Regardons quelques applications impliquant des équations linéaires du deuxième ordre à coefficients constants.
Sous-sectionQuelques exemples
Le premier exemple est une masse sur un ressort. Supposons que nous avons une masse \(m > 0\) (en kg) connectée à un mur fixe par un ressort, de constante \(k > 0\) (en newtons par mètre). Il pourrait y avoir des forces externes \(F(t)\) (en newtons) agissant sur la masse. Finalement, il y a de la friction qui est mesurée par \(c \geq 0\) (en newtons secondes par mètre) lorsque la masse glisse sur le plancher (ou possiblement un amortisseur est connecté).
Soit \(x\) le déplacement de la masse (\(x=0\) est la position au repos), avec \(x\) s’éloignant du mur. Par la loi de Hooke, la force exercée sur le ressort est proportionnelle à la compression du ressort. Également, il y a la force exercée par la friction \(kx\text{,}\) dans la direction négative, qui est proportionnelle à la vitesse de la masse. Par la deuxième loi de Newton, nous savons que la force est égale au produit de la masse et de l’accélération et que, par conséquent, \(mx'' = F(t)-cx'-kx\) ou
Il s’agit d’une équation linéaire du deuxième ordre à coefficients constants. Le mouvement
est forcé , si \(F \not\equiv 0\) (si \(F\) est différent de zéro),
n’est pas forcé (ou libre ), si \(F \equiv 0\) (si \(F\) est nul),
est amorti , si \(c > 0\text{,}\) et
n’est pas amorti , si \(c = 0\text{.}\)
Ce système est présent dans beaucoup d’applications même s’il ne le semble pas à première vue. Plusieurs scénarios de la vraie vie peuvent être ramenés à celui d’un ressort relié à une masse. Par exemple, un saut en bungee est essentiellement un système masse-ressort (la personne est la masse). Regardons deux autres exemples.
Voici un exemple pour le génie électrique. Considérons l’image du circuit RLC. Il y a un ressort avec une résistance de \(R\) ohms, un inducteur avec une inductance de \(L\) henrys, et un condensateur avec une capacitance de \(C\) farads. Il y a aussi une source électrique (telle qu’une batterie) ayant un voltage de \(E(t)\) volts au temps \(t\) (mesuré en secondes). Soit \(Q(t)\) une charge (en coulombs) sur un condensateur, et \(I(t)\) le courant. La relation entre les deux est \(Q' = I\text{.}\) Par des principes élémentaires, on trouve \(L I' + RI + \nicefrac{Q}{C} = E\text{.}\) On dérive pour obtenir :
\begin{equation*}
L I''(t) + R I'(t) + \frac{1}{C} I(t) = E'(t)\text{.}
\end{equation*}
Il s’agit d’une équation linéaire non homogène du deuxième ordre à coefficients constants. Puisque \(L\text{,}\)\(R\) et \(C\) sont tous positifs, ce système se comporte exactement comme le système masse-ressort. La position de la masse est remplacée par le courant. La masse est remplacée par l’inducteur, l’amortisseur est remplacé par la résistance, et la constante du ressort est remplacée par la capacitance. Les variations du voltage deviennent la fonction de force — pour un voltage constant, il s’agit d’un mouvement qui n’est pas forcé.
Notre prochain exemple se comporte approximativement comme un système masse-ressort. Supposons que la masse \(m\) pend sur un fil de longueur \(L\text{.}\) On cherche une équation pour l’angle (en radians). Soit \(g\) la force gravitationnelle. La physique élémentaire dit que l’équation est :
Déduisons cette équation en utilisant la deuxième loi de Newton : la force est égale au produit de la masse et de l’accélération. L’accélération est \(L \theta''\text{,}\) et la masse est \(m\text{.}\) Alors, \(mL\theta''\) doit être égale à la composante tangentielle de la force gravitationnelle, soit \(m g \sin \theta\) dans la direction opposée. Alors, \(mL\theta'' = -mg \sin \theta\text{.}\) La masse \(m\) est curieusement annulée de l’équation.
Maintenant, approximons. Pour un petit \(\theta\text{,}\) nous avons l’approximation de Taylor \(\sin \theta \approx \theta\text{.}\) On le voit dans la Figure 3.4.1 : sur l’intervalle \(-0.5 \lt \theta \lt 0.5\) (en radians), les graphes de \(\sin \theta\) et de \(\theta\) sont presque les mêmes.
Figure3.4.1.Graphes de \(\sin \theta\) et de \(\theta\) (en radians).
Donc, quand le balancement est petit, \(\theta\) est petit, et nous pouvons modéliser le comportement par une équation linéaire simple :
Les erreurs de cette approximation s’accumulent. Alors, après un long moment, l’état de système dans la vraie vie est assez différent de notre système. Ainsi, nous verrons que, dans le système masse-ressort, l’amplitude est indépendante de la période. Mais ceci n’est plus vrai pour le pendule. Néanmoins, pour une période de temps assez courte et pour un petit élan (pour un petit angle \(\theta\)), l’approximation est raisonnablement bonne.
Dans les problèmes de la vraie vie, il est souvent nécessaire de faire ce genre de simplifications. On doit comprendre les mathématiques et la physique de la situation pour voir si les simplifications sont valides dans le contexte que l’on tente d’étudier.
Sous-sectionMouvement libre non amorti
Dans cette section, nous allons seulement considérer les mouvements libres ou non forcés puisque nous ne savons pas encore comment résoudre des équations non homogènes. Commençaons avec le mouvement non forcé où \(c=0\text{.}\) L’équation est :
Divisons par \(m\) et laissons \(\omega_0 = \sqrt{\nicefrac{k}{m}}\) pour réécrire l’équation comme suit :
\begin{equation*}
x'' + \omega_0^2 x = 0\text{.}
\end{equation*}
La solution générale à cette équation est :
\begin{equation*}
x(t) = A \cos (\omega_0 t) + B \sin (\omega_0 t)\text{.}
\end{equation*}
Par une identité trigonométrique :
\begin{equation*}
A \cos (\omega_0 t) + B \sin (\omega_0 t) = C \cos ( \omega_0 t - \gamma )\text{,}
\end{equation*}
pour deux constantes différentes \(C\) et \(\gamma\text{.}\) Il n’est pas difficile de calculer \(C= \sqrt{A^2 + B^2}\) et \(\tan \gamma = \nicefrac{B}{A}\text{.}\) Ainsi, soit \(C\) et \(\gamma\) deux constantes arbitraires, et écrivons \(x(t) = C \cos ( \omega_0 t - \gamma )\text{.}\)
Exercice3.4.2.
Justifiez l’identité \(A \cos (\omega_0 t) + B \sin (\omega_0 t) = C \cos ( \omega_0 t - \gamma )\) et vérifiez l’équation pour \(C\) et \(\gamma\text{.}\) Astuce : commencez avec
et multipliez par \(C\text{.}\) Alors, que devraient être \(\alpha\) et \(\beta\text{?}\)
Tandis que c’est généralement plus facile d’utiliser les premières formes avec \(A\) et \(B\) pour résoudre pour les conditions initiales, la deuxième forme est beaucoup plus naturelle. Les constantes \(C\) et \(\gamma\) ont des interprétations physiques intéressantes. Écrivez la solution comme
\begin{equation*}
x(t) = C \cos ( \omega_0 t - \gamma )\text{.}
\end{equation*}
Il s’agit d’une oscillation à fréquence pure (une onde sinusoïdale). La constante \(C\) est l’amplitude , \(\omega_0\) est la fréquence angulaire, et \(\gamma\) est le changement de phase . Le changement de phase déplace uniquement le graphe vers la gauche ou vers la droite (translation horizontale). On appelle \(\omega_0\) la fréquence angulaire naturelle. Cette configuration entière est appelée le mouvement harmonique simple.
Prenons une pause pour expliquer les termes angulaire et fréquence. Les unités de \(\omega_0\) sont des radians par unité de temps, ce ne sont pas des cycles par unité de temps comme la fréquence mesure habituellement. Puisqu’un cycle mesure \(2 \pi\) radians, la fréquence usuelle est donnée par \(\frac{\omega_0}{2\pi}\text{.}\) Il s’agit simplement de savoir où nous plaçaons la constante \(2\pi\text{,}\) et c’est une question de goût.
La période du mouvement est l’inverse de la fréquence (en cycles par unité de temps). Elle est donc donnée par \(\frac{2\pi}{\omega_0}\text{.}\) C’est le temps qu’il faut pour terminer un cycle complet.
Exemple3.4.3.
Supposons que \(m=2\) kg et \(k=8\) N/m. Un système masse-ressort se trouve sur un camion qui se déplace à 1 m/s. Le camion a un accident et s’arrête. La masse a été tenue en place à 0.5 m de sa position de repos. Pendant l’accident, la masse se déplace. Alors, elle bouge vers l’avant à 1 m/s, pendant que le ressort reste fixé. La masse commence donc à osciller. Quelle est la fréquence de l’oscillation résultante? Quelle est l’amplitude? Les unités sont des mètres-kilogrammes-secondes.
La configuration signifie que la masse était à un demi-mètre dans la direction positive pendant l’accident et que la masse se déplaçait vers l’avant par rapport à la paroi sur laquelle le ressort était monté, (dans la direction positive) à 1 m/s. Alors, l’équation avec les conditions initiales est :
On calcule directement \(\omega_0 = \sqrt{\nicefrac{k}{m}} = \sqrt{4} = 2\text{.}\) La fréquence angulaire est 2. La fréquence usuelle en hertz (cycles par seconde) est \(\nicefrac{2}{2\pi} = \nicefrac{1}{\pi} \approx 0.318\text{.}\)
Figure3.4.4.Oscillation simple non amortie.
La solution générale est :
\begin{equation*}
x(t) = A \cos (2t) + B \sin (2t)\text{.}
\end{equation*}
La condition \(x(0) = 0.5\) implique que \(A = 0.5\text{.}\) Alors, \(x'(t) = - 2(0.5) \sin (2t) + 2B \cos (2t)\text{.}\) Puisque \(x'(0) = 1\text{,}\) on obtient \(B = 0.5\text{.}\) Ainsi, l’amplitude est \(C = \sqrt{A^2+B^2} = \sqrt{0.25+0.25} = \sqrt{0.5} \approx 0.707\text{.}\) La solution est :
Le graphe de \(x(t)\) est illustré à la Figure 3.4.4.
En général, pour un mouvement libre non amorti, la solution
\begin{equation*}
x(t) = A \cos (\omega_0 t) + B \sin (\omega_0 t)
\end{equation*}
correspond aux conditions initiales \(x(0) = A\) et \(x'(0) = \omega_0 B\text{.}\) Ainsi, il est facile de comprendre \(A\) et \(B\) à partir des conditions initiales.
Calculons la variation de phase de l’exemple. Puisque \(\tan \gamma = \nicefrac{B}{A} = 1\text{,}\) on prend l’arc tangente de 1 pour obtenir \(\nicefrac{\pi}{4}\) ou \(\nicefrac{5\pi}{4}\text{.}\) Il faut vérifier à quel quadrant appartient \(\gamma\text{.}\) Puisque \(A\) et \(B\) sont positifs, \(\gamma\) appartient au premier quadrant, et alors \(\gamma = \nicefrac{\pi}{4}\) ou approximativement 0.785.
Note : plusieurs calculatrices et logiciels proposent non seulement la fonction atan pour arc tangente, mais aussi ce qui est appelé atan2. Cette fonction prend deux arguments, \(B\) et \(A\text{,}\) et retourne \(\gamma\) dans le bon quadrant.
Sous-sectionMouvement libre amorti
On considère maintenant le cas amorti. L’équation est alors
\begin{equation*}
m x'' + c x' + kx = 0
\end{equation*}
En utilisant la formule quadratique, nous obtenons les racines
\begin{equation*}
r = -p \pm \sqrt{p^2 - \omega_0^2}\text{.}
\end{equation*}
La forme de la solution dépend du type de racines que l’on obtient (réelles ou complexes). On obtient des racines réelles si et seulement si le nombre suivant n’est pas négatif (donc plus grand ou égal à zéro) :
Le signe de \(p^2-\omega_0^2\) est le même que le signe de \(c^2 - 4km\text{.}\) Ainsi, on obtient des racines réelles si et seulement si \(c^2-4km\) n’est pas négatif (c’est-à-dire si \(c^2 \geq 4km\)).
Suramortissement.
Lorsque \(c^2 - 4km > 0\text{,}\) le système est suramorti . Dans ce cas, il y a deux racines réelles \(r_1\) et \(r_2\text{.}\) Les deux racines sont négatives : puisque \(\sqrt{p^2 - \omega_0^2}\) est toujours plus petite que \(p\text{,}\) alors \(-p \pm \sqrt{p^2 - \omega_0^2}\) est négative dans tous les cas.
Figure3.4.5.Mouvement suramorti, avec quelques conditions initiales différentes.
Puisque \(r_1, r_2\) sont négatives, \(x(t) \to 0\) lorsque \(t \to \infty\text{.}\) Ainsi, la masse se rapprochera vers la position de repos lorsque le temps tendra vers l’infini. La Figure 3.4.5 montre le graphe de quelques solutions, avec des conditions initiales différentes.
Il n’y a aucune oscillation. En effet, le graphe croise l’axe des \(x\) au plus une fois. Pour comprendre pourquoi, résolvons \(0 = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}\text{.}\) Donc, \(C_1 e^{r_1 t} = - C_2 e^{r_2 t}\) et, en utilisant les lois des exposants, on obtient
Cette équation a au plus une solution \(t \geq 0\text{.}\) Pour certaines conditions initiales, le graphe ne croise jamais l’axe des \(x\text{,}\)comme le montre le graphe précédent.
Exemple3.4.6.
Supposons que la masse n’est plus au repos. Elle est au repos lorsque \(x(0) = x_0\) et \(x'(0) = 0\text{.}\) Alors,
Il est évident que les conditions initiales sont satisfaites.
Lorsque \(c^2 - 4km = 0\text{,}\) le système présente un amortissement critique . Dans ce cas, il y a une racine double \(-p\text{.}\) Notre solution est
\begin{equation*}
x(t) = C_1 e^{-pt} + C_2 t e^{-pt}\text{.}
\end{equation*}
Le comportement d’un système avec amortissement critique est très semblable à celui d’un système avec amortissement ordinaire. Après tout, le premier est en quelque sorte un cas limite du second. Mais ces équations sont après tout des approximations : dans le vrai monde, on est toujours un peu sous-amorti ou un peu trop amorti. On ne s’attardera donc pas sur l’amortissement critique.
Sous-amortissement.
Figure3.4.7.Système sous-amorti avec ses courbes enveloppes.
Lorsque \(c^2 - 4km \lt 0\text{,}\) le système est sous-amorti . Dans ce cas, les racines sont complexes :
où \(\omega_1 =\sqrt{\omega_0^2 - p^2}\text{.}\) Notre solution est
\begin{equation*}
x(t) = e^{-pt} \bigl( A \cos (\omega_1 t) + B \sin (\omega_1 t) \bigr)
\end{equation*}
ou
\begin{equation*}
x(t) = C e^{-pt} \cos ( \omega_1 t - \gamma )\text{.}
\end{equation*}
Le graphe d’un exemple est illustré dans la Figure 3.4.7. Notez que nous avons encore \(x(t) \to 0\) lorsque \(t \to \infty\text{.}\)
La figure montre aussi les courbes enveloppes \(C e^{-pt}\) et \(-C e^{-pt}\text{.}\) La solution est la ligne qui oscille entre les deux courbes. Les courbes enveloppes donnent l’amplitude maximale de l’oscillation à n’importe quel point donné. Le calcul de la courbe enveloppe vous intéressera si, par exemple, vous sautez en bungee et vous voulez éviter de vous cogner la tête.
Le changement de phase \(\gamma\) fait varier l’oscillation vers la gauche ou vers la droite, mais dans la courbe enveloppe (celle-ci ne change pas, même lorsque \(\gamma\) varie).
La pseudo-fréquence 1
On n’appelle pas \(\omega_1\) une fréquence puisque la solution n’est pas réellement périodique.
angulaire devient plus petite lorsque l’amortissement \(c\text{,}\) et donc \(p\text{,}\) devient plus grand. Cela a du sens : lorsque l’amortissement change légèrement, on ne s’attend pas à ce que le comportement de la solution change beaucoup. Lorsque \(c\) augmente, alors, à un certain point, la solution devrait ressembler à la solution pour un amortissement critique ou pour un suramortissement où il n’y a pas d’oscillation. Alors, si \(c^2\) approche \(4km\text{,}\) on veut que \(\omega_1\) tende vers 0.
De l’autre côté, lorsque \(c\) devient plus petit, \(\omega_1\) approche \(\omega_0\) (\(\omega_1\) est toujours plus petit que \(\omega_0\)), et la solution ressemble de plus en plus au cas de sous-amortissement. La courbe enveloppe devient de plus en plus plate lorsque \(c\text{,}\) et donc \(p\text{,}\) tend vers 0.
ExercicesExercices
1.
Considérez le système masse-ressort tel que \(m=2\text{,}\) la constante du ressort \(k=3\text{,}\) et la constante d’amortissement \(c=1\text{.}\)
Écrivez le système et trouvez la solution générale de celui-ci.
Est-ce que le système est en état de sous-amortissement, sur-amortissement ou d’amortissement critique?
Si le système n’est pas en amortissment critique, trouve un \(c\) qui amène le système dans un état d’amortissement critique.
2.
Faites l’Exercice 1 pour \(m=3\text{,}\)\(k=12\) et \(c=12\text{.}\)
3.
Utilisant les unités mètres-kilogrammes-secondes, supposez que vous avez un ressort de constante 4 N/m. Vous voulez l’utiliser pour peser des objets. Supposez qu’il n’y a pas de friction. Attachez la masse au ressort et mettez-la en mouvement.
Vous trouvez que la fréquence est 0.8 Hz (cycles per seconde). Quelle est la masse?
Trouvez la formule pour une masse \(m\) et donnez la fréquence \(\omega\) en Hz.
4.
On reprend l’Exercice 3 en tenant compte de la friction. De plus, supposez que vous ne connaissaez pas la constante du ressort, mais que vous avez deux poids de références 1 kg et 2 kg pour calibrer votre système. Vous les mettez, chacun leur tour, en mouvement sur votre ressort et vous mesurez la fréquence. Pour la masse de 1 kg vous mesurez 1.1 Hz, pour la masse de 2 kg vous mesurez 0.8 Hz.
Trouvez \(k\) (la constante du ressort) et \(c\) (la constante d’amortissement).
Trouvez la formule pour la masse en terme de fréquence en Hz. Notez qu’il pourrait avoir plus qu’une masse possible pour une fréquence donnée.
Pour un objet inconnu, vous mesurez 0.2 Hz, quelle est la masse de cet objet? Supposez que la masse de l’objet inconnue est supérieure un kilogramme.
5.
On veut mesurer la friction d’une masse de 0.1 kg en la glissant sur une surface lisse (on veut trouver \(c\)). Vous avez un ressort de constante \(k=5\) N/m. Vous prenez le ressort, vous attachez une masse et vous l’accrochez au mur. Ensuite, vous tirez sur le ressort et vous lâchez la masse. Vous trouvez que la masse oscille avec une fréquence de 1 Hz. Quelle est la friction?
6.
Une masse de \(2\) kilogrammes est attaché à un ressort de constante \(k\) newtons par mètre sans amortissement. Supposez que le système est au repos et qu’au temps \(t=0\text{,}\)on donne une impulsion à la masse, qui commence à se déplacer à 2 mètres par seconde. Quelle valeur \(k\) devrait-elle avoir pour que la masse n’aille pas plus loin que trois mètres de sa position de repos?
Réponse.
\(k=\nicefrac{8}{9}\) (et plus)
7.
Supposez que vous ayant un circuit RLC circuit avec un résistance de 100 milliohms (0.1 ohms), un inducteur ayant une inductance de 50 millihenries (0.05 henries), et une capacité de 5 farads, avec un voltage constant.
Écrivez l’EDO pour le \(I\) courant.
Trouvez la solution générale.
Résolvez pour \(I(0) = 10\) et \(I'(0) = 0\text{.}\)
Réponse.
a) \(0.05 I'' + 0.1 I' + (\nicefrac{1}{5}) I = 0\) b) \(I = C e^{-t} \cos(\sqrt{3} \, t - \gamma)\) c) \(I = 10 e^{-t} \cos(\sqrt{3} \, t) + \frac{10}{\sqrt{3}} e^{-t} \sin(\sqrt{3} \, t)\)
8.2.
Un wagon de 5000 kg frappe un pare-chocs (un ressort) à 1 m/s, et le ressort comprime de 0.1 m. Supposez qu’il n’y a pas d’amortissement.
Trouvez \(k\text{.}\)
Quelle est la compression du ressort lorsqu’un wagon de 10000 kg le frappe à la même vitesse?
Supposons que le ressort brise lorsqu’il comprime de plus de 0.3 m. Quelle serait la masse maximale permise au wagon pour qu’il puisse le frapper à 1 m/s?
Quel est la masse maximale du wagon pouvant frapper le ressort sans briser à une vitesse de 2 m/s?
Réponse.
a) \(k=500000\) b) \(\frac{1}{5\sqrt{2}} \approx 0.141\) c) 45000 kg d) 11250 kg
9.
Une masse de \(m\) kg est attaché à un ressort de constante \(k=3\) N/m, et \(c=2\) Ns/m. Trouvez la masse \(m_0\) pour laquelle il y a un amortissement critique. Si \(m \lt m_0\text{,}\) est-ce que le système oscille ou non, et est-ce qu’il s’agit d’un sur-amortissement ou d’un sous-amortissement?
Réponse.
\(m_0 = \frac{1}{3}\text{.}\) Si \(m \lt m_0\text{,}\) alors le système est sur-amorti et ne va pas osciller.
