1, \ldots, \vv_k\}\) une famille de vecteurs dans \(\R^n\text{.}\) Alors \(\gen{\plan{F}}\) est une partie de \(\R^n\) qui est stable par combinaisons linéaires, c’est-à-dire que toute combinaison linéaire d’éléments de \(\gen{\plan{F}}\) appartient encore à \(\gen{\plan{F}}\text{.}\)
Soient \(\vx,\vy \in\gen{\plan{F}}\text{,}\) et \(\a,\be \in \R\text{.}\) Ainsi, il existe des scalaires \(c_1,\ldots, c_k,d_1, \ldots d_k\) tels que \(\vx = c_1\vv_1 + \cdots c_k \vv_k \) et \(\vy = d_1 \vv_1 + \cdots + d_k\vv_k.\) On a alors
Un sous-ensemble non vide de \(\R^n\) est dit être un sous-espace vectoriel de \(\R^n\) s’il est stable pour les combinaisons linéaires, autrement dit, si
La définition d’un sous-espace vectoriel qui a été donnée est pour ainsi dire condensée. Elle met l’accent sur les combinaisons linéaires. Il est fréquent de rencontrer une définition équivalente un peu différente: un ensemble non vide \(\plan{E}\) de \(\R^n\) est un sous-espace si et seulement si
\(\vu + \vv \in \plan{E}\) lorsque \(\vu, \vv \in \plan{E}\)
Étant donné que \(\R^n = \gen{\R^n}\text{,}\) on a bien que \(\R^n\) est un sous-espace vectoriel de \(\R^n\text{.}\) De la même façon, puisque \(\{\vZero\} = \gen{\vZero}\text{,}\) on a que \(\{\vZero\}\) est un autre sous-espace vectoriel (pas très intéressant) de \(\R^n\text{.}\)
Soit \(\vn\in \R^n\) un vecteur non nul. Alors l’ensemble \(\plan{V}\) des vecteurs de \(\R^n\) qui sont orthogonaux à \(\vn\) est un sous-espace vectoriel de \(\R^n\text{.}\)
Si, dans la situation de l’exemple précédent \(\vn \in \R^2\) alors l’ensemble \(\plan{V}\) dont il est question est une droite passant par l’origine (dont \(\vn\) est un vecteur normal), tandis que si \(\vn \in \R^3\text{,}\) alors \(\plan{V}\) est un plan passant par l’origine (ayant \(\vn\) comme vecteur normal).
Soit \(V = \mathbb{R}^3\) et soit \(H\) le sous-ensemble de \(V\) formé de tous les points du plan \(5 x - 7 y + 2 z = 0\text{.}\) Le sous-ensemble \(H\) est-il un sous-espace vectoriel de \(V\) ?
2. \(H\) est-il fermé pour l’addition ? Si oui, entrez FERMÉ. Sinon, entrez deux vecteurs de \(H\) dont la somme n’appartient pas à \(H\text{,}\) sous forme d’une liste séparée par des virgules, en utilisant une syntaxe du type <1,2,3>, <4,5,6>.
3. \(H\) est-il fermé pour la multiplication par un scalaire ? Si oui, entrez FERMÉ. Sinon, entrez un scalaire de \(\mathbb{R}\) et un vecteur de \(H\) dont le produit n’appartient pas à \(H\text{,}\) sous forme d’une liste séparée par des virgules, en utilisant une syntaxe du type 2, <3,4,5>.
4. \(H\) est-il un sous-espace vectoriel de \(V\) ? Vous devriez pouvoir justifier votre réponse en rédigeant une preuve complète, cohérente et détaillée, en vous appuyant sur vos réponses aux questions 1 à 3.
Soit \(H\) l’ensemble de tous les points du troisième quadrant dans le plan \(V = \mathbb{R}^2\text{.}\) Autrement dit, \(H = \lbrace (x,y) \mid x \leq 0, y \leq 0 \rbrace\text{.}\) Le sous-ensemble \(H\) est-il un sous-espace vectoriel de \(V\) ?
2. \(H\) est-il fermé pour l’addition ? Si oui, entrez FERMÉ. Sinon, entrez deux vecteurs de \(H\) dont la somme n’appartient pas à \(H\text{,}\) sous forme d’une liste séparée par des virgules, en utilisant une syntaxe du type <1,2>, <3,4>.
3. \(H\) est-il fermé pour la multiplication par un scalaire ? Si oui, entrez FERMÉ. Sinon, entrez un scalaire de \(\mathbb{R}\) et un vecteur de \(H\) dont le produit n’appartient pas à \(H\text{,}\) sous forme d’une liste séparée par des virgules, en utilisant une syntaxe du type 2, <3,4>.
4. \(H\) est-il un sous-espace vectoriel de \(V\) ? Vous devriez pouvoir justifier votre réponse en rédigeant une preuve complète, cohérente et détaillée, en vous appuyant sur vos réponses aux questions 1 à 3.
Étant donnée \(A \in \mmn{m}{n}\text{,}\) le noyau de \(A\) est le sous-espace vectoriel de \(\R^n\)\(\ker{A} = \{\vx \in \R^n\, \text{tel que }\, A\vx = \vZero\}\text{.}\)
L’ensemble \(\ker{A}\) n’est nul autre que l’ensemble de solutions du système linéaire homogène associé à la matrice \(A\text{,}\) qui correspond aux relations de dépendance linéaire entre les colonnes de \(A\text{.}\)
On a vu que les espaces engendrés par une famille de vecteurs sont des sous-espaces vectoriels. Ceci fournit au moins un autre sous-espace vectoriel associé à une matrice.
Soit \(A\in \mmn{m}{n}\) une matrice donnée. Son espace colonne, noté \(\col{A}\text{,}\) est le sous-espace de \(\R^m\) engendré par ses vecteurs colonnes. Si les colonnes de \(A\) sont les vecteurs \(\va_1, \ldots, \va_n\) de \(\R^m\text{,}\) alors \(\col{A} = \gen{\va_1,\ldots, \va_n}\text{.}\)
Il s’agit d’appliquer les définitions, et faire un brin de calculs.
Le vecteur \(\rvt{1}{2}{3}\) appartient à \(\col{A}\) si et seulement s’il est une combinaison linéaire des colonnes de \(A\text{.}\) Ceci mène à étudier l’existence de solutions à un système d’équations, dont la matrice augmentée et sa réduction sont les suivantes:
