Vérifiez que \(y_1= e^{2x}\) et \(y_2= e^{4x}\) sont des solutions.
Section 3.2 Équations différentielles d’ordre deux à coefficients constants
Sous-section Résoudre les équations à coefficients constants
Considérons le problème suivant :
\begin{equation*}
y''-6y'+8y = 0, \qquad y(0) = - 2, \qquad y'(0) = 6\text{.}
\end{equation*}
Il s’agit d’une équation linéaire homogène du deuxième ordre avec des coefficients constants. Les coefficients constants sont des nombres, c’est-à-dire qu’ils ne dépendent pas de \(x\text{.}\)
Pour deviner une solution, pensez à une fonction qui demeure essentiellement la même lorsqu’elle est dérivée, de manière à ce qu’on puisse prendre un multiple de la fonction, et de sa dérivée, et arriver à zéro. Nous parlons d’une exponentielle.
On va donc essayer une solution de la forme \(y = e^{rx}\text{.}\) Alors, \(y' = r e^{rx}\) et \(y'' = r^2 e^{rx}\text{.}\) Substituons ces expressions dans l’équation pour obtenir :
1
Essayer une certaine solution avec des paramètres à résoudre est une technique centrale en équations différentielles. Il y a même un nom pour ce type d’essai : \myindex{ansatz}, qui est un terme allemand voulant dire hypothèse de départ quant à la forme de la solution.
\begin{align*}
y''-6y'+8y \amp = 0 ,\\
\underbrace{r^2 e^{rx}}_{y''} -6 \underbrace{r e^{rx}}_{y'}+8 \underbrace{e^{rx}}_{y} \amp = 0 ,\\
r^2 -6 r +8 \amp = 0 \qquad \text{ (diviser par } e^{rx} \text{)} ,\\
(r-2)(r-4) \amp = 0 \text{.}
\end{align*}
Exercice 3.2.1.
Les fonctions \(e^{2x}\) et \(e^{4x}\) sont linéairement indépendantes. Sinon, on pourrait écrire \(e^{4x} = C e^{2x}\) pour une certaine constante \(C\text{,}\) impliquant que \(e^{2x} = C\) pour tout \(x\text{,}\) ce qui est impossible. Ainsi, on peut écrire la solution générale comme suit :
\begin{equation*}
y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{4x}\text{.}
\end{equation*}
On doit résoudre pour \(C_1\) et pour \(C_2\text{.}\) Pour appliquer les conditions initiales, on trouve d’abord \(y' = 2 C_1 e^{2x} + 4 C_2 e^{4x}\text{.}\) On substitue \(x=0\) dans \(y\) et \(y'\text{,}\) puis on résout :
\begin{align*}
-2 \amp = y(0) = C_1 + C_2 ,\\
6 \amp = y'(0) = 2 C_1 + 4 C_2 \text{.}
\end{align*}
Il est possible de résoudre avec une matrice ou même avec des notions apprises au secondaire (comparaison, substitution ou réduction). Par exemple, en divisant la seconde équation par 2, on obtient \(3 = C_1 + 2 C_2\) et, en soustrayant les deux équations, on obtient que \(5 = C_2\text{.}\) Alors, \(C_1 = -7\) puisque \(-2 = C_1 + 5\text{.}\) La solution recherchée est donc :
\begin{equation*}
y = -7 e^{2x} + 5 e^{4x}\text{.}
\end{equation*}
Généralisons l’exemple à une méthode. Supposons que nous avons l’équation suivante :
\begin{equation}
a y'' + b y' + c y = 0\text{,}\tag{3.2.1}
\end{equation}
où \(a, b, c\) sont constantes. Essayons une solution \(y = e^{rx}\) pour obtenir :
\begin{equation*}
a r^2 e^{rx} + b r e^{rx} + c e^{rx} = 0\text{.}
\end{equation*}
Divisons par \(e^{rx}\) pour obtenir l’équation caractéristique de cette équation différentielle :
\begin{equation*}
a r^2 + b r + c = 0\text{.}
\end{equation*}
Résolvons pour \(r\) en utilisant la formule quadratique :
\begin{equation*}
r_1, r_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.}
\end{equation*}
Alors, \(e^{r_1 x}\) et \(e^{r_2 x}\) sont des solutions. Il y a encore un écueil si \(r_1 = r_2\text{,}\) mais celui-ci n’est pas difficile à surmonter.
Théorème 3.2.2.
Supposons que \(r_1\) et \(r_2\) sont des racines caractéristiques de l’équation.
- Si \(r_1\) et \(r_2\) sont distinctes et réelles (quand \(b^2 - 4ac > 0\)), alors (3.2.1) admet la solution générale suivante :\begin{equation*} y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\text{.} \end{equation*}
- \begin{equation*} y = (C_1 + C_2 x)\, e^{r_1 x}\text{.} \end{equation*}
Exemple 3.2.3.
Résolvons l’équation suivante :
\begin{equation*}
y'' - k^2 y = 0\text{.}
\end{equation*}
L’équation caractéristique est \(r^2 - k^2 = 0\) ou \((r-k)(r+k) = 0\text{.}\) Par conséquent, \(e^{-k x}\) et \(e^{kx}\) sont deux solutions linéairement indépendantes, et la solution générale est :
\begin{equation*}
y = C_1 e^{kx} + C_2e^{-kx}\text{.}
\end{equation*}
Puisqu’on a vu que
\begin{align*}
\cosh s \amp = \frac{e^s+e^{-s}}{2},\\
\sinh s \amp = \frac{e^s-e^{-s}}{2}\text{,}
\end{align*}
on peut écrire la solution générale comme suit :
\begin{equation*}
y = D_1 \cosh(kx) + D_2 \sinh(kx)\text{.}
\end{equation*}
Exemple 3.2.4.
Trouvons la solution générale de l’équation différentielle suivante :
\begin{equation*}
y'' -8 y' + 16 y = 0\text{.}
\end{equation*}
L’équation caractéristique est \(r^2 - 8 r + 16 = {(r-4)}^2 = 0\text{.}\) L’équation a une racine double \(r_1 = r_2 = 4\text{.}\) La solution générale est ainsi :
\begin{equation*}
y = (C_1 + C_2 x)\, e^{4 x} = C_1 e^{4x} + C_2 x e^{4x}\text{.}
\end{equation*}
Il est clair que \(e^{4x}\) est une solution de l’équation. Si \(x e^{4x}\) résout l’équation, alors on aura terminé le travail de résolution, puisque les deux fonctions sont linéairement indépendantes. On calcule \(y' = e^{4x} + 4xe^{4x}\) et \(y'' = 8 e^{4x} + 16xe^{4x}\text{.}\) On substitue ces expressions dans l’équation différentielle :
\begin{equation*}
y'' - 8 y' + 16 y = 8 e^{4x} + 16xe^{4x} - 8(e^{4x} + 4xe^{4x}) + 16 xe^{4x} = 0\text{.}
\end{equation*}
Exercice 3.2.5.
Vérifiez que \(e^{4x}\) et \(x e^{4x}\) sont linéairement indépendantes.
Remarquons que les équations linéaires à coefficients constants présentant une racine double sont rares. Si l’on choisissait au hasard les coefficients d’une équation linéaire, obtenir une racine double serait peu probable. Toutefois, il y a quelques phénomènes naturels (tels que la résonance, qu’on abordera plus tard) qui sont décrits par une équation différentielle présentant une racine double.
Expliquons rapidement pourquoi la solution \(x e^{r x}\) fonctionne lorsque les racines sont doubles. On va y penser comme à la limite d’une équation dont les racines sont distinctes mais très proches. Notons que la fonction \(\frac{e^{r_2 x} - e^{r_1 x}}{r_2 - r_1}\) est une solution lorsque les racines \(r_1,r_2\) sont distinctes. Quand on prend la limite lorsque \(r_1\) tend vers \(r_2\text{,}\) ça revient à la dérivée de \(e^{rx}\) par rapport à la variable \(r\text{.}\) La limite est donc la valeur de cette dérivée, \(x e^{rx}\text{,}\) et c’est une solution dans le cas d’une racine double.
Sous-section Nombres complexes et formule d’Euler
Un polynôme peut avoir des racines complexes. L’équation \(r^2 + 1 = 0\) ne possède aucune racine réelle, mais possède deux racines complexes. Ici, on révise quelques propriétés des nombres complexes.
Les nombres complexes peuvent faire un peu peur, notamment à cause de la terminologie. Cependant, il n’y a rien d’imaginaire ni de très compliqué avec les nombres complexes. Un nombre complexe est simplement une paire de nombres réels \((a,b)\text{.}\) On peut voir les nombres complexes comme des points du plan. Ainsi, on additionne les nombres complexes directement : \((a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)\text{.}\) On définit la multiplication comme suit :
\begin{equation*}
(a, b) \times (c, d) \overset{\text{ d\'ef } }{=} (ac-bd, ad+bc)\text{.}
\end{equation*}
On définit ainsi la multiplication afin que toutes les propriétés standards de l’arithmétique fonctionnent. Par contre, il est important de savoir que \((0,1) \times (0, 1) = (-1, 0)\text{,}\) autrement dit :
\begin{equation*}
i^2=-1\text{.}
\end{equation*}
Généralement, on écrit \((a, b)\) tel que \(a+ib\) et l’on traite \(i\) comme une variable. Quand \(b\) est égal à zéro, alors \((a,0)\) est simplement le nombre \(a\text{.}\) On fait de l’arithmétique avec les nombres complexes simplement comme si c’était des polynômes. Lorsqu’on a \(i^2\text{,}\) on peut simplement le remplacer par \(-1\text{.}\) Par exemple :
\begin{equation*}
(2+3i)(4i) - 5i = (2\times 4)i + (3 \times 4) i^2 - 5i = 8i + 12 (-1) - 5i = -12 + 3i\text{.}
\end{equation*}
Les nombres \(i\) et \(-i\) sont les deux racines de \(r^2 + 1 = 0\text{.}\) Notons que les manuels de génie utilisent souvent la lettre \(j\) plutôt que la lettre \(i\) pour représenter les racines carrées de \(-1\text{.}\) Dans ce manuel, on utilisera la convention des mathématiciens et des mathématiciennes, c’est-à-dire la lettre \(i\text{.}\)
Exercice 3.2.6.
Pour bien comprendre les identités suivantes, prenez le temps de les justifier.
- \(i^2 = -1\text{,}\) \(i^3 = -i\text{,}\) \(i^4 = 1\)
- \(\displaystyle \dfrac{1}{i} = -i\)
- \(\displaystyle (3-7i)(-2-9i) = \cdots = -69-13i\)
- \(\displaystyle (3-2i)(3+2i) = 3^2 - {(2i)}^2 = 3^2 + 2^2 = 13\)
- \(\displaystyle \frac{1}{3-2i} = \frac{1}{3-2i} \frac{3+2i}{3+2i} = \frac{3+2i}{13} = \frac{3}{13}+\frac{2}{13}i\)
On peut également définir l’exponentielle \(e^{a+ib}\) d’un nombre complexe. À cette fin, on utilise la série de Taylor de \(e^x\) en remplaçant la variable \(x\) dans la série par un nombre complexe. Puisque les propriétés de l’exponentielle peuvent être prouvées en considérant sa série de Taylor, ces propriétés sont toujours vraies pour les exponentielles complexes. Par exemple, une propriété très importante est \(e^{x+y} = e^x e^y\text{.}\) Ceci signifie que :
\begin{equation*}
e^{a+ib} = e^a e^{ib}\text{.}
\end{equation*}
Par conséquent, si l’on peut calculer \(e^{ib}\text{,}\) on peut calculer \(e^{a+ib}\text{.}\) Pour \(e^{ib}\text{,}\) on utilise la formule d’Euler .
Théorème 3.2.7. La formule d’Euler.
\begin{equation*}
e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta
\qquad \text{ et } \qquad
e^{- i \theta} = \cos \theta - i \sin \theta .
\end{equation*}
En d’autres mots, \(e^{a+ib} = e^a \bigl( \cos(b) + i \sin(b) \bigr) = e^a \cos(b) + i e^a \sin(b)\text{.}\)
Exercice 3.2.8.
Utilisez la formule d’Euler pour vérifier les identités suivantes :
\begin{equation*}
\cos \theta = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} \qquad \text{ et } \qquad \sin \theta = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i}\text{.}
\end{equation*}
Exercice 3.2.9.
Considérez l’égalité suivante : \(e^{i(2\theta)} = {\bigl(e^{i \theta} \bigr)}^2\text{.}\) Utilisez la formule d’Euler de chaque côté pour déduire :
\begin{equation*}
\cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \qquad \text{ et } \qquad \sin (2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta\text{.}
\end{equation*}
Pour un nombre complexe \(a+ib\text{,}\) on appelle \(a\) la partie réelle , et \(b\) la partie imaginaire du nombre. La notation suivante est souvent utilisée :
\begin{equation*}
\operatorname{Re}(a+ib) = a \qquad \text{ et } \qquad \operatorname{Im}(a+ib) = b\text{.}
\end{equation*}
Sous-section Racines complexes
Supposons que nous avons une équation \(ay'' + by' + cy = 0\text{,}\) dont l’équation caractéristique \(a r^2 + b r + c = 0\) admet des racines complexes. En utilisant la formule quadratique, on obtient les racines \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.}\) Ces racines sont complexes si \(b^2 - 4ac \lt 0\text{.}\) Dans ce cas, les racines sont :
\begin{equation*}
r_1, r_2 = \frac{-b}{2a} \pm i\frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a}\text{.}
\end{equation*}
On a toujours un nombre pair de racines de la forme \(\alpha \pm i \beta\text{.}\) Dans ce cas, on peut écrire la solution de la manière suivante :
\begin{equation*}
y = C_1 e^{(\alpha+i\beta)x} + C_2 e^{(\alpha-i\beta)x}\text{.}
\end{equation*}
Toutefois, l’exponentielle a maintenant des valeurs complexes. On doit laisser \(C_1\) et \(C_2\) être des nombres complexes pour obtenir une solution à valeurs réelles. Bien qu’il n’y ait rien de faux dans cette méthode, les calculs peuvent devenir compliqués; il est donc généralement préférable de trouver deux solutions à valeurs réelles.
On peut utiliser la formule d’Euler. Soit :
\begin{equation*}
y_1 = e^{(\alpha+i\beta)x} \qquad \text{ et } \qquad y_2 = e^{(\alpha-i\beta)x}\text{.}
\end{equation*}
Alors,
\begin{align*}
y_1 \amp = e^{\alpha x} \cos (\beta x) + i e^{\alpha x} \sin (\beta x) ,\\
y_2 \amp = e^{\alpha x} \cos (\beta x) - i e^{\alpha x} \sin (\beta x) \text{.}
\end{align*}
Les combinaisons linéaires des solutions sont aussi des solutions. Ainsi, les fonctions suivantes sont aussi des solutions :
\begin{align*}
y_3 \amp = \frac{y_1 + y_2}{2} = e^{\alpha x} \cos (\beta x),\\
y_4 \amp = \frac{y_1 - y_2}{2i} = e^{\alpha x} \sin (\beta x) \text{.}
\end{align*}
Les valeurs sont réelles lorsque \(x\) est réel. Ce n’est pas difficile de voir qu’elles sont linéairement indépendantes (pas multiples l’une de l’autre). On obtient alors le théorème suivant.
Théorème 3.2.10.
Étant donné l’équation suivante,
\begin{equation*}
ay'' + by' + cy = 0\text{,}
\end{equation*}
supposons que l’équation caractéristique admet des racines complexes \(\alpha \pm i \beta\) (quand \(b^2 - 4ac \lt 0\)). Alors, la solution générale est :
\begin{equation*}
y = C_1 e^{\alpha x} \cos (\beta x) + C_2 e^{\alpha x} \sin (\beta x)\text{.}
\end{equation*}
Exemple 3.2.11.
Trouvons la solution générale de \(y'' + k^2 y = 0\text{,}\) pour une constante \(k > 0\text{.}\)
L’équation caractéristique est \(r^2 + k^2 = 0\text{.}\) Donc, les racines sont \(r = \pm ik\) et, par le théorème, on a la solution générale suivante :
\begin{equation*}
y = C_1 \cos (kx) + C_2 \sin (kx)\text{.}
\end{equation*}
Exemple 3.2.12.
Trouvons la solution de \(y'' - 6 y' + 13 y = 0\text{,}\) \(y(0) = 0\text{,}\) \(y'(0) = 10\text{.}\)
L’équation caractéristique est \(r^2 - 6 r + 13 = 0\text{.}\) En complétant le carré, on obtient \({(r-3)}^2 + 2^2 = 0\text{,}\) et les racines sont \(r = 3 \pm 2i\text{.}\) Par le théorème, on a la solution générale suivante :
\begin{equation*}
y = C_1 e^{3x} \cos (2x) + C_2 e^{3x} \sin (2x)\text{.}
\end{equation*}
Pour trouver une solution satisfaisant aux conditions initiales, on met \(x=0\) et l’on obtient :
\begin{equation*}
0 = y(0) = C_1 e^{0} \cos 0 + C_2 e^{0} \sin 0 = C_1\text{.}
\end{equation*}
Ainsi, \(C_1 = 0\) et \(y = C_2 e^{3x} \sin (2x)\text{.}\) On dérive :
\begin{equation*}
y' = 3C_2 e^{3x} \sin (2x) + 2C_2 e^{3x} \cos (2x)\text{.}
\end{equation*}
On met \(x=0\) de nouveau dans les conditions initiales et l’on obtient \(10 = y'(0) = 2C_2\) ou \(C_2 = 5\text{.}\) La solution recherchée est donc :
\begin{equation*}
y = 5 e^{3x} \sin (2x)\text{.}
\end{equation*}
Exercices Exercices
1.
Trouvez la solution générale de \(2y'' + 2y' -4 y = 0\text{.}\)
2.
Trouvez la solution générale de \(y'' + 9y' - 10 y = 0\text{.}\)
3.
Résolvez \(y'' - 8y' + 16 y = 0\text{,}\) \(y(0) = 2\text{,}\) \(y'(0) = 0\text{.}\)
4.
Résolvez \(y'' + 9y' = 0\text{,}\) \(y(0) = 1\text{,}\) \(y'(0) = 1\text{.}\)
5.
Trouvez la solution générale de \(2y'' + 50y = 0\text{.}\)
6.
Trouvez la solution générale de \(y'' + 6 y' + 13 y = 0\text{.}\)
7.
Trouvez la solution générale de \(y'' = 0\) en utilisant les méthodes présentées dans cette section.
8.
Essayez de résoudre l’équation du premier ordre \(2y' + 3y = 0\) en utilisant les méthodes présentées dans cette section.
9.
Utilisez la technique de l’exercice 3.1.7 pour trouver des solutions des équations différentielles suivantes :
- \(t^2 y'' + ty' +y = 0\text{;}\)
- \(t^2 y'' -4ty +6y =0\text{;}\)
- \(t^2 y'' + 4ty +2y = 0\text{;}\)
- \(t^2 y'' + 7ty' +10 y = 0\text{.}\)
10.
Revisitons l’équation de Cauchy–Euler (exercice 3.1.5). Supposons maintenant que \({(b-a)}^2-4ac \lt 0\text{.}\) Trouvez la formule de la solution générale \(a x^2 y'' + b x y' + c y = 0\text{.}\) Astuce : Remarquez que \(x^r = e^{r \ln x}\text{.}\)
11.
Trouvez la solution de \(y''-(2\alpha) y' + \alpha^2 y=0\text{,}\) \(y(0) = a\text{,}\) \(y'(0)=b\text{,}\) où \(\alpha\text{,}\) \(a\text{,}\) et \(b\) sont des nombres réels.
12.
Construisez une équation telle que \(y = C_1 e^{-2x} \cos(3x) + C_2 e^{-2x} \sin(3x)\) est la solution générale.
13.
Trouvez la solution générale de \(y''+4y'+2y=0\text{.}\)
Réponse.
\(y = C_1 e^{(-2+\sqrt{2}) x} + C_2 e^{(-2-\sqrt{2}) x}\)
14.
Trouvez la solution générale de \(y''-6y'+9y=0\text{.}\)
Réponse.
\(y = C_1 e^{3x} + C_2 x e^{3x}\)
15.
Trouvez la solution générale de \(2y''+y'+y=0\text{,}\) \(y(0) = 1\text{,}\) \(y'(0)=-2\text{.}\)
Réponse.
\(y = e^{-x/4} \cos\bigl((\nicefrac{\sqrt{7}}{4})x\bigr) - \sqrt{7} e^{-x/4} \sin\bigl((\nicefrac{\sqrt{7}}{4})x\bigr)\)
16.
Trouvez la solution générale de \(2y''+y'-3y=0\text{,}\) \(y(0) = a\text{,}\) \(y'(0)=b\text{.}\)
Réponse.
\(y = \frac{2(a-b)}{5} \, e^{-3x/2}+\frac{3 a+2 b}{5} \, e^x\)
17.
Trouvez la solution générale de \(z''(t) = -2z'(t)-2z(t)\text{,}\) \(z(0) = 2\text{,}\) \(z'(0)= -2\text{.}\)
Réponse.
\(z(t) = 2e^{-t} \cos(t)\)
18.
Trouvez la solution générale de \(y''-(\alpha+\beta) y' + \alpha \beta y=0\text{,}\) \(y(0) = a\text{,}\) \(y'(0)=b\text{,}\) où \(\alpha\text{,}\) \(\beta\text{,}\) \(a\text{,}\) \(b\) sont des nombres réels, et \(\alpha \not= \beta\text{.}\)
Réponse.
\(y = \frac{a \beta-b}{\beta-\alpha} e^{\alpha x} + \frac{b-a \alpha}{\beta-\alpha} e^{\beta x}\)
19.
Construisez une équation telle que \(y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x}\) est une solution générale.
Réponse.
\(y'' -y'-6y=0\)
