Section 3.3 Équations différentielles linéaires d’ordre supérieur
On va étudier brièvement les équations ordinaires d’ordre supérieur. Les équations apparaissant dans les applications sont souvent des équations du deuxième ordre. Les équations d’ordre supérieur apparaissent de temps en temps, mais généralement le monde qui nous entoure est du deuxième ordre.
Les résultats de base à propos des équations différentielles ordinaires (EDO) d’ordre supérieur sont essentiellement les mêmes que pour les équations du deuxième ordre, seulement 2 est remplacé par \(n\text{.}\) Le concept-clé de l’indépendance linéaire est plus compliqué lorsqu’il y a plus de deux fonctions en jeu. Pour les EDO d’ordre supérieur à coefficients constants, les méthodes développées sont aussi plus difficiles à appliquer, mais on ne s’attardera pas à ces complications. Il est aussi possible d’utiliser les méthodes pour les systèmes d’équations linéaires, au Chapitre 4, pour résoudre les équations d’ordre supérieur à coefficients constants.
Commençaons par les équations linéaires homogènes générales :
\begin{equation}
y^{(n)} + p_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_1(x) y' + p_0(x) y = 0\text{.}\tag{3.3.1}
\end{equation}
En d’autres mots, une combinaison linéaire de solutions à (3.3.1) est aussi une solution à (3.3.1). On a aussi le théorème d’existence et d’unicité pour les équations linéaires non homogènes.
Théorème 3.3.2. Existence et unicité.
Supposons que \(p_0,\ldots, p_{n-1}\) et \(f\) sont des fonctions continues sur un intervalle \(I\text{,}\) que \(a\) est un nombre appartenant à \(I\) et que \(b_0, b_1, \ldots, b_{n-1}\) sont des constantes. L’équation
\begin{equation*}
y^{(n)} + p_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_1(x) y' + p_0(x) y = f(x)
\end{equation*}
possède exactement une solution \(y(x)\text{,}\) définie sur le même intervalle \(I\text{,}\) satisfaisant aux conditions initiales suivantes :
\begin{equation*}
y(a) = b_0, y'(a) = b_1, \ldots, y^{(n-1)}(a) = b_{n-1}\text{.}
\end{equation*}
Sous-section Indépendance linéaire
Lorsqu’on a seulement deux fonctions \(y_1\) et \(y_2\text{,}\) elles sont linéairement indépendantes si elles ne sont pas multiples l’une de l’autre. Dans le cas général de \(n\) fonctions, il est plus facile de dire ce qui suit. Les fonctions \(y_1\text{,}\) \(y_2\text{,}\) …, \(y_n\) sont linéairement indépendantes si l’équation
\begin{equation*}
c_1 y_1 + c_2 y_2 + \cdots + c_n y_n = 0
\end{equation*}
admet uniquement la solution triviale \(c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0\text{.}\) Si, au contraire, on peut résoudre l’équation avec certaines constantes non nulles, par exemple \(c_1 \not= 0\text{,}\) alors on peut exprimer \(y_1\) comme une combinaison linéaire des autres. Si les fonctions ne sont pas linéairement indépendantes, elles sont linéairement dépendantes.
Exemple 3.3.3.
Montrons que \(e^x, e^{2x}, e^{3x}\) sont linéairement indépendantes.
Nous allons considérer ici trois approches différentes pour le montrer (de nombreux manuels introduisent le wronskien pour ceci, mais il est difficile de voir pourquoi ça fonctionne, et ce n’est pas vraiment nécessaire ici).
Écrivons
\begin{equation*}
c_1 e^x + c_2 e^{2x} + c_3 e^{3x} = 0\text{.}
\end{equation*}
On utilise les règles de l’exponentielle et l’on écrit \(z = e^x\text{.}\) Ainsi, \(z^2 = e^{2x}\) et \(z^3 = e^{3x}\text{.}\) Alors, nous avons
\begin{equation*}
c_1 z + c_2 z^2 + c_3 z^3 = 0\text{.}
\end{equation*}
Le terme de gauche est un polynôme de degré trois en \(z\text{.}\) Ou bien il est identiquement nul, ou bien il possède au plus trois zéros. Puisque le résultat doit être identiquement nul, la seule possibilité est que \(c_1 = c_2 = c_3 = 0\text{,}\) et les fonctions sont linéairement indépendantes.
Essayons une autre approche. Comme précédemment, écrivons
\begin{equation*}
c_1 e^x + c_2 e^{2x} + c_3 e^{3x} = 0\text{.}
\end{equation*}
Cette équation doit être valable pour tout \(x\text{.}\) On divise par \(e^{3x}\) pour obtenir
\begin{equation*}
c_1 e^{-2x} + c_2 e^{-x} + c_3 = 0\text{.}
\end{equation*}
Comme l’équation est vraie pour tout \(x\text{,}\) laissons \(x \to \infty\text{.}\) En prenant la limite, on voit que \(c_3 = 0\text{.}\) Ainsi, l’équation devient
\begin{equation*}
c_1 e^x + c_2 e^{2x} = 0\text{.}
\end{equation*}
Et l’on recommence en divisant par \(e^{2x}\text{,}\) etc.
Regardons encore une autre approche. Écrivons de nouveau :
\begin{equation*}
c_1 e^x + c_2 e^{2x} + c_3 e^{3x} = 0\text{.}
\end{equation*}
On peut évaluer l’équation et ses dérivées, avec une valeur de \(x\) judicieusement choisie, pour obtenir trois équations pour \(c_1\text{,}\) \(c_2\) et \(c_3\text{.}\) D’abord, divisons par \(e^{x}\) pour simplifier :
\begin{equation*}
c_1 + c_2 e^{x} + c_3 e^{2x} = 0\text{.}
\end{equation*}
Fixons \(x=0\) pour obtenir \(c_1 + c_2 + c_3 = 0\text{.}\) Dérivons des deux côtés :
\begin{equation*}
c_2 e^{x} + 2 c_3 e^{2x} = 0\text{.}
\end{equation*}
Fixons \(x=0\) pour obtenir \(c_2 + 2c_3 = 0\text{.}\) Divisons par \(e^x\) encore et dérivons pour obtenir \(2 c_3 e^{x} = 0\text{.}\) Il est clair que \(c_3\) est nul. Alors, \(c_2\) doit être nul puisque \(c_2 = -2c_3\text{,}\) et \(c_1\) doit être nul puisque \(c_1 + c_2 + c_3 = 0\text{.}\)
Il n’y a pas de meilleure approche, les trois sont parfaitement valides. L’important est de comprendre pourquoi les fonctions sont linéairement indépendantes.
Exemple 3.3.4.
Par contre, les fonctions \(e^x\text{,}\) \(e^{-x}\) et \(\cosh x\) sont linéairement dépendantes. Pour le voir, il suffit d’appliquer la définition du cosinus hyperbolique :
\begin{equation*}
\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \qquad \text{ ou } \qquad 2 \cosh x - e^x - e^{-x} = 0\text{.}
\end{equation*}
Sous-section Équations différentielles d’ordre supérieur à coefficients constants
Lorsqu’on a une équation linéaire homogène d’ordre supérieur à coefficients constants, la démarche est exactement la même que pour les équations du deuxième ordre. Il faut simplement trouver plus de solutions. Si l’équation est d’ordre \(n\text{,}\) on doit trouver \(n\) solutions linéairement indépendantes. L’exemple suivant le montre bien.
Exemple 3.3.5.
Trouvons la solution générale de l’équation suivante :
\begin{equation}
y''' - 3 y'' - y' + 3y = 0\text{.}\tag{3.3.2}
\end{equation}
Essayons: \(y = e^{rx}\text{.}\) On substitue dans l’équation et l’on obtient :
\begin{equation*}
\underbrace{r^3 e^{rx}}_{y'''} - 3 \underbrace{r^2 e^{rx}}_{y''} - \underbrace{r e^{rx}}_{y'} + 3 \underbrace{e^{rx}}_{y} = 0\text{.}
\end{equation*}
On divise par \(e^{rx}\text{.}\) Alors :
\begin{equation*}
r^3 - 3 r^2 - r + 3 = 0\text{.}
\end{equation*}
L’astuce est de trouver les racines. Il y a une formule pour les racines pour les polynômes de degré 3 ou 4, mais c’est très compliqué. De plus, il n’y a aucune formule pour les polynômes de degré supérieur. Cela ne veut pas dire que les racines n’existent pas. Il existe toujours \(n\) racines pour un polynôme de degré \(n\text{.}\) Elles peuvent être répétées et elles peuvent être complexes. Les ordinateurs sont très bons pour trouver les racines approximativement pour un polynôme d’ordre raisonnable.
Un bon point de départ est de tracer le graphe du polynôme et de vérifier où il est nul. On pourrait aussi simplement le remplacer par des nombres. On commence par remplacer par les nombres \(r=-2, -1, 0, 1, 2, \ldots\text{,}\) et l’on regarde si l’on obtient zéro. Par exemple, si l’on remplace par \(r=-2\) dans le polynôme, on obtient \(-15\text{;}\) si l’on remplace \(r=0\text{,}\) on obtient 3. Ceci signifie qu’il y a une racine entre \(r=-2\) et \(r=0\text{,}\) parce que le signe a changé. Si l’on trouve une racine, \(r_1\text{,}\) alors on sait que \((r-r_1)\) est un facteur du polynôme. La division polynomiale peut alors être utilisée.
On pourrait commencer par \(r=0\text{,}\) \(1\) ou \(-1\text{,}\) puisque ces nombres sont faciles à calculer. Dans notre cas, le polynôme a deux racines, \(r_1 = -1\) et \(r_2 = 1\text{.}\)
Il devrait avoir trois racines, et la dernière est plutôt facile à trouver. Le terme constant dans un polynôme monique est tel que c’est un multiple de l’opposé de toutes les racines, parce que \(r^3 - 3 r^2 - r + 3 = (r-r_1)(r-r_2)(r-r_3)\text{.}\) Alors,
1
Le mot monique veut dire que le coefficient du plus grand degré \(r^d\text{,}\) dans notre cas \(r^3\text{,}\) est 1.
\begin{equation*}
3 = (-r_1)(-r_2)(-r_3) = (1)(-1)(-r_3) = r_3\text{.}
\end{equation*}
Vous devriez vérifier si \(r_3 = 3\) est vraiment une racine. Ainsi, \(e^{-x}\text{,}\) \(e^{x}\) et \(e^{3x}\) sont des solutions de (3.3.2). Elles sont linéairement indépendantes (ce qui peut être vérifié facilement), et il y a trois racines, ce qui est le nombre exact recherché. Alors, la solution générale est :
\begin{equation*}
y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{x} + C_3 e^{3x}\text{.}
\end{equation*}
Supposons les conditions initiales \(y(0) = 1\text{,}\) \(y'(0) = 2\) et \(y''(0) = 3\text{.}\) Alors,
\begin{align*}
1 = y(0) \amp = C_1 + C_2 + C_3 ,\\
2 = y'(0) \amp = -C_1 + C_2 + 3C_3 ,\\
3 = y''(0) \amp = C_1 + C_2 + 9C_3 \text{.}
\end{align*}
Il est possible de trouver la solution au moyen de techniques algébriques vues au secondaire, mais ce serait souffrant (très, très long!). La manière sensée de résoudre un système d’équations est d’utiliser des matrices algébriques. Regardez Section 4.2 ou l’Chapitre 6. Pour l’instant, notons que la solution est \(C_1 = -\nicefrac{1}{4}\text{,}\) \(C_2 = 1\) et \(C_3 = \nicefrac{1}{4}\text{.}\) La solution particulière à l’EDO est donc :
\begin{equation*}
y = \frac{-1}{4}\, e^{-x} + e^x + \frac{1}{4}\, e^{3x}\text{.}
\end{equation*}
Par la suite, supposons que nous avons des racines réelles, mais qu’elles se répètent. Supposons que nous avons la racine \(r\) répétée \(k\) fois. Dans l’esprit de la solution du deuxième ordre, et pour les mêmes raisons, on a les solutions suivantes :
\begin{equation*}
e^{rx}, xe^{rx}, x^2 e^{rx}, \ldots, x^{k-1} e^{rx}\text{.}
\end{equation*}
On prend une combinaison linéaire de ces solutions et l’on trouve la solution générale.
Exemple 3.3.6.
Résolvons
\begin{equation*}
y^{(4)} - 3 y''' + 3 y'' - y' = 0\text{.}
\end{equation*}
On note que l’équation caractéristique est
\begin{equation*}
r^4 - 3r^3 + 3r^2 -r = 0\text{.}
\end{equation*}
Par un examen attentif, on note que \(r^4 - 3r^3 + 3r^2 -r = r{(r-1)}^3\text{.}\) Ainsi, les racines données avec la multiplicité sont \(r = 0, 1, 1, 1\text{.}\) Alors, la solution générale est :
\begin{equation*}
y = \underbrace{(C_1 + C_2 x + C_3 x^2)\, e^x}_{\text{ termes venant de } r=1} + \underbrace{C_4}_{\text{ venant de } r=0}\text{.}
\end{equation*}
Le cas des racines complexes est semblable à une équation du deuxième ordre.
Les racines complexes viennent toujours en paires \(r = \alpha \pm i \beta\text{.}\) Supposons que nous avons deux racines complexes, chacune répétée \(k\) fois. La solution correspondante est
\begin{equation*}
( C_0 + C_1 x + \cdots + C_{k-1} x^{k-1} ) \, e^{\alpha x} \cos (\beta x) + ( D_0 + D_1 x + \cdots + D_{k-1} x^{k-1} ) \, e^{\alpha x} \sin (\beta x)\text{,}
\end{equation*}
où \(C_0\text{,}\) …, \(C_{k-1}\text{,}\) \(D_0\text{,}\) …, \(D_{k-1}\) sont des constantes arbitraires.
Exemple 3.3.7.
Résolvons l’équation suivante :
\begin{equation*}
y^{(4)} - 4 y''' + 8 y'' - 8 y' + 4y = 0\text{.}
\end{equation*}
L’équation caractéristique est :
\begin{align*}
r^4 - 4 r^3 + 8 r^2 - 8 r + 4 \amp = 0 ,\\
{(r^2-2r+2)}^2 \amp = 0 ,\\
{\bigl({(r-1)}^2+1\bigr)}^2 \amp = 0 \text{.}
\end{align*}
Ainsi, les racines sont \(1 \pm i\text{,}\) toutes les deux avec multiplicité 2. Alors, la solution générale à l’EDO est
\begin{equation*}
y = ( C_1 + C_2 x ) \, e^{x} \cos x + ( C_3 + C_4 x ) \, e^{x} \sin x\text{.}
\end{equation*}
On a résolu cette équation caractéristique en devinant ou par inspection. Ce n’est pas aussi facile généralement. On aurait aussi pu demander à un ordinateur ou à une calculatrice puissante de calculer les racines.
Exercices Exercices
1.
Trouvez la solution générale de \(y''' - y'' + y' - y = 0\text{.}\)
2.
Trouvez la solution générale de \(y^{(4)} - 5 y''' + 6 y'' = 0\text{.}\)
3.
Trouvez la solution générale de \(y''' + 2 y'' + 2 y' = 0\text{.}\)
4.
Supposons que l’équation caractéristique de l’EDO soit \({(r-1)}^2{(r-2)}^2 = 0\text{.}\)
- Trouvez une telle équation différentielle.
- Trouvez la solution générale.
5.
Supposons qu’une équation de quatrième ordre admet la solution \(y = 2 e^{4x} x \cos x\text{.}\)
- Trouvez une telle équation.
- Trouvez les conditions initiales auxquelles la solution donnée satisfait.
6.
Trouvez la solution générale pour l’équation de l’Exercice 5.
7.
Soient \(f(x) = e^x - \cos x\text{,}\) \(g(x) = e^x + \cos x\text{,}\) et \(h(x) = \cos x\text{.}\) Est-ce que \(f(x)\text{,}\) \(g(x)\text{,}\) et \(h(x)\) sont linéairement indépendants? Si oui, montrez-le. Sinon, trouvez une combinaison linéaire qui fonctionne.
8.
Soient \(f(x) = 0\text{,}\) \(g(x) = \cos x\text{,}\) et \(h(x) = \sin x\text{.}\) Est-ce que \(f(x)\text{,}\) \(g(x)\text{,}\) et \(h(x)\) sont linéairement indépendants? Si oui, montrez-le. Sinon, trouvez une combinaison linéaire qui fonctionne.
9.
Est-ce que \(x\text{,}\) \(x^2\text{,}\) et \(x^4\) sont linéairement indépendants? Si oui, montrez-le. Sinon, trouvez une combinaison linéaire qui fonctionne.
10.
Est-ce que \(e^x\text{,}\) \(xe^x\text{,}\) et \(x^2e^x\) sont linéairement indépendants? Si oui, montrez-le. Sinon, trouvez une combinaison linéaire qui fonctionne.
11.
Trouvez une équation telle que \(y=xe^{-2x}\sin(3x)\) est une solution.
12.
Trouvez la solution générale de \(y^{(5)}-y^{(4)}=0\text{.}\)
Réponse.
\(y=C_1 e^x +C_2 x^3 + C_3 x^2 +C_4 x + C_5\)
13. 2.
Supposons que l’équation caractéristique de troisième ordre d’une équation différentielle possède les racines : \(\pm 2i\) et 3.
- Quelle est l’équation caractéristique?
- Trouvez l’équation différentielle correspondante.
- Trouvez la solution générale.
Réponse.
a) \(r^3-3r^2+4r-12 = 0\) b) \(y'''-3y''+4y'-12y = 0\) c) \(y = C_1 e^{3x} + C_2 \sin(2x) + C_3 \cos(2x)\)
14.
Résolvez \(1001y'''+3.2y''+\pi y'-\sqrt{4} y = 0\text{,}\) \(y(0)=0\text{,}\) \(y'(0) = 0\text{,}\) \(y''(0) = 0\text{.}\)
Réponse.
\(y=0\)
15.
Est-ce que \(e^{x}\text{,}\) \(e^{x+1}\text{,}\) \(e^{2x}\text{,}\) \(\sin(x)\) sont linéairement indépendants? Si oui, montrez-le. Sinon, trouvez une combinaison linéaire qui fonctionne.
Réponse.
No. \(e^1 e^x - e^{x+1} = 0\text{.}\)
16.
Est-ce que \(\sin(x)\text{,}\) \(x\text{,}\) \(x\sin(x)\) sont linéairement indépendants? Si oui, montrez-le. Sinon, trouvez une combinaison linéaire qui fonctionne.
Réponse.
Oui. (Astuce : Notez d’abord que \(\sin(x)\) est délimité. Ensuite, notez que \(x\) et \(x\sin(x)\) ne peuvent pas être multiples l’un de l’autre.)
17.
Trouvez une équation telle que \(y=\cos(x)\text{,}\) \(y=\sin(x)\text{,}\) \(y=e^x\) sont des solutions.
Réponse.
\(y'''-y''+y'-y=0\)
