Représentation géométrique

Section 6.2 Représentation géométrique

On associe à chaque nombre complexe \(z = a + bi\) le point \((a, b)\) du plan. Ce plan muni de cette identification s’appelle le plan complexe (ou plan d’Argand-Gauss). Cette représentation géométrique donne un sens visuel aux opérations sur les nombres complexes.

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Sous-section Le plan complexe

Définition 6.2.1.

Le plan complexe est le plan cartésien \(\R^2\) dans lequel le nombre complexe \(z = a + bi\) est représenté par le point de coordonnées \((a, b)\text{,}\) ou de manière équivalente par le vecteur \(\rvd{a}{b}\text{.}\) L’axe horizontal est appelé axe réel et l’axe vertical axe imaginaire.

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Remarque 6.2.2.

Avec cette identification :

Le module \(|z|\) est la distance de \(z\) à l’origine, c’est-à-dire la longueur du vecteur \(\rvd{a}{b}\text{.}\)
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Le conjugué \(\bar{z}\) est la réflexion de \(z\) par rapport à l’axe réel.
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L’addition de deux complexes correspond à l’addition vectorielle.
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Sous-section Forme trigonométrique

Définition 6.2.3.

Soit \(z = a + bi \neq 0\text{.}\) Un argument de \(z\) est un angle \(\j \in \R\) tel que

\begin{equation*} a = |z|\cos\j \qquad \text{et} \qquad b = |z|\sin\j. \end{equation*}

L’argument principal, noté \(\text{Arg}(z)\text{,}\) est l’unique argument dans l’intervalle \(]-\pi, \pi]\text{.}\)

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Définition 6.2.4.

Soit \(z \in \mathbb{C}\text{,}\) \(z \neq 0\text{,}\) de module \(r = |z|\) et d’argument \(\j\text{.}\) La forme trigonométrique de \(z\) est

\begin{equation*} z = r(\cos\j + i\sin\j). \end{equation*}

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Exemple 6.2.5.

Écrire \(z = -1 + i\) en forme trigonométrique.

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Solution.

Le module est \(r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\text{.}\)

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Pour l’argument, on cherche \(\j\) tel que \(\cos\j = \tfrac{-1}{\sqrt{2}}\) et \(\sin\j = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\text{.}\) Le point \((-1, 1)\) est dans le deuxième quadrant, donc \(\j = \tfrac{3\pi}{4}\text{.}\)

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La forme trigonométrique est donc

\begin{equation*} z = \sqrt{2}\!\left(\cos\tfrac{3\pi}{4} + i\sin\tfrac{3\pi}{4}\right). \end{equation*}

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Proposition 6.2.6.

Soient \(z_1 = r_1(\cos\j_1 + i\sin\j_1)\) et \(z_2 = r_2(\cos\j_2 + i\sin\j_2)\) deux nombres complexes non nuls en forme trigonométrique. Alors

\begin{equation*} z_1 z_2 = r_1 r_2 \bigl(\cos(\j_1 + \j_2) + i\sin(\j_1 + \j_2)\bigr). \end{equation*}

Autrement dit, multiplier deux complexes revient à multiplier les modules et additionner les arguments.

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Démonstration.

On développe directement le produit :

\begin{align*} z_1 z_2 \amp= r_1(\cos\j_1 + i\sin\j_1) \cdot r_2(\cos\j_2 + i\sin\j_2)\\ \amp= r_1 r_2 \bigl(\cos\j_1\cos\j_2 - \sin\j_1\sin\j_2 + i(\sin\j_1\cos\j_2 + \cos\j_1\sin\j_2)\bigr). \end{align*}

Les formules d’addition trigonométriques donnent

\begin{align*} \cos\j_1\cos\j_2 - \sin\j_1\sin\j_2 \amp= \cos(\j_1+\j_2),\\ \sin\j_1\cos\j_2 + \cos\j_1\sin\j_2 \amp= \sin(\j_1+\j_2), \end{align*}

d’où

\begin{equation*} z_1 z_2 = r_1 r_2\bigl(\cos(\j_1+\j_2) + i\sin(\j_1+\j_2)\bigr). \end{equation*}

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