Section 1.2 Classification des équations différentielles
Il y a plusieurs types d’équations différentielles, et on les classifie en différentes catégories selon leurs propriétés. Parlons brièvement d’une classification de base. D’abord, la distinction entre EDO et EDP :
Dans les équations différentielles ordinaires, ou EDO, les dérivées sont prises par rapport à une seule variable. Autrement dit, il y a une seule variable indépendante.
Dans les équations aux dérivées partielles, ou EDP, les dérivées sont prises par rapport à plusieurs variables. Autrement dit, il y a plusieurs variables indépendantes.
Voici quelques exemples d’équations différentielles ordinaires :
\begin{align*}
\amp \frac{d y}{dt} = ky, \amp \amp \text{(croissance exponentielle)}\\
\amp \frac{d y}{dt} = k(A-y), \amp \amp \text{(loi de refroidissement de Newton)}\\
\amp m \frac{d^2 x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + kx = f(t) . \amp \amp \text{(vibrations m\'ecaniques)}
\end{align*}
Voici quelques exemples d’équations aux dérivées partielles :
\begin{align*}
\amp \frac{\partial y}{\partial t} + c \frac{\partial y}{\partial x} = 0, \amp \amp \text{équation du transport}\\
\amp \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \amp \amp \text{(équation de la chaleur ou de la diffusion)}\\
\amp \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} . \amp \amp \text{(équation de l'onde en 2 dimensions)}
\end{align*}
Lorsque la situation est soumise à plusieurs équations en même temps, on a un système d’équations différentielles. Par exemple :
\begin{equation*}
y' = x , \qquad x' = y
\end{equation*}
est un système simple d’équations différentielles ordinaires. Les équations de Maxwell en électromagnétisme forment elles aussi un système d’équations aux dérivées partielles :
\begin{align*}
\amp \nabla \cdot \vec{D} = \rho, \amp \amp \nabla \cdot \vec{B} = 0,\\
\amp \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \amp \amp \nabla \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \text{.}
\end{align*}
Les opérateurs de divergence \(\nabla \cdot\) et de rotationnel \(\nabla \times\) s’écrivent en termes de dérivées partielles des fonctions en termes des variables \(x\text{,}\) \(y\) et \(z\text{.}\)
Le prochain élément d’information est l’ordre de l’équation (ou du système). L’ordre est tout simplement l’ordre de la plus grande dérivée apparaissant dans l’équation. Si la plus grande dérivée est la dérivée première, c’est une équation du premier ordre. Si la dérivée la plus grande est la dérivée seconde, alors c’est une équation du deuxième ordre. Par exemple, la loi de refroidissement de Newton est une équation du premier ordre, alors que l’équation des vibrations mécaniques est une équation du deuxième ordre. L’équation décrivant les vibrations transversales dans une poutre,
\begin{equation*}
a^4 \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} + \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = 0\text{,}
\end{equation*}
est une équation aux dérivées partielles d’ordre quatre. En effet, une des dérivées dans l’équation est la quatrième dérivée. Le fait que la dérivée en \(t\) soit seulement d’ordre deux n’affecte pas l’ordre de l’équation.
Dans le premier chapitre, nous commencerons par les équations différentielles ordinaires du premier ordre, c’est-à-dire les équations de la forme \(\frac{dy}{dx} = f(x,y)\text{.}\) En général, les équations de petit ordre sont plus simples à résoudre et à étudier.
Dans la classification des équations, on s’intéresse aussi à comment les variables dépendantes apparaissent dans l’équation (ou le système). En particulier, on l’appelle une équation linéaire si la variable dépendante (ou les variables dépendantes) et ses dérivées apparaissent linéairement, c’est-à-dire qu’elles ne sont pas multipliées ensemble et qu’aucune autre fonction des variables dépendantes n’apparaît dans l’équation. Sinon, il s’agit d’une équation non linéaire. Une EDO est linéaire si elle peut être exprimée de la manière suivante :
\begin{equation}
a_n(x) \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \frac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = b(x) *\text{.}\tag{1.2.1}
\end{equation}
Les fonctions \(a_0\text{,}\) \(a_1\text{,}\) …, \(a_n\) s’appellent les coefficients . L’équation peut dépendre arbitrairement de la variable indépendante. Ainsi, l’équation suivante est linéaire :
\begin{equation}
e^x \frac{d^2 y}{dx^2} + \sin(x) \frac{d y}{dx} + x^2 y = \frac{1}{x}\text{,}\tag{1.2.2}
\end{equation}
et ce, malgré la présence de \(e^x\) et de \(\sin(x)\text{,}\) puisque \(y\) et ses dérivées apparaissent de manière linéaire dans l’équation.
Tous les exemples mentionnés au début de la section sont linéaires. Ce n’est peut-être pas évident dans le cas des équations de Maxwell; pour s’en convaincre, on peut écrire la divergence et le rotationnel en termes des dérivées partielles.
Considérons maintenant quelques équations non linéaires. Par exemple, l’équation de Burgers,
\begin{equation*}
\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial y}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\text{,}
\end{equation*}
est une EDP du second ordre, qui est non linéaire, puisque \(y\) et \(\frac{\partial y}{\partial x}\) sont multipliées ensemble. L’équation suivante :
\begin{equation}
\frac{dx}{dt} = x^2\text{,}\tag{1.2.3}
\end{equation}
est une EDO non linéaire du premier ordre, puisque la variable dépendante \(x\) est au carré.
Une équation qui est linéaire est de plus appelée homogène si tous les termes dépendent de la variable dépendante. Autrement dit, il n’y a aucun terme qui dépend uniquement de la variable indépendante. Sinon, l’équation est dite non homogène . Par exemple, l’équation de la croissance exponentielle, l’équation de l’onde et l’équation du transport sont homogènes. L’équation des vibrations mécaniques est non homogène à moins que \(f(t)\) soit la fonction nulle. De manière analogue, la loi de refroidissement de Newton est non homogène sauf si la température ambiante \(A\) est nulle. Une EDO linéaire homogène peut être écrite sous la forme suivante :
\begin{equation*}
a_n(x) \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \frac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = 0\text{.}
\end{equation*}
Comparez à
(1.2.1) et observez l’absence de fonction
\(b(x)\text{.}\)
Lorsque les coefficients d’une équation linéaire sont en fait des constantes, on dit alors que l’équation est à coefficients constants. Les coefficients sont les fonctions multipliées par la variable dépendante ou par une de ses dérivées, et non la fonction \(b(x)\) qui apparaît seule. Une EDO non homogène à coefficients constants a la forme suivante :
\begin{equation*}
a_n \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1} \frac{dy}{dx} + a_{0} y = b(x)\text{,}
\end{equation*}
où \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) sont toutes des constantes, mais où \(b\) peut dépendre de la variable indépendante \(x\text{.}\) L’équation des vibrations mécaniques que nous avons vue plus haut est une EDO non homogène du second ordre à coefficients constants.
La même nomenclature s’applique aux EDP. Par conséquent, les équations du transport, de la chaleur/diffusion et de l’onde sont toutes des EDP linéaires à coefficients constants.
Pour terminer, une équation est dite
autonome si l’équation ne dépend pas de la variable indépendante. Pour des EDO autonomes, on pensera souvent à la variable indépendante comme à la variable du temps. Être une équation autonome signifie que l’équation ne varie pas dans le temps. Par exemple, la loi de refroidissement de Newton est autonome, ainsi que l’équation
(1.2.3). Par contre, les équations de vibrations mécaniques ou
(1.2.2) ne sont pas autonomes.
Exercices Exercices
1.
Classifiez les équations suivantes. S’agit-il d’une EDO ou d’une EDP? Est-ce une équation ou un système? Quel est l’ordre? Est-ce linéaire ou non-linéaire et si c’est linéaire, est-ce homogène? à coefficients constants? Si c’est une EDO, est-elle autonome?
\(\displaystyle \displaystyle \sin(t) \frac{d^2 x}{dt^2} + \cos(t) x = t^2\)
\(\displaystyle \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} + 3 \frac{\partial u}{\partial y} = xy\)
\(\displaystyle \displaystyle y''+3y+5x=0, x''+x-y=0\)
\(\displaystyle \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + u\frac{\partial^2 u}{\partial s^2} = 0\)
\(\displaystyle \displaystyle x''+tx^2=t\)
\(\displaystyle \displaystyle \frac{d^4 x}{dt^4} = 0\)
2.
Si \(\vec{u} = (u_1,u_2,u_3)\) est un vecteur, sa divergence est : \(\nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} + \frac{\partial u_3}{\partial z}\) et son rotationnel est : \(\nabla \times \vec{u} = \Bigl( \frac{\partial u_3}{\partial y} - \frac{\partial u_2}{\partial z} , ~ \frac{\partial u_1}{\partial z} - \frac{\partial u_3}{\partial x} , ~ \frac{\partial u_2}{\partial x} - \frac{\partial u_1}{\partial y} \Bigr)\text{.}\) Observez que le rotationnel d’un vecteur est lui-même un vecteur. É crivez les équations de Maxwell en termes de dérivées partielles et classifiez le système.
3.
Supposons que \(F\) est une fonction linéaire, c’est-à-dire que \(F(x,y) = ax+by\) pour des constantes \(a\) et \(b\text{.}\) Classifiez les équations de la forme \(F(y',y) = 0\text{.}\)
4.
Trouvez un exemple explicite d’un système de deux EDO satisfaisant aux critères suivants : d’ordre trois, non autonome, non homogène, dont les coefficients sont non constants, et tel que toutes les dérivées possibles apparaissent dans le système au moins une fois.
5.
Classifiez les équations suivantes. S’agit-il d’une EDO ou d’une EDP? Est-ce une équation ou un système? Quel est l’ordre? Est-ce linéaire ou non-linéaire et si c’est linéaire, est-ce homogène? À coefficients constants? Si c’est une EDO, est-elle autonome?
\(\displaystyle \displaystyle \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + 3 \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = \sin(x)\)
\(\displaystyle \displaystyle \frac{d x}{dt} + \cos(t) x = t^2+t+1\)
\(\displaystyle \displaystyle \frac{d^7 F}{dx^7} = 3F(x)\)
\(\displaystyle \displaystyle y''+8y'=1\)
\(\displaystyle \displaystyle x''+tyx'=0, y''+txy = 0\)
\(\displaystyle \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial s^2} + u^2\)
Réponse.
}a) EDP , équation, deuxième ordre, linéaire, non homogène, coefficients constants.
b) EDO , équation, premier ordre, linéaire, non homogène, coefficients non constants, non autonome.
c) EDO , équation, ordre sept, linéaire, homogène, coefficients constants, autonome.
d) EDO , équation, deuxième ordre, linéaire, non homogène, coefficients constants, autonome.
e) EDO , système, deuxième ordre, non linéaire.
f) EDP , équation, deuxième ordre, non linéaire.
6.
Écrivez la forme générale de l’équation différentielle ordinaire d’ordre zero et linéaire. Trouvez sa solution générale.
Réponse.
équation : \(a(x) y = b(x)\text{,}\) solution : \(y = \frac{b(x)}{a(x)}\text{.}\)
7.
Pour quelles valeurs de \(k\) l’équation \(\frac{dx}{dt}+x^k = t^{k+2}\) est-elle linéaire? Indice : il y a deux valeurs possibles.
