Introduction aux équations différentielles

Section 1.1 Introduction aux équations différentielles

Sous-section Équations différentielles

Les lois de la physique sont généralement exprimées sous forme d’équations différentielles. Ainsi, toute discipline de science ou de génie utilise les équations différentielles, à un niveau plus ou moins sophistiqué. Comprendre les équations différentielles est essentiel à la compréhension de presque tout ce que vous apprendrez dans vos cours de science ou de génie. On peut penser aux mathématiques comme au langage de la science, et les équations différentielles forment une partie importante de ce langage.

Vous avez déjà vu plusieurs équations différentielles, peut-être sans savoir que c’en était. Et vous avez même résolu des équations différentielles dans vos cours de calcul. Voyons un exemple que vous n’avez peut-être pas vu :

\begin{equation} \frac{dx}{dt} + x = 2 \cos t\text{.}\tag{1.1.1} \end{equation}

Ici, $x$ est la variable dépendante, et $t$ est la variable indépendante. L’équation (1.1.1) est un exemple de base d’une équation différentielle. Plus précisément, c’est un exemple d’équation différentielle du premier ordre, puisqu’elle n’implique que la première dérivée de la variable dépendante $x\text{.}$ Cette équation vient de la loi de refroidissement de Newton, lorsque la température ambiante oscille en fonction du temps.

Sous-section Solutions d’équations différentielles

Quand on résout une équation différentielle comme (1.1.1), l’inconnue est une variable $x\text{,}$ qui elle-même dépend d’une variable $t\text{,}$ c’est-à-dire qu’on veut trouver un $x\text{,}$ dépendant de $t\text{,}$ tel que, lorsqu’on substitue $x\text{,}$ $t$ et $\frac{dx}{dt}$ dans l’équation (1.1.1), le côté gauche est égal au côté droit, et donc l’égalité est satisfaite. C’est le même principe que pour une équation ordinaire (algébrique) impliquant $x$ et $t\text{.}$ Nous affirmons que l’expression suivante est une solution :

\begin{equation*} x = x(t) = \cos t + \sin t\text{.} \end{equation*}

Comment le vérifier? Il suffit de substituer $x$ dans l’équation (1.1.1) et de vérifier que l’égalité est bel et bien établie. Nous devons d’abord calculer $\frac{dx}{dt}\text{.}$ On trouve que $\frac{dx}{dt} = -\sin t + \cos t\text{.}$ Maintenant, calculons le côté gauche de (1.1.1) :

\begin{equation*} \frac{dx}{dt} + x = \underbrace{(-\sin t + \cos t)}_{\frac{dx}{dt}} + \underbrace{(\cos t + \sin t)}_{x} = 2\cos t\text{.} \end{equation*}

C’est bien ce que nous voulons : nous obtenons exactement le côté droit de l’équation. Mais ce n’est pas tout. Nous affirmons que $x = \cos t + \sin t + e^{-t}$ est aussi une solution. Vérifions :

\begin{equation*} \frac{dx}{dt} = -\sin t + \cos t - e^{-t}\text{.} \end{equation*}

On remplace ceci dans (1.1.1) :

\begin{equation*} \frac{dx}{dt} + x = \underbrace{(-\sin t + \cos t - e^{-t})}_{\frac{dx}{dt}} + \underbrace{(\cos t + \sin t + e^{-t})}_{x} = 2\cos t\text{.} \end{equation*}

Il s’agit bien d’une solution.

Ainsi, plusieurs solutions sont possibles. Pour cette équation en particulier, toutes les solutions peuvent s’écrire sous la forme

\begin{equation*} x = \cos t + \sin t + C e^{-t} \end{equation*}

pour une constante $C\text{.}$ Différentes constantes $C$ donneront des solutions différentes, donc il y a vraiment un nombre infini de solutions possibles. Voir la figure 1.1.1 pour le graphe de quelques solutions. Nous verrons un peu plus tard comment trouver ces solutions de manière générale.

Figure 1.1.1. Quelques courbes solution de l’équation (1.1.1).

La résolution d’une équation différentielle peut être très ardue. Il n’y a pas une méthode générale pour les résoudre toutes. La plupart du temps, nous verrons comment obtenir des formules exactes pour résoudre certaines équations différentielles, mais parfois nous n’obtiendrons que des solutions approximatives. De plus, nous passerons un peu de temps à comprendre certaines équations, sans les résoudre.

La majeure partie de ce manuel est dédiée aux équations différentielles ordinaires, ou EDO, c’est-à-dire aux équations ayant une seule variable indépendante, où les dérivées se prennent en termes de cette unique variable. Lorsqu’il y a plusieurs variables indépendantes, on obtient des équations aux dérivées partielles, ou EDP.

Même pour les EDO, qui sont très bien comprises, il ne s’agit pas simplement de tourner une manivelle pour obtenir une réponse. C’est important de comprendre comment de telles solutions sont trouvées. Même si, dans la vraie vie, vous laisserez la plupart des calculs à des ordinateurs, vous devez comprendre ce qu’ils font. Il est parfois nécessaire de simplifier ou de transformer votre équation pour que la machine la comprenne et la résolve. Il vous faudra peut-être même ajouter ou modifier des hypothèses dans votre modèle pour ce faire.

Pour réussir en génie ou en science, vous aurez à résoudre des problèmes dans votre travail que vous n’aurez jamais vus auparavant, d’où l’importance d’apprendre des techniques de résolution de problèmes, afin d’appliquer ces techniques aux nouveaux problèmes.

Sous-section En pratique

Comment utilise-t-on les équations différentielles en science et en génie? On commence avec une situation-problème qu’on veut comprendre. À l’aide d’hypothèses supplémentaires pour simplifier le problème, on crée un modèle mathématique. Autrement dit, on traduit la situation en équations différentielles. Ensuite, on utilise les mathématiques afin d’obtenir une solution mathématique. Mais ce n’est pas fini. Il faut encore interpréter les résultats : qu’est-ce que la solution mathématique nous dit à propos de la situation-problème de départ?

Pour ce qui est de formuler le modèle mathématique, et d’interpréter les résultats, vous ferez cela surtout dans vos cours de génie et de science. Dans ce cours-ci, nous nous concentrerons principalement sur l’analyse mathématique. Parfois, nous travaillerons avec des exemples réalistes simples afin de développer notre intuition et de motiver les concepts que nous verrons.

Considérons ici un exemple. Une des équations les plus fondamentales est le modèle de croissance exponentielle. Dénotons une population de bactéries par la variable $P$ (plus précisément, $P$ dénote la quantité de population). On suppose que l’environnement contient suffisamment de nutriments et d’espace. Dans ce cas-là, le taux de croissance de la population de bactéries est proportionnel à la population — une population plus nombreuse croîtra plus rapidement. Dénotons le temps (en secondes, disons) par la variable $t\text{.}$ Notre modèle est alors :

\begin{equation*} \frac{dP}{dt} = kP\text{,} \end{equation*}

où $k > 0$ est une constante.

Exemple 1.1.3.

Supposons qu’il y a 100 bactéries au temps 0 et 200 bactéries 10 secondes plus tard. Combien aura-t-on de bactéries à une minute (60 secondes) du début?

D’abord, nous devons résoudre l’équation différentielle. Nous affirmons que la fonction suivante est une solution :

\begin{equation*} P(t) = C e^{kt}\text{,} \end{equation*}

où $C$ est une constante. Vérifions ceci :

\begin{equation*} \frac{dP}{dt} = C k e^{kt} = k P\text{.} \end{equation*}

Il s’agit donc bel et bien d’une solution.

Ensuite? On ne connaît pas la valeur de $C\text{,}$ ni de $k\text{.}$ Mais on sait ceci : $P(0) = 100$ et $P(10) = 200\text{.}$ Substituons ces valeurs dans l’expression et regardons ce que nous obtenons :

\begin{align*} \amp 100 = P(0) = C e^{k0} = C ,\\ \amp 200 = P(10) = 100 \, e^{k10} \text{.} \end{align*}

Par conséquent, $2 = e^{10k}$ ou $\frac{\ln 2}{10} = k \approx 0{,}069\text{.}$ Donc :

\begin{equation*} P(t) = 100 \, e^{(\ln 2) t / 10} \approx 100 \, e^{0{,}069 t}\text{.} \end{equation*}

À une minute, $t=60\text{,}$ la population est $P(60) = 6400\text{.}$ Voir la figure 1.1.4.

Figure 1.1.4. Croissance de la population de bactéries en fonction du temps.

Parlons maintenant de l’interprétation de ces résultats. Doit-on penser qu’il y aura exactement 6400 bactéries à 60 secondes? Bien sûr que non. Nous avons fait des hypothèses simplificatrices qui ne seront pas exactement vraies, mais approximativement vraies. Si nos hypothèses sont raisonnables, il y aura environ 6400 bactéries. De plus, $P$ devrait être un nombre entier, puisqu’il compte une quantité de bactéries. Pourtant, notre modèle admet des nombres comme $P(61) \approx 6859{,}35\text{.}$

Habituellement, la constante $k$ dans $P' = kP$ est connue, et l’on cherche à résoudre l’équation différentielle pour différentes conditions initiales . Qu’est-ce que ça veut dire? Prenons $k=1$ pour simplifier les choses. Supposons que nous voulons résoudre l’équation $\frac{dP}{dt} = P$ avec la condition $P(0) = 1000$ (la condition initiale). Alors, la solution est (exercice) :

\begin{equation*} P(t) = 1000 \, e^t\text{.} \end{equation*}

On appelle $P(t) = C e^t$ la solution générale, puisque toute solution de l’équation peut s’écrire sous cette forme pour un certain choix de la constante $C\text{.}$ La condition initiale sert à déterminer $C\text{,}$ afin de trouver la solution particulière.

Sous-section Quatre équations fondamentales

Quelques équations apparaissent fréquemment, et nous pouvons trouver utile de tout simplement apprendre par cœur leur solution (nous les verrons aussi de manière plus formelle dans les chapitres suivants). Appelons-les nos quatre équations fondamentales. Leurs solutions sont assez simples à deviner en nous rappelant les propriétés des exponentielles, de sinus et de cosinus. Elles sont aussi plutôt simples à vérifier, ce qu’on devrait toujours faire. Comme ça, inutile de se demander si l’on s’est rappelé correctement de la solution.

Voici notre première équation fondamentale :

\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = k y\text{,} \end{equation*}

où $k > 0$ est une constante. Ici, $y$ est la variable dépendante, et $x$ la variable indépendante. La solution générale de cette équation est :

\begin{equation*} y(x) = C e^{kx}\text{.} \end{equation*}

Nous avons vu ceci dans l’exemple précédent de la croissance exponentielle, même si les noms de variables ont changé.

La deuxième équation s’obtient en modifiant légèrement la première :

\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = -k y\text{,} \end{equation*}

où $k > 0$ est une constante. La solution générale de cette équation est :

\begin{equation*} y(x) = C e^{-kx}\text{.} \end{equation*}

Exercice 1.1.5.

Vérifiez que $y$ est bien une solution à cette équation.

Notre troisième équation fondamentale est une équation différentielle du second ordre :

\begin{equation*} \frac{d^2y}{{dx}^2} = -k^2 y\text{,} \end{equation*}

où $k > 0$ est une constante. La solution générale de cette équation est :

\begin{equation*} y(x) = C_1 \cos(kx) + C_2 \sin(kx)\text{.} \end{equation*}

Puisque l’équation est du second ordre, la solution contient deux constantes.

Exercice 1.1.6.

Vérifiez que $y$ est bien une solution à cette équation.

Enfin, considérons l’équation suivante, elle aussi du second ordre :

\begin{equation*} \frac{d^2y}{{dx}^2} = k^2 y\text{,} \end{equation*}

où $k > 0$ est une constante. La solution générale de cette équation est :

\begin{equation*} y(x) = C_1 e^{kx} + C_2 e^{-kx} \end{equation*}

\begin{equation*} y(x) = D_1 \cosh(kx) + D_2 \sinh(kx)\text{.} \end{equation*}

Les fonctions $\cosh$ et $\sinh$ se définissent comme suit :

\begin{equation*} \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} , \qquad \sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\text{.} \end{equation*}

Elles s’appellent respectivement cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique . Elles sont parfois plus simples à utiliser que les fonctions exponentielles. Elles ont de jolies propriétés, telles que $\cosh 0 = 1\text{,}$ $\sinh 0 = 0\text{,}$ $\frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x$ (non, il n’y a pas de signe moins, ce n’est pas une coquille) et $\frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x\text{.}$

Exercice 1.1.7.

Vérifiez que les deux expressions sont des solutions à cette équation.

Exemple 1.1.8.

Pour les équations d’ordre supérieur, les solutions comportent plus de constantes pour lesquelles on doit résoudre afin d’obtenir une solution particulière. L’équation $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ a pour solution générale $y = C_1 x + C_2\text{;}$ il suffit d’intégrer deux fois, sans oublier les constantes d’intégration. Considérons les conditions initiales $y(0) = 2$ et $y'(0) = 3\text{.}$ On substitue ces valeurs dans la solution et l’on obtient :

\begin{equation*} 2 = y(0) = C_1 \cdot 0 + C_2 = C_2, \qquad 3 = y'(0) = C_1\text{.} \end{equation*}

Ainsi, $y = 3x + 2$ est la solution particulière recherchée.

Fait intéressant à propos de $\cosh$ : le graphe de $\cosh$ est précisément la forme d’une chaînette pendante (pas d’une parabole, contrairement à ce qu’on pourrait croire). Cette forme s’appelle une caténaire . De plus, le graphe de $\cosh$ offre la forme idéale pour une arche supportant son propre poids; une telle arche de forme parabolique risquerait de s’écrouler. Un exemple célèbre est la Gateway Arch de la ville américaine de Saint-Louis, dont la formule est inscrite dans la structure :

\begin{equation*} y = -127.7 \; \textrm{ft} \cdot \cosh\left( x /127.7 \; \textrm{ft} \right) + 757.7 \;\textrm{ft}\text{.} \end{equation*}

Exercices Exercices

1.

Montrez que $x = e^{4t}$ est une solution de $x'''-12 x'' + 48 x' - 64 x = 0\text{.}$

2.

Montrez que $x = e^{t}$ n’est pas une solution de $x'''-12 x'' + 48 x' - 64 x = 0\text{.}$

3.

Est-ce que $y = \sin t$ est une solution de ${\left( \frac{dy}{dt} \right)}^2 = 1 - y^2\text{?}$ Justifiez votre réponse.

4.

Considérons $y'' + 2y' - 8y = 0\text{.}$ Essayez une solution de la forme $y = e^{rx}$ pour une constante (à déterminer) $r\text{.}$ Existe-il une valeur de $r$ qui donne une solution? Si oui, trouvez toutes les valeurs possibles de $r\text{.}$

5.

Vérifiez que $x = C e^{-2t}$ est une solution de $x' = -2x\text{.}$ Trouvez $C$ satisfaisant à la condition initiale $x(0) = 100\text{.}$

6.

Vérifiez que $x = C_1 e^{-t} + C_2 e^{2t}$ est une solution de $x'' - x' -2 x = 0\text{.}$ Trouvez $C_1$ et $C_2$ satisfaisant aux conditions initiales $x(0) = 10$ et $x'(0) = 0\text{.}$

7.

Trouvez une solution ${(x')}^2 + x^2 = 4$ en utilisant ce que vous avez appris à propos des dérivées dans vos cours de calcul.

8.

Résolvez

$\displaystyle \dfrac{dA}{dt} = -10 A, A(0)=5$
$\displaystyle \dfrac{dH}{dx} = 3 H, H(0)=1$
$\displaystyle \dfrac{d^2y}{dx^2} = 4 y, y(0)=0, y'(0)=1$
$\displaystyle \dfrac{d^2x}{dy^2} = -9 x, x(0)=1, x'(0)=0$

9.

Existe-t-il une solution de $y' = y\text{,}$ telle que $y(0) = y(1)\text{?}$

10.

La population de la ville X était 100 000 il y a 20 ans, et 120 000 il y a 10 ans. Si l’on suppose une croissance continue, on peut utiliser le modèle de croissance exponentielle (comme pour une population de bactéries). À combien estimez-vous la population actuelle maintenant?

11.

Supposons qu’un coach de football obtient présentement un salaire annuel de 1 million $, et qu’il a une augmentation salariale de $10\%$ chaque année (donc modèle de croissance exponentielle, comme les bactéries). Dénotons par $s$ le salaire en millions de dollars, et $t$ le temps en années.

Trouvez $s(0)$ et $s(1)\text{.}$
Après combien d’années approximativement le salaire sera-t-il de 10 millions?
Après combien d’années approximativement le salaire sera-t-il de 20 millions?
Après combien d’années approximativement le salaire sera-t-il de 30 millions?

Note : Les exercices dont les numéros sont 101 et plus ont des réponses à la fin du manuel.

12.

Montrez que $x = e^{-2t}$ est une solution de $x'' + 4x' + 4x = 0\text{.}$

Réponse.

Calculer $x' = -2e^{-2t}$ et $x'' = 4e^{-2t}\text{.}$ Alors, $(4e^{-2t}) + 4 (-2e^{-2t}) + 4 (e^{-2t}) = 0\text{.}$

13.

Est-ce que $y = x^2$ est une solution de $x^2y'' - 2y = 0\text{?}$ Justifiez votre réponse.

Réponse.

Oui.

14.

Soit $xy'' - y' = 0\text{.}$ Essayez une solution de la forme $y = x^r\text{.}$ Existe-t-il une valeur de $r$ qui donne une solution? Si oui, trouvez toutes les valeurs possibles de $r\text{.}$

Réponse.

$y=x^r$ est une solution pour $r=0$ et $r=2\text{.}$

15.

Vérifiez que $x=C_1e^t+C_2$ est une solution de $x''-x' = 0\text{.}$ Trouvez $C_1$ et $C_2$ telles que $x(0) = 10$ et $x'(0) = 100\text{.}$

Réponse.

$C_1 = 100\text{,}$ $C_2 = -90$

16.

Résolvez $\frac{d\varphi}{ds} = 8 \varphi$ et $\varphi(0) = -9\text{.}$

Réponse.

$\varphi = -9 e^{8s}$

17.

Résolvez

$\displaystyle \dfrac{dx}{dt} = -4x, x(0)=9$
$\displaystyle \dfrac{d^2x}{dt^2} = -4x, x(0)=1, x'(0)=2$
$\displaystyle \dfrac{dp}{dq} = 3 p, p(0)=4$
$\displaystyle \dfrac{d^2T}{dx^2} = 4 T, T(0)=0, T'(0)=6$

Réponse.

$\displaystyle x=9e^{-4t}$
$\displaystyle x=\cos(2t) + \sin(2t) $
$\displaystyle p=4e^{3q}$
$\displaystyle T= 3\sinh (2x)$

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