Vérifiez le principe de superposition de l’équation de la chaleur.
Section 5.6 Équations différentielles partielles, séparation des variables et équation de la chaleur
Rappelons qu’une équation différentielle partielle, ou EDP, est une équation contenant les dérivées partielles par rapport à plusieurs variables indépendantes. La résolution des EDP est la principale application des séries de Fourier à laquelle on s’intéressera.
Une EDP est dite linéaire si la variable dépendante et sa dérivée apparaissent au moins à la première puissance et n’apparaissent dans aucune des fonctions. Avec l’EDP, on spécifie généralement quelques conditions aux frontières, où la valeur de la solution ou de ses dérivées est donnée par la limite d’une région, et/ou certaines conditions initiales, où la valeur de la solution ou de ses dérivées est donnée à un certain temps initial. Parfois, de telles conditions sont mélangées, et l’on y fait référence simplement comme conditions au bord.
Nous allons étudier ici l’équation de la chaleur, qui est un exemple d’EDP parabolique . Ensuite, ce sera le tour de l’équation de l’onde , qui est un exemple d’EDP hyperbolique .
Sous-section Chaleur sur un fil isolé
Commençaons par l’équation de la chaleur. Considérons un fil (ou une fine tige métallique) de longueur \(L\) qui est isolé sauf au point de terminaison. Soit \(x\) la position le long du fil et soit \(t\) le temps. Regardons la Figure 5.6.1.
Soit \(u(x,t)\) la température au point \(x\) et au temps \(t\text{.}\) L’équation régissant cette configuration se nomme l’équation de la chaleur à une dimension :
\begin{equation*}
\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} ,
\end{equation*}
où \(k > 0\) est la constante (de conductivité thermale du matériel). Ainsi, le changement de chaleur en un point spécifique est proportionnel à la seconde dérivée de la chaleur le long du fil. C’est logique puisque, en effet, si, à un \(t\) fixe, le graphe de la répartition de la chaleur a un maximum (le graphe est concave vers le bas), alors la chaleur s’échappe du maximum (et vice versa).
On utilise généralement une notation plus pratique pour les dérivées partielles. On écrit \(u_t\) au lieu de \(\frac{\partial u}{\partial t}\) et l’on écrit \(u_{xx}\) plutôt que \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}\) Avec cette notation, l’équation de la chaleur devient
\begin{equation*}
u_t = k u_{xx}\text{.}
\end{equation*}
Pour l’équation de la chaleur, il faut aussi avoir quelques conditions aux limites. On suppose soit que les extrémités du fil sont exposées et touchent à un corps ayant une chaleur constante, soit que les extrémités sont isolées. Si les extrémités du fil sont maintenues à la température 0, alors les conditions sont
\begin{equation*}
u(0,t) = 0 \qquad \text{ et } \qquad u(L,t) = 0\text{.}
\end{equation*}
Si les extrémités sont également isolées, alors les conditions sont
\begin{equation*}
u_x(0,t) = 0 \qquad \text{ et } \qquad u_x(L,t) = 0\text{.}
\end{equation*}
Voyons pourquoi c’est ainsi. Si \(u_x\) est positive à un certain moment \(x_0\text{,}\) alors, à un certain moment, \(u\) est plus petite à gauche de \(x_0\) et plus grande à droite de \(x_0\text{.}\) La chaleur passe d’une température élevée à une température basse, c’est-à-dire vers la gauche. Par contre, si \(u_x\) est négative, la chaleur circule de nouveau du feu vif au feu doux, c’est-à-dire à droite. Donc, quand \(u_x\) est nulle, c’est un point où la chaleur n’est pas conduite. En d’autres termes, \(u_x (0, t) = 0\) signifie qu’aucune chaleur ne circule dans le fil ou hors du fil au point \(x = 0\text{.}\)
On a deux conditions le long de l’axe \(x\text{,}\) car il y a deux dérivées dans la direction \(x\text{.}\) On dit que ces conditions secondaires sont homogènes (c’est-à-dire que \(u\) ou sa dérivée est nulle).
On a également besoin d’une condition initiale : la distribution de la température au temps \(t = 0\text{,}\) c’est-à-dire
\begin{equation*}
u(x,0) = f(x)
\end{equation*}
pour une certaine fonction connue \(f (x)\text{.}\) Cette condition initiale n’est pas une condition homogène.
Sous-section Séparation des variables
L’équation de la chaleur est linéaire, car \(u\) et ses dérivées n’apparaissent pas à toutes les puissances ou dans toutes les fonctions. Ainsi, le principe de superposition s’applique toujours pour l’équation de la chaleur (sans condition secondaire) : si \(u_1\) et \(u_2\) sont des solutions et si \(c_1\) et \(c_2\) sont des constantes, alors \(u = c_1 u_1 + c_2 u_2\) est aussi une solution.
Exercice 5.6.2.
La superposition préserve certaines des conditions secondaires. En particulier, si \(u_1\) et \(u_2\) sont des solutions qui satisfont à \(u (0, t) = 0\) et à \(u (L, t) = 0\) et que \(c_1\) et \(c_2\) sont des constantes, alors \(u = c_1 u_1 + c_2 u_2\) est toujours une solution qui satisfait à \(u (0, t) = 0\) et à \(u (L, t) = 0\text{.}\) Il en est de même pour les conditions secondaires \(u_x (0, t) = 0\) et \(u_x (L, t) = 0\text{.}\) En général, la superposition préserve toutes les conditions homogènes.
La méthode de séparation des variables consiste à essayer de trouver des solutions qui sont des produits de fonctions à une variable. Pour l’équation de la chaleur, on essaie de trouver des solutions de la forme
\begin{equation*}
u(x , t) = X(x)T(t)\text{.}
\end{equation*}
Espérer que la solution souhaitée soit de cette forme est trop espérer. Ce qui est parfaitement raisonnable de demander, cependant, c’est de trouver assez de “blocs de construction” de solutions de la forme \(u(x,t) = X(x)T(t)\text{,}\) en utilisant cette procédure de sorte que la solution souhaitée à l’EDP soit en quelque sorte construite à partir de ces blocs de construction par l’utilisation de la superposition.
Essayons de résoudre l’équation de la chaleur
\begin{equation*}
u_t = k u_{xx} \qquad \text{ avec } \qquad u(0 , t) = 0, u(L , t) = 0 \text{ et } u(x,0) = f(x)\text{.}
\end{equation*}
On suppose que \(u(x,t) = X(x)T(t)\text{.}\) On essaie de faire en sorte que cette hypothèse satisfasse à l’équation différentielle, \(u_t = k u_ {xx}\text{,}\) et aux conditions homogènes \(u (0, t) = 0\) et \(u (L, t) = 0\text{.}\) Ensuite, comme la superposition préserve l’équation différentielle et les conditions homogènes secondaires, on essaie de construire une solution à partir de ces éléments de base pour résoudre la condition initiale non homogène \(u (x, 0) = f (x)\text{.}\)
D’abord, on remplace \(u(x, t) = X(x)T(t)\) dans l’équation de la chaleur et l’on obtient
\begin{equation*}
X(x)T'(t) = k X''(x)T(t)\text{.}
\end{equation*}
On réécrit comme
\begin{equation*}
\frac{T'(t)}{k T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}\text{.}
\end{equation*}
Cette équation doit être valable pour tout \(x\) et pour tout \(t\text{.}\) Mais le côté gauche ne dépend pas de \(x\text{,}\) et le côté droit ne dépend pas de \(t\text{.}\) Par conséquent, chaque côté doit être une constante. Appelons cette constante \(-\lambda\) (le signe moins est pour faciliter le travail plus tard). On obtient les deux équations suivantes :
\begin{equation*}
\frac{T'(t)}{k T(t)} = -\lambda = \frac{X''(x)}{X(x)}\text{.}
\end{equation*}
En d’autres mots,
\begin{align*}
X''(x) + \lambda X(x) \amp = 0 ,\\
T'(t) + \lambda k T(t) \amp = 0 \text{.}
\end{align*}
La condition aux limites \(u (0, t) = 0\) implique que \(X (0) T (t) = 0\text{.}\) On cherche une solution non triviale et l’on peut supposer que \(T (t)\) n’est pas identiquement nul, d’où \(X (0) = 0\text{.}\) De même, \(u (L, t) = 0\) implique que \(X (L) = 0\text{.}\) On recherche des solutions non triviales \(X\) du problème de valeurs propres \(X'' + \lambda X = 0\text{,}\) \(X(0) = 0\text{,}\) \(X(L) = 0\text{.}\) On a déjà constaté que les seules valeurs propres sont \(\lambda_n = \frac{n^2 \pi^2}{L^2}\text{,}\) pour les entiers \(n \geq 1\text{,}\) où les fonctions propres sont \(\sin \left(\frac{n \pi}{L} x\right)\text{.}\) Par conséquent, choisissons les solutions
\begin{equation*}
X_n (x) = \sin \left(\frac{n \pi}{L} x \right)\text{.}
\end{equation*}
Le \(T_n\) correspondant doit satisfaire à l’équation
\begin{equation*}
T_n'(t) + \frac{n^2 \pi^2}{L^2} k T_n(t) = 0\text{.}
\end{equation*}
C’est l’une des équations fondamentales, et la solution est une exponentielle :
\begin{equation*}
T_n(t) = e^{\frac{-n^2 \pi^2}{L^2} k t}\text{.}
\end{equation*}
Il est utile de noter que \(T_n(0) = 1\text{.}\) Les blocs de construction de la solution sont
\begin{equation*}
u_n(x,t) = X_n(x)T_n(t) = \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right) e^{\frac{-n^2 \pi^2}{L^2} k t}\text{.}
\end{equation*}
On note que \(u_n(x,0) = \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right)\text{.}\) Écrivons \(f(x)\) comme une série sinusoïdale :
\begin{equation*}
f(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin \left(\frac{n \pi}{L} x \right)\text{.}
\end{equation*}
Autrement dit, on trouve la série de Fourier de l’extension périodique impaire de \(f (x)\text{.}\) On a utilisé la série sinus, car elle correspond au problème de valeurs propres pour \(X (x)\) ci-dessus. Enfin, on utilise la superposition pour écrire la solution comme
\begin{equation*}
u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty b_n u_n(x,t) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right) e^{\frac{-n^2 \pi^2}{L^2} k t} .
\end{equation*}
Pourquoi cette solution fonctionne-t-elle? Notez tout d’abord qu’il s’agit d’une solution de l’équation de la chaleur par superposition. Elle satisfait à \(u (0, t) = 0\) et à \(u (L, t) = 0\text{,}\) car \(x = 0\) ou \(x = L\) font disparaître tous les sinus. Enfin, en branchant \(t = 0\text{,}\) on remarque que \(T_n (0) = 1\text{,}\) et ainsi
\begin{equation*}
u(x,0) = \sum_{n=1}^\infty b_n u_n(x,0) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right) = f(x)\text{.}
\end{equation*}
Exemple 5.6.3.
Considérons un fil isolé de longueur 1 dont les extrémités sont noyées dans la glace (température 0). Soit \(k = 0.003\) et soit la distribution de chaleur initiale \(u (x, 0) = 50 \, x \, (1-x)\text{.}\) Regardons la Figure 5.6.4. On suppose qu’on veut trouver la fonction de température \(u (x, t)\text{.}\) On suppose aussi qu’on veut trouver quand (à quel \(t\)) la température maximale dans le fil est la moitié du maximum initial de \(12.5\text{.}\)
On résout le problème d’EDP suivant :
\begin{align*}
\amp u_t = 0.003 \, u_{xx} ,\\
\amp u(0,t) = u(1,t) = 0 ,\\
\amp u(x,0) = 50\,x\,(1-x) \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt 1 \text{.}
\end{align*}
On écrit \(f(x) = 50\,x\,(1-x)\) pour \(0 \lt x \lt 1\) comme une série de sinus. Alors, \(f(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin (n \pi x)\text{,}\) où
\begin{equation*}
b_n = 2 \int_0^1 50\,x\,(1-x) \sin (n \pi x) \,dx = \frac{200}{{\pi }^{3}{n}^{3}}-\frac{200\,{\left( -1\right) }^{n}}{{\pi }^{3}{n}^{3}} = \begin{cases} 0 \amp \text{ si } n \text{ est pair } \\ \frac{400}{\pi^3 n^3} \amp \text{ si } n \text{ est impair } . \end{cases}
\end{equation*}
La solution \(u(x,t)\text{,}\) dans le graphique de la Figure 5.6.5 pour \(0 \leq t \leq 100\text{,}\) est donnée par la série :
\begin{equation*}
u(x,t) = \sum_{\substack{n=1 \\ n \text{ impair } } }^\infty \frac{400}{\pi^3 n^3} \sin (n \pi x ) \, e^{-n^2 \pi^2 \, 0.003 \, t}\text{.}
\end{equation*}
Enfin, on répond à la question de la température maximale. Il est relativement facile de voir que la température maximale à tout moment fixe est toujours \(x = 0.5\) au milieu du fil. Le graphique de \(u (x, t)\) confirme cette intuition. Si l’on branche \(x = 0.5\text{,}\) on obtient
\begin{equation*}
u(0.5,t) = \sum_{\substack{n=1 \\ n \text{ impair } } }^\infty \frac{400}{\pi^3 n^3} \sin (n \pi\, 0.5 ) \, e^{-n^2 \pi^2 \, 0.003 \, t}\text{.}
\end{equation*}
Pour \(n=3\) et plus grand (on se rappelle que \(n\) est seulement impair), les termes de la série sont insignifiants par rapport au premier terme. Le premier terme de la série est déjà une très bonne approximation de la fonction. Par conséquent,
\begin{equation*}
u(0.5,t) \approx \frac{400}{\pi^3} \, e^{-\pi^2 \, 0.003 \, t}\text{.}
\end{equation*}
L’approximation s’améliore à mesure que \(t\) grandit et que les autres termes se dégradent de plus en plus rapidement. On trace la fonction \(u (0.5, t)\text{,}\) c’est-à-dire la température au milieu du fil au temps \(t\text{,}\) à la Figure 5.6.6. La figure représente aussi l’approximation pour le premier terme.
Après \(t = 5\) environ, il serait difficile de faire la différence entre le premier terme de la série pour \(u (x, t)\) et la vraie solution \(u (x, t)\text{.}\) Ce comportement est une caractéristique générale de la résolution de l’équation de la chaleur. Si vous avez de l’intérêt pour le comportement pour des \(t\) assez grands, seuls le premier ou les deux premiers termes peuvent être nécessaires.
Revenons à la question qui cherche à savoir quand la température maximale est égale à la moitié de la température maximale initiale. Autrement dit, quand la température au milieu est \(\nicefrac{12.5}{2} = 6.25\text{.}\) On remarque sur le graphique que si l’on utilise l’approximation par le premier terme, on sera assez proche. On résout
\begin{equation*}
6.25 = \frac{400}{\pi^3} \, e^{-\pi^2 \, 0.003 \, t}\text{.}
\end{equation*}
Alors,
\begin{equation*}
t = \frac{\ln \frac{6.25\,\pi^3}{400}}{-\pi^2 0.003} \approx 24.5\text{.}
\end{equation*}
Ainsi, la température maximale tombe de moitié environ à \(t=24.5\text{.}\)
On mentionne un comportement intéressant de la solution à l’équation de la chaleur. L’équation de la chaleur est “lisse” en dehors de la fonction \(f (x)\) au fur et à mesure que \(t\) grandit. Pour un \(t\) fixe, la solution est une série de Fourier à coefficients \(b_n e^{\frac{-n^2 \pi^2}{L^2} k t}\text{.}\) Si \(t > 0\text{,}\) ces coefficients deviennent nuls plus vite que tout \(\ frac {1} {n ^ p}\) pour toute puissance \(p\text{.}\) En d’autres mots, la série de Fourier a une infinité de dérivées partout. Ainsi, même si la fonction \(f (x)\) fait des sauts et des coins, alors pour un \(t > 0\) fixe, la solution \(u (x, t)\) en fonction de \(x\) est aussi lisse que possible.
Exemple 5.6.7.
Lorsque la condition initiale est déjà une série sinusoïdale, alors on n’a pas besoin de calculer quoi que ce soit; il suffit de remplacer.
\begin{equation*}
u_t = 0.3 \, u_{xx}, \qquad u(0,t)=u(1,t)=0, \qquad u(x,0) = 0.1 \sin(\pi t) + \sin(2\pi t)\text{.}
\end{equation*}
La solution est alors
\begin{equation*}
u(x,t) = 0.1 \sin(\pi t) e^{- 0.3 \pi^2 t} + \sin(2 \pi t) e^{- 1.2 \pi^2 t}\text{.}
\end{equation*}
Sous-section Extrémités isolées
Supposons maintenant que les extrémités du fil sont isolées. Dans ce cas, on résout l’équation
\begin{equation*}
u_t = k u_{xx} \qquad \text{ avec } \qquad u_x(0,t) = 0, u_x(L,t) = 0 \text{ et } u(x,0) = f(x)\text{.}
\end{equation*}
Encore une fois, on essaie une solution de la forme \(u (x, t) = X (x) T (t)\text{.}\) On utilise la même procédure que précédemment pour remplacer dans l’équation de la chaleur et l’on arrive aux deux équations suivantes :
\begin{align*}
X''(x) + \lambda X(x) \amp = 0 ,\\
T'(t) + \lambda k T(t) \amp = 0 \text{.}
\end{align*}
À ce stade, l’histoire change légèrement. La condition aux limites \(u_x(0,t) = 0\) implique que \(X'(0)T(t) = 0\text{.}\) Ainsi, \(X'(0) = 0\text{.}\) De manière semblable, \(u_x(L,t) = 0\) implique que \(X'(L) = 0\text{.}\) On recherche des solutions non triviales \(X\) au problème de valeurs propres \(X'' + \lambda X = 0\text{,}\) \(X'(0) = 0\text{,}\) \(X'(L) = 0\text{.}\) On a déjà constaté que les seules valeurs propres sont \(\lambda_n = \frac{n^2 \pi^2}{L^2}\text{,}\) pour les entiers \(n \geq 0\text{,}\) où les fonctions propres sont \(\cos \left( \frac{n \pi}{L} x\right)\) (on inclut la constante fonction propre). Par conséquent, choisissons les solutions
\begin{equation*}
X_n (x) = \cos \left( \frac{n \pi}{L} x \right) \qquad \text{ et } \qquad X_0 (x) = 1\text{.}
\end{equation*}
Le \(T_n\) correspondant doit satisfaire à l’équation
\begin{equation*}
T_n'(t) + \frac{n^2 \pi^2}{L^2} k T_n(t) = 0\text{.}
\end{equation*}
Pour \(n \geq 1\text{,}\) comme précédemment,
\begin{equation*}
T_n(t) = e^{\frac{-n^2 \pi^2}{L^2} k t}\text{.}
\end{equation*}
Pour \(n = 0\text{,}\) on a \(T_0'(t) = 0\text{,}\) et alors \(T_0(t) = 1\text{.}\) Nos solutions de base sont
\begin{equation*}
u_n(x,t) = X_n(x)T_n(t) = \cos \left( \frac{n \pi}{L} x \right) e^{\frac{-n^2 \pi^2}{L^2} k t}
\end{equation*}
et
\begin{equation*}
u_0(x,t) = 1\text{.}
\end{equation*}
On note que \(u_n(x,0) = \cos \left( \frac{n \pi}{L} x \right)\text{.}\) On écrit \(f\) en utilisant une série cosinus :
\begin{equation*}
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos \left( \frac{n \pi}{L} x \right)\text{.}
\end{equation*}
Autrement dit, on trouve la série de Fourier de l’extension périodique de \(f(x)\text{.}\)
On utilise la superposition pour écrire la solution comme
\begin{equation*}
u(x,t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n u_n(x,t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos \left( \frac{n \pi}{L} x \right) e^{\frac{-n^2 \pi^2}{L^2} k t} .
\end{equation*}
Exemple 5.6.8.
Essayons la même équation que précédemment, mais pour des extrémités isolées. On résout le problème d’EDP suivant :
\begin{align*}
\amp u_t = 0.003 \, u_{xx} ,\\
\amp u_x(0,t) = u_x(1,t) = 0 ,\\
\amp u(x,0) = 50\,x\,(1-x) \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt 1 \text{.}
\end{align*}
Pour ce problème, on doit trouver la série cosinus de \(u (x, 0)\text{.}\) Pour 0 \(\lt x \lt 1\text{,}\) on a
\begin{equation*}
50\, x\,(1-x) = \frac{25}{3} + \sum_{\substack{n=2 \\ n \text{ pair } } }^\infty \left( \frac{-200}{\pi^2 n^2} \right) \cos (n \pi x)\text{.}
\end{equation*}
Le calcul est laissé à vos soins. Par conséquent, la solution au problème d’EDP, tracée dans la Figure 5.6.9, est donnée par la série
\begin{equation*}
u(x,t) = \frac{25}{3} + \sum_{\substack{n=2 \\ n \text{ pair } } }^\infty \left( \frac{-200}{\pi^2 n^2} \right) \cos ( n \pi x) \, e^{-n^2 \pi^2 \, 0.003 \, t}\text{.}
\end{equation*}
On remarque dans le graphique que, au fil du temps, la température s’équilibre à travers le fil. Finalement, tous les termes sauf la constante meurent, et l’on a une température uniforme \(\frac{25}{3} \approx 8.33\) sur toute la longueur du fil.
On développe sur le dernier point. Le terme constant dans la série est
\begin{equation*}
\frac{a_0}{2} = \frac{1}{L} \int_0^L f(x) \, dx\text{.}
\end{equation*}
En d’autres mots, \(\frac{a_0}{2}\) est la valeur moyenne de \(f(x)\text{,}\) ce qui est la moyenne de la température initiale. Comme le fil est isolé partout, aucune chaleur ne peut sortir et aucune chaleur ne peut entrer. Donc, la température essaie de se répartir uniformément dans le temps, et la température moyenne doit toujours être pareille : en particulier, elle est toujours égale à \(\frac{a_0}{2}\text{.}\) Lorsque le temps tend vers l’infini, la température devient égale à la constante \(\frac{a_0}{2}\) partout.
Exercices Exercices
1.
Considérez un fil de longueur 2, avec \(k = 0,001\) et une distribution initiale de température \(u (x, 0) = 50 x\text{.}\) Les deux extrémités sont noyés dans la glace (température 0). Trouvez la solution sous la forme d’une série.
2.
Trouvez une solution à la série
\begin{align*}
\amp u_t = u_{xx} ,\\
\amp u(0,t) = u(1,t) = 0 ,\\
\amp u(x,0) = 100 \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt 1 \text{.}
\end{align*}
3.
Trouvez une solution à la série
\begin{align*}
\amp u_t = u_{xx} ,\\
\amp u_x(0,t) = u_x(\pi,t) = 0 ,\\
\amp u(x,0) = 3\cos (x) + \cos (3x) \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt \pi \text{.}
\end{align*}
4.
Trouvez une solution à la série
\begin{align*}
\amp u_t = \frac{1}{3} u_{xx} ,\\
\amp u_x(0,t) = u_x(\pi,t) = 0 ,\\
\amp u(x,0) = \frac{10x}{\pi} \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt \pi \text{.}
\end{align*}
5.
Trouvez une solution à la série
\begin{align*}
\amp u_t = u_{xx} ,\\
\amp u(0, t) = 0 , u(1,t) = 100 ,\\
\amp u(x, 0) = \sin (\pi x) \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt 1 \text{.}
\end{align*}
Astuce : utilisez le fait que \(u(x, t) = 100 x\) est une solution satisfaisant à \(u_t = u_{xx}\text{,}\) \(u(0, t) = 0\text{,}\) \(u(1, t) = 100\text{.}\) Ensuite, utilise la superposition.
6.
Trouvez la température constante de la solution comme une fonction de \(x\) uniquement, en laissant \(t \to \infty\) dans les solutions de l’Exercice 4 et de l’Exercice 5. Vérifiez qu’elle satisfait à l’équation \(u_{xx} = 0\text{.}\)
7.
Utilisez la séparation des variables pour trouver un élément non trivial à la solution \(u_ {xx} + u_ {yy} = 0\text{,}\) où \(u (x, 0) = 0\) et \(u (0, y) = 0\text{.}\) Astuce : essayez \(u(x,y) = X(x)Y(y)\text{.}\)
8. challenging.
Supposez qu’une extrémité du fil soit isolée (disons à \(x = 0\)) et l’autre extrémité soit maintenue à température nulle. C’est-à-dire, trouvez une solution en série de
\begin{align*}
\amp u_t = k u_{xx} ,\\
\amp u_x(0,t) = u(L,t) = 0 ,\\
\amp u(x,0) = f(x) \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt L \text{.}
\end{align*}
Exprimez tous les coefficients de la série par des intégrales de \(f(x)\text{.}\)
9. challenging.
Supposez que le fil soit circulaire et isolé, donc qu’il n’y a pas d’extrémité. Vous pouvez considérer cela comme une simple connexion des deux extrémités puis en vous assurant que la solution corresponde. Autrement dit, trouvez une solution en série de
\begin{align*}
\amp u_t = k u_{xx} ,\\
\amp u(0,t) = u(L,t) , \qquad u_x(0,t) = u_x(L,t) ,\\
\amp u(x,0) = f(x) \qquad \text{ pour } \; 0 \lt x \lt L \text{.}
\end{align*}
Exprimez tous les coefficients de la série par des intégrales de \(f(x)\text{.}\)
10.
Considérez un fil isolé aux deux extrémités, \(L=1\text{,}\) \(k=1\text{,}\) et \(u(x,0) = \cos^2(\pi x)\text{.}\)
- Trouvez la solution de \(u(x,t)\text{.}\) Astuce : une identité trigonométrique.
- Trouvez la température moyenne.
- Au départ, la variation de température est de 1 (le maximum moins le minimum). Trouvez l’heure à laquelle la variation est \(\nicefrac{1}{2}\text{.}\)
11.
Find a series solution of
\begin{align*}
\amp u_t = 3 u_{xx} ,\\
\amp u(0,t) = u(\pi,t) = 0 ,\\
\amp u(x,0) = 5\sin (x) + 2\sin (5x) \qquad \text{ for } \; 0 \lt x \lt \pi \text{.}
\end{align*}
Réponse.
\(u(x,t) = 5 \sin (x) \, e^{- 3 t} + 2 \sin (5x) \, e^{-75 t}\)
12.
Find a series solution of
\begin{align*}
\amp u_t = 0.1 u_{xx} ,\\
\amp u_x(0,t) = u_x(\pi,t) = 0 ,\\
\amp u(x,0) = 1 + 2\cos (x) \qquad \text{ for } \; 0 \lt x \lt \pi \text{.}
\end{align*}
Réponse.
\(u(x,t) = 1 + 2 \cos (x) \, e^{-0.1 t}\)
13.
Use separation of variables to find a nontrivial solution to \(u_{xt} = u_{xx}\text{.}\)
Réponse.
\(u(x,t) = e^{\lambda t} e^{\lambda x}\) for some \(\lambda\)
14.
Use separation of variables (hint : try \(u(x,t) = X(x)+T(t)\)) to find a nontrivial solution to \(u_{x} + u_{t} = u\text{.}\)
Réponse.
\(u(x,t) = Ae^x + Be^t\)
15.
Suppose that the temperature on the wire is fixed at \(0\) at the ends, \(L=1\text{,}\) \(k=1\text{,}\) and \(u(x,0) = 100\sin(2 \pi x)\text{.}\)
- What is the temperature at \(x = \nicefrac{1}{2}\) at any time.
- What is the maximum and the minimum temperature on the wire at \(t=0\text{.}\)
- At what time is the maximum temperature on the wire exactly one half of the initial maximum at \(t=0\text{.}\)
Réponse.
a) \(0\text{,}\) b) minimum \(-100\text{,}\) maximum \(100\text{,}\) c) \(t = \frac{\ln 2}{4 \pi^2}\text{.}\)
