Vérifiez que \(w(x,0) = 0\) et \(w_t(x,0) = g(x)\text{.}\)
Section 5.7 Équation d’onde unidimensionnelle
Imaginez avoir une corde de guitare tendue de longueur \(L\text{.}\) On considère les vibrations dans une seule direction. Soit \(x\) la position le long de la corde, soit \(t\) le temps, et soit \(y\) le déplacement de la corde depuis la position de repos. Regardons la 5.7.1.
L’équation qui régit cette configuration se nomme équation d’onde unidimensionnelle:
\begin{equation*}
y_{tt} = a^2 y_{xx} ,
\end{equation*}
pour une certaine constante \(a > 0\text{.}\) L’intuition est semblable à l’équation de la chaleur, en remplaçaant la vitesse par l’accélération : l’accélération en un point spécifique est proportionnelle à la seconde dérivée de la forme de la corde. En d’autres termes, quand la corde est concave, \(u_{xx}\) est négatif, et la corde veut accélérer vers le bas, donc \(u_{tt}\) devrait être négatif, et vice versa. L’équation d’onde est un exemple d’EDP hyperbolique.
Supposons que les extrémités de la corde sont fixées comme sur une guitare :
\begin{equation*}
y(0,t) = 0 \qquad \text{ et } \qquad y(L,t) = 0\text{.}
\end{equation*}
Notez qu’on a deux conditions le long de l’axe \(x\text{,}\) car il y a deux dérivées dans la direction \(x\text{.}\)
Il existe également deux dérivées le long de la direction \(t\text{.}\) On a donc besoin de deux autres conditions ici. On doit connaître la position initiale et la vitesse initiale de la corde. Pour certaines fonctions \(f (x)\) et \(g (x)\text{,}\) on impose
\begin{equation*}
y(x,0) = f(x) \qquad \text{ et } \qquad y_t (x,0) = g(x)\text{.}
\end{equation*}
L’équation est linéaire, donc la superposition fonctionne exactement comme pour l’équation de la chaleur. Encore une fois, on utilise la séparation des variables pour trouver suffisamment de solutions élémentaires afin d’obtenir la solution générale. Il y a un changement cependant. Il sera plus facile de résoudre deux problèmes distincts et d’ajouter leurs solutions.
Les deux problèmes que nous allons résoudre sont
\begin{equation}
\begin{array}{ll} w_{tt} = a^2 w_{xx} , \amp \\ w(0,t) = w(L,t) = 0 , \amp \\ w(x,0) = 0 \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt L , \\ w_t(x,0) = g(x) \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt L \end{array}\tag{5.7.1}
\end{equation}
et
\begin{equation}
\begin{array}{ll} z_{tt} = a^2 z_{xx} , \amp \\ z(0,t) = z(L,t) = 0 , \amp \\ z(x,0) = f(x) \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt L , \\ z_t(x,0) = 0 \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt L . \end{array}\tag{5.7.2}
\end{equation}
Le principe de superposition implique que \(y = w + z\) résout l’équation d’onde, et aussi que \(y(x,0) = w(x,0) + z(x,0) = f(x)\) et \(y_t(x,0) = w_t(x,0) + z_t(x,0) = g(x)\text{.}\) Par conséquent, \(y\) est une solution à
\begin{equation}
\begin{array}{ll} y_{tt} = a^2 y_{xx} , \amp \\ y(0,t) = y(L,t) = 0 , \amp \\ y(x,0) = f(x) \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt L , \\ y_t(x,0) = g(x) \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt L . \end{array}\tag{5.7.3}
\end{equation}
La raison de toute cette complexité est que la superposition ne fonctionne que pour les conditions homogènes telles que \(y(0,t) = y(L,t) = 0\text{,}\) \(y(x,0) = 0\) ou \(y_t(x,0) = 0\text{.}\) Par conséquent, on peut utiliser la séparation des variables pour trouver de nombreux éléments appartenant à la solution résolvant toutes les conditions homogènes. On peut ensuite les utiliser pour construire une solution satisfaisant la condition non homogène restante. Commençaons avec (5.7.1). On essaie une solution de la forme \(w(x,t) = X(x) T(t)\text{.}\) On remplace dans l’équation d’onde et l’on obtient
\begin{equation*}
X(x)T''(t) = a^2 X''(x) T(t)\text{.}
\end{equation*}
En réécrivant, on obtient
\begin{equation*}
\frac{T''(t)}{a^2 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}\text{.}
\end{equation*}
Encore une fois, le côté gauche dépend seulement de \(t\text{,}\) et le côté droit dépend seulement de \(x\text{.}\) Donc, les deux côtés sont égaux à une constante que l’on nomme \(-\lambda\) :
\begin{equation*}
\frac{T''(t)}{a^2 T(t)} = -\lambda = \frac{X''(x)}{X(x)}\text{.}
\end{equation*}
On résout pour obtenir deux équations différentielles ordinaires :
\begin{align*}
X''(x) + \lambda X(x) \amp = 0 ,\\
T''(t) + \lambda a^2 T(t) \amp = 0 \text{.}
\end{align*}
Les conditions \(0 = w(0,t) = X(0) T(t)\) impliquent que \(X(0) = 0\text{,}\) et \(w(L,t) = 0\) implique que \(X(L) = 0\text{.}\) Par conséquent, les seules solutions non triviales pour la première équation sont \(\lambda = \lambda_n = \frac{n^2 \pi^2}{L^2}\) et elles sont
\begin{equation*}
X_n(x) = \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right)\text{.}
\end{equation*}
La solution générale pour \(T\) pour un \(\lambda_n\) particulier est
\begin{equation*}
T_n(t) = A \cos \left( \frac{n \pi a}{L} t \right) + B \sin \left( \frac{n \pi a}{L} t \right)\text{.}
\end{equation*}
On résout aussi les conditions \(w(x,0) = 0\) ou \(X(x)T(0) = 0\text{.}\) Ceci implique que \(T(0) = 0\text{,}\) ce qui force \(A = 0\text{.}\) Un choix judicieux est \(B=\frac{L}{n \pi a}\) (vous verrez pourquoi dans un instant), et alors
\begin{equation*}
T_n(t) = \frac{L}{n \pi a} \sin \left( \frac{n \pi a}{L} t \right)\text{.}
\end{equation*}
Les solutions de base sont
\begin{equation*}
w_n(x,t) = \frac{L}{n \pi a} \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right) \sin \left( \frac{n \pi a}{L} t \right)\text{.}
\end{equation*}
On différentie par rapport à \(t\text{:}\)
\begin{equation*}
\frac{\partial w_n}{\partial t}(x,t) = \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right) \cos \left( \frac{n \pi a}{L} t \right)\text{.}
\end{equation*}
Ainsi,
\begin{equation*}
\frac{\partial w_n}{\partial t}(x,0) = \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right)\text{.}
\end{equation*}
On étend \(g(x)\) en termes de ces sinus:
\begin{equation*}
g(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right)\text{.}
\end{equation*}
En utilisant la superposition, on écrit la solution à (5.7.1) comme une série :
\begin{equation*}
w(x,t) = \sum_{n=1}^\infty b_n w_n(x,t) = \sum_{n=1}^\infty b_n \frac{L}{n \pi a} \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right) \sin \left( \frac{n \pi a}{L} t \right)\text{.}
\end{equation*}
Exercice 5.7.2.
On résout (5.7.2) de façon sembable. On essaie encore \(z(x,y) = X(x)T(t)\text{.}\) La procédure fonctionne exactement de la même manière qu’avant. On obtient
\begin{align*}
X''(x) + \lambda X(x) \amp = 0 ,\\
T''(t) + \lambda a^2 T(t) \amp = 0
\end{align*}
et les conditions \(X(0) = 0\text{,}\) \(X(L) = 0\text{.}\) Alors, encore une fois, \(\lambda = \lambda_n = \frac{n^2 \pi^2}{L^2}\text{,}\) et
\begin{equation*}
X_n(x) = \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right)\text{.}
\end{equation*}
Cette fois, la condition sur \(T\) est \(T'(0) = 0\text{.}\) Ainsi, on obtient que \(B = 0\text{,}\) et l’on prend
\begin{equation*}
T_n(t) = \cos \left( \frac{n \pi a}{L} t \right)\text{.}
\end{equation*}
Notre solution de base est
\begin{equation*}
z_n(x,t) = \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right) \cos \left( \frac{n \pi a}{L} t \right)\text{.}
\end{equation*}
Comme \(z_n(x,0) = \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right)\text{,}\) on étend \(f(x)\) en termes de ses sinus:
\begin{equation*}
f(x) = \sum_{n=1}^\infty c_n \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right)\text{.}
\end{equation*}
Et l’on écrit la solution à (5.7.2) comme une série :
\begin{equation*}
z(x,t) = \sum_{n=1}^\infty c_n z_n(x,t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right) \cos \left( \frac{n \pi a}{L} t \right)\text{.}
\end{equation*}
Exercice 5.7.3.
Remplissez les détails de la dérivée de la solution de (5.7.2). Vérifiez que la solution satisfait toutes les conditions secondaires.
En réunissant ces deux solutions, on obtient le théorème suivant.
Théorème 5.7.4.
Soit l’équation
\begin{equation}
\begin{array}{ll} y_{tt} = a^2 y_{xx} , \amp \\ y(0,t) = y(L,t) = 0 , \amp \\ y(x,0) = f(x) \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt L , \\ y_t(x,0) = g(x) \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt L , \end{array}\tag{5.7.4}
\end{equation}
où
\begin{equation*}
f(x) = \sum_{n=1}^\infty c_n \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right) \qquad \text{ et } \qquad g(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right)\text{.}
\end{equation*}
Alors, la solution \(y (x, t)\) peut être écrite comme une somme des solutions de (5.7.1) et de (5.7.2):
\begin{equation*}
\begin{aligned} y(x,t) \amp = \sum_{n=1}^\infty b_n \frac{L}{n \pi a} \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right) \sin \left( \frac{n \pi a}{L} t \right) + c_n \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right) \cos \left( \frac{n \pi a}{L} t \right) \\ \amp = \sum_{n=1}^\infty \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right) \left[ b_n \frac{L}{n \pi a} \sin \left( \frac{n \pi a}{L} t \right) + c_n \cos \left( \frac{n \pi a}{L} t \right) \right] . \end{aligned}
\end{equation*}
Exemple 5.7.5.
Considérons une corde de longueur 2 qui est pincée au milieu. Elle a une forme initiale donnée dans la 5.7.6. C’est
\begin{equation*}
f(x) = \begin{cases} 0.1\, x \amp \text{ si } \; 0 \leq x \leq 1 , \\ 0.1\, (2-x) \amp \text{ si } \; 1 \lt x \leq 2 . \end{cases}
\end{equation*}
Laissons la corde commencer à la position de repos (\(g(x) = 0\)) et supposons que \(a=1\) pour simplifier les choses. En d’autres termes, on souhaite résoudre le problème :
\begin{align*}
\amp y_{tt} = y_{xx},\\
\amp y(0,t) = y(2,t)= 0 ,\\
\amp y(x,0) = f(x) \text{ et } y_t(x,0)= 0 \text{.}
\end{align*}
On laisse en exercice le calcul de la série sinusoïdale de \(f (x)\text{.}\) La série sera
\begin{equation*}
f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{0.8}{n^2 \pi^2} \sin \left( \frac{n \pi}{2} \right) \sin \left( \frac{n \pi}{2} x \right)\text{.}
\end{equation*}
On note que \(\sin \left( \frac{n \pi}{2} \right)\) est la séquence \(1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, \ldots\) pour \(n = 1,2,3,4,\ldots\) Ainsi,
\begin{equation*}
f(x) = \frac{0.8}{\pi^2} \sin \left( \frac{\pi}{2} x \right) - \frac{0.8}{9 \pi^2} \sin \left( \frac{3 \pi}{2} x \right) + \frac{0.8}{25 \pi^2} \sin \left( \frac{5 \pi}{2} x \right) - \cdots
\end{equation*}
La solution \(y(x,t)\) est donnée par
\begin{equation*}
\begin{split} y(x,t) \amp = \sum_{n=1}^\infty \frac{0.8}{n^2 \pi^2} \sin \left( \frac{n \pi}{2} \right) \sin \left( \frac{n \pi}{2} x \right) \cos \left( \frac{n \pi}{2} t \right) \\ \amp = \sum_{m=1}^\infty \frac{0.8 {(-1)}^{m+1}}{{(2m-1)}^2 \pi^2} \sin \left( \frac{(2m-1) \pi}{2} x \right) \cos \left( \frac{(2m-1) \pi}{2} t \right) \\ \amp = \frac{0.8}{\pi^2} \sin \left( \frac{\pi}{2} x \right) \cos \left( \frac{\pi}{2} t \right) - \frac{0.8}{9 \pi^2} \sin \left( \frac{3 \pi}{2} x \right) \cos \left( \frac{3 \pi}{2} t \right) \\ \amp \hspace{20em} + \frac{0.8}{25 \pi^2} \sin \left( \frac{5 \pi}{2} x \right) \cos \left( \frac{5 \pi}{2} t \right) - \cdots \end{split}
\end{equation*}
Regardons la 5.7.7 pour un graphique où \(0 \lt t \lt 3\text{.}\) On remarque que, contrairement à l’équation de la chaleur, la solution ne devient pas plus “lisse”. On verra la raison de ce comportement dans la section suivante, où l’on décrira la solution de l’équation d’onde d’une autre façaon.
Assurez-vous de bien comprendre ce qu’est l’intrigue dans la figure. Pour chaque \(t\) fixe, on peut penser à la fonction \(y (x, t)\) comme à une fonction de \(x\) uniquement. Cette fonction donne la forme de la corde au temps \(t\text{.}\) Regardons la 5.7.8 pour le graphe de \(y\) en fonction de \(x\) à plusieurs valeurs différentes de \(t\text{.}\) Sur ce graphe, on peut voir que ce n’est pas lisse, et c’est correct.
Une chose à retenir est le son d’une guitare. On remarque que les fréquences (angulaires) qui apparaissent dans la solution sont \(n \frac{\pi a}{L}\text{.}\) Autrement dit, il existe une certaine fréquence fondamentale de base \(\frac{\pi a}{L}\text{,}\) et l’on obtient aussi tous les multiples de cette fréquence, qui en musique sont appelés les harmoniques . Ces harmoniques qui apparaissent avec une amplitude sont appelées par les musiciennes et les musiciens des timbres de la note. La communauté mathématique appelle généralement cela le spectre . Parce que toutes les fréquences sont des multiples d’une fréquence (la fondamentale), on obtient un beau son agréable.
La fréquence fondamentale \(\frac{\pi a}{L}\) augmente lorsqu’on diminue la longueur \(L\text{.}\) Autrement dit, si l’on place un doigt sur la touche puis qu’on pince la corde, on obtient un son plus aigu. On remarque que la constante \(a\) est donnée par
\begin{equation*}
a = \sqrt{\frac{T}{\rho}}\text{,}
\end{equation*}
où \(T\) est la tension et \(\rho\) est la densité linéaire de la corde. Serrer la corde (en tournant la cheville d’accord d’une guitare) augmente \(a\) et produit une fréquence fondamentale plus élevée (une note plus aiguë). Par contre, en utilisant une corde plus lourde, on réduit \(a\) et l’on produit une fréquence fondamentale plus basse (une note plus grave). Une guitare basse a des cordes plus longues et plus épaisses, tandis qu’un ukulélé a des cordes courtes en matériau plus léger.
Quelque chose d’assez intéressant est la presque symétrie entre l’espace et le temps. Dans sa forme la plus simple, cette symétrie est vue dans les solutions
\begin{equation*}
\sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right) \sin \left( \frac{n \pi a}{L} t \right)\text{.}
\end{equation*}
Sauf pour le \(a\text{,}\) le temps et l’espace sont identiques.
En général, la solution pour un \(x\) fixe est une série de Fourier en \(t\text{;}\) pour un \(t\) fixe, c’est une série de Fourier en \(x\text{,}\) et les coefficients sont liés. Si la forme de \(f (x)\) ou la vitesse initiale ont beaucoup de points anguleux, alors l’onde sonore aura beaucoup de points anguleux. Ceci est dû au fait que les coefficients de Fourier de forme initiale descendent à zéro (quand \(n \to \infty\)) au même rythme que les coefficients de Fourier de l’onde dans le temps (pour un certain \(x\) fixe). Donc, si nous utilisons un objet pointu pour pincer la corde, on obtient un son plus net avec une fréquence plus élevée, tandis que si nous utilisons notre pouce, nous obtenons un son plus doux. De même, si l’on s’approche du pont, on obtient un un son plus net.
En fait, si l’on regarde la formule de la solution, on voit que, pour tout \(x\) fixe, on obtient une série de Fourier presque arbitraire pour \(t\text{,}\) à l’exception du terme constant. Nous pouvons essentiellement obtenir le son de notre choix en pinçaant la corde de la bonne manière. Bien sûr, on envisage une corde idéale sans rigidité et sans la résistance de l’air. Ces variables ont clairement un impact sur le son également.
Exercices Exercices
1.
Résolvez
\begin{equation*}
\begin{array}{ll} y_{tt} = 9 y_{xx} , \amp \\ y(0,t) = y(1,t) = 0 , \amp \\ y(x,0) = \sin (3\pi x) + \frac{1}{4} \sin (6 \pi x) \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt 1 , \\ y_t(x,0) = 0 \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt 1 . \end{array}
\end{equation*}
2.
Résolvez
\begin{equation*}
\begin{array}{ll} y_{tt} = 4 y_{xx} , \amp \\ y(0,t) = y(1,t) = 0 , \amp \\ y(x,0) = \sin (3\pi x) + \frac{1}{4} \sin (6 \pi x) \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt 1 , \\ y_t(x,0) = \sin (9 \pi x) \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt 1 . \end{array}
\end{equation*}
3.
Dérivez la solution pour une corde pincée de longueur \(L\) et pour une constante \(a\) (dans l’équation \(y_{tt} = a^2 y_{xx}\)), où on soulève la corde à une certaine distance \(b\text{,}\) au milieu, et on relâche.
4.
Imaginez qu’un instrument de musique à cordes tombe sur le sol. Supposez que la longueur de la corde est égale à 1 et que \(a = 1\text{.}\) Quand l’instrument de musique frappe le sol, la corde est en position de repos et donc \(y (x, 0) = 0\text{.}\) Cependant, la corde se déplaçaait à une certaine vitesse à l’impact (\(t = 0\)), c’est-à-dire \(y_t (x, 0) = -1\text{.}\) Trouvez la solution \(y (x, t)\) pour la forme de la corde au temps \(t\text{.}\)
5. défi.
Supposez avoir une corde vibrante avec une résistance de l’air proportionnelle à sa vitesse. Autrement dit, vous avez
\begin{equation*}
\begin{array}{ll} y_{tt} = a^2 y_{xx} - k y_t , \amp \\ y(0,t) = y(1,t) = 0 , \amp \\ y(x,0) = f(x) \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt 1 , \\ y_t(x,0) = 0 \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt 1 . \end{array}
\end{equation*}
Supposez que \(0 \lt k \lt 2 \pi a\text{.}\) Dérivez une solution au problème en série. Tous les coefficients de la série doivent être exprimés comme des intégrales de \(f(x)\text{.}\)
6.
Supposez que vous touchez à la corde d’une guitare exactement au milieu pour assurer la condition \(u(\nicefrac{L}{2},t) = 0\) en tout temps. Quels multiples de la fréquence fondamentale \(\frac{\pi a}{L}\) apparaissent dans la solution?
7.
Résolvez
\begin{equation*}
\begin{array}{ll} y_{tt} = y_{xx} , \amp \\ y(0,t) = y(\pi,t) = 0 , \amp \\ y(x,0) = \sin(x) \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt \pi , \\ y_t(x,0) = \sin(x) \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt \pi . \end{array}
\end{equation*}
Réponse.
\(y(x,t) = \sin(x) \bigl(\sin(t) + \cos(t)\bigr)\)
8.
Résolvez
\begin{equation*}
\begin{array}{ll} y_{tt} = 25 y_{xx} , \amp \\ y(0,t) = y(2,t) = 0 , \amp \\ y(x,0) = 0 \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt 2 , \\ y_t(x,0) = \sin(\pi t) + 0.1 \sin(2\pi t) \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt 2 . \end{array}
\end{equation*}
Réponse.
\(y(x,t) = \frac{1}{5 \pi} \sin (\pi x) \sin (5 \pi t) + \frac{1}{100 \pi} \sin(2\pi x) \sin(10\pi t)\)
9.
Résolvez
\begin{equation*}
\begin{array}{ll} y_{tt} = 2 y_{xx} , \amp \\ y(0,t) = y(\pi,t) = 0 , \amp \\ y(x,0) = x \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt \pi , \\ y_t(x,0) = 0 \amp \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt \pi . \end{array}
\end{equation*}
Réponse.
\(y(x,t) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2{(-1)}^{n+1}}{n} \sin(nx) \cos( n \sqrt{2}\,t )\)
10.
Regardez ce qui arrive lorsque \(a=0\text{.}\) Trouvez la solution à \(y_{tt} = 0\text{,}\) \(y(0,t) = y(\pi,t) = 0\text{,}\) \(y(x,0) = \sin(2x)\text{,}\) \(y_t(x,0) = \sin(x)\text{.}\)
Réponse.
\(y(x,t) = \sin(2x)+t\sin(x)\)
