Algèbre linéaire et géométrie vectorielle

Pendant quelques années, j’ai enseigné au Collège Champlain à Sherbrooke. Un des cours les plus fréquents était celui d’algèbre linéaire pour les étudiants en Sciences de la nature. On utilisait alors Linear Algebra: a Modern introduction de D. Poole [7]. À mon avis, ce livre est très bon, je dirais même que c’est l’un des meilleurs livres d’algèbre linéaire de ce niveau.

L’une de ses grandes forces, appréciée autant par les enseignant·es que par les étudiant·es, est la plateforme associée, qui permet notamment la gestion de devoirs en ligne. Du côté des inconvénients, toutefois, le coût est non négligeable. Comme on n’utilisait qu’une petite partie de l’ouvrage, les étudiants hésitaient à l’acheter. Certains optaient alors pour un abonnement pour avoir accès au livre sur le web et à la plateforme pour les devoirs en ligne, sans conserver, à la fin de la session, autre chose que leurs propres notes.

C’est dans ce contexte que j’ai commencé à rédiger des notes de cours. Au début sous la forme de notes trouées pour faciliter la vie des étudiants en classe, comme complément au matériel usuel. Puis arriva la COVID... et le besoin de faire des cours en ligne. Les notes ont alors évolué rapidement. L’existence de plateformes alternatives pour les devoirs en ligne, notamment WebWorK, a permis d’en faire le matériel principal du cours. Paradoxalement, ceci s’est fait seulement pendant deux sessions.

Parallèlement à cet enseignement au collégial, j’enseignais à l’Université de Sherbrooke où j’ai eu le mandat de développer un cours de niveau collégial offert entièrement en ligne. Il était donc naturel de prendre mes notes écrites en anglais comme point de départ. Quelques ajouts et modifications substantiels ont été faits à ce moment.

Le changement le plus important concerne toutefois le choix de la plateforme. J’ai choisi de les écrire en PreTeXt, ce format qui permet d’avoir les notes en HTML ou en PDF (ou même en braille!). La version HTML, que je privilégie, ouvre beaucoup de possibilités: intégration d’applets GeoGebra, inclusion d’exercices WeBWorK, et bien plus encore.

Ce sont ces notes que vous voyez maintenant. Elles ont aussi été utilisées par les professeures Emily Cliff et Virginie Charette pour donner le cours MAT902 – Algèbre linéaire et géométrie vectorielle. Leurs nombreuses remarques et suggestions ont contribué de façon significative à l’amélioration du texte.

Il existe plusieurs façons de présenter le contenu d’un cours élémentaire d’algèbre linéaire. Citons, à ce sujet, S. Braver, dans sa préface à l’intention des enseignants dans The Dark Art of Linear Algebra [4].

« On ne connait pas encore la bonne façon d’enseigner l’algèbre linéaire à un public de débutants, et je suis convaincu qu’aucune des deux approches les plus courantes aujourd’hui ne résistera à l’épreuve du temps. L’approche abstraite traditionnelle, qui part des axiomes de l’espace vectoriel, est, malgré toute son élégance mathématique, opaque pour les débutants. D’autre part, la mode actuelle d’introduire l’algèbre linéaire par le biais de systèmes d’équations linéaires est si ennuyeuse qu’elle constitue un crime contre l’art.

¹

Traduction faite avec DeepL.

 »

J’adhère à ce point de vue, partagé notamment par Poole, Braver et bien d’autres. La géométrie élémentaire (translations, droites, plans) offre un cadre concret dans lequel les notions centrales de l’algèbre linéaire émergent naturellement. Certes, on finit souvent par résoudre un système linéaire, et il est évidemment important de savoir le faire. Mais il est plus important encore de comprendre pourquoi on le fait et d’être capable d’interpréter les résultats obtenus.

Les calculs en jeu sont d’une simplicité désarmante : additions et multiplications, souvent soigneusement choisies pour faire intervenir des nombres rationnels aux dénominateurs modestes. La véritable nouveauté réside ailleurs : dans la manière remarquablement efficace d’organiser et d’exploiter ces calculs élémentaires. Comprendre ce que l’on calcule suppose de comprendre les concepts, parfois abstraits, qui les sous-tendent. Les mathématiques ne consistent pas à calculer ; elles consistent à ne calculer que ce qui doit l’être, et surtout à comprendre ce qui peut être compris!

La version .html comporte des ressources interactives : des exercices WeBWorK, des applets GeoGebra, et des cellules de calcul utilisant SageMath. Ces ressources sont destinées à soutenir la pratique autonome et à renforcer la compréhension des concepts abordés en cours. Dans la version .pdf, ces ressources sont présentées de manière statique. Les applets GeoGebra sont remplacés par des captures d’écran (et un code QR), tandis que les exercices WeBWorK et les activités SageMath sont identifiés par le logo respectif.

Le choix de SageMath, découle du fait qu’il s’agit d’un logiciel de mathématiques libre et gratuit. SageMath offre un environnement de calcul symbolique - il manipule des expressions exactes plutôt que des approximations numériques - particulièrement bien adapté à l’algèbre linéaire : réduction de matrices, calcul d’inverses, déterminants avec paramètres. Sa syntaxe, bien qu’elle repose sur Python, est conçue pour les mathématiques et reste concise : là où Python pur exigerait plusieurs imports et conversions de types, SageMath permet d’écrire directement matrix([[1,\sqrt{2}],[3,4]]).inverse(). Enfin, depuis la récente réforme du programme collégial, les étudiant·e·s abordent ce cours avec une certaine expérience de la programmation, ce qui rend ces activités accessibles sans détour pédagogique et permet un réinvestissement plus efficace des connaissances acquises. Bien entendu, ceci est facultatif.