Supposons que \(k=2\) et \(m=1\text{.}\) Les unités sont de nouveau les unités mks (mètres-kilogrammes-secondes). Il y a un jetpack attaché à la masse, qui tire avec une force de 1 newton pendant 1 seconde, puis s’éteint pendant 1 seconde, et ainsi de suite. On veut trouver la solution périodique constante.
L’équation est donc
\begin{equation*}
x'' + 2 x = F(t)\text{,}
\end{equation*}
où \(F(t)\) est la fonction intermédiaire
\begin{equation*}
F(t) = \begin{cases} 0 \amp \text{ si } \; {-1} \lt t \lt 0
\\ 1 \amp \text{ si } \; 0 \lt t \lt 1 \end{cases}
\end{equation*}
étendue périodiquement. On écrit
\begin{equation*}
F(t) = \frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty c_n \cos (n \pi t) + d_n \sin (n \pi t)\text{.}
\end{equation*}
On calcule
\begin{align*}
c_n \amp = \int_{-1}^1 F(t) \cos (n \pi t) \, dt = \int_{0}^1 \cos (n \pi t) \, dt = 0 \qquad \text{ pour } \; n \geq 1,\\
c_0 \amp = \int_{-1}^1 F(t) \, dt = \int_{0}^1 \, dt = 1 ,\\
d_n \amp = \int_{-1}^1 F(t) \sin (n \pi t) \, dt\\
\amp = \int_{0}^1 \sin (n \pi t) \, dt\\
\amp = \left[ \frac{-\cos (n \pi t)}{n \pi} \right]_{t=0}^1\\
\amp = \frac{1-{(-1)}^n}{\pi n} = \begin{cases} \frac{2}{\pi n} \amp \text{ si } n \text{ est impair } \\
0 \amp \text{ si } n \text{ est pair } . \end{cases}
\end{align*}
Alors,
\begin{equation*}
F(t) = \frac{1}{2} + \sum_{\substack{n=1 \\ n \text{ impair } } }^\infty \frac{2}{\pi n} \sin (n \pi t)\text{.}
\end{equation*}
On veut essayer
\begin{equation*}
x(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos (n \pi t) + b_n \sin (n \pi t)\text{.}
\end{equation*}
On remplace \(x\) dans l’équation différentielle \(x''+2x = F(t)\text{.}\) Il est clair que \(a_n = 0\) pour \(n \geq 1\text{,}\) car il n’y a pas de termes correspondants dans la série pour \(F(t)\text{.}\) De manière similaire, \(b_n = 0\) pour \(n\) pair. Ainsi, on essaie
\begin{equation*}
x(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{\substack{n=1 \\ n \text{ impair } } }^\infty b_n \sin (n \pi t)\text{.}
\end{equation*}
On remplace dans l’équation différentielle et l’on obtient
\begin{equation*}
\begin{split} x'' + 2 x \amp = \sum_{\substack{n=1 \\ n \text{ impair } } }^\infty \Bigl[ - b_n n^2 \pi^2 \sin (n \pi t) \Bigr] + a_0 + 2 \sum_{\substack{n=1 \\ n \text{ impair } } }^\infty \Bigl[ b_n \sin (n \pi t) \Bigr] \\ \amp = a_0 + \sum_{\substack{n=1 \\ n \text{ impair } } }^\infty b_n (2 - n^2 \pi^2 ) \sin (n \pi t) \\ \amp = F(t) = \frac{1}{2} + \sum_{\substack{n=1 \\ n \text{ impair } } }^\infty \frac{2}{\pi n} \sin (n \pi t) . \end{split}
\end{equation*}
Alors, \(a_0 = \frac{1}{2}\text{,}\) \(b_n = 0\) pour un \(n\) pair et, pour un \(n\) impair, on obtient
\begin{equation*}
b_n = \frac{2}{\pi n (2 - n^2 \pi^2 )}\text{.}
\end{equation*}
La solution périodique constante a la série de Fourier
\begin{equation*}
x_{sp}(t) = \frac{1}{4} + \sum_{\substack{n=1 \\ n \text{ impair } } }^\infty \frac{2}{\pi n (2 - n^2 \pi^2 )} \sin (n \pi t)\text{.}
\end{equation*}
On sait que c’est la solution périodique constante, car elle ne contient aucun terme de la solution complémentaire et elle est périodique avec la même période que \(F (t)\) elle-même. Regardons la Figure 5.5.2 pour le graphe de cette solution.
