Trouvons la solution générale de \(y' = 3 x^2\text{.}\)
En intégrant des deux côtés, on trouve \(y = x^3 + C\text{.}\) Vérifions notre solution en prenant sa dérivée : \(y' = 3x^2\text{.}\) C’est précisément notre équation.
Section 2.1 Intégrales en tant que solutions
Une équation différentielle du premier ordre est une équation pouvant s’écrire sous la forme suivante :
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = f(x,y)
\end{equation*}
ou
\begin{equation*}
y' = f(x,y)\text{.}
\end{equation*}
Il n’y a pas de méthode générale simple pour trouver la solution à toute équation du premier ordre. Nous verrons quelques cas où c’est possible. Commençons par supposer que \(f\) est une fonction de \(x\) seulement, c’est-à-dire :
\begin{equation}
y' = f(x)\text{.}\tag{2.1.1}
\end{equation}
On peut alors intégrer des deux côtés pour trouver une solution :
\begin{equation*}
\int y'(x) \,dx = \int f(x) \,dx + C\text{,}
\end{equation*}
c’est-à-dire
\begin{equation*}
y(x) = \int f(x) \,dx + C\text{.}
\end{equation*}
Dans ce cas-ci, la solution générale, \(y(x)\text{,}\) est en fait une primitive de \(f(x)\text{,}\) à laquelle on ajoute la constante d’intégration.
Prenons ce moment pour aborder un point délicat du vocabulaire de calcul. Souvent, quand on pense aux intégrales, on pense à une intégrale indéfinie. En réalité, une intégrale indéfinie est une primitive ou, plus précisément, une famille de primitives. Ce sont les intégrales définies (les intégrales avec des bornes) qui sont les vraies intégrales. Mais c’est pratique de parler d’intégrale indéfinie puisqu’on peut toujours écrire l’intégrale indéfinie \(\int f(x) \,dx + C\) comme suit, grâce au théorème fondamental du calcul :
\begin{equation*}
\int_{x_0}^x f(t) \,dt + C\text{.}
\end{equation*}
C’est ce qui nous permet de dire intégrer quand, en réalité, nous voulons dire trouver la primitive .
L’intégration est tout simplement un moyen parmi d’autres pour calculer une primitive (moyen qui fonctionne toujours, comme on le verra dans les exemples suivants). Mais on définit l’intégrale comme étant l’aire sous la courbe. Pour simplifier les choses, nous continuerons d’utiliser la notation intégrale pour écrire une primitive, et gardez toujours en tête comment réécrire l’intégrale indéfinie comme une intégrale définie.
Exemple 2.1.1.
Normalement, on a aussi une condition initiale, de la forme \(y(x_0) = y_0\text{,}\) où \(x_0,y_0\) sont des nombres réels (habituellement, \(x_0=0\text{,}\) mais ce n’est pas toujours le cas). Dans ce cas, la solution s’écrit très bien sous forme intégrale. Supposons que le problème à résoudre est \(y' = f(x)\text{,}\) \(y(x_0) = y_0\text{.}\) Alors, la solution est :
\begin{equation}
y(x) = \int_{x_0}^x f(s) \,ds + y_0\text{.}\tag{2.1.2}
\end{equation}
Vérifions. Par le théorème fondamental du calcul, la dérivée de l’intégrale précédente est \(f(x)\text{,}\) et donc \(y(x)\) est bel et bien une solution à l’équation différentielle. Maintenant, vérifions qu’elle satisfait aussi à la condition initiale :
\begin{equation*}
y(x_0) = \int_{x_0}^{x_0} f(x)\,dx + y_0 = y_0\text{.}
\end{equation*}
Ainsi, la condition initiale est également vérifiée par l’équation (2.1.2).
Gardez en tête qu’une intégrale définie et une intégrale indéfinie sont deux choses très différentes. La valeur d’une intégrale définie est toujours un nombre. Par conséquent, (2.1.2) est une formule qu’on peut utiliser pour obtenir n’importe quelle valeur spécifique de la solution. C’est une fonction comme une autre. Il n’est pas toujours possible ni nécessaire de trouver une formule analytique pour la primitive.
Exemple 2.1.2.
Résolvons
\begin{equation*}
y' = e^{-x^2}, \qquad y(0) = 1\text{.}
\end{equation*}
Par la solution précédente, la solution doit être :
\begin{equation*}
y(x) = \int_0^x e^{-s^2} \,ds + 1\text{.}
\end{equation*}
Or, il n’y a pas de formule plus explicite pour la primitive de \(e^{-x^2}\) (on ne peut pas, par exemple, faire un changement de variables). Et la solution sous forme intégrale est très correcte, telle quelle. Elle joue un rôle important, d’ailleurs, en statistique.
La méthode de l’intégrale sert aussi à résoudre des équations de la forme suivante :
\begin{equation*}
y' = f(y)\text{.}
\end{equation*}
Écrivons cette équation dans la notation de Leibniz :
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = f(y)\text{.}
\end{equation*}
Le théorème de la fonction inverse, en calcul, nous permet d’échanger les rôles de \(x\) et de \(y\) pour écrire l’équation sous la forme suivante :
\begin{equation*}
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{f(y)}\text{.}
\end{equation*}
On dirait qu’on fait tout simplement des manipulations algébriques avec \(dx\) et \(dy\text{,}\) qu’on traite comme des nombres. Et c’est vrai que ça marche. Mais attention! Lorsqu’on verra des équations aux dérivées partielles, ce type de raisonnement ne fonctionnera plus.
Dans le cas présent, on peut intégrer l’équation précédente des deux côtés pour obtenir :
\begin{equation*}
x(y) = \int \frac{1}{f(y)} \,dy + C\text{.}
\end{equation*}
On peut ensuite tenter de résoudre pour \(y\text{.}\) Voyons quelques exemples de ceci.
Exemple 2.1.3.
Plus haut, nous avons résolu l’équation \(y' = ky\) (pour \(k > 0\)) en devinant que c’était \(y=Ce^{kx}\text{.}\) Reprenons cet exemple de manière plus systématique.
Observons d’abord que \(y=0\) est une solution. Supposons donc dorénavant que \(y\not= 0\text{.}\) On peut alors écrire :
\begin{equation*}
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{ky}\text{.}
\end{equation*}
On intègre des deux côtés pour obtenir :
\begin{equation*}
x(y) = x = \frac{1}{k} \ln \, \lvert y\rvert + D\text{,}
\end{equation*}
où \(D\) est une constante arbitraire. Maintenant, on résout pour \(y\) ou, plus précisément, pour \(\lvert y \rvert\) :
\begin{equation*}
\lvert y \rvert = e^{kx-kD} = e^{-kD} e^{k x}\text{.}
\end{equation*}
Puisque \(e^{-kD}\) est une constante positive arbitraire, on peut la remplacer par une constante arbitraire \(C\text{;}\) ici, \(C\) peut aussi prendre la valeur 0 (incorporant ainsi la solution \(y=0\)) ou des valeurs négatives, ce qui nous permet de nous débarrasser de la valeur absolue. On obtient alors la solution générale devinée plus tôt, \(y = Ce^{kx}\text{.}\)
Exemple 2.1.4.
Trouvons la solution générale de \(y' = y^2\text{.}\)
Notons d’abord que \(y=0\) est une solution. Nous supposerons dorénavant que \(y \not= 0\text{.}\) Écrivons
\begin{equation*}
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y^2}\text{.}
\end{equation*}
On intègre pour obtenir
\begin{equation*}
x = \frac{-1}{y} + C\text{.}
\end{equation*}
On résout pour \(y\) :
\begin{equation*}
y = \frac{1}{C-x}.
\end{equation*}
La solution générale est donc
\begin{equation*}
y = \frac{1}{C-x} \qquad \text{ ou } \qquad y = 0\text{.}
\end{equation*}
Cette solution comporte des singularités. Par exemple, si \(C=1\text{,}\) alors la solution explose lorsqu’on s’approche de \(x=1\text{.}\) Voir la figure 2.1.5. En général, c’est difficile de prédire le comportement d’une solution juste en regardant l’équation différentielle. En effet, l’équation \(y' = y^2\) est très jolie et définie partout, mais sa solution est seulement définie sur un intervalle \((-\infty, C)\) ou \((C, \infty)\text{.}\) Dans une telle situation, on retient seulement une de ces deux solutions, dépendamment de la condition initiale. Si, par exemple, on a pour condition initiale \(y(0) = 1\text{,}\) alors la solution est \(y=\frac{1}{1-x}\text{,}\) et cette solution est seulement définie sur l’intervalle \((-\infty,1)\text{.}\) Dans la figure, c’est la partie gauche du graphe.
Parmi les problèmes classiques menant à des équations différentielles résolubles par intégration, on retrouve les problèmes de vitesse, d’accélération et de distance. Vous avez probablement vu de tels problèmes dans vos cours de calcul.
Exemple 2.1.6.
Supposons qu’une voiture roule à une vitesse de \(e^{t/2}\) mètres par seconde, où \(t\) est le temps mesuré en secondes. Quelle distance a-t-elle parcourue en 2 secondes (si elle commence à \(t=0\))? En 10 secondes?
Dénotons par \(x\) la distance parcourue par la voiture. L’équation à résoudre est :
\begin{equation*}
x' = e^{t/2}\text{.}
\end{equation*}
On intègre cette équation pour obtenir :
\begin{equation*}
x(t) = 2 e^{t/2} + C\text{.}
\end{equation*}
Il nous reste à déterminer \(C\text{.}\) On sait qu’à \(t=0\text{,}\) \(x=0\text{.}\) Autrement dit, \(x(0) = 0\text{.}\) Donc :
\begin{equation*}
0 = x(0) = 2e^{0/2} + C = 2 + C\text{.}
\end{equation*}
Ainsi, \(C = -2\text{,}\) et
\begin{equation*}
x(t) = 2 e^{t/2} - 2\text{.}
\end{equation*}
Il nous suffit de substituer \(t=2\) et \(t=10\) pour obtenir la distance parcourue après 2 et 10 secondes :
\begin{equation*}
x(2) = 2e^{2/2} - 2 \approx 3{,}44 \text{ mètres } , \qquad x(10) = 2e^{10/2} - 2 \approx 294 \text{ mètres }\text{.}
\end{equation*}
Exemple 2.1.7.
Supposons que la voiture accélère à \(\unitfrac[t^2]{m}{s^2}\text{.}\) À \(t=0\text{,}\) la voiture est au mètre 1 et roule à une vitesse de \(\unitfrac[10]{m}{s}\text{.}\) Où est la voiture à \(t=10\text{?}\)
Ceci est en fait un problème du deuxième ordre, puisque l’accélération est la dérivée seconde de la fonction de position. Dénotons par \(x\) la distance parcourue, alors \(x'\) est la vitesse, et \(x''\text{,}\) l’accélération. Ceci nous donne l’équation différentielle avec conditions initiales suivante :
\begin{equation*}
x'' = t^2 , \qquad x(0) = 1 , \qquad x'(0) = 10\text{.}
\end{equation*}
Posons \(x' = v\text{.}\) Le problème devient alors
\begin{equation*}
v' = t^2, \qquad v(0) = 10\text{.}
\end{equation*}
On peut résoudre pour \(v\) et ensuite intégrer \(v\) pour trouver \(x\text{.}\)
Exercice 2.1.8.
Dans le contexte de l’exemple précendent 2.1.7, résolvez pour \(v\) et ensuite pour \(x\text{.}\) Trouvez \(x(10)\) pour répondre à la question.
Exercices Exercices
1.
Résolvez\(\frac{dy}{dx} = x^2+x\text{,}\) \(y(1)=3\text{.}\)
2.
Résolvez \(\frac{dy}{dx} = \sin (5x)\text{,}\) \(y(0)=2\text{.}\)
3.
Résolvez \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2-1}\text{,}\) \(y(0)=0\text{.}\)
4.
Résolvez \(y' = y^3\text{,}\) \(y(0)=1\text{.}\)
5. un peu plus difficile.
Résolvez \(y' = (y-1)(y+1)\text{,}\) \(y(0)=3\text{.}\)
6.
Résolvez \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y+1}\text{,}\) \(y(0)=0\text{.}\)
7. plus difficile.
Résolvez \(y'' = \sin x\text{,}\) \(y(0)=0\text{,}\) \(y'(0) = 2\text{.}\)
8.
Une fusée se déplace à une vitesse de \(\unitfrac[2t^2+1]{km}{s}\) (\(t\) est mesuré en secondes). La terre est directement derrière la fusée et à \(t=0\text{,}\) elle est à 1000 kilomètres de la terre. À quelle distance se trouve la fusée 1 minute plus tard?
9.
Résolvez \(\frac{dx}{dt} = \sin(t^2)+t\text{,}\) \(x(0)=20\text{.}\) Vous pouvez laisser votre réponse sous forme d’intégrale définie.
10.
Une balle tombe avec une accélération constante de \(9,8\) mètres par seconde au carré. Écrivez l’équation différentielle pour la hauteur \(h\) en mètres. Ensuite, en supposant que \(h(0) = 100\) mètres, calculez le temps qu’il faudra à la balle pour toucher au sol.
11.
Trouvez la solution générale de \(y' = e^x\text{,}\) et ensuite \(y' = e^y\text{.}\)
12.
Résolvez \(\frac{dy}{dx} = e^x + x\text{,}\) \(y(0) = 10\text{.}\)
Réponse.
\(y = e^x + \frac{x^2}{2} + 9\)
13.
Résolvez \(x' = \frac{1}{x^2}\text{,}\) \(x(1)=1\text{.}\)
Réponse.
\(x = {(3t-2)}^{1/3}\)
14.
Résolvez \(x' = \frac{1}{\cos(x)}\text{,}\) \(x(0)=\frac{\pi}{2}\text{.}\)
Réponse.
\(x = \sin^{-1} \bigl(t+1\bigr)\)
15.
Max est dans une voiture partant de Québec et filant à \(10t+70\) kilomètres par heure,où \(t\)est mesuré en heures. À \(t=0\text{,}\) Max est à 10 kilomètres de Québec. À quelle distance de Québec sera Max deux heures plus tard?
Réponse.
170
16.
Résolvez \(y' = y^n\text{,}\) \(y(0) = 1\text{,}\) où \(n\) est un entier positif. Indice : il y a plusieurs cas à considérer.
Réponse.
Si \(n \not= 1\text{,}\) alors \(y={\bigl((1-n)x+1\bigr)}^{1/(1-n)}\text{.}\) Si \(n=1\text{,}\) alors \(y = e^x\text{.}\)
17.
Une boule de neige fond; le taux de variation du volume de la boule est proportionnelle à sa surface. Si le rayon de la boule est \(r\) centimètres, son volume est \(\nicefrac{4}{3}\,\pi r^3\) centimètres cube et la surface est\(4 \pi r^2\) centimètres carré. Trouvez l’équation différentielle décrivant la variation de \(r\text{.}\) Ensuite, supposons qu’à \(t=0\) minutes, le rayon est de 10 centimètres et qu’après 5 minutes, le rayon est de 8 centimètres. Dans combien de temps est-ce que la boule de neige aura complètement fondu?
Réponse.
L’équation est \(r' = -C\text{,}\) où \(C\) est une constante. La boule de neige aura complètement fondu 25 minutes après \(t=0\text{.}\)
18.
Trouvez la solution générale à \(y''''= 0\text{.}\) Combien de constantes distinctes sont nécessaires?
Réponse.
\(y = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D\text{,}\) donc quatre constantes.
