Introduction aux systèmes d’équations différentielles ordinaires

Section 4.1 Introduction aux systèmes d’équations différentielles ordinaires

Sous-section Systèmes différentiels

Un problème n’a pas toujours qu’une seule variable dépendante et qu’une seule équation. Comme on le verra, des systèmes peuvent être composés de plusieurs équations et de plusieurs variables dépendantes même s’il n’y a qu’une seule équation au départ.

S’il y a plusieurs variables dépendantes, \(y_1\text{,}\) \(y_2\text{,}\) …, \(y_n\text{,}\) alors il peut y avoir une équation différentielle comprenant toutes ces variables et leurs dérivées par rapport à une variable indépendante \(x\text{.}\) Par exemple, \(y_1'' = f(y_1',y_2',y_1,y_2,x)\text{.}\) Généralement, lorsqu’il y a deux variables dépendantes, il y a deux équations telles que

\begin{align*} y_1'' \amp = f_1(y_1',y_2',y_1,y_2,x) ,\\ y_2'' \amp = f_2(y_1',y_2',y_1,y_2,x) \end{align*}

pour des fonctions \(f_1\) et \(f_2\text{.}\) On appelle ça un système d’équations différentielles. De façon plus précise, l’équation précédente est un système d’EDO du second ordre étant donné la présence d’une dérivée du second ordre. Le système

\begin{align*} x_1' \amp = g_1(x_1,x_2,x_3,t) ,\\ x_2' \amp = g_2(x_1,x_2,x_3,t) ,\\ x_3' \amp = g_3(x_1,x_2,x_3,t) \end{align*}

est du premier ordre , où \(x_1,x_2\) et \(x_3\) sont les variables dépendantes et où \(t\) est la variable indépendante.

La terminologie des systèmes est essentiellement la même que pour les équations simples. Pour le système précédent, une solution est un ensemble de trois fonctions \(x_1(t)\text{,}\) \(x_2(t)\text{,}\) \(x_3(t)\) telles que

\begin{align*} x_1'(t) \amp = g_1\bigl(x_1(t),x_2(t),x_3(t),t\bigr) ,\\ x_2'(t) \amp = g_2\bigl(x_1(t),x_2(t),x_3(t),t\bigr) ,\\ x_3'(t) \amp = g_3\bigl(x_1(t),x_2(t),x_3(t),t\bigr) \text{.} \end{align*}

Généralement, il y a aussi une condition initiale. Comme dans le cas des équations simples, on précise \(x_1\text{,}\) \(x_2\) et \(x_3\) pour un \(t\) fixe. Par exemple, \(x_1(0) = a_1\text{,}\) \(x_2(0) = a_2\) et \(x_3(0) = a_3\text{,}\) où \(a_1\text{,}\) \(a_2\) et \(a_3\) sont des constantes quelconques. Pour le système du second ordre, on préciserait également les premières dérivées en un point. Si l’on trouve une solution avec des constantes et que, en résolvant celles-ci, on trouve une solution pour toute condition initiale, on appelle cette solution la solution générale. Examinons un exemple simple.

Exemple 4.1.1.

Il est parfois facile de trouver la solution en résolvant un système pour une variable puis pour la seconde. Prenons le système du premier ordre

\begin{align*} y_1' \amp = y_1 ,\\ y_2' \amp = y_1 - y_2 \text{,} \end{align*}

où \(y_1\) et \(y_2\) sont les variables dépendantes et où \(x\) est la variable indépendante. Considérons les conditions initiales \(y_1(0) = 1\) et \(y_2(0) = 2\text{.}\)

On remarque que \(y_1 = C_1 e^x\) est la solution générale de la première équation. En substituant ensuite ce \(y_1\) dans la seconde équation, on obtient \(y_2' = C_1e^x - y_2\text{,}\) qui est une équation linéaire du premier ordre facilement résoluble pour \(y_2\text{.}\) Avec la méthode du facteur intégrant, on obtient

\begin{equation*} e^x y_2 = \frac{C_1}{2}e^{2x} + C_2 \end{equation*}

ou \(y_2 = \frac{C_1}{2}e^{x} + C_2e^{-x}\text{.}\) La solution générale du système est donc :

\begin{equation*} y_1 = C_1 e^x , \qquad y_2 = \frac{C_1}{2}e^{x} + C_2e^{-x}\text{.} \end{equation*}

On résout le système pour \(C_1\) et \(C_2\) pour les conditions initiales. On substitue \(x=0\) et l’on trouve que \(C_1=1\) et \(C_2=\nicefrac{3}{2}\text{.}\) Alors, la solution est \(y_1 = e^x\) et \(y_2 = (\nicefrac{1}{2}) e^x + (\nicefrac{3}{2}) e^{-x}\text{.}\)

En général, on ne peut pas résoudre chaque variable séparément comme dans l’exemple précédent, et il faudra résoudre toutes les variables en même temps. Même si l’on ne peut pas toujours résoudre le système pour une variable et ensuite pour la suivante, on essaiera de tirer profit au maximum de cette technique. D’une certaine façon, on résoudra plusieurs équations simples et l’on regroupera les solutions. Ne nous préoccupons pas encore de la façon de résoudre les systèmes d’équations.

Considérons principalement les systèmes linéaires. L’exemple précédent est un système linéaire du premier ordre, car les variables dépendantes ou leurs dérivées n’apparaissent pas dans des fonctions non linéaires ou à des puissances supérieures à 1 (\(x\text{,}\) \(y\text{,}\) \(x'\) et \(y'\) constantes, et les fonctions de \(t\) peuvent être présentes, mais pas \(xy\) ni \({(y')}^2\) ni \(x^3\)). Voici un exemple plus complexe de système linéaire :

\begin{align*} y_1'' \amp = e^t y_1' + t^2 y_1 + 5 y_2 + \sin(t),\\ y_2'' \amp = t y_1'-y_2' + 2 y_1 + \cos(t)\text{.} \end{align*}

Sous-section Applications

Voici quelques applications simples de systèmes différentiels et la manière de mettre en place les équations.

Exemple 4.1.2.

Tout d’abord, examinons des réservoirs de solution saline, mais, cette fois-ci, l’eau circule de l’un à l’autre, et vice versa. Considérons que les réservoirs sont mélangés uniformément.

Figure 4.1.3. Système fermé de deux réservoirs de solution saline.

Supposons que nous avons deux réservoirs contenant un volume de \(V\) litres d’eau salée. Le premier réservoir contient \(x_1\) grammes de sel, et le second, \(x_2\) grammes. La solution est parfaitement mélangée et s’écoule d’un réservoir à l’autre à la vitesse de \(r\) litres par seconde. Voir la Figure 4.1.3.

Le taux de variation de \(x_1\text{,}\) c’est-à-dire \(x_1'\text{,}\) est la différence entre les débits d’entrée et de sortie. Le débit entrant correspond à la densité du sel dans le réservoir 2 (\(\frac{x_2}{V}\)) multipliée par le débit \(r\text{.}\) Le débit sortant correspond à la densité du sel dans le réservoir 1 (\(\frac{x_1}{V}\)) multipliée par le débit \(r\text{.}\) En d’autres termes, on a

\begin{equation*} x_1' = \frac{x_2}{V} r - \frac{x_1}{V} r = \frac{r}{V} x_2 - \frac{r}{V} x_1 = \frac{r}{V} (x_2-x_1)\text{.} \end{equation*}

De la même façon, on trouve le taux de variation de \(x_2'\) quand les rôles de \(x_1\) et \(x_2\) sont inversés. En résumé, le système d’EDO de ce problème est

\begin{align*} x_1' \amp = \frac{r}{V} (x_2-x_1),\\ x_2' \amp = \frac{r}{V} (x_1-x_2)\text{.} \end{align*}

Ici, on ne peut pas résoudre le système séparément pour \(x_1\) ou \(x_2\text{.}\) On doit simultanément le résoudre pour \(x_1\) et \(x_2\text{,}\) ce qui est évident étant donné que la quantité de sel dans un réservoir affecte celle dans l’autre. On ne peut déterminer \(x_1\) sans \(x_2\text{,}\) et vice versa.

On ne sait pas encore comment trouver toutes les solutions, mais on peut au moins en trouver certaines de façon intuitive. Supposons que nous savons que les réservoirs contiennent la même quantité de sel au départ. On a donc la condition initiale \(x_1(0)=x_2(0) = C\text{.}\) Dans ce cas, la quantité de sel qui sort de chaque réservoir est la même, alors les concentrations ne changent pas. En d’autres termes, \(x_1 = C\) et \(x_2 = C\) (les fonctions constantes) est une solution : \(x_1' = x_2' = 0\) et \(x_2-x_1 = x_1-x_2 = 0\text{,}\) alors les équations sont satisfaites.

Réfléchissons encore un peu avant de résoudre le système. Supposons des conditions initiales \(x_1(0) = A\) et \(x_2(0) = B\text{,}\) pour deux constantes différentes \(A\) et \(B\text{.}\) On a un système fermé, alors la quantité totale de sel est constante. Donc, \(x_1+x_2\) est constant et égal à \(A+B\text{.}\) Si \(A\) est plus grande que \(B\text{,}\) il y aura plus de sel qui sort du premier réservoir qu’il y en entre. Éventuellement, après une longue période, la quantité de sel dans chaque réservoir sera égale. Donc, la solution de \(x_1\) et \(x_2\) tend vers \(\frac{A+B}{2}\text{.}\) Vous découvrirez que c’est vrai quand vous aurez appris à résoudre des systèmes différentiels.

Exemple 4.1.4.

Étudions un exemple du second ordre. Reprenons le montage avec une masse et un ressort, mais, cette fois-ci, considérons deux masses.

On a un ressort avec une constante \(k\) et deux masses \(m_1\) et \(m_2\text{.}\) Imaginez les masses comme des chariots qui se déplacent sans friction le long d’une voie linéaire. La variable \(x_1\) représente le déplacement du premier chariot, et \(x_2\text{,}\) le déplacement du second. Les deux chariots reposent sans tension dans le ressort, et l’on marque la position des deux chariots qu’on appelle les positions zéro. Alors, \(x_1\) indique la distance du premier chariot par rapport à sa position zéro, et \(x_2\) fait la même chose pour le second. La force exercée par le ressort sur le premier chariot est \(k(x_2-x_1)\) étant donné que \(x_2-x_1\) représente l’étirement (ou la compression) du ressort par rapport à la position de repos. La force exercée sur le second chariot est l’inverse, donc la même avec un signe négatif. La deuxième loi de Newton stipule que la force est égale à la masse multipliée par l’accélération. Le système d’équations est donc

\begin{align*} m_1 x_1'' \amp = k(x_2-x_1) ,\\ m_2 x_2'' \amp = - k(x_2-x_1) \text{.} \end{align*}

Encore une fois, on ne peut le résoudre pour les variables \(x_1\) et \(x_2\) séparément. Il est clair qu’on doit résoudre le système pour \(x_1\) et \(x_2\) en même temps, car les déplacements des deux chariots sont interreliés.

Sous-section Passage au premier ordre

Avant de parler de la façon de traiter des systèmes différentiels, notons que, dans un certain sens, nous pouvons ne considérer que les systèmes du premier ordre. Prenons une équation différentielle de \(n^{\text{ième}}\) ordre :

\begin{equation*} y^{(n)} = F(y^{(n-1)},\ldots,y',y,x)\text{.} \end{equation*}

On définit de nouvelles variables \(u_1, u_2, \ldots, u_n\) et l’on écrit le système :

\begin{align*} u_1' \amp = u_2 ,\\ u_2' \amp = u_3 ,\\ \amp ~\, \vdots\\ u_{n-1}' \amp = u_n ,\\ u_n' \amp = F(u_n,u_{n-1},\ldots,u_2,u_1,x) \text{.} \end{align*}

On résout ce système pour \(u_1\text{,}\) \(u_2\text{,}\) …, \(u_n\text{.}\) Après avoir trouvé la solution pour les \(u\text{,}\) on peut oublier \(u_2\) à \(u_n\) et garder \(y = u_1\text{.}\) Ce \(y\) résout l’équation d’origine.

Exemple 4.1.5.

Prenons \(x''' = 2x''+ 8x' + x + t\text{.}\) Si l’on admet que \(u_1 = x\text{,}\) \(u_2 = x'\) et \(u_3 = x''\text{,}\) on trouve le système :

\begin{equation*} u_1' = u_2, \qquad u_2' = u_3, \qquad u_3' = 2u_3 + 8u_2 + u_1 + t\text{.} \end{equation*}

On peut suivre une démarche similaire pour un système d’équations différentielles d’ordre supérieur. Par exemple, un système de \(k\) équations différentielles avec \(k\) inconnues, toutes d’ordre \(n\text{,}\) peut être ramené à un système du premier ordre de \(n \times k\) équations et de \(n \times k\) inconnues.

Exemple 4.1.6.

Reprenons l’exemple des chariots,

\begin{equation*} m_1 x_1'' = k(x_2-x_1), \qquad m_2 x_2'' = - k(x_2-x_1)\text{.} \end{equation*}

Admettons que \(u_1 = x_1\text{,}\) \(u_2 = x_1'\text{,}\) \(u_3 = x_2\) et \(u_4 = x_2'\text{.}\) Le système du second ordre devient le système du premier ordre :

\begin{equation*} u_1' = u_2, \qquad m_1 u_2' = k(u_3-u_1), \qquad u_3' = u_4, \qquad m_2 u_4' = - k(u_3-u_1)\text{.} \end{equation*}

Exemple 4.1.7.

Le principe fonctionne dans les deux sens. Prenons le système

\begin{equation*} x' = 2y-x , \qquad y' = x\text{,} \end{equation*}

où la variable indépendante est \(t\text{.}\) On désire le résoudre pour les conditions initiales \(x(0) = 1\) et \(y(0) =0\text{.}\)

Si l’on dérive la seconde équation, on obtient \(y''=x'\text{.}\) On sait ce que représente \(x'\) en fonction de \(x\) et \(y\text{,}\) et l’on sait que \(x=y'\text{.}\) Alors,

\begin{equation*} y'' = x' = 2y-x = 2y-y'\text{.} \end{equation*}

On a maintenant l’équation \(y''+y'-2y = 0\text{.}\) On sait comment résoudre cette équation et l’on trouve que \(y = C_1 e^{-2t} + C_2 e^t\text{.}\) Maintenant qu’on a \(y\text{,}\) on utilise l’équation \(y' = x\) pour trouver \(x\) :

\begin{equation*} x = y' = -2 C_1 e^{-2t} + C_2 e^t\text{.} \end{equation*}

On résout pour les conditions initiales \(1 = x(0) = -2 C_1 + C_2\) et \(0 = y(0) = C_1 + C_2\text{.}\) Ainsi, \(C_1 = -C_2\) et \(1 = 3C_2\text{.}\) Donc, \(C_1 = \nicefrac{-1}{3}\) et \(C_2 = \nicefrac{1}{3}\text{.}\) La solution est

\begin{equation*} x = \frac{2e^{-2t} + e^t}{3} ,\qquad y = \frac{-e^{-2t} + e^t}{3}\text{.} \end{equation*}

Exercice 4.1.8.

Remplacez les termes et vérifiez que la solution est bonne.

L’aller-retour entre les systèmes et les équations d’ordre supérieur est utile pour d’autres raisons. Par exemple, le logiciel utilisé pour résoudre numériquement les EDO (approximation) traite généralement les systèmes du premier ordre. Pour l’utiliser, on doit donc prendre l’EDO à résoudre et la ramener à un système du premier ordre. En réalité, c’est assez simple d’adapter le code informatique pour la méthode d’Euler ou celle de Runge-Kutta pour les équations du premier ordre afin de résoudre ces systèmes. Il suffit alors de traiter la variable dépendante comme un vecteur au lieu d’un nombre. La syntaxe est semblable pour la plupart des langages informatiques mathématiques.

Sous-section Systèmes autonomes et champs de vecteurs

Un système où les équations ne dépendent pas de la variable indépendante se nomme un système autonome . Par exemple, le système \(x'=2y-x\text{,}\) \(y'=x\) est autonome, car \(t\) est la variable indépendante, mais elle n’apparaît pas dans les équations.

Pour les systèmes autonomes, on peut utiliser un champ de vecteurs associé au système ou champ vectoriel , qui est un graphe semblable au champ de directions, mais, au lieu de donner une pente à chaque point, on donne une direction (et une amplitude). L’exemple précédent, \(x' = 2y-x\text{,}\) \(y' = x\text{,}\) indique que, au point \((x,y)\text{,}\) la direction dans laquelle on doit se déplacer pour satisfaire aux équations devrait correspondre à la direction du vecteur \(( 2y-x, x )\) à une vitesse égale à l’amplitude de ce vecteur. On dessine donc le vecteur \((2y-x,x)\) au point \((x,y)\) et l’on répète pour plusieurs points sur le plan \(xy\text{.}\) Par exemple, au point \((1,2)\text{,}\) on dessine le vecteur \(\bigl(2(2)-1,1\bigr) = (3,1)\text{,}\) qui pointe vers la droite et légèrement vers le haut, alors que, au point \((2,1)\text{,}\) on dessine le vecteur \(\bigl(2(1)-2,2\bigr) = (0,2)\text{,}\) qui pointe directement vers le haut. Lorsqu’on trace les vecteurs, on réduit leur taille afin de pouvoir en placer plusieurs sur le même champ de vecteurs. On s’intéresse principalement à leur direction et à leur taille relative. Voir la Figure 4.1.9.

On peut dessiner une trajectoire de la solution dans le plan. Supposons que \(x = f(t)\) et que \(y=g(t)\) est la solution. Nous choisissons un intervalle de \(t\) (disons \(0 \leq t \leq 2\) pour l’exemple) et nous traçons tous les points \(\bigl(f(t),g(t)\bigr)\) pour la plage \(t\) sélectionnée. L’image obtenue est appelée portrait de phase (ou portrait de phase du plan). La courbe particulière obtenue est appelée trajectoire ou courbe de solution . La Figure 4.1.10 donne un exemple de tracé. Sur le graphe, la solution commence au point \((1,0)\) et se déplace le long du champ vectoriel sur une distance de deux unités de \(t\text{.}\) Ce système a été résolu avec précision, alors on calcule \(x(2)\) et \(y(2)\) pour trouver \(x(2) \approx 2.475\) et \(y(2) \approx 2.457\text{.}\) Ce point correspond à l’extrémité supérieure droite de la courbe de solution tracée sur le graphe.

Figure 4.1.9. Portrait de phase pour \(x' = 2y-x\text{,}\) \(y' = x\text{.}\)

Figure 4.1.10. Portrait de phase pour \(x' = 2y-x\text{,}\) \(y' = x\text{,}\) avec la trajectoire de la solution commençant au point \((1,0)\) pour \(0 \leq t \leq 2\text{.}\)

Observez la similitude avec les diagrammes pour les systèmes autonomes à une dimension. Toutefois, remarquez comment les choses se compliquent quand on n’ajoute qu’une autre dimension. On peut tracer des portraits de phase et des trajectoires dans le plan \(xy\) même si le système n’est pas autonome. Cependant, dans ce cas, on ne peut pas dessiner de champ de vecteurs étant donné que le champ se modifie à mesure que \(t\) change. Chaque \(t\) donne un champ vectoriel différent.

Sous-section Théorème de Picard

Avant d’aller plus loin, mentionnons que le théorème de Picard sur l’existence et l’unicité est toujours valable pour les systèmes d’EDO . Rappelons ce théorème pour les systèmes différentiels. Un système du premier ordre générique prend la forme

\begin{equation} \begin{aligned} x_1' \amp = F_1(x_1,x_2,\ldots,x_n,t) , \\ x_2' \amp = F_2(x_1,x_2,\ldots,x_n,t) , \\ \amp \vdots \\ x_n' \amp = F_n(x_1,x_2,\ldots,x_n,t) . \end{aligned}\tag{4.1.1} \end{equation}

Théorème 4.1.11. Théorème de Picard sur l’existence et l’unicité des systèmes.

Si, pour chaque \(j=1,2,\ldots,n\) et pour chaque \(k = 1,2,\ldots,n\text{,}\) chaque \(F_j\) est continue et que la dérivée \(\frac{\partial F_j}{\partial x_k}\) existe et est continue dans une région contenant \((x_1^0,x_2^0,\ldots,x_n^0,t^0)\text{,}\) alors la solution à (4.1.1) soumise aux conditions initiales \(x_1(t^0) = x_1^0\text{,}\) \(x_2(t^0) = x_2^0\text{,}\) …, \(x_n(t^0) = x_n^0\) existe (du moins pour un petit intervalle autour de \(t\)) et est unique.

Plus simplement, une solution unique existe pour toute condition initiale si le système est raisonnable (\(F_j\) et ses dérivées partielles selon \(x\) sont continues). Quant aux équations simples, il se peut qu’il n’y ait pas de solution pour chaque temps \(t\text{,}\) mais il peut y en avoir pour au moins de courtes périodes. Comme on peut transformer n’importe quelle EDO d’ordre \(n\) en un système du premier ordre, ce théorème permet également l’existence et l’unicité des solutions pour des équations d’ordre supérieur qui n’ont pas encore été énoncées explicitement.

Exercices Exercices

1.

Trouvez la solution générale de \(x_1' = x_2 - x_1 + t\text{,}\) \(x_2' = x_2\text{.}\)

2.

Trouvez la solution générale de \(x_1' = 3 x_1 - x_2 + e^t\text{,}\) \(x_2' = x_1\text{.}\)

3.

Écrivez \(ay'' + by' + cy = f(x)\) sous forme de système d’EDO de premier ordre.

4.

Écrivez \(x'' + y^2 y' - x^3 = \sin(t)\text{,}\) \(y'' + {(x'+y')}^2 -x = 0\) sous forme de système d’EDO de premier ordre.

5.

Supposons que deux masses sur des chariots se déplaçant sur une surface sans friction soient aux positions \(x_1\) et \(x_2\) comme dans l’Exemple 4.1.4. Supposons qu’une fusée applique une force \(F\) de direction positive sur le chariot \(x_1\text{.}\) Configurez le système d’équations différentielles.

6.

Supposons que des réservoirs soient disposés comme dans l’ Exemple 4.1.2 et que les deux aient un volume de départ \(V\text{,}\) mais maintenant, le débit du réservoir 1 vers le réservoir 2 est \(r_1\) et le débit du réservoir 2 vers le réservoir 1 est \(r_2\text{.}\) Dans ce cas, les volumes changeront. Configurez le système d’équations différentielles.

7.

Trouvez la solution générale de \(y_1' = 3 y_1\text{,}\) \(y_2' = y_1 + y_2\text{,}\) \(y_3' = y_1 + y_3\text{.}\)

Réponse.

\(y_1 = C_1 e^{3x}\text{,}\) \(y_2 = y(x) = C_2 e^x+ \frac{C_1}{2} e^{3 x}\text{,}\) \(y_3 = y(x) = C_3 e^x+ \frac{C_1}{2} e^{3 x}\)

8.

Résolvez \(y'=2x\text{,}\) \(x'=x+y\text{,}\) \(x(0)=1\text{,}\) \(y(0)=3\text{.}\)

Réponse.

\(x=\frac{5}{3} e^{2t} - \frac{2}{3} e^{-t}\text{,}\) \(y=\frac{5}{3} e^{2t} + \frac{4}{3} e^{-t}\)

9.

Écrivez \(x''' = x+t\) sous forme de système du premier ordre.

Réponse.

\(x_1' = x_2\text{,}\) \(x_2' = x_3\text{,}\) \(x_3' = x_1+t\)

10.

Écrivez \(y_1'' + y_1 + y_2 = t\text{,}\) \(y_2'' + y_1 - y_2 = t^2\) sous forme de système du premier ordre.

Réponse.

\(y_3' + y_1 + y_2 = t\text{,}\) \(y_4' + y_1 - y_2 = t^2\text{,}\) \(y_1' = y_3\text{,}\) \(y_2' = y_4\)

11.

Supposons que deux masses sur des chariots qui se déplacent sur une surface sans friction soient aux positions \(x_1\) et \(x_2\) comme dans l’ Exemple 4.1.4. Supposons que la position initiale soit \(x_1(0)=x_2(0)=0\) et que la vitesse initiale soit \(x_1'(0) = x_2'(0) = a\) pour un nombre quelconque \(a\text{.}\) Utilisez votre intuition pour résoudre le système différentiel et expliquez votre raisonnement.

Réponse.

\(x_1 = x_2 = at\text{.}\) Explanation of the intuition is left to reader.

12.

Supposons que des réservoirs soient disposés comme dans l’ Exemple 4.1.2, mais cette fois, de l’eau propre s’écoule à un débit de \(s\) litres par seconde vers le réservoir 1 et une solution saline s’écoule dans le réservoir 2 et dans les égouts avec un même débit de \(s\) litres par seconde.

Dessinez le schéma.
Configurez le système d’équations différentielles.
De façon intuitive, qu’arrive-t-il lorsque \(t\) tend vers l’infini? Expliquez.

Réponse.

a) Laissé au lecteur. b) \(x_1' = \frac{r}{V} (x_2-x_1)\text{,}\) \(x_2' = \frac{r}{V} x_1- \frac{r-s}{V}x_2\text{.}\) c) Lorsque \(t\) tend vers l’infini, chacun de \(x_1\) et \(x_2\) tendent vers zéro, et le lecteur peut compléter l’explication.

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