Trouvons la série de Fourier de l’extension périodique paire de la fonction
\(f(t) = t^2\) pour
\(0 \leq t \leq \pi\text{.}\)
On veut écrire
\begin{equation*}
f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos (n t)\text{,}
\end{equation*}
où
\begin{equation*}
a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi t^2 \, dt = \frac{2 \pi^2}{3}
\end{equation*}
et
\begin{equation*}
\begin{split} a_n \amp = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi t^2 \cos (n t) \, dt = \frac{2}{\pi} \left[ t^2 \frac{1}{n} \sin (nt) \right]_0^\pi - \frac{4}{n\pi} \int_0^\pi t \sin (n t) \, dt \\ \amp = \frac{4}{n^2\pi} \Bigl[ t \cos (n t) \Bigr]_0^\pi + \frac{4}{n^2\pi} \int_0^\pi \cos (n t) \, dt = \frac{4{(-1)}^n}{n^2} . \end{split}
\end{equation*}
Notez qu’on a “détecté” la continuité de l’extension depuis les coefficients décroissants comme
\(\frac{1}{n^2}\text{.}\) Autrement dit, l’extension périodique paire de
\(t^2\) n’a pas de discontinuités de saut. Elle a des coins, car la dérivée, qui est une fonction impaire et une série sinus, a des sauts. Il existe une série de Fourier dont les coefficients sont seulement décroissants comme
\(\frac{1}{n}\text{.}\)
Explicitement, les premiers termes de la série sont
\begin{equation*}
\frac{\pi^2}{3} - 4 \cos (t) + \cos (2t) - \frac{4}{9} \cos (3t) + \cdots
\end{equation*}
