Définissons \(f(t) = 1-t^2\) sur \([-1,1]\text{.}\) Maintenant, on prolonge \(f(t)\) périodiquement pour obtenir une fonction 2-périodique. Voir la Figure 5.2.2.
Section 5.2 Séries trigonométriques
Fonctions périodiques et motivations.
Afin de motiver l’étude des séries de Fourier, considérons le problème suivant :
\begin{equation}
x'' + \omega_0^2 x = f(t)\tag{5.2.1}
\end{equation}
pour une certaine fonction périodique \(f(t)\text{.}\) On a déjà résolu
\begin{equation}
x'' + \omega_0^2 x = F_0 \cos ( \omega t)\text{.}\tag{5.2.2}
\end{equation}
Une manière de résoudre (5.2.1) est de décomposer \(f(t)\) comme une somme de cosinus (et de sinus) et de résoudre plusieurs problèmes de la forme (5.2.2). On utilise ensuite le principe de superposition pour additionner toutes les solutions obtenues pour obtenir la solution de (5.2.1).
Avant de procéder, parlons un peu plus en détail des fonctions périodiques. Une fonction est périodique avec période \(P\) si \(f(t) = f(t+P)\) pour tout \(t\text{.}\) On dit alors que \(f(t)\) est \(P\)-périodique. On note qu’une fonction \(P\)-périodique est aussi \(2P\)-périodique, \(3P\)-périodique et ainsi de suite. Par exemple, \(\cos (t)\) et \(\sin (t)\) sont \(2\pi\)-périodiques. Les fonctions constantes sont des exemples extrêmes : elles sont périodiques pour n’importe quelle période (exercice).
Normalement, on commence avec la fonction \(f(t)\) définie sur un certain intervalle \([-L,L]\) et l’on veut prolonger périodiquement \(f(t)\) pour qu’elle devienne une fonction \(2L\)-périodique. On fait cette extension en définissant une nouvelle fonction \(F(t)\) telle que, pour tout \(t\) dans \([-L,L]\text{,}\) \(F(t) = f(t)\text{.}\) Pour tout \(t\) dans \([L,3L]\text{,}\) on définit \(F(t) = f(t-2L)\text{;}\) pour \(t\) dans \([-3L,-L]\text{,}\) \(F(t) = f(t+2L)\text{,}\) et ainsi de suite. Pour faire ce travail, on a besoin de \(f(-L) = f(L)\text{.}\) On pourrait aussi commencer avec \(f\) définie seulement sur un demi-intervalle ouvert \((-L,L]\) et l’on définit \(f(-L) = f(L)\text{.}\)
Exemple 5.2.1.
On doit faire attention à bien distinguer \(f(t)\) de ses différents prolongements. Une erreur commune est de supposer que la formule pour \(f(t)\) fonctionne toujours pour ses prolongements. Il faut faire preuve de prudence, particulièrement lorsque \(f(t)\) est périodique, mais avec une période différente.
Exercice 5.2.3.
Définissez \(f(t) = \cos t\) sur \([\nicefrac{-\pi}{2},\nicefrac{\pi}{2}]\text{.}\) Prenez l’extension \(\pi\)-périodique et esquissez le graphe. Comparez avec le graphe de \(\cos t\text{.}\)
Produit scalaire et décomposition de vecteurs propres.
Comme on l’a remarqué précédemment, lorsque \(A\) est une matrice symétrique , c’est-à-dire lorsque \(A^T = A\text{,}\) les vecteurs propres de \(A\) sont orthogonaux. Ici, le mot orthogonal signifie que si \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont deux vecteurs propres de \(A\) pour des valeurs propres distinctes, alors \(\langle \vec{v} , \vec{w} \rangle = 0\text{.}\) Dans ce cas, le produit scalaire \(\langle \vec{v} , \vec{w} \rangle\) est le produit scalaire à dimensions finies, que l’on peut calculer comme \(\vec{v}^T\vec{w}\text{.}\)
Pour décomposer un vecteur \(\vec{v}\) en termes de vecteurs mutuellement orthogonaux \(\vec{w}_1\) et \(\vec{w}_2\text{,}\) on écrit
\begin{equation*}
\vec{v} = a_1 \vec{w}_1 + a_2 \vec{w}_2\text{.}
\end{equation*}
On trouve la formule pour \(a_1\) et \(a_2\text{.}\) D’abord, on calcule
\begin{equation*}
\langle \vec{v} , \vec{w_1} \rangle = \langle a_1 \vec{w}_1 + a_2 \vec{w}_2 , \vec{w_1} \rangle = a_1 \langle \vec{w}_1 , \vec{w_1} \rangle + a_2 \underbrace{\langle \vec{w}_2 , \vec{w_1} \rangle}_{=~0} = a_1 \langle \vec{w}_1 , \vec{w_1} \rangle\text{.}
\end{equation*}
Ensuite,
\begin{equation*}
a_1 = \frac{\langle \vec{v} , \vec{w_1} \rangle}{ \langle \vec{w}_1 , \vec{w_1} \rangle}\text{.}
\end{equation*}
De façaon semblable,
\begin{equation*}
a_2 = \frac{\langle \vec{v} , \vec{w_2} \rangle}{ \langle \vec{w}_2 , \vec{w_2} \rangle}\text{.}
\end{equation*}
(Vous avez possiblement vu cette formule dans un cours d’algèbre linéaire.)
Exemple 5.2.4.
Écrivons \(\vec{v} = \left[ \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} \right]\) comme une combinaison linéaire de \(\vec{w_1} = \left[ \begin{matrix}1 \\ -1 \end{matrix} \right]\) et de \(\vec{w_2} = \left[ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} \right]\text{.}\)
D’abord, on note que \(\vec{w}_1\) et \(\vec{w}_2\) sont orthogonaux, puisque \(\langle \vec{w}_1 , \vec{w}_2 \rangle = 1(1) + (-1)1 = 0\text{.}\) Alors,
\begin{align*}
\amp a_1 = \frac{\langle \vec{v} , \vec{w_1} \rangle}{ \langle \vec{w}_1 , \vec{w_1} \rangle} = \frac{2(1) + 3(-1)}{1(1) + (-1)(-1)} = \frac{-1}{2} ,\\
\amp a_2 = \frac{\langle \vec{v} , \vec{w_2} \rangle}{ \langle \vec{w}_2 , \vec{w_2} \rangle} = \frac{2 + 3}{1 + 1} = \frac{5}{2} \text{.}
\end{align*}
Ainsi,
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \frac{-1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} + \frac{5}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Séries trigonométriques.
Plutôt que de décomposer un vecteur en termes de vecteurs propres d’une matrice, on va décomposer une fonction en termes de fonctions propres associées à un problème de valeurs propres. Le problème de valeurs propres qu’on utilise pour les séries de Fourier est
\begin{equation*}
x'' + \lambda x = 0, x(-\pi) = x(\pi), x'(-\pi) = x'(\pi)\text{.}
\end{equation*}
Nous avons calculé les fonctions propres dans l’Exemple 5.1.5 : \(1\text{,}\) \(\cos (k t)\) et \(\sin (k t)\text{.}\) Ainsi, on veut trouver une représentation d’une fonction \(2\pi\)-périodique \(f(t)\) de la forme suivante :
\begin{equation*}
f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos (n t) + b_n \sin (n t) .
\end{equation*}
Cette série s’appelle une série de Fourier ou série trigonométrique pour \(f(t)\text{.}\) Par convention, on écrit le coefficient de la fonction propre 1 comme \(\frac{a_0}{2}\text{.}\) On peut y penser comme à \(1 = \cos (0t)\text{.}\)
1
Nommée d’après le mathématicien français Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830).
Comme pour les matrices, on veut trouver une projection de \(f(t)\) sur un sous-espace donné par les fonctions propres. Alors, on veut définir le produit scalaire d’une fonction. Par exemple, pour trouver \(a_n\text{,}\) on veut calculer \(\langle \, f(t), \, \cos (nt) \, \rangle\text{.}\) On définit le produit scalaire comme
\begin{equation*}
\langle \, f(t), \, g(t) \, \rangle \overset{\text{ d\'ef } }{=} \int_{-\pi}^\pi f(t) \, g(t) \, dt\text{.}
\end{equation*}
Avec cette définition du produit scalaire, on voit dans les sections précédentes que les fonctions propres \(\cos (kt)\) (incluant la fonction propre constante) et \(\sin (kt)\) sont orthogonales dans le sens que
\begin{align*}
\langle \, \cos (mt), \, \cos (nt) \, \rangle = 0 \amp \qquad \text{ pour } m \not= n ,\\
\langle \, \sin (mt), \, \sin (nt) \, \rangle = 0 \amp \qquad \text{ pour } m \not= n ,\\
\langle \, \sin (mt), \, \cos (nt) \, \rangle = 0 \amp \qquad \text{ pour tout } m \text{ et } n \text{.}
\end{align*}
Pour \(n=1,2,3,\ldots\text{,}\) on a
\begin{align*}
\langle \, \cos (nt), \, \cos (nt) \, \rangle \amp = \int_{-\pi}^\pi \cos(nt)\cos(nt) \, dt = \pi,\\
\langle \, \sin (nt), \, \sin (nt) \, \rangle \amp = \int_{-\pi}^\pi \sin(nt)\sin(nt) \, dt = \pi\text{,}
\end{align*}
par du calcul élémentaire. Pour la constante, on obtient
\begin{equation*}
\langle \, 1, \, 1 \, \rangle = \int_{-\pi}^\pi 1 \cdot 1 \, dt = 2\pi\text{.}
\end{equation*}
Les coefficients sont donnés par
\begin{align*}
\amp a_n = \frac{\langle \, f(t), \, \cos (nt) \, \rangle}{\langle \, \cos (nt), \, \cos (nt) \, \rangle} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) \cos (nt) \, dt,\\
\amp b_n = \frac{\langle \, f(t), \, \sin (nt) \, \rangle}{\langle \, \sin (nt), \, \sin (nt) \, \rangle} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) \sin (nt) \, dt.
\end{align*}
On compare ces expressions avec les exemples à dimensions finies. Pour \(a_0\text{,}\) on obtient une formule similaire :
\begin{equation*}
a_0 = 2 \frac{\langle \, f(t), \, 1 \, \rangle}{\langle \, 1, \, 1 \, \rangle} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) \, dt.
\end{equation*}
Regardons la formule utilisée pour les propriétés d’orthogonalité. Supposons donc que :
\begin{equation*}
f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos (n t) + b_n \sin (n t)\text{.}
\end{equation*}
Alors, pour \(m \geq 1\text{,}\) on a
\begin{equation*}
\begin{split} \langle \, f(t),\,\cos (mt) \, \rangle \amp = \Bigl\langle \, \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos (n t) + b_n \sin (n t),\, \cos (mt) \, \Bigr\rangle \\ \amp = \frac{a_0}{2} \langle \, 1, \, \cos (mt) \, \rangle + \sum_{n=1}^\infty a_n \langle \, \cos (nt), \, \cos (mt) \, \rangle + b_n \langle \, \sin (n t), \, \cos (mt) \, \rangle \\ \amp = a_m \langle \, \cos (mt), \, \cos (mt) \, \rangle . \end{split}
\end{equation*}
Ainsi, \(a_m = \frac{\langle \, f(t), \, \cos (mt) \, \rangle}{\langle \, \cos (mt), \, \cos (mt) \, \rangle}\text{.}\)
Exercice 5.2.5.
Faites les calculs pour \(a_0\) et pour \(b_m\text{.}\)
Exemple 5.2.6.
Prenons la fonction
\begin{equation*}
f(t) = t
\end{equation*}
pour \(t\) dans \((-\pi,\pi]\text{.}\) Nous allons calculer la série de Fourier du prolongement périodique de \(f(t)\text{.}\) Le terme dents de scie est utilisé pour désigner les fonctions de cette forme. Le graphe de \(f(t)\) se trouve à la Figure 5.2.7.
Calculons les coefficients. On commence avec \(a_0\) :
\begin{equation*}
a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi t \,dt = 0\text{.}
\end{equation*}
Nous nous servirons souvent du résultat suivant : sur un intervalle de la forme \([-L,L]\text{,}\) l’intégrale d’une fonction impaire est nulle. On rappelle qu’une fonction impaire est une fonction \(\varphi(t)\) telle que \(\varphi(-t) = -\varphi(t)\text{.}\) Par exemple, les fonctions \(t\text{,}\) \(\sin t\) ou (celle qui est importante présentement) \(t \cos (nt)\) sont toutes des fonctions impaires. Ainsi,
\begin{equation*}
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi t \cos (nt) \,dt = 0\text{.}
\end{equation*}
Calculons maintenant \(b_n\text{.}\) Deuxième résultat utile : sur un intervalle de la forme \([-L,L]\text{,}\) l’intégrale d’une fonction paire est égale à deux fois l’intégrale de cette même fonction sur \([0,L]\text{.}\) On rappelle qu’une fonction paire est une fonction \(\varphi(t)\) telle que \(\varphi(-t) = \varphi(t)\text{.}\) Par exemple, \(t \sin (nt)\) est paire, et donc :
\begin{equation*}
\begin{split} b_n \amp = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi t \sin (nt) \,dt \\ \amp = \frac{2}{\pi} \int_{0}^\pi t \sin (nt) \,dt \\ \amp = \frac{2}{\pi} \left( \left[ \frac{-t \cos (nt)}{n} \right]_{t=0}^{\pi} + \frac{1}{n} \int_{0}^\pi \cos (nt) \,dt \right) \\ \amp = \frac{2}{\pi} \left( \frac{-\pi \cos (n\pi)}{n} + 0 \right) \\ \amp = \frac{-2 \cos (n\pi)}{n} = \frac{2 \,{(-1)}^{n+1}}{n} . \end{split}
\end{equation*}
On a utilisé ici le fait suivant :
\begin{equation*}
\cos (n\pi) = {(-1)}^n = \begin{cases} 1 \amp \text{ si } n \text{ est pair } \\ -1 \amp \text{ si } n \text{ est impair } . \end{cases}
\end{equation*}
La série est
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{2 \,{(-1)}^{n+1}}{n} \, \sin (n t)\text{.}
\end{equation*}
Écrivons les trois premières harmoniques de la série pour \(f(t)\) :
\begin{equation*}
2 \, \sin (t) - \sin (2t) +\frac{2}{3} \sin (3t) + \cdots
\end{equation*}
Le graphe des trois premiers termes de la série et celui des vingt premiers se trouvent à la Figure 5.2.8.
Exemple 5.2.9.
Prenons la fonction
\begin{equation*}
f(t) = \begin{cases} 0 \amp \text{ si } \;{-\pi} \lt t \leq 0 \\ \pi \amp \text{ si } \;0 \lt t \leq \pi . \end{cases}
\end{equation*}
[4]Prolongeons \(f(t)\) périodiquement et écrivons-la comme une série de Fourier. Cette fonction ou une de ses variantes apparaissent dans plusieurs applications, et on les appelle des vagues carrées . Le graphe du prolongement de \(f(t)\) est montré à la Figure 5.2.10.
Maintenant, on calcule les coefficients. On commence avec \(a_0\) :
\begin{equation*}
a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) \,dt = \frac{1}{\pi} \int_{0}^\pi \pi \,dt = \pi\text{.}
\end{equation*}
Ensuite,
\begin{equation*}
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) \cos (nt) \,dt = \frac{1}{\pi} \int_{0}^\pi \pi \cos (nt) \,dt = 0\text{.}
\end{equation*}
Et finalement,
\begin{equation*}
\begin{split} b_n \amp = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) \sin (nt) \,dt \\ \amp = \frac{1}{\pi} \int_{0}^\pi \pi \sin (nt) \,dt \\ \amp = \left[ \frac{- \cos (nt)}{n} \right]_{t=0}^\pi \\ \amp = \frac{1 - \cos (\pi n)}{n} = \frac{1 - {(-1)}^n}{n} = \begin{cases} \frac{2}{n} \amp \text{ si } n \text{ est impair } \\ 0 \amp \text{ si } n \text{ est pair } . \end{cases} \end{split}
\end{equation*}
La série de Fourier est
\begin{equation*}
\frac{\pi}{2} + \sum_{\substack{n=1\\n \text{ impair } } }^\infty \frac{2}{n} \sin (n t) = \frac{\pi}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{2}{2k-1} \sin \bigl( (2k-1)\, t \bigr)\text{.}
\end{equation*}
Voici les trois premières harmoniques de la série pour \(f(t)\) :
\begin{equation*}
\frac{\pi}{2} + 2 \, \sin (t) + \frac{2}{3} \sin (3t) + \cdots
\end{equation*}
Le graphe des trois premières harmoniques de la série (et aussi des vingt premières) se trouve à la Figure 5.2.11.
On a jusqu’ici évité la question de la convergence. Par exemple, si \(f(t)\) est une vague carrée, l’égalité
\begin{equation*}
f(t) = \frac{\pi}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{2}{2k-1} \sin \bigl( (2k-1)\, t \bigr)
\end{equation*}
tient seulement pour les valeurs de \(t\) où \(f(t)\) est continue. On n’obtient pas l’égalité pour \(t=-\pi,0,\pi\) et pour toutes les autres discontinuités de \(f(t)\text{.}\) Ce n’est pas difficile de voir que lorsque \(t\) est un entier multiple de \(\pi\) (ce qui inclut la discontinuité), alors
\begin{equation*}
\frac{\pi}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{2}{2k-1} \sin \bigl( (2k-1)\, t \bigr) = \frac{\pi}{2}\text{.}
\end{equation*}
Redéfinissons \(f(t)\) sur \([-\pi,\pi]\) comme suit,
\begin{equation*}
f(t) = \begin{cases} 0 \amp \text{ si } \; {-\pi} \lt t \lt 0 \\
\pi \amp \text{ si } \; 0 \lt t \lt \pi \\
\nicefrac{\pi}{2} \amp \text{ si } \; t = -\pi, t = 0\text{ ou } t = \pi, \end{cases}
\end{equation*}
et prolongeons périodiquement. Maintenant, la série est égale au prolongement de \(f(t)\) partout, y compris aux points de discontinuité. Généralement, on ne s’en fera pas avec le changement de valeurs des fonctions à certains points (en nombre fini).
On discutera davantage de la convergence dans la prochaine section. Cependant, mentionnons brièvement un effet de la discontinuité ici. On zoome dans le voisinage de la discontinuité d’une vague carrée. Ensuite, on trace le graphe des 100 premières harmoniques, comme à la Figure 5.2.12. Tandis que la série est une très bonne approximation loin des discontinuités, l’erreur (le dépassement) dans le voisinage de la discontinuité à \(t=\pi\) ne semble pas devenir plus petite. Ce comportement est connu sous le nom de phénomène de Gibbs. La région où l’erreur est large ne diminue pas, même lorsqu’on prend plus de termes dans la série.
On peut penser à une fonction périodique comme à un “signal” obtenu par la superposition de plusieurs signaux de fréquence pure. Par exemple, on peut penser à la vague carrée comme un à ton d’une certaine fréquence de base. Cette fréquence est nommée la fréquence fondamentale. La vague carrée sera la superposition de plusieurs tons purs de fréquences qui sont des multiples de la fréquence fondamentale. En musique, les plus hautes fréquences s’appellent les harmoniques . L’ensemble des fréquences apparaissant s’appelle le spectre du signal. Par contre, une onde sinusoïdale est un ton pur (pas d’harmonique). La manière la plus simple de créer un son en utilisant un ordinateur est avec des vagues carrées, et le son est vraiment différent du ton pur. Si vous avez déjà joué à des jeux vidéo des années 1980, vous avez entendu des sons de vagues carrées.
Exercices Exercices
1.
Montrez que \(x = e^{4t}\) est une solution de \(x'''-12 x'' + 48 x' - 64 x = 0\text{.}\)
2.
Montrez que \(x = e^{t}\) n’est pas une solution de \(x'''-12 x'' + 48 x' - 64 x = 0\text{.}\)
3.
Est-ce que \(y = \sin t\) est une solution de \({\left( \frac{dy}{dt} \right)}^2 = 1 - y^2\text{?}\) Justifiez votre réponse.
4.
Considérons \(y'' + 2y' - 8y = 0\text{.}\) Essayez une solution de la forme \(y = e^{rx}\) pour une constante (à déterminer) \(r\text{.}\) Existe-il une valeur de \(r\) qui donne une solution? Si oui, trouvez toutes les valeurs possibles de \(r\text{.}\)
5.
Vérifiez que \(x = C e^{-2t}\) est une solution de \(x' = -2x\text{.}\) Trouvez \(C\) satisfaisant à la condition initiale \(x(0) = 100\text{.}\)
6.
Vérifiez que \(x = C_1 e^{-t} + C_2 e^{2t}\) est une solution de \(x'' - x' -2 x = 0\text{.}\) Trouvez \(C_1\) et \(C_2\) satisfaisant aux conditions initiales \(x(0) = 10\) et \(x'(0) = 0\text{.}\)
7.
Trouvez une solution \({(x')}^2 + x^2 = 4\) en utilisant ce que vous avez appris à propos des dérivées dans vos cours de calcul.
8.
Résolvez
- \(\displaystyle \dfrac{dA}{dt} = -10 A, A(0)=5\)
- \(\displaystyle \dfrac{dH}{dx} = 3 H, H(0)=1\)
- \(\displaystyle \dfrac{d^2y}{dx^2} = 4 y, y(0)=0, y'(0)=1\)
- \(\displaystyle \dfrac{d^2x}{dy^2} = -9 x, x(0)=1, x'(0)=0\)
9.
Existe-t-il une solution de \(y' = y\text{,}\) telle que \(y(0) = y(1)\text{?}\)
10.
La population de la ville X était 100 000 il y a 20 ans, et 120 000 il y a 10 ans. Si l’on suppose une croissance continue, on peut utiliser le modèle de croissance exponentielle (comme pour une population de bactéries). À combien estimez-vous la population actuelle maintenant?
11.
Supposons qu’un coach de football obtient présentement un salaire annuel de 1 million $, et qu’il a une augmentation salariale de \(10\%\) chaque année (donc modèle de croissance exponentielle, comme les bactéries). Dénotons par \(s\) le salaire en millions de dollars, et \(t\) le temps en années.
- Trouvez \(s(0)\) et \(s(1)\text{.}\)
- Après combien d’années approximativement le salaire sera-t-il de 10 millions?
- Après combien d’années approximativement le salaire sera-t-il de 20 millions?
- Après combien d’années approximativement le salaire sera-t-il de 30 millions?
Note : Les exercices dont les numéros sont 101 et plus ont des réponses à la fin du manuel.
12.
Montrez que \(x = e^{-2t}\) est une solution de \(x'' + 4x' + 4x = 0\text{.}\)
Réponse 1.
Calculer \(x' = -2e^{-2t}\) et \(x'' = 4e^{-2t}\text{.}\) Alors, \((4e^{-2t}) + 4 (-2e^{-2t}) + 4 (e^{-2t}) = 0\text{.}\)
13.
Est-ce que \(y = x^2\) est une solution de \(x^2y'' - 2y = 0\text{?}\) Justifiez votre réponse.
Réponse 2.
Oui.
14.
Soit \(xy'' - y' = 0\text{.}\) Essayez une solution de la forme \(y = x^r\text{.}\) Existe-t-il une valeur de \(r\) qui donne une solution? Si oui, trouvez toutes les valeurs possibles de \(r\text{.}\)
Réponse 3.
\(y=x^r\) est une solution pour \(r=0\) et \(r=2\text{.}\)
15.
Vérifiez que \(x=C_1e^t+C_2\) est une solution de \(x''-x' = 0\text{.}\) Trouvez \(C_1\) et \(C_2\) telles que \(x(0) = 10\) et \(x'(0) = 100\text{.}\)
Réponse 4.
\(C_1 = 100\text{,}\) \(C_2 = -90\)
16.
Résolvez \(\frac{d\varphi}{ds} = 8 \varphi\) et \(\varphi(0) = -9\text{.}\)
Réponse 5.
\(\varphi = -9 e^{8s}\)
17.
Résolvez
- \(\displaystyle \dfrac{dx}{dt} = -4x, x(0)=9\)
- \(\displaystyle \dfrac{d^2x}{dt^2} = -4x, x(0)=1, x'(0)=2\)
- \(\displaystyle \dfrac{dp}{dq} = 3 p, p(0)=4\)
- \(\displaystyle \dfrac{d^2T}{dx^2} = 4 T, T(0)=0, T'(0)=6\)
