Essayez de tracer quelques solutions en vous servant seulement du diagramme de phase. Vérifiez votre réponse en comparant avec les graphes plus haut.
Section 2.5 Équations autonomes
Considérons une équation différentielle comme suit :
\begin{equation*}
\frac{dx}{dt} = f(x)\text{,}
\end{equation*}
où la dérivée dépend uniquement de \(x\text{,}\) la variable dépendante, et non de \(t\text{,}\) la variable indépendante. De telles équations sont dites autonomes . On dit autonome parce que, si l’on pense à la variable indépendante comme étant le temps, la valeur de la dérivée à un point est la même à tout moment.
Reprenons, par exemple, le problème du café qui tiédit (Exemple 2.3.4). La loi de refroidissement de Newton est une équation autonome :
\begin{equation*}
\frac{dx}{dt} = k (A-x),
\end{equation*}
où \(x\) est la température, \(t\) est le temps, \(k\) est une constante positive et \(A\) est la température ambiante. Voir la Figure 2.5.1 pour un exemple avec \(k=0{,}3\) et \(A=5\text{.}\)
On remarque que l’équation admet la solution constante \(x=A\) (dans la figure, \(x=5\)). On appelle ces solutions constantes des solutions d’équilibre. Les points sur l’axe des \(x\) où \(f(x) = 0\) sont des points critiques . Par exemple, le point \(x=A\) est un point critique. Notons que chaque point critique correspond à une solution d’équilibre.
Le graphe nous indique que la solution \(x=A\) est stable, c’est-à-dire que de petits changements dans \(x\) ne mènent pas à des changements importants dans les solutions lorsque \(t\) augmente. Si l’on modifie légèrement la condition initiale, alors \(x(t) \to A\) lorsque \(t \to \infty\text{.}\) Le point critique est alors appelé stable. Dans l’exemple du refroidissement, toutes les solutions tendent vers \(A\) lorsque \(t \to \infty\text{.}\) Mais ce n’est pas toujours le cas. Lorsqu’un point critique n’est pas stable, on l’appelle alors instable.
Considérons maintenant l’équation logistique :
\begin{equation*}
\frac{dx}{dt} = kx(M-x)\text{,}
\end{equation*}
où \(k\) et \(M\) sont des constantes positives. Cette équation sert communément à modéliser une population si l’on connaît la population limite \(M\text{,}\) c’est-à-dire la capacité maximale du système. Les prédictions issues d’une équation logistique sont moins catastrophiques que pour \(x'=kx\text{.}\) Bien que \(x\) ne puisse pas être négatif, en pratique, puisqu’il s’agit d’une population, la solution mathématique admet des valeurs négatives.
La Figure 2.5.2 illustre l’exemple \(x' = 0.1 x(5-x)\text{.}\) Il y a deux points critiques, \(x=0\) et \(x=5\text{.}\) Celui à \(x=5\) est stable, alors que celui à \(x=0\) est instable.
On peut analyser le comportement à long terme des solutions sans devoir les déterminer exactement. Le champ de directions de \(x' = 0.1 x(5-x)\) nous montre que :
\begin{equation*}
\lim_{t\to \infty} x(t) = \begin{cases} 5 \amp \text{ si } \; x(0) > 0 \\ 0 \amp \text{ si } \; x(0) = 0 \\ \text{ n'existe pas ou } {-\infty} \amp \text{ si } \; x(0) \lt 0 . \end{cases}
\end{equation*}
Quant au cas où \(x(0) \lt 0\text{,}\) il ne suffit pas de simplement observer le champ de directions. Il se pourrait que la solution n’existe pas pour tout \(t\) positif. Rappelons l’exemple de \(x' = x^2\) où les solutions existent seulement sur un intervalle fini. Un tel scénario est possible ici. Dans les faits, on trouverait ici que la solution n’existe pas pour toutes les valeurs réelles — et qu’elle tend vers \(-\infinity\) dans un temps fini — mais, pour le voir, il faudrait résoudre l’équation.
Si l’on s’intéresse seulement au comportement à long terme de la solution, on n’a pas besoin de résoudre l’équation logistique exactement. Il suffirait de dessiner le champ de directions. En fait, on peut simplifier le travail encore plus, en traçant ce qu’on appelle le diagramme de phase ou portrait de phase de l’équation autonome. Voici comment on fait dans un cas comme celui-ci, où il y a une seule variable dépendante \(x\text{.}\)
- Nous traçons l’axe des \(x\text{,}\) nous y marquons tous les points critiques de l’équation et nous traçons des flèches dans les intervalles déterminés par ces points critiques.
- Étant donné que \(x\) est la variable dépendante, nous traçons l’axe des \(x\) verticalement, pour reproduire sa position dans le champ de directions.
- Si \(f(x) > 0\text{,}\) la flèche pointe vers le haut.
- Si \(f(x) \lt 0\text{,}\) la flèche pointe vers le bas.
- Pour trouver le bon signe dans un intervalle donné, il suffit d’évaluer \(f(x)\) à une valeur \(x\) quelconque appartenant à l’intervalle. En effet, lorsque \(f(x)\) est continue (ce qui est le cas dans la plupart des applications), le signe est constant dans chaque intervalle.
Dans notre exemple :
- Pour \(x > 5\) : \(f(6) = -0{,}6 \lt 0\text{,}\) donc \(f(x) \lt 0\text{,}\) et la flèche au-dessus de \(x=5\) pointe vers le bas.
- Pour \(0 \lt x \lt 5\) : \(f(1) = 0{,}4 > 0\text{,}\) donc \(f(x) > 0\text{,}\) et la flèche dans cet intervalle pointe vers le haut.
- Pour \(x \lt 0\) : \(f(-1) = -0{,}6 \lt 0\text{,}\) donc \(f(x) \lt 0\text{,}\) et la flèche dans cet intervalle pointe vers le bas.
Grâce à un diagramme de phase, nous pouvons facilement tracer une approximation des solutions, car le signe de \(f(x)\) nous dit le signe de la dérivée, et donc si la valeur augmente ou diminue. De gauche à droite (dans le sens où augmente la variable indépendante), le graphe de la solution monte là où la flèche pointe vers le haut et descend là où la flèche pointe vers le bas.
Exercice 2.5.3.
À l’aide du diagramme de phase, nous pouvons classifier les points critiques comme stables ou instables.
1
Parfois, on dira d’un point critique instable qu’il est semi-stable, si une des deux flèches pointe vers le point critique.
Puisqu’un modèle mathématique est généralement une version approximative de la réalité, la présence de points critiques instables peut donner du fil à retordre.
Considérons une équation logistique avec un terme pour la récolte. Supposons que des extraterrestres adorent déguster des êtres humains. Ils entretiennent une planète où ils gardent des humains et les récoltent à un taux de \(h\) millions d’humains par année. Dénotons par \(x\) le nombre d’humains en millions sur la planète et par \(t\) le temps en années. Soit \(M\) la capacité totale en humains sur la planète en l’absence de récolte. Le nombre \(k > 0\) est une constante représentant le taux de reproduction des humains. Notre équation devient :
\begin{equation*}
\frac{dx}{dt} = kx(M-x) - h\text{.}
\end{equation*}
On développe le côté droit et on le met égal à zéro afin de trouver les points critiques :
\begin{equation*}
kx(M-x) - h = -kx^2+kMx - h = 0\text{.}
\end{equation*}
En résolvant pour les points critiques, qu’on dénotera par \(A\) et \(B\text{,}\) on obtient :
\begin{equation*}
A = \frac{kM + \sqrt{{(kM)}^2 - 4hk}}{2k}, \qquad B = \frac{kM - \sqrt{{(kM)}^2 - 4hk}}{2k}\text{.}
\end{equation*}
Exercice 2.5.4.
Tracez le diagramme de phase pour quelques cas. Notez que les cas possibles sont : \(A > B\text{,}\) ou \(A=B\text{,}\) ou alors \(A\) et \(B\) sont deux nombres complexes (et donc aucune solution réelle). Indice : fixez des valeurs simples pour \(k\) et \(M\) et, ensuite, faites varier \(h\text{,}\) pour obtenir différents cas.
Par exemple, posons \(M=8\) et \(k=0.1\text{.}\) Si \(h=1\text{,}\) alors \(A\) et \(B\) sont distincts et positifs. Le champ de directions est illustré à la Figure 2.5.5. Tant que la population initiale est au-dessus de \(B\text{,}\) approximativement 1,55 million, la population n’atteindra pas l’extinction. En fait, elle tendra vers \(A \approx 6{,}45\) millions. Si une catastrophe faisait chuter la population en dessous de \(B\text{,}\) les humains disparaîtraient.
Si \(h = 1{,}6\text{,}\) alors \(A=B=4\text{.}\) Il y a un unique point critique, et il est instable. Si la population initiale est au-dessus de 4 millions, elle tendra vers 4 millions. Mais en dessous de cette valeur, elle tendra vera l’extinction. Et si l’état d’équilibre est légèrement perturbé, on risque encore l’extinction. Voir la Figure 2.5.6.
Enfin, si la récolte est de 2 millions par année, il n’y a aucun point critique. La population tendra vers zéro, quelle que soit sa quantité initiale. Voir la Figure 2.5.7.
Exercices Exercices
1.
Considérons \(x' = x^2\text{.}\)
- Tracez le diagramme de phase, trouvez les points critiques et déterminez leur stabilité.
- Tracez quelques solutions représentatives de l’équation.
- Trouvez \(\displaystyle \lim_{t\to \infty} x(t)\) pour la solution avec condition initiale \(x(0) = -1\text{.}\)
2.
Considérons \(x' = \sin x\text{.}\)
- Tracez le diagramme de phase pour \(-4\pi \leq x \leq 4\pi\text{.}\) Sur cet intervalle, trouvez les points critiques et déterminez leur stabilité.
- Tracez quelques solutions représentatives de l’équation.
- Trouvez \(\displaystyle \lim_{t\to \infty} x(t)\) pour la solution avec condition initiale \(x(0) = 1\text{.}\)
3.
Supposons que \(f(x)\) est positif pour \(0 \lt x \lt 1\text{,}\) zéro pour \(x=0\) et \(x=1\text{,}\) et négatif pour les autres valeurs de \(x\text{.}\)
- Tracez le diagramme de phase pour \(x' = f(x)\text{,}\) trouvez les points critiques et déterminez leur stabilité.
- Tracez quelques solutions représentatives de l’équation.
- Trouvez \(\displaystyle \lim_{t\to \infty} x(t)\) pour la solution avec condition initiale \(x(0) = 0.5\text{.}\)
4.
Commençaons avec l’équation logistique \(\frac{dx}{dt} = kx(M-x)\text{.}\) Nous allons modifier la récolte comme suit. La quantité cultivée sera proportionnelle à la population. Autrement dit, on récolte \(hx\) par unité de temps pour un \(h > 0\) donné. (C’est analogue à l’exemple vu plus haut mais avec un terme \(hx\) au lieu de \(h\text{.}\))
- Trouvez l’équation différentielle modélisant cette situation.
- Montrez que si \(kM > h\text{,}\) alors c’est toujours une équation logistique.
- Qu’arrive-t-il lorsque \(kM \lt h\text{?}\)
5.
Une maladie contagieuse se répand dans une population. Soit \(x\) le nombre de personnes infectées, et \(S\) la constante donnant le nombre de personnes susceptibles d’être infectées. Le taux d’infection \(\frac{dx}{dt}\) est propostionnelle au nombre de personnes infectées, \(x\text{,}\) multiplié par le nombre de personnes non-infectées mas susceptibles de l’être, \(S-x\text{.}\)
- Trouvez l’équation différentielle modélisant cette situation.
- En supposant que \(x(0) > 0\text{,}\) c’est-à-dire que certaine spersonnes sont déjà infectées au \(t=0\text{,}\) trouvez \(\displaystyle \lim_{t\to\infty} x(t)\text{.}\)
- Est-ce que la solution en b) correspond à votre intuition? Pourquoi ou pourquoi pas?
6.
Soit \(x'=(x-1)(x-2)x^2\text{.}\)
- Esquissez le diagramme de phase et calculez les points critiques.
- Classifiez les points critiques.
- Si \(x(0)=0{,}5\text{,}\) calculez \(\displaystyle \lim_{t\to\infty} x(t)\text{.}\)
Réponse.
a) 0, 1, 2 sont des points critiques. b) \(x=0\) est instable (semi-stable), \(x=1\) est stable, et \(x=2\) est instable. c) 1
7.
Soit \(x'=e^{-x}\text{.}\)
- Calculez et classifiez les points critiques.
- Calculez \(\displaystyle \lim_{t\to\infty} x(t)\) étant donnée une condition initiale arbitraire.
Réponse.
a) Il n’y a pas de points critiques. b) \(\infty\)
8.
Supposons qu’une population de poissons dans un lac satisfait à l’équation \(\frac{dx}{dt} = kx(M-x)\text{.}\) Maintenant supposons que des poissons sont ajoutés à un taux constant de \(A\) poissons par unité de temps.
- Trouvez l’équations différentielle pour \(x\text{.}\)
- Quelle est la nouvelle population limite?
Réponse.
a) \(\frac{dx}{dt} = kx(M-x)+A\) b) \(\frac{kM + \sqrt{{(kM)}^2 + 4Ak}}{2k}\)
9.
Supposons que \(\frac{dx}{dt} = (x-\alpha)(x-\beta)\text{,}\) où \(\alpha \lt \beta\) sont deux nombres.
- Calculez et classifiez les points critiques.
Pour b), c), d), calculez \(\displaystyle \lim_{t\to\infty} x(t)\) en vous basant sur le diagramme de phase.
- \(x(0) \lt \alpha\text{,}\)
- \(\alpha \lt x(0) \lt \beta\text{,}\)
- \(\beta \lt x(0)\text{.}\)
Réponse.
a) \(\alpha\) est un point critique stable, \(\beta\) est un point critique instable. b) \(\alpha\text{,}\) c) \(\alpha\text{,}\) d) \(\infty\) ou n’existe pas .
