Soit
\begin{equation*}
f(t) = \lvert t \rvert \text{ pour } {-1} \lt t \leq 1\text{,}
\end{equation*}
prolongée périodiquement. Le graphe est donné par la Figure 5.3.2. Calculons la série de Fourier de \(f(t)\text{.}\)
On veut écrire \(f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos (n \pi t) + b_n \sin (n \pi t)\text{.}\) Pour \(n \geq 1\text{,}\) on note que \(\lvert t \rvert \cos (n \pi t)\) est paire et aussi que
\begin{equation*}
\begin{split} a_n \amp = \int_{-1}^1 f(t) \cos (n \pi t) \, dt \\ \amp = 2 \int_{0}^1 t \cos (n \pi t) \, dt \\ \amp = 2 \left[ \frac{t}{n \pi} \sin (n \pi t) \right]_{t=0}^1 - 2 \int_{0}^1 \frac{1}{n \pi} \sin (n \pi t) \, dt \\ \amp = 0 + \frac{1}{n^2 \pi^2} \Bigl[ \cos (n \pi t) \Bigr]_{t=0}^1 = \frac{2 \bigl( {(-1)}^n -1 \bigr) }{n^2 \pi^2} = \begin{cases} 0 \amp \text{ si } n \text{ est pair } \\ \frac{-4 }{n^2 \pi^2} \amp \text{ si } n \text{ est impair } . \end{cases} \end{split}
\end{equation*}
Ensuite, on trouve \(a_0\) :
\begin{equation*}
a_0 = \int_{-1}^1 \lvert t \rvert \, dt = 1\text{.}
\end{equation*}
On devrait être en mesure de trouver cette intégrale en pensant à l’intégrale comme à l’aire sous la courbe du graphe sans pour autant faire les calculs. Finalement, on trouve \(b_n\text{.}\) Ici, on remarque que \(\lvert t \rvert \sin (n \pi t)\) est impaire, et par conséquent :
\begin{equation*}
b_n = \int_{-1}^1 f(t) \sin (n \pi t) \, dt = 0\text{.}
\end{equation*}
Ainsi, la série est
\begin{equation*}
\frac{1}{2} + \sum_{\substack{n=1 \\ n \text{ impair } } }^\infty \frac{-4}{n^2 \pi^2} \cos (n \pi t)\text{.}
\end{equation*}
Écrivons explicitement les premiers termes de la série jusqu’à la troisième harmonique :
\begin{equation*}
\frac{1}{2} - \frac{4}{\pi^2} \cos (\pi t) - \frac{4}{9 \pi^2} \cos (3 \pi t) - \cdots
\end{equation*}
Voir la Figure 5.3.3. On devrait remarquer à quel point le graphe est proche de la vraie fonction. On devrait aussi remarquer qu’il n’y a pas de “phénomène de Gibbs” puisqu’il n’y a pas de discontinuité.
