Exercices

Exercices 2.3 Exercices

Systèmes d’équations linéaires.

1.

Lors du \(75^{\text{e}}\) Congrès (\(1937\)–\(1939\)), la Chambre des représentants des États-Unis était composée de \(333\) démocrates, \(89\) républicains et \(13\) membres d’autres partis. Supposons qu’un projet de loi soit adopté par la Chambre avec \(31\) voix de plus en faveur qu’en défaveur, avec \(10\) fois plus de démocrates votant pour le projet de loi que de républicains, et avec \(36\) non-démocrates de plus ayant voté contre le projet de loi que pour le projet de loi. Si chaque membre a voté soit pour, soit contre le projet de loi, combien de démocrates, combien de républicains et combien de membres d’autres partis ont voté en faveur du projet de loi?

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Réponse.

Votes pour: \(200\) démocrates, \(20\) républicains, \(13\) membres d’autres partis.

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2.

Un épicier vend des sacs de trois tailles de noix mélangées (noix de cajou, amandes, noix de pécan). Le petit sac contient \(50\) g de noix de cajou, \(60\) g d’amandes et \(40\) g de noix de pécan. Le sac moyen contient \(120\) g de noix de cajou, \(100\) g d’amandes et \(80\) g de noix de pécan. Le grand sac contient \(150\) g de noix de cajou, \(150\) g d’amandes et \(200\) g de noix de pécan. Le marchand a un total de \(16000\) g de noix de cajou, \(14500\) g d’amandes et \(12000\) g de noix de pécan. S’il souhaite utiliser toutes les noix, combien de sacs de chaque taille peut-il fabriquer ? Mettez en place et résolvez un système d’équations linéaires approprié et utilisez la méthode de votre choix pour le résoudre.

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Réponse.

\(50\) petits, \(100\) moyens, \(10\) grands.

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3.

Résoudre les systèmes d’équations suivants.

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\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcrcrcr} \frac1x &-& \frac1y &+& \frac1z &=& 4\\[0.5em] \frac2x &-& \frac1y &-& \frac3z &=& 2\\[0.5em] \frac1x &+& \frac2y &+& \frac2z &=& 2 \end{array}\right.\text{.}\)
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\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcrcrcr} \frac{1}{x^2} &-& \frac{1}{y^2} &+& \frac{1}{z^2} &=& 4\\[0.5em] \frac2{x^2} &-& \frac{1}{y^2} &-& \frac{3}{z^2} &=& 2\\[0.5em] \frac{1}{x^2} &+& \frac2{y^2} &+& \frac2{z^2} &=& 2 \end{array}\right.\text{.}\)
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Réponse.

\(x=\frac12\text{,}\) \(y=-1\text{,}\) \(z=1\text{.}\) (Ce système n’est pas linéaire en \(x,y,z\text{,}\) mais il devient linéaire en posant \(u=\frac1x\text{,}\) \(v=\frac1y\text{,}\) \(w=\frac1z\text{.}\))
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Aucune solution.
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4.

Considérer le système d’équations

\begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcr} \frac{2}{x^2} &+& \frac{1}{y^2} = 17\\[0.3em] \frac{5}{x^2} &-& \frac{2}{y^2} = 2 \end{array}\right. \end{equation*}

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S’agit-il d’un système linéaire?
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Donner l’ensemble solution.
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Réponse.

Non. Le système n’est pas linéaire en \(x\) et \(y\text{,}\) car les variables apparaissent au dénominateur et au carré. Toutefois, il devient linéaire en posant \(u=\frac{1}{x^2}\) et \(v=\frac{1}{y^2}\text{.}\)
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En posant \(u=\frac{1}{x^2}\) et \(v=\frac{1}{y^2}\text{,}\) on obtient le système linéaire

\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{rcr} 2u & + & v = 17\\ 5u & - & 2v = 2 \end{array} \right. \end{equation*}

En résolvant, on trouve \(u=4\) et \(v=9\text{.}\) Donc \(\frac{1}{x^2}=4\) et \(\frac{1}{y^2}=9\text{,}\) d’où \(x^2=\frac{1}{4}\) et \(y^2=\frac{1}{9}\text{.}\) Ainsi, \(x=\pm\frac{1}{2}\) et \(y=\pm\frac{1}{3}\text{.}\) L’ensemble solution est

\begin{equation*} \left\{ \left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right), \left(\frac{1}{2},-\frac{1}{3}\right), \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right), \left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}\right) \right\}. \end{equation*}

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5.

Pour les systèmes d’équations suivants, déterminez les conditions sur \(k\) (s’il y en a) pour que le système n’admette aucune solution, une unique solution ou une infinité de solutions.

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\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcl} x-2y+3z & = & 2\\ x+y+z & = & k\\ 2x-y+4z & = & k^2 \end{array}\right.\text{.}\)
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\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} x+y+kz & = & 1\\ x+ky+z & = & 1\\ kx+y+z & = & -2 \end{array}\right.\text{.}\)
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Pour chaque système, produisez une table comme celle-ci pour donner vos résultats.

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Solutions	Aucune	Unique	Infinité
Valeur de \(k\)

Réponse.

Solutions Aucune Unique Infinité

Valeur de \(k\) \(k \notin \{-1, 2\}\) Aucune \(k \in \{-1, 2\}\)

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Solutions Aucune Unique Infinité

Valeur de \(k\) \(k=1\) \(k \notin \{1, -2\}\) \(k=-2\)

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Solutions	Aucune	Unique	Infinité
Valeur de \(k\)	\(k \notin \{-1, 2\}\)	Aucune	\(k \in \{-1, 2\}\)

Solutions	Aucune	Unique	Infinité
Valeur de \(k\)	\(k=1\)	\(k \notin \{1, -2\}\)	\(k=-2\)

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6.

Considérer la matrice

\begin{equation*} A=\left[\begin{array}{rrr}-2&4a &2\\ a&-2&1\\1&2&a \end{array}\right]. \end{equation*}

Trouver les valeurs possibles de \(\rg{A}\) lorsque \(a\) varie dans les nombres réels. Présenter vos résultats en remplissant une table comme celle-ci. On pourra ajouter des lignes au besoin.

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Valeur de \(a\)	\(\rg{A}\)
\(\ \)
\(\ \)

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7.

L’équation générale de degré \(2\) est \(ax^2 + bxy + cy^2 + dx + fy + e = 0\text{.}\) L’ensemble des solutions d’une telle équation est une courbe conique dans le plan. Considérez les points \((2,2)\text{,}\) \((3,2)\text{,}\) \((3,1)\text{,}\) \((1,1)\) et \((1,0)\text{.}\) Trouver l’équation d’une conique passant par ces points.

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Réponse.

\(x^2 - xy + y^2 - 3x + 2 = 0\)

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8.

Trouver les valeurs de \(a\) et \(b\) telles que l’intersection des plans dont les équations sont données soit une droite. Donnez de plus l’équation de la droite.

\begin{equation*} \begin{array}{lrlrlrcr} \mathcal{P}_1 :& -2x &+& y &+& az &=& -5\\ \mathcal{P}_2 :& x &-& 2y & & &=& 1\\ \mathcal{P}_3 :& &-& y &+& z &=& b \end{array} \end{equation*}

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Réponse.

L’intersection des trois plans est une droite si et seulement si \(a=3\) et \(b=-1\text{.}\)

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Dans ce cas, la droite d’intersection peut s’écrire sous forme paramétrique :

\begin{equation*} \begin{cases} x = 1+2t\\ y = t\\ z = t-1 \end{cases} \qquad (t\in\mathbb{R}). \end{equation*}

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9.

Trouver un polynôme du degré spécifié (\(n\)) tel que sa courbe passe par les points donnés.

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\(n=2\text{,}\) \((0,-3)\text{,}\) \((1,0)\text{,}\) \((2,5)\text{.}\)
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\(n=3\text{,}\) \((0,-1)\text{,}\) \((1,-1)\text{,}\) \((2,3)\text{,}\) \((3,17)\text{.}\)
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\(n=4\text{,}\) \((0,-3)\text{,}\) \((1,-9)\text{,}\) \((2,-3)\text{,}\) \((3,87)\text{,}\) \((4,381)\text{.}\)
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Réponse.

\(p(x) = x^2 + 2x - 3\text{.}\)
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\(p(x) = x^3 - x^2 - 1\text{.}\)
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\(p(x) = 2 x^4 - 8 x^2 - 3\text{.}\)
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10.

Soit \(a\) un nombre réel et soit le système d’équations

\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{rlrlrcr} x &+& ay &-& z &=& 1\\ -x &+& (a-2)y &+& z &=& -1\\ 2x &+& 2y &+& (a-2)z &=& 1 \end{array} \right. \end{equation*}

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Sous quelle(s) condition(s) sur \(a\) le système admet-il une infinité de solutions, une unique solution, ou n’admet-il aucune solution ?
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Dans les cas où le système admet au moins une solution, donner l’ensemble solution du système.
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Réponse.

Si \(a \notin \{0,1\}\text{,}\) le système admet une solution unique.
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Si \(a=0\text{,}\) le système n’admet aucune solution.
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Si \(a=1\text{,}\) le système admet une infinité de solutions.
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Si \(a \notin \{0,1\}\text{,}\) la solution unique est

\begin{equation*} \begin{cases} x=\dfrac{a-1}{a}\\[0.4em] y=0\\[0.4em] z=-\dfrac{1}{a} \end{cases} \end{equation*}

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Si \(a=1\text{,}\) l’ensemble solution est

\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} x=-t\\ y=t\\ z=-1 \end{array} \;\middle|\; t\in\mathbb{R} \right\}. \end{equation*}

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11.

Considérer le système d’équations

\begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcrcrcrcrcr} x_1 &-& 3x_2 &+& x_3 &-& x_4 & & &=& -1\\ -x_1 &+& 3x_2 & & &+& 3x_4 &-& x_5 &=& 3\\ 2x_1 &-& 6x_2 &+& 3x_3 & & &-& x_5 &=& 0\\ -x_1 &+& 3x_2 &+& x_3 &+& 5x_4 &+& x_5 &=& 6 \end{array}\right. \end{equation*}

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Écrire la matrice augmentée, et donner une forme échelonnée. Quel est le rang ?
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Donner une forme échelonnée réduite de la matrice trouvée en (a) et l’utiliser pour donner l’ensemble solution du système.
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Réponse.

La matrice augmentée est

\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & -3 & 1 & -1 & 0 & -1\\ -1 & 3 & 0 & 3 & -1 & 3\\ 2 & -6 & 3 & 0 & -1 & 0\\ -1 & 3 & 1 & 5 & 1 & 6 \end{array} \right]. \end{equation*}

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Une forme échelonnée est

\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & -3 & 1 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]. \end{equation*}

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Le rang est \(3\text{.}\)
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Une forme échelonnée réduite est

\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & -3 & 0 & -3 & 0 & -\frac{10}{3}\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & \frac{7}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]. \end{equation*}

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Les variables pivots sont \(x_1\text{,}\) \(x_3\) et \(x_5\text{.}\) Les variables libres sont \(x_2\) et \(x_4\text{.}\) Posons \(x_2=s\) et \(x_4=t\text{.}\)
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On obtient

\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -\dfrac{10}{3} + 3s + 3t\\[0.4em] x_2 = s\\[0.4em] x_3 = \dfrac{7}{3} - 2t\\[0.4em] x_4 = t\\[0.4em] x_5 = \dfrac{1}{3} \end{cases} \qquad (s,t\in\mathbb{R}). \end{equation*}

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Sous forme vectorielle :

\begin{equation*} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\frac{10}{3}\\0\\\frac{7}{3}\\0\\\frac{1}{3}\end{bmatrix} + s\begin{bmatrix}3\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix} + t\begin{bmatrix}3\\0\\-2\\1\\0\end{bmatrix}, \qquad s,t\in\mathbb{R}. \end{equation*}

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12.

La figure ci-après montre un réseau routier, avec des rues à sens uniques, et les trafics moyens sur certaines portions de rue.

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Écrire un système d’équations linéaires dont la solution permet de calculer les flux inconnus.
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Résoudre le système.
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Si la rue de \(A\) à \(B\) doit être partiellement fermée pour des travaux, quel est le flux minimum qui doit passer à travers ce tronçon pour maintenir un trafic fluide dans les autres chemins ?
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Réponse.

En appliquant la conservation du flux à chaque intersection, on obtient le système
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\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{rrrrcr} & & x_3 & -x_4 & = & -500\\ x_1 & & & -x_4 & = & -100\\ x_1 & -x_2 & & & = & 300\\ & x_2 & -x_3 & & = & 100 \end{array} \right. \end{equation*}

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La solution générale est
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\begin{equation*} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -100\\ -400\\ -500\\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}, \qquad t\in\mathbb{R}. \end{equation*}

Comme les rues sont à sens unique, tous les flux doivent être positifs. On doit donc avoir \(t \ge 500\text{.}\)
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Si la rue \(A \to B\) est partiellement fermée, on impose \(x_4=0\text{.}\) Cela correspond à \(t=500\text{.}\)
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Le flux minimal qui doit passer par ce tronçon pour maintenir un trafic fluide est donc \(500\text{.}\)
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13.

Ci-après vous trouverez un réseau routier (des rues à sens uniques).

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Trouver les valeurs de tous les flux.
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Supposons que la rue de \(D\) à \(C\) est fermée pour des réparations. Est-il possible d’avoir le trafic sur ces rues en respectant les sens uniques ?
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Réponse.

Le système qui résulte de la loi de conservation est
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\begin{equation*} \begin{cases} 500 = f_1 + f_2 + f_3\\ f_1 + f_4 + f_6 = 400\\ f_2 = f_4 + f_5\\ f_3 + f_5 = f_6 + 100 \end{cases} \end{equation*}

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Si la rue de \(D\) à \(C\) est fermée, on impose \(f_5=0\text{.}\) Le système devient alors
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\begin{equation*} \begin{cases} 500 = f_1 + f_2 + f_3\\ f_1 + f_4 + f_6 = 400\\ f_2 = f_4\\ f_3 = f_6 + 100 \end{cases} \end{equation*}

En choisissant par exemple \(f_4=100\) et \(f_6=50\text{,}\) on obtient
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\begin{equation*} f_2 = 100,\quad f_3 = 150,\quad f_1 = 500 - 100 - 150 = 250. \end{equation*}

On vérifie : \(f_1+f_4+f_6 = 250+100+50 = 400\text{.}\)
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Une solution compatible avec les sens uniques est donc
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\begin{equation*} (f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6) = (250,\,100,\,150,\,100,\,0,\,50). \end{equation*}

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14.

Balancez les équations chimiques suivantes:

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\(\mathrm{CO_2} + \mathrm{H_2O} \longrightarrow \mathrm{C_6H_{12}O_6} + \mathrm{O_2}\text{.}\)
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\(\mathrm{HClO_4} + \mathrm{P_4O_{10}} \longrightarrow \mathrm{H_3PO_4} + \mathrm{Cl_2O_7}\text{.}\)
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\(\mathrm{C_2H_2Cl_4} + \mathrm{Ca(OH)_2} \longrightarrow \mathrm{C_2HCl_3} + \mathrm{CaCl_2} + \mathrm{H_2O}\text{.}\)
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Réponse.

\begin{equation*} 6\,\mathrm{CO_2} + 6\,\mathrm{H_2O} \longrightarrow \mathrm{C_6H_{12}O_6} + 6\,\mathrm{O_2} \end{equation*}

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\begin{equation*} 12\,\mathrm{HClO_4} + \mathrm{P_4O_{10}} \longrightarrow 4\,\mathrm{H_3PO_4} + 6\,\mathrm{Cl_2O_7} \end{equation*}

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\begin{equation*} 2\mathrm{C_2H_2Cl_4} + \mathrm{Ca(OH)_2} \longrightarrow 2\mathrm{C_2HCl_3} + \mathrm{CaCl_2} + 2\mathrm{H_2O} \end{equation*}

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Dépendance et indépendance linéaire.

15.

Soient \(\{\vv_1,\vv_2,\ldots,\vv_m\}\) des vecteurs linéairement indépendants dans \(\R^p\text{.}\) Soient de plus \(\vu_1 = c_1\vv_1\text{,}\) \(\vu_2 = c_2\vv_2\text{,}\) …, \(\vu_m = c_m\vv_m\text{,}\) avec \(c_1,c_2,\ldots,c_m\) non nuls.

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Montrer que \(\vu_1,\vu_2,\ldots,\vu_m\) sont linéairement indépendants.
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Parmi les énoncés suivants, il y en a exactement un qui ne peut pas être vrai. Lequel ? Justifiez.
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1. \(m>p\text{.}\)
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2. \(m=p\text{.}\)
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3. \(m<p\text{.}\)
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Réponse.

Supposons \(\a_1\vu_1+\cdots+\a_m\vu_m=\vZero\text{.}\) Alors
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\begin{gather*} \alpha_1 c_1\vv_1+\cdots+\alpha_m c_m\vv_m=\vZero. \end{gather*}

Comme \(\vv_1,\ldots,\vv_m\) sont linéairement indépendants, on obtient \(\alpha_1 c_1=\cdots=\alpha_m c_m=0\text{.}\) Or \(c_i\neq 0\text{,}\) donc \(\alpha_1=\cdots=\alpha_m=0\text{.}\) La famille \(\{\vu_1,\ldots,\vu_m\}\) est donc linéairement indépendante.
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Une famille de \(m\) vecteurs linéairement indépendants dans \(\mathbb{R}^p\) vérifie nécessairement \(m\leqslant p\text{.}\)
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L’énoncé impossible est donc \(m>p\text{.}\)
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16.

Soient \(\vu_1,\vu_2,\vu_3\) trois vecteurs linéairement indépendants dans \(\R^5\text{.}\) Définissons aussi \(\vw_1=\vu_2+\vu_3\text{,}\) \(\vw_2=\vu_1+\vu_3\) et \(\vw_3=\vu_1+\vu_2\text{.}\) Est-ce que la famille \(\{\vw_1,\vw_2,\vw_3\}\) est linéairement dépendante ou indépendante ? Justifier.

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Réponse.

La famille \(\{\vw_1,\vw_2,\vw_3\}\) est linéairement indépendante.

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En effet, supposons \(\alpha \vw_1+\beta \vw_2+\gamma \vw_3=\vZero\text{.}\) En remplaçant,

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\begin{equation*} \alpha(\vu_2+\vu_3)+\beta(\vu_1+\vu_3)+\gamma(\vu_1+\vu_2)=\vZero. \end{equation*}

En regroupant,

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\begin{equation*} (\beta+\gamma)\vu_1+(\alpha+\gamma)\vu_2+(\alpha+\beta)\vu_3=\vZero. \end{equation*}

Comme \(\vu_1,\vu_2,\vu_3\) sont linéairement indépendants, on obtient

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\begin{equation*} \beta+\gamma=0,\quad \alpha+\gamma=0,\quad \alpha+\beta=0. \end{equation*}

La seule solution est \(\alpha=\beta=\gamma=0\text{.}\) Donc la famille est linéairement indépendante.

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17.

Soient \(\vu_1,\vu_2,\vu_3\) et \(\vu_4\) quatre vecteurs linéairement indépendants (de la même taille, bien entendu !).

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Que peut-on dire du nombre de composantes que chaque \(\vu_i\) a ?
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Soient \(\vw_1=\vu_1\text{,}\) \(\vw_2=\vu_1+\vu_2\text{,}\) \(\vw_3=\vu_1+\vu_2+\vu_3\) et \(\vw_4=\vu_1+\vu_2+\vu_3+\vu_4\text{.}\) Déterminer si \(\vw_1,\vw_2,\vw_3,\vw_4\) sont linéairement dépendants ou indépendants.
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Réponse.

Puisqu’il y a quatre vecteurs linéairement indépendants, l’espace doit être de dimension au moins \(4\text{.}\) Chaque \(\vu_i\) a donc au moins \(4\) composantes.
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Supposons \(\alpha_1\vw_1+\alpha_2\vw_2+\alpha_3\vw_3+\alpha_4\vw_4=\vZero\text{.}\)
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En remplaçant,
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\begin{align*} \vZero \amp = \alpha_1\vu_1 +\alpha_2(\vu_1+\vu_2) +\alpha_3(\vu_1+\vu_2+\vu_3) \\ \amp \quad +\alpha_4(\vu_1+\vu_2+\vu_3+\vu_4) \end{align*}

En regroupant les termes,
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\begin{align*} \vZero \amp = (\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4)\vu_1 +(\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4)\vu_2 \\ \amp\quad +(\alpha_3+\alpha_4)\vu_3 +\alpha_4\vu_4 \end{align*}

Comme \(\vu_1,\vu_2,\vu_3,\vu_4\) sont linéairement indépendants, on obtient successivement
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\begin{equation*} \alpha_4=0,\quad \alpha_3=0,\quad \alpha_2=0,\quad \alpha_1=0. \end{equation*}

La seule combinaison linéaire nulle est la combinaison triviale. La famille \(\{\vw_1,\vw_2,\vw_3,\vw_4\}\) est donc linéairement indépendante.
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18.

Soit \(\{\vu,\vv,\vw\}\) une famille de vecteurs linéairement indépendants dans \(\R^n\) (avec \(n\geqslant 25\)), et \(a,b,c\) trois réels non nuls. Déterminer si l’ensemble \(\{a\vu - b\vv,\; c\vv - a\vw,\; -c\vu + b\vw\}\) est linéairement dépendant ou indépendant. Justifier.

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Réponse.

La famille \(\{a\vu - b\vv,\; c\vv - a\vw,\; -c\vu + b\vw\}\) est linéairement dépendante.

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En effet, considérons la combinaison linéaire suivante :

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\begin{equation*} c(a\vu-b\vv) +b(c\vv-a\vw) +a(-c\vu+b\vw). \end{equation*}

En développant,

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\begin{equation*} ca\vu-cb\vv +bc\vv-ab\vw -ac\vu+ab\vw =\vZero. \end{equation*}

Les coefficients \(a,b,c\) étant non nuls, cette combinaison linéaire non triviale donne le vecteur nul.

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La famille est donc linéairement dépendante.

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19.

Soient \(\vu_1=\rvt{1}{-1}{3}\text{,}\) \(\vu_2=\rvt{2}{1}{4}\) et \(\vu_3=\rvt{-1}{-5}{1}\text{.}\)

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Donner une description complète de \(\gen{\vu_1,\vu_2,\vu_3}\text{,}\) c’est-à-dire une description algébrique et géométrique.
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Est-ce que \(\vu_1,\vu_2,\vu_3\) sont linéairement dépendants ou indépendants ? Justifiez.
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Réponse.

On vérifie que \(\vu_3 = 3\vu_1 - 2\vu_2\text{.}\) Donc \(\gen{\vu_1,\vu_2,\vu_3}=\gen{\vu_1,\vu_2}\text{.}\)
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Description algébrique :
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\begin{equation*} \gen{\vu_1,\vu_2} = \left\{ s\left[\begin{array}{r}1\\-1\\3\end{array}\right] + t\left[\begin{array}{r}2\\1\\4\end{array}\right] \;\middle|\; s,t\in\mathbb{R} \right\}. \end{equation*}

En coordonnées :
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\begin{equation*} (x,y,z)=(s+2t,\,-s+t,\,3s+4t). \end{equation*}

Description géométrique : il s’agit d’un plan vectoriel (passant par l’origine) dans \(\mathbb{R}^3\text{.}\)
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Les vecteurs sont linéairement dépendants car \(\vu_3\) est combinaison linéaire de \(\vu_1\) et \(\vu_2\text{.}\)
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20.

La figure ci-après représente un parallélépipède. Dans ce qui suit, utilisez des arguments géométriques : il n’est pas question de coordonnées ici.

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Donner une description géométrique de \(\gen{\vect{DB},\vect{HG},\vect{CD}}\text{.}\)
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Écrire \(\vect{CD}\) comme combinaison linéaire de \(\vect{BC}\text{,}\) \(\vect{EH}\) et \(\vect{EF}\text{.}\)
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Est-ce que la famille \(\{\vect{DC}, \vect{DB}, \vect{BF}, \vect{AG}\}\) est linéairement dépendante ou indépendante ? Justifiez.
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Réponse.

\(\gen{\vect{DB},\vect{HG},\vect{CD}}\) est un plan parallèle au plan contenant le quadrilatère \(ABCD\text{.}\)
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Par exemple, \(\vect{CD}=-\vect{EF}\) (plusieurs réponses sont valables).
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Linéairement dépendante : quatre vecteurs dans un espace de dimension \(3\) ne peuvent pas être linéairement indépendants.
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21.

Soit \(\plan{V}=\{\vv_1,\ldots,\vv_m\}\) une famille de vecteurs linéairement indépendante dans un certain \(\R^n\) (ce qui force \(n\geqslant m\)). Soit \(V=\gen{\plan{V}}\text{.}\) Montrer que \(\{\vv_2,\ldots,\vv_m\}\) n’engendre pas \(V\text{.}\)

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Réponse.

Supposons par contradiction que \(\{\vv_2,\ldots,\vv_m\}\) engendre \(V=\gen{\vv_1,\ldots,\vv_m}\text{.}\)

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Alors, en particulier, \(\vv_1 \in \gen{\vv_2,\ldots,\vv_m}\text{.}\) Il existerait donc des scalaires \(a_2,\ldots,a_m\) tels que

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\begin{equation*} \vv_1 = a_2\vv_2+\cdots+a_m\vv_m. \end{equation*}

En réécrivant,

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\begin{equation*} \vv_1 - a_2\vv_2-\cdots-a_m\vv_m=\vZero, \end{equation*}

ce qui donne une combinaison linéaire non triviale des vecteurs \(\vv_1,\ldots,\vv_m\) égale au vecteur nul.

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Cela contredit le fait que la famille \(\{\vv_1,\ldots,\vv_m\}\) est linéairement indépendante.

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Donc \(\{\vv_2,\ldots,\vv_m\}\) n’engendre pas \(V\text{.}\)

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